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Analysis III

Zeit und Ort der Vorlesung: Wöchentlich Dienstag, 10:00-12:00 Uhr, R513 und Donnerstag, 8:00-10:00 Uhr, A701.
Zeit und Raum der Übungen: Die Übungsgruppe 9 findet freitags von 8:00-10:00 Uhr in Raum D406 statt.
Skriptum: Zum ersten Vorlesungsteil steht ein Vorlesungsskript zur Verfügung.
Klausuren: Die Hauptklausur zur Analysis III finden am 16. Februar 2009 statt und umfasst sowohl den Vorlesungsteil über Gewöhnliche Differenzialgleichungen als auch den über die Lebesguesche Maß- und Integrationstheorie. Die Wiederholung der 1. Klausur zur Analysis III (Differenzialgleichungen) wird am Montag, 23.03.2009, 8:30-10:00 Uhr geschrieben, die Wiederholung der 2. Klausur zur Analysis III (Maßtheorie) am Freitag, 03.04.2009, 8:30-10:00 Uhr.
Themen der Übungsblätter:
  1. Orbits, Klassifizierung von ODEs, Verifizierung von Lösungen
  2. Asymptotisches Verhalten, Separation der Variablen, lineare Lösungsformel
  3. Schwingungsgleichung, Zerfallsprozesse, explizite Lösungsformeln
  4. Nichtlineare ODEs, parameterabhängige Orbits, lineare ODE-Systeme
  5. Spektralmethoden, Fundamentalsysteme, matrixwertige ODEs, Lösbarkeit
  6. Jordanmethoden, Differenzierbarkeit von Fundamentalsystemen, Systeme höherer Ordnung
  7. Phasenfluss, Differenzierbarkeit bzgl. der Anfangsdaten
  8. Satz von Picard-Lindelöf, Picard-Iteration, maximales Existenzintervall
  9. σ-Algebren, Messräume, Maßräume, Lebesgue-Maß
  10. Inhalt, Prämaß & Maß, Fortsetzbarkeit, Additivität
  11. Dynkin-Systeme, Indikatormaß, äußeres Maß, Endlichkeit
  12. Messbarkeit, Funktionenfolgen, Konvergenzsätze
Ergänzungen zur Vorlesung:

Nr. Thema Seiten Datum Größe
1 Existenz und Eindeutigkeit 03-15 22.10.2008 0606 KB
2 Spezielle Lösungsverfahren 16-32 29.10.2008 1460 KB
3 Lineare Differenzialgleichungen 33-45 24.11.2008 1800 KB
4 Numerische Verfahren 46-55 17.11.2008 0366 KB
5 Qualitative Aspekte 56-69 17.11.2008 1340 KB
6 Randwertprobleme 70-80 17.11.2008 0449 KB
7 Einführung in die Maßtheorie 81-84 20.12.2008 0217 KB
8 Lösungsformel Charakteristiken 85-86 30.10.2008 0108 KB
9 Zentrale Sätze der Integrationstheorie 87-90 04.01.2009 0050 KB

Worum geht's? Viele physikalische, ökonomische, technische, ... Zusammenhänge werden durch Gleichungen beschrieben, in denen eine Funktion y=y(t) und Ableitungen von y vorkommen - sogenannte Differenzialgleichungen. Klassische Beispiele solcher Gleichungen sind der freie Fall (y''(t)=-g), das lineare Pendel ohne Reibung (y''(t)=-y(t)) oder das gedämpfte mathematische Pendel (y''(t)+cy'(t)+sin(y(t))=0). Zentrale Fragestellungen sind zum Beispiel:
  1. Lässt sich eine Differenzialgleichung nach y auflösen?
  2. Ist eine Lösung eindeutig bestimmt, wenn wir zusätzlich gewisse Anfangsbedingungen fordern?
  3. Wie hängt eine Lösung von den Anfangsbedingungen ab? Führen kleine Änderungen der Startbedingungen (die in der Regel aus Messungen stammen und daher immer kleine Fehler enthalten) zu einer gänzlich anderen Lösung?
  4. Konvergiert die Lösung gegen einen bestimmten Wert?
  5. Gibt es für gewisse Klassen von Gleichungen Lösungsalgorithmen?
  6. Lässt sich eine Lösung numerisch approximieren? Wenn ja, wie schnell konvergiert die Approximation gegen die exakte Lösung?
Leider lassen sich etliche Gleichungen nicht analytisch lösen. Allerdings gibt es starke Sätze dafür, dass dennoch Lösungen existieren (Picard-Lindelöf, Peano). Schließlich wird sich unser Augenmerk auf lineare Differenzialgleichungen richten, die besonders schöne Eigenschaften haben (ihre Lösungen bilden beispielsweise einen Vektorraum, so dass wir stets aus endlich vielen (Basis-)Lösungen alle Lösungen als Linearkombinationen der Basislösungen erhalten). Außerdem sind viele Gleichungen aus dem alltäglichen Leben linear oder lassen sich zumindest linearisieren - wie beispielsweise das schon erwähnte Pendel, das zunächst durch die hochgradig nicht-lineare Gleichung y''(t)+sin(y(t)) beschrieben wird, sich aber durch die Approximation sin(x)~x für kleine Auslenkungswinkel x als lineare Gleichung y''(t)+y(t)=0 behandeln lässt.
Applet für Phasenportraits: Zur Visualisierung dynamischer Systeme in der Ebene existiert auf der Seite der Projektgruppe Analysis (Universität Insbruck) ein Java-Applet, mit dem sich Vektorfelder nicht-autonomer Differenzialgleichungen erster Ordnung und autonomer Gleichungen zweiter Ordnung visualisieren und Lösungskurven zu Startwerten einzeichnen lassen.
Klausurvorbereitung: Ich werde für Interessierte zusammen mit Siegfried Maier wieder einen freiwilligen Sondertermin anbieten, bei dem noch einmal Fragen geklärt werden können, die sich beim Lernen ergeben haben, und eine Auswahl wesentlicher Verfahren und Resultate der Vorlesung wiederholt werden. Stattfinden tut das Ganze am Dienstag, 09.12.2008, 16:00-18:00 Uhr (Beginn: 16:05 Uhr) in A702. Die Veranstaltung wird sich an diesem Aufgabenblatt orientieren, das ihr euch schon vorher anschauen solltet. Da Klausurvorbereitungen unter dem Semester erfahrungsgemäß eine aufwendige Angelegenheit sind, gehe ich nicht davon aus, dass ihr die Zeit haben werdet, die Aufgaben schon im Vorfeld zu lösen (auch wenn es sicher nicht schlecht wäre, sich ohne Hilfsmittel zwei Stunden dahinter zu klemmen und zu versuchen, die Aufgaben unter "Klausurbedingungen" zu bearbeiten). Es wäre allerdings für euch (und auch für uns) sehr hilfreich, wenn ihr unter dem Motto "Wie würde ich denn da rangehen" einige Aufgaben alleine durchgeht - etwa bis zur Klassifikation der Gleichungen (linear-homogen, separabel, exakt, Bernoulli, Riccati, ...) und euch die entsprechenden Lösungsformeln und Verfahren ins Gedächtnis ruft. Wenn dabei Probleme auftreten, um so besser - dann können die ja am Dienstag geklärt werden, anstatt die Klausurbearbeitung zu sabotieren. Lösungen zu den letzten beiden Aufgaben finden sich hier.
Material für die Übungen: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12