Fourierreihe zu einer Rechteckschwingung

Wir betrachten eine Rechteckschwingung mit Periode \( 2\pi\) und Sprunghöhe \(2\pi\). Für ungerades \( n\) lautet die \( n \)-te Fouriernäherung \[ y_n(x)=4 \left(\sin(x)+\frac{\sin(3x)}{3}+\frac{\sin(5x)}{5}+\ldots+ \frac{\sin(nx)}{n}\right). \] Anhand der Graphen beobachten wir eine langsame Konvergenz der Fouriernäherungen mit wachsendem \( n\). Dies spiegelt sich im langsamen Abklingen der Fourierkoeffizienten wider. Die Ursache für die langsame Konvergenz (die übrigens punktweise, aber nicht gleichmäßig verläuft) sind die Sprungstellen der Rechteckfunktion. An den Sprungstellen haben die Fouriernäherungen ein Überschwingen von etwa 9 Prozent der Sprunghöhe, bekannt als Gibbs-Phänomen.

Michael Dreher, 23 July 2013, Created with GeoGebra