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Lineare Algebra I

Bonusaufgabe 1.3 Bonusaufgabe 1.4 Aufgabe 7.1 Aufgabe 9.3 (b) Aufgabe 11.4 (b)
Zeit und Ort der Vorlesung: Wöchentlich Montag, 10:00-12:00 Uhr, R711 und Donnerstag, 10:00-12:00 Uhr, R711.
Zeit und Raum der Übungen: Die Übungsgruppe F findet dienstags von 8:15-10:00 Uhr in Raum G201 statt. Die Übungen beginnen am 3. November.
Klausuren: Am 14. Dezember 2009 wird zur Vorbereitung auf die Abschlussprüfung eine Probeklausur geschrieben. Diese wird nicht benotet; das Ergebnis hat keinerlei Einfluss auf die Endnote. Die Hauptklausur der Linearen Algebra I findet am 24. März 2010 statt. Die Ergebnisse der ersten Hauptklausur finden Sie hier. Am Donnerstag, 15. April, 12:00-14:00 Uhr, findet in D406 die Klausureinsicht statt. Ein zweiter Einsichttermin wird am Freitag, 14. Mai, 9:00-11:00 Uhr in F441 angeboten.
Themen der Übungsblätter:
  1. Mengen und Abbildungen
  2. Abbildungen, Zerlegungen, Relationen
  3. Abelsche Gruppen und Gruppenhomomorphismen
  4. Kongruenzen, Untergruppen, Homomorphiesatz
  5. Kommutative Ringe, Körper, Kongruenzrelationen
  6. Polynomringe, endliche Körper, komplexe Zahlen
  7. Ringhomomorphismen, Matrizen, Zeilenstufenform
  8. Vektorräume, Unterräume, Lineare Gleichungssysteme
  9. Erzeugendensystem, Basis, Dimension
  10. Inhomogene Gleichungssysteme und Darstellungsmatrizen
  11. Matrizeninvertierung, Einsetzung, Quotientenräume
  12. Determinanten und Derivationen
  13. Eigenvektoren, Diagonalisierbarkeit, Skalarprodukt
Bei der Bearbeitung der Übungsaufgaben könnten folgende Hinweise nützlich sein:
  • Aus Zeitgründen können leider nicht alle Übungsaufgaben besprochen werden. Wir werden uns in der Übungsstunde auf die Disskusion der schwierigeren bzw. abstrakteren Aufgaben beschränken müssen.
  • In der Woche nach der Besprechung des jeweiligen Übungsblattes wird eine "Musterlösung" auf der Homepage des Übungsbetriebes zur Verfügung gestellt. Insbesondere die nicht besprochenen Aufgaben sollten bei Bedarf akribisch durchgearbeitet werden. Sollten dabei Fragen oder Probleme auftreten, so können (und sollen) diese in der folgenden Übungsstunde geklärt werden.
  • Erfahrungsgemäß orientieren sich die Aufgaben der Abschlussklausur an den Übungsaufgaben. Der Tafelanschrieb der Lösungen aus der Übungsstunde sollten daher wie eine Vorlesung sorgfältig nachbereitet werden.
  • Habt ihr bei einer Übungsaufgabe mal keine Ahnung, was überhaupt zu machen ist bzw. wie man ansetzen könnte, dann schreibt mir eine e-Mail, ich werde dann einen Hinweis geben. Ihr solltet euch die Aufgaben zum nächsten Blatt auch vor der aktuellen Übungsstunde anschauen, dann können Probleme gleich geklärt werden.
  • Aus gegebenem Anlass: Unleserliche oder unsauber aufgeschriebene Lösungen werden nicht mehr korrigiert.
Ergänzungen zur Vorlesung:

Nr. Thema Seiten Größe
1 Gruppen, Ringe, Körper 03-06 215,6 KB
2 Bonusaufgaben I 07-07 131,7 KB
3 Lösungen Bonusaufgaben I 08-09 148,8 KB
4 Vektorräume und Lineare Gleichungssysteme 10-14 240,2 KB
5 Lineare Abbildungen und Matrizen 15-19 237,7 KB
6 Bonusaufgaben II 20-20 145,5 KB
7 Lösungen Bonusaufgaben II 21-23 149,6 KB
8 Eigenwerttheorie 24-27 226,3 KB
9 Euklidische und unitäre Räume 28-32 231,8 KB
10 Ergänzungen & Anwendungsbeispiele 33-41 266,9 KB

Die Zusammenfassungen basieren großteils auf meiner Mitschrift einer Vorlesung zur Linearen Algebra I, die Prof. Prestel im Wintersemester 2005/2006 in Konstanz gehalten hat, und wurden durch Beispiele und Kommentare ergänzt.
Kommentare und Hinweise:
15.12.09. Wie angekündigt, werde ich mit Interessenten unserer Übungsgruppe noch auf den Konstanzer Weihnachtsmarkt gehen. Als Termin haben wir in der Übungsstunde Donnerstag, 17.12.2009 fixiert. Treffpunkt ist der Brunnen auf der Marktstätte um 18:00 Uhr. Teilnahme ist natürlich freiwillig, aber wer Lust hat zum gemütlichen Frieren, Plaudern, über Dozenten Lästern, gegebenenfalls Glühwein Trinken und Ähnliches, ist herzlich eingeladen. Wer sich in Konstanz noch nicht so gut auskennt, die Bushaltestelle Marktstätte ist gegenüber vom Hauptbahnhof und die Marktstätte selbst von dort vielleicht 50 Meter in die Stadt hinein am Ende des Weihnachtsmarktes (eigentlich nicht zu verfehlen).
Aufgabe 2.2. Man setze für alle Aufgabenteile voraus, dass A nicht die leere Menge ist (sonst stimmen die Aussagen nicht!).
Aufgabe 3.3. Formal ist G die Menge aller Abbildungen f von der Indexmenge I in die Vereinigung der Mengen G(i), für die gilt: f[i] liegt in G(i) für jedes i∈I. Man kann sich unter G die Menge der Folgen vorstellen (allerdings mit unter Umständen überabzählbarer und ungeordneter Indexmenge I), deren i-tes Folgenglied stets in der Menge G(i) liegt. In der Tat sind umgekehrt (reelle) Folgen formal Abbildungen von I=ℕ nach ℝ (mit G(i)=ℝ für alle ∈I).
Bonus 1.2. Die inneren Verknüpfungen sind natürlich auf AxA bzw. BxB definiert, nicht auf A bzw. B.
Bonus 1.3. Auch hier ist mir ein kleiner Tippfehler unterlaufen: f(X)={y in B | es gibt x∈X mit f(x)=y}.
Bonus 1.4. Aus Konventionsgründen wäre es besser, die Gruppenverknüpfung multiplikativ (G,⋅) zu notieren statt additiv (G,+).
Aufgabe 7.1. Falls bei der Definition von φ der Fall n≤0 auftritt, wird die (-1) natürlich (-n)-mal aufaddiert, nicht n-mal.
Aufgabe 9.3.b. Zu zeigen ist, dass im(f) ein Unterraum von W ist, nicht von V.
Aufgabe 11.4.b. Man nehme in allen Teilaufgaben an, dass f:K[X]→K[X] die spezielle Abbildung f(p):=Xp ist.

Material für die Übungen: S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13