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POD für linear-quadratische Optimalsteuerung
Zeit und Ort der Vorlesung:
Dienstag, 8:15-9:45 Uhr, Raum D404.
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Zeit und Ort der Übungen:
Montag, 15:15-16:45 Uhr, Raum wird noch bekannt gegeben.
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Erster Übungstermin:
09. November.
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Homepage der Vorlesung:
http://www.math.uni-konstanz.de/numerik/personen/volkwein/teaching/
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Inhalt:
Proper Orthogonal Decomposition (POD) ist eine Methode aus dem Bereich der Linearen Algebra, die es erlaubt, aus einem komplexen Datensatz redundante Informationen herauszufiltern und relevante Daten zu extrahieren. Grundlage des Verfahrens ist die Singulärwertzerlegung von Matrizen. Hier wird durch optimale Basiswahl mit wenigen Vektoren das Bild der Matrix approximiert; diese Basisvektoren heißen POD-Elemente. Auf diese Weise kann ein großes lineares Gleichungssystem näherungsweise gelöst werden, indem statt der Lösung selbst Koeffizienten bestimmt werden, deren Linearkombination mit den POD-Basiselementen dann die Lösung approximieren. Da diese Koeffizienten als Lösung eines kleinen linearen Gleichungssystems gegeben sind, spricht man in dem Kontext von einer Modellreduktion.
Effizient ist das Verfahren allerdings nur, wenn sich der Bildraum durch wenige Vektoren gut approximieren lässt. Häufig wird es auf dynamische Systeme wie partielle Differenzialgleichungen angewandt: Wird eine diskrete Lösung eines solchen Systems als Matrix aufgefasst, deren einzelne Spalten aus den Ortsauswertungen der Lösung zu einem fixen Zeitpunkt bestehen, dann entspricht die Modellreduktion mit POD dem Galerkin-Verfahren mit optimal gewählten Ansatzfunktionen - welche gerade die POD-Basiselemente sind. Die zeitabhängingen Koeffizienten, die man durch Lösen des reduzierten Problems erhält, bilden dann die Lösung der Finite-Elemente-Diskretisierung. Im Übrigen lässt sich Modellreduktion mittels POD auch direkt im Hilbertraumkontext, d.h. ohne vorherige Diskretisierung, anwenden.
Besonders nützlich ist POD bei restringierten Optimierungsproblemen, deren Nebenbedingungen durch Differenzialgleichungen gegeben sind. Wendet man einen iterativen Löser auf ein solches Problem an, dann müssen für jede Iteration Differenzialgleichungen ähnlichen Typs, die sich beispielsweise nur in der Inhomogenität oder den Randdaten unterscheiden, gelöst werden. Da solche Gleichungsklassen häufig eine ähnliche Dynamik aufweisen, ist es möglich, eine POD-Basis für eine spezielle Konfiguration zu berechnen und die Optimierung dann nur auf dem resultierenden reduzierten POD-Modell durchzuführen. Meist ist es allerdings erforderlich, die POD-Basis mehrmals mit aus den Lösungen des reduzierten Problems gewonnenen Informationen zu aktualisieren, da die POD-Methode nur dann ein gutes Modell liefert, wenn die Dynamik der optimalen Konfiguration in die Basisberechnung einfließt.
POD lässt sich auch einsetzen, um Bilddaten zu komprimieren. Zu vorgegebener Größe des transformierten Bildes werden dabei Interpolationselemente derart bestimmt, dass die Abweichung vom Original minimal wird. Anstelle der Farbdaten für die einzelnen Bildpunkte werden dann nur die POD-Basiselemente sowie die Koeffizienten der Bilddaten bezüglich dieser Basis gespeichert.
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Material für die Übungen:
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E6
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