Seminar über partielle Differentialgleichungen

Das Seminar knüpft an die Vorlesung "Partielle Differentialgleichungen 1" an und richtet sich an Studenten der Fächer Mathematik und MFÖ im Hauptstudium. Ein Seminarschein kann erworben werden durch Halten eines Seminarvortrags und Anfertigen einer Ausarbeitung.

Liste der Vorträge in prognostizierter Reihenfolge

1. Oszillatorketten
   Für ein unendliches Differentialgleichungssystem der Form
   u_n''(t)=u_{n+1}(t)-2u_n(t)+u_{n-1}(t) mit n aus Z
   ist eine Lösungsformel gesucht. (Literatur kommt noch).
2. Monotoniemethoden
   Man vergleicht kompliziertere nichtlineare Differentialgleichungen mit einfacheren linearen Differentialgleichungen und kann mit etwas Glück die Lösung einschränken. Etwa Kapitel 10 in Ref. 4.
3. Regularität für nichtlineare elliptische Dgln. und die Moser-Iteration
   Siehe Lemma B.3 aus Ref. 5.
4. Abbildungsgrade
   
5. Der Brouwer-Fixpunktsatz
   Dient zur Vorbereitung des Vortrags über den Schauderschen Fixpunktsatz.
6. Entwicklung von Singularitäten
   Es soll gezeigt werden, daß (unter vernünftigen und realistischen Voraussetzungen) jede nichttriviale Lösung von
   u_{tt}-c^2(u_x)u_{xx}=0
   eine Singularität in endlicher Zeit hervorbringt. Etwa die Seiten 7-10 aus Ref. 2.
7. Lokale/globale Existenz für hyperbolische Probleme
   Für Gleichungen der Form
   u_{tt}=div(|grad u|^{q-1}grad u)+|u|^{p-1}u
   mit Anfangsbedingungen hängt die globale Existenz bzw. die Explosion der Lösung nach endlicher Zeit auf subtile Weise von p, q und den Anfangsdaten ab. Siehe Seiten 1-6 in Ref. 1.
8. Der Schauder-Fixpunktsatz und Anwendungen
   Der Schauder-FPS verhält sich zum Banach-FPS wie der Satz von Peano zum Satz von Picard--Lindelöf aus der Theorie gewöhnlicher Dgln. Es geht um Theorem 12.15 und System (12.14) in Ref. 4.
9. Der Satz von Cauchy-Kowalewskaja in Banachraumskalen
   Wenn man etwas mehr Abstraktion wagt, wird der Beweis des Satzes von Cauchy--Kowalewskaja deutlich einfacher. Siehe Abschnitt 17 aus Ref. 6.
10. Der abstrakte Satz von Holmgren
    Der Satz von Cauchy-Kowalewskaja liefert die Eindeutigkeit analytischer Lösungen. Das schließt nicht aus, daß noch eine weitere nicht-analytische Lösung existiert. Diese Lücke wird durch den Satz von Holmgren geschlossen bzw. erheblich verkleinert. Siehe Abschnitte 20 und 21 aus Ref. 6.

Allgemeine Empfehlungen

• Machen Sie sich so früh wie möglich mit der Thematik vertraut; und nehmen Sie Rücksprache bis etwa Anfang März, um das Thema einzugrenzen. Gerne auch per E-Mail.
• Zwei Wochen vor dem Vortrag sollte der Vortragstext im Wesentlichen fertig sein. Zu diesem Zeitpunkt sollten Sie schon einige Konsultationen wahrgenommen haben.
• Zum Vortragstermin ist eine Vortragsausarbeitung zu verteilen, idealerweise mit LaTeX erstellt.
• Proben Sie Ihren Vortrag ! Nicht zuletzt, um zu wissen, wie Sie mit der Vortragszeit (60 Minuten) zurechtkommen.
• Eine gegenseitige Evaluation Ihrer Vorträge ist geplant.

Literatur

1. V. Galaktionov und S. Pohozaev. Blow-up, critical exponents and asymptotic spectra for nonlinear hyperbolic equations, Preprint 00/10, University of Bath, May 2000
2. F. John. Nonlinear Wave Equations, Formation of Singularities, University lecture series, American Mathematical Society, Lehigh University, 1989
3. K. Rektorys. The method of discretization in time and partial differential equations, Reidel, 1982
4. J. Smoller. Shock waves and reaction-diffusion equations, Springer, 1994
5. M. Struwe. Variational methods --- applications to nonlinear partial differential equations and Hamiltonian systems, Springer, 1990
6. F. Treves. Basic Linear Partial Differential Equations, Academic Press, 1975
7. M. Dreher und Sh. Tang. Time history interfacial conditions ..., Preprint 2007, Uni Konstanz