Fourierreihe zu einer Dreiecksschwingung

Wir betrachten eine \( 2\pi \)-periodische Funktion, die auf dem Intervall \( [-\pi,\pi]\) durch die Gleichung \( y=|x|\) gegeben wird. Für ungerades \( n\) lautet die \( n\)-te Fouriernäherung \[ y_n(x)=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi} \left( \cos(x)+\frac{\cos(3x)}{3^2}+\frac{\cos(5x)}{5^2}+\ldots+ \frac{\cos(nx)}{n^2} \right). \] Anhand der Graphen beobachten wir eine schnelle Konvergenz der Folge der Fouriernäherungen mit steigendem \( n\). Dies erkennt man auch am schnellen Abklingen der Fourierkoeffizienten. Die Konvergenz ist gleichmäßig und außerhalb der Knicke schneller als in den Knicken der Dreiecksfunktion selbst.

Michael Dreher, 23 July 2013, Created with GeoGebra