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Numerik partieller Differenzialgleichungen
Beginn:
7. Dezember 2011 (Vorlesung); 21. Dezember 2011 (Tutorium)
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Zeit und Ort der Übungen:
Freitags, 8:25 - 9:55 Uhr, Raum D436
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Übungstermine:
21.12./22.12.; 13.01.; 20.01.; 27.01.; 03.02; 10.02.
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Das erste Tutorium am 23. Dezember entfällt (Beginn der Weihnachtsferien). Wer kann, möge statt dessen in dieser Woche eine der anderen Übungsgruppen besuchen: Mittwoch, 21.12., 12:00-14:00 Uhr, F424 oder Donnerstag, 22.12., 14:00-16:00 Uhr, F423
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Homepage der Vorlesung:
www.math.uni-konstanz.de/numerik/personen/volkwein/teaching/
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Inhalt:
Diese zweistündigen Veranstaltung setzt die einführende Vorlesung Theorie partieller Differenzialgleichungen fort. Im Zentrum stehen zwei Methoden zur numerischen Behandlung linearer partieller Differenzialgleichungen: Die Finite Differenzen Methode (FDM) und die Finite Elemente Methode (FEM). Ziel beider Verfahren ist es, statt der Differenzialgleichung ein großes Gleichungssystem zu lösen, das möglichst gute Interpolationspunkte für die gesuchte Lösungsfunktion der Differenzialgleichung liefert. Dabei spielt auch die Kontrolle der auftretenden Approximationsfehler eine Rolle. Zentrale Eigenschaften sind hier Stabilität, Konvergenz und Konsistenz der gewählten numerischen Verfahren.
Bei der FDM wird das Gebiet, auf dem die Differenzialgleichung gelöst werden soll, durch ein endliches Gitter ersetzt, man spricht von einer Diskretisierung. Der Differenzialoperator wird durch Differenzenquotienten approximiert (daher der Name Finite Differenzen); zusammen mit den in den Gitterpunkten ausgewerteten Daten (Inhomogenität, Anfangs- und Randwerte) ergibt sich so ein lineares Gleichungssystem. Bei der FEM dagegen wird die Differenzialgleichung als Gleichung in einem unendlich dimensionalen Vektorraum aufgefasst und auf einen endlich dimensionalen Teilraum projeziert, der von gewissen Ansatzfunktionen (den Finiten Elementen) aufgespannt wird. Gesucht sind dann die Koeffizienten, die in Kombination mit den Ansatzfunktionen eine Approximation für die Projektion der gesuchte Lösungsfunktion auf den Teilraum liefern. Die Koeffizienten erfüllen dann wiederum ein großes System linearer Gleichungen.
Vorkenntnisse in den Bereichen Analysis, Lineare Algebra Theorie & Numerik gewöhnlicher Differenzialgleichungen und eine Einführung in die Programmiersprache Matlab werden vorausgesetzt.
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Material für die Übungen:
L
G
F
E1
E2
P1
E3
E4
P2
E5
E6
P3
P3.1
P3.2
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