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Problemlösungsstrategien
Zeitraum:
19. Oktober 2010 bis 21. Dezember 2010 (2std.)
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Zeit und Ort der Veranstaltung:
Dienstags, 16:15-17:45 Uhr und 18:00-19:30 Uhr, P603
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Skriptum:
Das Skriptum mit den Aufgaben und Lösungen steht hier als pdf-Dokument zur Verfügung.
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Inhalt:
Diese zweistündige Veranstaltung richtet sich an Mathematik-Studenten im ersten Semester und setzt den Vorkurs Mathematik von Professor Junk und Professor Schnürer, der vom 11. bis zum 15. Oktober stattfindet, fort. Das Tutorium ist eine freiwillige Zusatzveranstaltung - die darin gewonnenen Kenntnisse werden in keiner Vorlesung vorausgesetzt und es werden auch keine Credits vergeben.
Ziel des Tutoriums ist es, den Einstieg ins Mathematik-Studium zu erleichtern, indem ohne jeden Zeitdruck einfache mathematische Fragestellungen in Gruppenarbeit erörtert werden. Dabei steht die Diskussion im Vordergrund, das Ergebnis selbst ist nicht so entscheidend.
In den ersten zwei bis drei Wochen geht es darum, einfache mathematische Behauptungen auf Grundlage gewisser Spielregeln, d.h. unter Verwendung von Axiomen und logischen Schlüssen, zu beweisen und einen solchen Beweis korrekt aufzuschreiben. Als roter Faden werden wir aus der axiomatischen Beschreibung der reellen Zahlen ℝ den Körper ℂ der komplexen Zahlen konstruieren. Dieser Teil der Veranstaltung dient dazu, das prinzipielle technische Vorgehen zu erlernen, das man auch zum Lösen der Übungsaufgaben zu den regulären Mathematikvorlesungen benötigt.
Anschließend stehen nicht-standardisierte Probleme auf dem Programm, d.h. wir befinden uns nicht mehr in der komfortablen Situation, aus gegebenen Aussagen mit Hilfe logischer Regeln neue zu beweisen, sondern sind mit "Alltagsproblemen" konfrontiert, die erst mathematisch formuliert werden müssen, bevor wir die Konzepte aus dem ersten Teil anwenden können, etwa:
Wir betrachten ein gewöhnliches, 8x8 Felder großes Schachbrett. Ein Spielzug besteht daraus, vier beliebige Felder auszuwählen und umzufärben, d.h. aus den schwarzen Feldern weiße zu machen und umgekehrt. Ist es möglich, dass nach endlich vielen Spielzügen genau ein Feld schwarz ist und alle anderen weiß sind?
Können wir die Frage positiv beantworten, dann sind wir in der angenehmen Situation, nur die erforderlichen Spielzüge angeben zu müssen. Andernfalls müssen wir schon trickreicher vorgehen, um nachzuweisen, dass keine Abfolge beliebig vieler Spielzüge zu dieser Endkonstellation führt - mit Probieren werden wir hier auf keinen grünen Zweig kommen.
Des Weiteren soll der Blick dafür geschult werden, Scheinargumente, die zwar zunächst plausibel klingen, aber tatsächlich in schwammigen oder mehrdeutigen Formulierungen getarnt die Gesetze der Logik verletzen, zu erkennen und präzise zu benennen, wo genau der Haken ist:
Drei Touristen mieten sich in einem Hotel ein Dreibettzimmer, für das sie zusammen dreißig Mark bezahlen. Kaum haben sie die Rezeption verlassen, da bemerkt der Portier, dass das Zimmer nur fünfundzwanzig Mark kostet. Um den Konflikt, fünf Mark auf drei Gäste aufteilen zu müssen, zu vermeiden, gibt er jedem der Touristen eine Mark zurück und behält die zwei restlichen als Trinkgeld. Die Touristen haben somit zusammen siebenundzwanzig Mark für das Zimmer bezahlt und zwei Mark hat der Portier, macht zusammen neunundzwanzig - wo ist aber die dreißigste Mark abgeblieben?
Einige der Aufgaben entstammen Sammlungen von Engel, Grinberg und Nowak sowie verschiedenen Landes- und Bundeswettbewerben der Mathematik.
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Material für die Übungen:
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