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Funktionalanalysis
Zeit und Ort der Übungen:
Dienstag, 8:25-9:55 Uhr, Raum F 429
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Erste Übungsstunde:
27. April
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Homepage der Vorlesung:
http://www.math.uni-konstanz.de/~dreher/lv-alt/2009-0/fa/fa.html
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Inhalt:
Die Funktionalanalysis verallgemeinert die Konzepte der Linearen Algebra auf unendlich-dimensionale Vektorräume. Nach einer kurzen Einführung topologischer Räume und Eigenschaften wie Kompaktheit werden Banach- und Hilberträume untersucht. Erstere sind normierte Räume, die vollständig sind, d.h. in denen jede Cauchyfolge einen Grenzwert besitzt. Letztere sind spezielle Banachräume, die zusätzlich mit einem Skalarprodukt versehen sind, das die Norm induziert und es erlaubt, über Orthogonalität von Vektoren zu sprechen. Zentrale Aussagen sind hier der Approximationssatz, der den Satz vom Lotpunkt verallgemeinert ("Die kürzeste Verbindung zwischen einer Geraden und einem Punkt ist das Lot") und in der Optimierung eine wichtige Rolle spielt, sowie der Satz von Riesz, der besagt, dass sich jedes Element des Dualraums als ein einseitig besetztes Skalarprodukt repräsentieren lässt und insbesondere eine Isometrie zwischen einem Hilbertraum und seinem Dual liefert.
Wieder nehmen lineare Abbildungen zwischen Banachräumen eine Schlüsselrolle ein. Hier lassen sich Aussagem aus dem Endlichdimensionalen nur bedingt anwenden, beispielsweise müssen lineare Abbildungen nicht stetig sein und nicht alle injektiven Endomorphismen sind auch surjekiv. Das Spektrum eines Operators hat damit mehr Struktur: Es besteht im Allgemeinen nicht nur aus Eigenwerten. Nach Kernaussagen über die Resolventenabbildung und Darstellungsformen für adjungierte Operatoren in Banach- und Hilberträumen werden einige klassische Sätze der Funktionalanalysis wie der Satz von Baire, das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit und die Hahn-Banach-Sätze bewiesen.
Im zweiten Teil der Vorlesung werden funktionalanalytische Konzepte zum Lösen partieller Differenzialgleichungen eingeführt. Distributionen und Sobolevräume erlauben es, den Begriff der Ableitung zu verallgemeinern. Durch Spektralsätze erhält man Darstellungsformen für Operatoren, die es erlauben, diese in Funktionen einzusetzen und damit formal Lösungsformeln für gewöhnliche Differenzialgleichungen auf partielle Differenzialgleichungen anzuwenden. Schließlich erlauben Faltungen und Fouriertransformation, solche Lösungen explizit oder approximativ anzugeben.
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Klausur:
Gegen Ende der Vorlesungszeit wird es bei Interesse eine Klausurvorbereitungsstunde geben. Dabei werden hauptsächlich einige ausgewählte zusätzliche Übungsaufgaben besprochen werden. Gäste aus anderen Übungsgruppen sind natürlich ebenfalls herzlich willkommen.
Das Tutorium zur Klausurvorbereitung findet am 20. Juli 2010 ab 9:00 Uhr im Raum F426 statt.
Ich wünsche allen Klausurteilnehmern eine entspannte und erfolgreiche Vorbereitung.
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Material für die Übungen:
S1
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S3
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G
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L6.4
L7.1
L7-2
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