Numerik und Theorie partieller Differentialgleichungen

• Kurzinformation: In dem ersten Teil der Vorlesung werden grundlegende Kenntnisse zu der Theorie partieller Differentialgleichungen vermittelt. Dieser Teil wird von Prof. Dr. Robert Denk vorgetragen. Der zweite Teil der Vorlesung wird von mir gelesen und startet Anfang Dezember 2015. Wir beschäftigen uns dann mit numerischen Lösungsverfahren für partielle Differentialgleichungen. Dabei werden neben Finite-Differenzen-Verfahren auch die Finite-Elemente-Methode besprochen. Es geht hierbei auch um die Realisierung der Verfahren am Rechner. Zu der Vorlesung werden Übungen angeboten, in denen es auch Programmierübungen geben wird.
• Vorkenntnisse: Analysis, Lineare Algebra, gewöhnliche Differentialgleichungen (z.B. Teil 1 von Analysis 3), Numerik 1 (bzw. irgendeine eine Einführung in die Numerische Mathematik), Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen.
• Übungen (für den Numerikteil): Es wird zu der Vorlesung eine zweistündige Übung angeboten, welches von Herrn Stefan Trenz betreut wird. Für eine erfolgreiche Teilnahme ist die Bearbeitung von theoretischen und Programmieraufgaben notwendig. Aktuelle Informationen finden Sie hier.
• Zeiten: Dienstag von 13:30 bis 15:15 Uhr und Donnerstag von 10:00 bis 11:30 Uhr
• Räume: Dienstag im G 300 und Donnerstag im R 512
• Bisher ausgehändigte Übungsblätter (Numerikteil erst ab Dezember 2015):
• 7. Übungsblatt (Abgabe am Dienstag, den 15.12.2015 in der Vorlesung)
• 8. Übungsblatt (Abgabe am Dienstag, den 22.12.2015 in der Vorlesung)
• 9. Übungsblatt (Abgabe am Dienstag, den 12.01.2016 in der Vorlesung)
• 10. Übungsblatt (Abgabe am Dienstag, den 19.01.2016 in der Vorlesung)
• 11. Übungsblatt (Abgabe am Dienstag, den 26.01.2016 in der Vorlesung)
• 12. Übungsblatt (Abgabe am Dienstag, den 02.02.2016 in der Vorlesung)
• Richtlinien und Programmierübungen (Numerikteil erst ab Dezember 2015):
• Literatur (für den Numerikteil):
  • Wolfgang Arendt und Karsten Urban: Partielle Differenzialgleichungen. Eine Einführung in analytische und numerische Methoden, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2010
  • Gerhard Dzuik: Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen, Walter de Gruyter, Berlin, 2010
• Rücksprache: Zur erfolgreichen Teilnahme an der Lehrveranstaltung ist - neben den Kriterien in den Übungen - eine erfolgreiche Absolvierung einer mündlichen Prüfung am Ende des Semesters erforderlich. Diese mündliche Prüfung dauert in etwa 20 Minuten und besteht jeweils zur Hälfte aus Fragen zum Theorie- und Numerikteil. Prüfer sind sowohl Herr Denk als auch Herr Volkwein. Ein erster Termin war am Dienstag, den 16. Februar 2016 ab 9:00 Uhr. Ein zweiter Termin wurde am Montag, den 4. April 2016 angeboten. Am Dienstag, den 19. April 2016 wird ein dritter Termin angeboten.

POD für linear-quadratische Optimalsteuerung

• Inhalt: Viele Vorgänge in den Naturwissenschaften, in den Ingenieurwissenschaften, aber auch in den Wirtschaftswissenschaften und in medizinischen Anwendungen lassen sich durch Systeme von partiellen Differentialgleichungen beschreiben. Diese Differentialgleichungssysteme sind in der Regel nichtlinear, gekoppelt und beinhalten oft sehr viele Parameter(-funktionen), die geeignet zu wählen sind, um zu garantieren, dass die realen Prozesse hinreichend genau nachgebildet werden. Da meistens nicht alle Parameter bekannt oder messbar sind, werden oft Methoden der Parameterschätzung eingesetzt. Diese Verfahren benötigen in der Regel viele Simulationen des gegebenen Differentialgleichungssystems. In anderen Anwendungen möchte man die Systeme partieller Differentialgleichungen durch eine Steuerung so beeinflussen, dass ein gewünschtes Verhalten erzeugt wird. Dieses führt auf ein sogenanntes Optimalsteuerungsproblem, das Lösen von nichtlinearen Optimierungsaufgaben erfordern, bei denen das Differentialgleichungssystem als Nebenbedingung auftritt. In der zweistündigen Vorlesung konzentrieren wir uns zur Vereinfachung der Darstellung auf linear-quadratische Optimalsteuerprobleme und diskutieren den Einsatz vonm Proper Orthogonal Decomposition (POD) zur Modellreduktion. POD ist die zur Zeit wohl am meisten verwendete Modellreduktionsmethode für zeitvariante oder nichtlineare Systeme, wobei sich die zugehörigen Basisfunktionen aus Lösungen des dynamischen Systems zu gewissen Zeitpunkten und/oder Parameterwerten ergeben. Diese Lösungen werden Snapshots genannt. Aufgrund der möglichen linearen (oder beinahe linearen) Abhängigkeit der Lösungen ist die Verwendung der Snapshots als Basisfunktionen eventuell ungeeignet. Aus diesem Grund wird eine Singulärwertzerlegung einer gewissen Korrelationsmatrix durchgeführt und die zugehörigen verallgemeinerten Eigenfunktionen werden als Basis verwendet. Diese Basis wird POD-Basis genannt.
• Übungen: Es wird zu der Vorlesung eine einstündige Übung angeboten, welches von Frau Sabrina Rogg und Herrn Martin Gubisch betreut wird. Für eine erfolgreiche Teilnahme ist die Bearbeitung von theoretischen und Programmieraufgaben notwendig.
• Zeit der Vorlesung: Dienstag, 8:15 bis 9:45 Uhr
• Raum der Vorlesung: D 404
• Zeit der Übung: Montag, 15:15 bis 16:45 Uhr
• Raum der Übung: F 420
• Das Skript zur Vorlesung finden Sie hier (Stand: 9. Februar 2016).
• Richtlinien zu den Übungen finden Sie hier.
• Bisher ausgehändigte Übungsblätter:
  • 1. Übungsblatt (Abgabe am Freitag, den 06.11.2015 um 10:00 Uhr im Büro G 413)
  • 2. Übungsblatt (Abgabe am Freitag, den 20.11.2015 um 10:00 Uhr im Büro G 413)
  • 3. Übungsblatt (Abgabe am Freitag, den 04.12.2015 um 10:00 Uhr im Büro G 413)
  • 4. Übungsblatt (Abgabe am Donnerstag, den 07.01.2016 um 10:00 Uhr im Büro G 413)
  • 5. Übungsblatt (Abgabe am Freitag, den 22.01.2016 um 10:00 Uhr im Büro G 413)
  • 6. Übungsblatt (Abgabe am Freitag, den 05.02.2016 um 10:00 Uhr im Büro G 413)
• Bisher ausgehändigte Programmierübungen:
  • 1. Programmierübung (Abgabe am Freitag, den 20.11.2015 um 10:00 Uhr im Büro G 413 bzw. per Email)
  • 2. Programmierübung (Abgabe am Freitag, den 07.01.2016 um 10:00 Uhr im Büro G 413 bzw. per Email)
  • 3. Programmierübung (Abgabe am Freitag, den 05.02.2016 um 10:00 Uhr im Büro G 413 bzw. per Email)

Seminar Advanced Topics in Optimization

Weitere Informationen

Forschungssemester im Sommersemester 2012