Extrema unter Nebenbedingungen

Beim Suchen nach Extrema einer Funktion \( f(x,y) \) unter der Nebenbedingung \( g(x,y)=0\) bildet man die Lagrange-Funktion \( L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)\) mit einem noch zu bestimmenden Parameter \( \lambda \) und hat anschließend eine Gleichung der Form \( \nabla f(x,y)+\lambda\nabla g(x,y)=(0,0)\) zu lösen. Wo kommt diese Gleichung her, die insbesondere \( \nabla f(x,y) \parallel \nabla g(x,y)\) impliziert ?

Wir wollen \(f(x,y)=x^2+2y^2\) extremieren unter der Nebenbedingung \( g(x,y)=x^2+0.5y^2-5.5x+y+6.5=0\). Die Niveaulinien von \(f\) sind schwarz und blau, und die Null-Niveaulinie von \(g\) ist rot.

Man ziehe den grünen Punkt auf der roten Ellipse entlang, bis ein größter bzw. ein kleinster Wert von \(f\) gefunden wurde. Wie liegen dann die rote und blaue Ellipse zueinander ? Welche geometrische Beziehung besteht zwischen Gradienten und Niveaulinien ?

Michael Dreher, 25 June 2013, Created with GeoGebra