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Lineare Algebra I
Zeit und Ort der Vorlesung: Wöchentlich Montag, 10:00-12:00 Uhr, R712 und Freitag, 10:00-12:00 Uhr, R711.
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Zeit und Raum der Übungen: Die Übungsgruppe F findet montags von 8:00-10:00 Uhr in Raum D404 statt.
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Klausuren:
Die Teilklausuren zur Hauptklausur der Linearen Algebra I finden am 15. Dezember 2007 und am 22. Februar 2008 statt; der Termin für die Nachklausur ist der 11. April 2008. Die Ergebnisse der ersten Hauptklausur finden Sie
hier.
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Themen der Übungsblätter:
- Mengen, Äquivalenzen, Axiome, Beweise
- Geometrie des ℝ³, Orthogonalität, Kreuzprodukt
- Orthonormalbasis, Erzeugendensystem, Kreuzproduktformeln
- Gruppen, Gruppenhomomorphismen, Kleinsche Vierergruppe
- Ringe, Ringhomomorphismen, Körper
- Körpererweiterungen, Vektorräume, Untervektorräume
- Lineare Unabhängigkeit, lineare Hülle, Summenräume
- Linearkombinationen, Bild & Kern, Erste Dimensionsformel
- Hyperebenen, Komplementräume, Zweite Dimensionsformel
- Polynomring, Ringzentrum, lineare Abbildungen
- Darstellungsmatrizen, Basiswechsel, Spursatz
- Matrixinvertierung, lineare Gleichungssysteme, Rangabschätzung
- Projektion & Spiegelung, Fortsetzung von Endomorphismen
- Permutationen, Determinanten, Eigenwerte
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Ergänzungen zur Vorlesung:
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Die Zusammenfassungen basieren großteils auf meiner Mitschrift einer Vorlesung zur
Linearen Algebra I,
die Prof. Prestel im Wintersemester 2005/2006 in Konstanz gehalten hat, und wurden durch Beispiele und Kommentare ergänzt.
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Kommentare und Hinweise:
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27.10.07. Bei der Abgabe des ersten Übungsblattes bitte ich den Aushang über die neue Gruppeneinteilung zu beachten. Ein Wechsel der Übungsgruppe ist nur in Rücksprache mit Daniel Plaumann (F410) möglich. Hier noch mal das wichtigste Organisatorische im Überblick: Wir beginnen um 08:20 Uhr (Dienstag) in G304. Die Übungsblätter sind bis spätestens Fr, 10:15 Uhr, abzugeben. Die Klausurtermine sind Sa, 15.12.07 und Sa, 22.02.08. Zur Klausurzulassung ist regelmäßige Anwesenheit in der Übungsstunde, Vorrechnen und die wöchentl. Abgabe der Übungsblätter Voraussetzung. Alle Angaben sind ohne Gewähr.
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29.10.07. Offiziell besteht meine Übungsgruppe jetzt aus folgender Mannschaft:
Übungsgruppe F.
Wer aufgrund von Vorlesungsüberschneidungen oder sonstigem Ungemach nicht in die Übungsgruppe gehen kann, in der er zum jetzigen Zeitpunkt eingetragen ist, kann diese Woche auch in meine Gruppe kommen und muss sich im Lauf der Woche bei Herrn Plaumann um eine offizielle Zuteilung in eine geeignete Gruppe kümmern.
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12.11.07. In diesem pdf-File finden sich die grundlegenden Definitionen
algebraischer Grundstrukturen.
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22.11.07. Hier der Nachweis der Axiome für den
Ring der Potenzmenge
einer Menge X mit der symmetrischen Differenz als additive und dem Mengenschnitt als multiplikative Verknüpfung.
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10.12.07. Diese zweite Übersicht umfasst die
Grundlagen der Vektorrechnung.
Allen Klausurteilnehmern wünsche ich am Samstag viel Erfolg.
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20.12.07. Wie angekündigt, werde ich mit Interessenten unserer Übungsgruppe noch auf den Konstanzer Weihnachtsmarkt gehen. Als Termin haben wir in der Übungsstunde heute, Donnerstag, 20.12.2007 fixiert. Treffpunkt ist der Brunnen auf der Marktstätte um 19:00 Uhr. Teilnahme ist natürlich freiwillig, aber wer Lust hat zum gemütlichen Frieren, Plaudern, über Dozenten Lästern, gegebenenfalls Glühwein Trinken und Ähnliches, ist herzlich eingeladen. Wer sich in Konstanz noch nicht so gut auskennt, die Bushaltestelle Marktstätte ist gegenüber vom Hauptbahnhof und die Marktstätte selbst von dort vielleicht fünfzig Meter in die Stadt hinein am Ende des Weihnachtsmarktes (eigentlich nicht zu verfehlen).
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07.01.08. Dieses pdf-File umfasst Wissenswertes über
Gruppen, Ringe und Körper.
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14.01.08. Hier eine kurze Einführung in die
Theorie der Polynomringe,
die eine kurze Motivation über die (formale) Konstruktion des Polynomrings über einem Körper durch Adjunktion eines transzentenden Elementes X liefert. Wir nennen dabei ein Element transzendent, wenn es, grob gesagt, keine Relation mit den Körperoperationen erfüllt. Beispielsweise haben wir bei der Konstruktion der komplexen Zahlen als Erweiterung der reellen Zahlen durch Adjunktion der imaginären Einheit i kein transzendentes Element dazugenommen, da i die Beziehung ii+1=0 erfüllen sollte. Ohne Beweise werden hier die grundlegensten Aussagen und wichtigsten Begriffe zusammengefasst und abschließend ein kleiner Ausblick in eine Anwendung der Polynomringe gegeben, nämlich die Einsetzung von Homomorphismen in Polynome. Der Stoff stammt im Wesentlichen aus einem Kurzskript zur Linearen Algebra I, das von Dr. Schweighofer verfasst wurde, als dieser noch in Konstanz dozierte.
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15.01.08. Wir sind bei einem besonders schönen Teil der Linearen Algebra angelangt (dem Herzstück, wenn man so will): Der Theorie der
Darstellbarkeit linearer Abbildungen
zwischen endlich dimensionalen Vektorräumen durch Matrizen. Einmal gut hergeleitet, ist das gar nicht schwer, aber in der Anwendung sehr nützlich, da sich mit Matrizen ziemlich gut rechnen lässt. In dieser Zusammenfassung werden die Darstellbarkeit und deren Eigenschaften hergeleitet und anschließend an einem Beispiel ausführlich diskutiert.
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19.01.08. In Ergänzung zur letzten Zusammenfassung betrachten wir noch mal in aller epischer Länge den
Basiswechsel
als Spezialfall der Matrizendarstellung linearer Abbildungen. Obgleich in der Theorie nichts Neues, gewinnen wir so die Möglichkeit, unter den Darstellungsmatrizen ein und der selben Abbildung durch geschickte Basiswahl eine besonders "schöne" auszuwählen, d.h. eine Darstellungsmatriz, mit der sich mit sehr wenig Aufwand rechnen lässt. Man kann sich überlegen, dass es erstrebenswert ist, Darstellungsmatrizen in Diagonalgestalt zu erhalten (d.h. alle Einträge außer auf der Diagonalen sind 0); in dem Fall kann man zum Beispiel Matrizen multiplizieren, indem man einfach wie bei der Addition komponentenweise rechnet. Damit spielen Basistransformation und Darstellungsmatrizen in fast allen, vor allem in den angewandten Bereichen der Mathematik wie Numerik, Analysis und Funktionentheorie sowie in der Physik eine große Rolle (der eine oder andere ist vielleicht schon über den Begriff der Eigenraumtheorie gestolpert.
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28.01.08. Die nächste Übersicht umfasst die Lösungstheorie homogener
linearer Gleichungssysteme.
Nach kurzer Einführung der Grundlagen (Gauß-Algorithmus, Koeffizientenmatrizen, Rang, Zeilenraum) werden zentrale Resultate über die Lösungsmenge hergeleitet: Diese bildet stets einen Vektorraum, der orthogonal zum Zeilenraum der Matrix ist. Nach einigen Beispielen zur Bestimmung einer Basis des Lösungsraums (aus der sich natürlich sofort alle möglichen Lösungen des zugehörigen Gleichungssystems ablesen lassen) werden noch kurz inhomogene Systeme auf ihre Lösbarkeit untersucht.
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31.01.08. Dieses File befasst sich mit den Grundlagen der
Determinantentheorie.
Nach der etwas lästigen Herleitung des Hauptsatzes über Induktion, der die Existenz und Eindeutigkeit der axiomatisch gegebenen Determinantenabbildung postuliert, werden explizite Entwicklungsformeln abgeleitet. Anschließend wird ein Verfahren von Cramer betrachtet, das zur Invertierung von Matrizen verwendet werden kann (und damit auch zur Lösbarkeit von Gleichungssystemen)
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12.02.08. In Ergänzung zur letzten Übungsstunde findet sich hier noch ein ausführlicher Beweis zur
Fortsetzbarkeit linearer Abbildungen.
Außerdem wird ein kleiner Ausblick gegeben, wie sich Fortsetzbarkeitsfragen auf andere Strukturen verallgemeinern lassen und parallel zur Theorie der Erweiterung algebraischer Strukturen studiert werden können.
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11.02.08. Wir haben uns mittlerweile zu einem nicht ganz leichten, aber sehr ästhetischen Bereich der Linearen Algebra vorgearbeitet: Der Normaldarstellung von Matrizen. Wir untersuchen dabei, ob und wie Matrizen auf gewisse Standardformen gebracht werden können - wo möglich, streben wir Diagonalform an; über den komplexen Zahlen erreichen wir immer "fast" eine Diagonalform. Dabei spielen Eigenwerte und Eigenvektoren eine zentrale Rolle: Erhalten wir zu einem Endomorphismus eine Basis aus Eigenvektoren, dann hat die Darstellungsmatrix bzgl. dieser Basis immer Diagonalform. Im Komplexen können wir eine maximal linear unabhängige Menge an Eigenvektoren sogar stets durch "Hauptvektoren" zu einer Basis ergänzen und erhalten eine Darstellungsmatrix in Jordan-Normalform. In diesem File zur
Eigenwerttheorie
werden grundlegende Aussagen hergeleitet und die Struktur von Eigenräumen studiert. Anschließend wird der
Satz von Hamilton-Cayley
hergeleitet (wenn auch in sehr knapper Form), aus dem sich weitere vorbereitende Aussagen zur Klassifizierung von Endomorphismen folgern lassen: Beispielsweise lässt sich jede reelle Matrix auf eine Art Dreiecksform bringen, so dass auf der Diagonalen die Eigenwerte der Matrix und schlimmstenfalls noch 2x2-Kästchen befinden. Eine ausführliche Darstellung zu Normalformen über den reellen und komplexen Zahlen findet sich zum Beispiel in diesem Skript zur
Linearen Algebra II.
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12.02.08.
Zwecks Klausurvorbereitung findet am Mittwoch, dem 13.02.2008, von 08:10-10:00 Uhr ein freiwilliger Sondertermin statt, bei dem einige zentrale Themen der Linearen Algebra wie Matrizendarstellung, Basistransformation, Eigenwerttheorie, Diagonalisierung und Lineare Gleichungssysteme noch einmal anhand von Beispielen studiert werden. Außerdem dient die Zeit natürlich wieder der Beantwortung von Fragen, die bei der Klausurvorbereitung entstanden sind (sollte diese schon so weit fortgeschritten sein, dass sich Fragen ergeben haben). Treffpunkt ist pünktlich um 08:10 Uhr an den Abgabekästen; ein Raum wird sich dann sicher finden. Allen, die aus schlaftechnischen oder sonstigen Gründen verhindert sind, wünsche ich eine nicht allzu stressige Lernzeit, Erfolg bei allen anstehenden Klausuren und anschließend erholsame Semesterferien.
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Material für die Übungen:
S
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