Dynamische Systeme - Vorlesung mit Übungen

Zielgruppe

Diese Veranstaltung bietet sich für BA-Studierende mit Vertiefungsrichtung Analysis als Ergänzungsmodul an, parallel zur Vorlesung "Theorie und Numerik Partieller Differentialgleichungen". Sie kann aber auch im Master-Studium parallel zur Vorlesung "Partielle Differentialgleichungen II" gehört werden.

Zum Inhalt der Vorlesung

Vorkenntnisse: gewöhnliche Differentialgleichungen und etwas Kenntnisse zu partiellen Differentialgleichungen, die aber erst am Ende des Semesters benötigt werden.

Wir betrachten ein physikalisches (oder sonstiges) System, dessen Zustand zum Zeitpunkt t wir mit x(t) bezeichnen. Die Menge aller möglichen Zustände ist der Zustandsraum H. Typische Beispiele sind H = R^k oder H = L^2(R^d). Wir nehmen an, daß die zeitliche Entwicklung beschrieben werden kann in der Form einer gewöhnlichen (ggf. abstrakten) Differentialgleichung d_t x = A(t, x) und interessieren uns für das Langzeitverhalten von x(t). Insbesondere sind dabei folgende Phänomene denkbar:

Fixpunkte
periodische Bahnen
Grenzzyklen und Attraktoren

All diese besonderen Teilmengen des Zustandsraumes können anziehend oder abstoßend sein, also stabil/instabil. Es kann auch sein, daß die Stabilität eines Fixpunkts davon abhängt, aus welcher Richtung man sich nähert. In diesem Fall spricht man von stabilen bzw. instabilen Eigenräumen. Um zu versuchen, alle diese möglichen Fälle anhand des Operators A vorherzusagen, bringt man den Operator A durch geeignete Transformationen in H auf eine einfachere Form. Das führt uns auf die Theorie der Normalformen. Bei parameterabhängigen Operatoren A=A(t, x, μ) stellen sich zusätzlich noch Fragen zu Birfurkationen des Lösungsverhaltens. Als Spezialfall schauen wir uns in einem zweiten Teil der Vorlesung nichtlineare partielle Differentialgleichungen an, zum Beispiel die Korteweg-de Vries-Gleichung, nichtlineare Schrödingergleichungen oder die sin-Gordon-Gleichung. Teilweise handelt es sich dabei um integrable Systeme. Wir werden untersuchen, unter welchen Bedingungen spezielle Lösungen auftreten können, z.B. wandernde Wellen oder Solitonen.

Skript

Das Skript finden Sie hier.

Übungen

Der Umfang entspricht 5 ECTS.