Matthias Franz
Vorlesung Algebraische Topologie
Termine
Vorlesung: donnerstags, 18-20 Uhr s.t., D430
Übungen: montags, 16-18 Uhr, D436 (zweiwöchig)
Inhalt
Topologische Räume treten an unzähligen Stellen in
der Mathematik auf, so etwa algebraische Varietäten
in der Algebraischen Geometrie oder Mannigfaltigkeiten
in der Analysis und Differenzialgeometrie.
Die Algebraische Topologie hat eine Vielzahl Methoden
entwickelt, topologische Räumen dadurch zu studieren,
dass man ihnen algebraische Objekte zuordnet. Das ermöglicht
nicht nur ein besseres Verständnis dieser Räume, sondern kann
auch Beziehungen zu anderen Bereichen der Mathematik herstellen,
zum Beispiel zur Kombinatorik oder zur Darstellungstheorie.
Inhalt der Vorlesung ist eine Einführung in die Homologie-
und Kohomologietheorie, die einen der wichtigsten Bereiche der
Algebraischen Topologie darstellt. Ziel ist es, zu verstehen,
wie man zu jedem topologischen Raum einen (graduierten) Vektorraum
und eine (graduierte) Algebra konstruiert, und deren Eigenschaften
sowie Anwendungen wie Fixpunktsätze oder den Schinkenbrötchensatz
kennenzulernen.
Vorausgesetzt wird die Vertrautheit mit Grundbegriffen der
mengentheoretischen Topologie (stetig, kompakt, zusammenhängend
etc.), etwa im Umfang der ersten Hälfte von K. Bechers
Topologie-Vorlesung.
Übungen
Blatt 1
Blatt 2
Blatt 3
Blatt 4
Blatt 5
Zusammenfassung
Eine Inhaltsübersicht gibt es als PDF-Datei.
Literatur
Es gibt eine Vielzahl an Büchern über Algebraische Topologie.
Beispielhaft seien die folgenden genannt:
- R. Stöcker, H. Zieschang: Algebraische Topologie, Teubner 1994
- J. R. Munkres: Elements of algebraic topology, Addison-Wesley 1984
- W. S. Massey: A basic course in algebraic topology, Springer 1991
- W. S. Massey: Singular homology theory, Springer 1980
- M. J. Greenberg, J. R. Harper: Algebraic topology: a first course, Addison-Wesley 1981
- G. E. Bredon: Topology and geometry, Springer 1993
- W. Fulton: Algebraic topology: a first course, Springer 1995
Die beiden letztgenannten Bücher gehen insbesondere auf Anwendungen
der Algebraischen Topologie in anderen Bereichen der Mathematik ein.
Matthias Franz,
17. Juli 2008