\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[german]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{stmaryrd}
\usepackage[dvipsnames,svgnames,x11names]{xcolor}
\usepackage[left=2cm,right=3.5cm,top=0cm,bottom=2cm,includeheadfoot]{geometry}
\usepackage[markup=underlined]{changes}

\setlength{\parindent}{0em}

\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
\newcommand{\pow}[1]{\!\left[\!\left[#1\right]\!\right]}
\newcommand{\norm}[1]{\left\|#1\right\|}
\newcommand{\C}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{\R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{\Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Z}[0]{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{\F}[0]{\mathbb{F}}
\renewcommand{\epsilon}[0]{\varepsilon}

\def\K{\mathbb{K}}

\DeclareMathOperator{\id}{id}

%--------------------------------

%Für Tutoren: Hier können weitere Kommentarfarben festgelegt werden und Kürzel festgelegt werden.
\definechangesauthor[color=BrickRed]{Fehler}
\definechangesauthor[color=NavyBlue]{Komm.}

\usepackage{todonotes}
\setcommentmarkup{\todo[color={authorcolor!20},size=\scriptsize]{#3: #1}}

\newcommand{\note}[2][]{\added[#1,comment={#2}]{}}
\newcommand{\richtig}[0]{{\color{red}\checkmark\  }}
\newcommand{\punkte}[1]{\hfill {\color{red} #1}}
\newcommand{\rot}[1]{{\color{red} #1}}
\newcommand{\ungenau}[0]{\note[id=Fehler]{Zu ungenau!}}
\newcommand{\gut}[0]{\note[id=Komm.]{Gut!}}
\newcommand{\sehrgut}[0]{\note[id=Komm.]{Sehr gut!}}
\newcommand{\kommentarkurz}[1]{\note[id=Komm.]{#1}}
\newcommand{\kommentarlang}[2]{\added[id=Komm.,comment={#2}]{#1}}
\newcommand{\fehlerkurz}[1]{\note[id=Fehler]{#1}}
\newcommand{\fehlerlang}[2]{\added[id=Fehler,comment={#2}]{#1}}
\newcommand{\einschub}[1]{\todo[inline, inlinewidth=5cm, noinlinepar]{#1}}

\begin{document}

	

	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} O.\ Schnürer, L.\ S.\ Krapp\hfill Universität Konstanz\\ Sommersemester~2020\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Analysis II \\
		\normalsize Blatt 2\\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor(in):} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.5cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung dieses Übungsblatts werden alle Resultate bis einschließlich Korollar~4.32 vorausgesetzt. Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets hinreichend zu beweisen.\\

	\textbf{Aufgabe 2.1} (Differenzenquotienten) \hfill 	\textbf{[4 Punkte]}
	
	Sei $g\colon\R\to\R$ eine Abbildung. Definiere die Abbildung $f\colon\R\to\R$ durch $f(x)=x\cdot g(x)$.
	
	Unter welchen der jeweiligen Annahmen an $g$ ist $f$ im Punkt $0$ differenzierbar? 
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $g(0) = 0$ und $g$ ist beschr\"ankt.
		\item $g$ ist in $0$ stetig.
		\item $g$ ist in $0$ stetig und es gilt $g(0)=0$.
		\item $g(x) = o(1)$ f\"ur $x_0=0$.
		\item Es gibt ein $a>0$, sodass für alle $x\in \R$ gilt: $\vert g(x) \vert \leq \vert x \vert^a$.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.	
	
	\
	\\

	\textbf{Aufgabe 2.2} (Konvergenz gegen Tangente) \hfill 	\textbf{[1 + 2 + 1 Punkte]}
	
	Seien $f\colon \R\to \R$ und $x_0\in \R$. Definiere für $\lambda \in \R$ die Abbildungen $T,S_\lambda\colon \R^2\to\R^2$ durch
	$T((x,y)^t):=(x-x_0,y-f(x_0))^t$ und $S_\lambda((x,y)^t):=\lambda(x,y)^t$.
		
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Sei $\lambda >0$. Finden Sie eine Abbildung $h_\lambda\colon \R\to \R$, die $\mathrm{graph}\ h_\lambda = S_\lambda(T(\mathrm{graph}\ f))$ erfüllt.
		\item Sei $a\in \R$. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item $f$ ist in $x_0$ differenzierbar mit $a=f'(x_0)$.
			
			\item Für jede Menge $\Omega=[-k,k]$ mit $k\in \N$ konvergiert die Funktionenfolge $(g_n)_{n>0}$ gegeben durch $g_n=h_n|_\Omega$ gleichmäßig für $n\to \infty$ gegen das Geradenstück $g\colon \Omega\to \R, x\mapsto ax$.
		\end{enumerate}
		\item Seien $f(x)=x^2$, $x_0=1$ und $\Omega = [-2,2]$. Zeichnen Sie die Graphen von $g_1$, $g_2$, $g_3$ und $g$.
		
		\emph{(Sie können Ihre Zeichnung auch als separates Foto abgeben.)}
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\
	\\

	\textbf{Aufgabe 2.3} (Lineare Approximation) \hfill 	\textbf{[2 Punkte]}
	
	Seien $f\colon\R\to\R, x\mapsto -x^3+3x^2+2x-2$ und $x_0\in\R$. Finden Sie $a \in \R$ und $g(x)\in o(|x-x_0|)$ mit $f(x)=f(x_0)+a\cdot(x-x_0)+g(x)$.\\
	\
	\\
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.		
		


	\newpage
	\textbf{Aufgabe 2.4} (Mittelwertsatz) \hfill 	\textbf{[2 + 2 + 2 + 2* Punkte]}
	
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Sei $n\in\N\setminus\setbr{0}$ und sei $f\in C^1(\R,\R^n)$. Sei ferner $L\in \R_{\geq 0}$, sodass $\norm{f'(x)}\leq L$ für alle $x\in \R$. Zeigen Sie, dass $f$ lipschitzstetig mit Konstante $L$ ist, d.\,h.\ für alle $x,y\in \R$ gilt: $\norm{f(x)-f(y)}\leq L\cdot |{x-y}|$.
		
		\item Sei $g\colon \R\to\R$ eine differenzierbare Abbildung mit $g'(x)\geq 1$ für alle $x\in \R$. Zeigen Sie: $g(a)\geq g(0)+a$ für alle $a\in \R_{\geq 0}$.
		
		\item Sei $a\in \R_{>0}$ und sei $h\colon \R\to \R_{>0}$ eine differenzierbare Abbildung mit $h'(x)=a\cdot h(x)$ für alle $x\in \R$. Zeigen Sie, dass es ein $x_0\in \R$ gibt, sodass für alle $x>x_0$ gilt: $h(x)\geq x^2$.
		
		\item[(iv)*] Sei $n\in \N$. Zeigen Sie die Aussage in (iii) für $x^n$ anstelle von $x^2$.
		
		\emph{(Hinweis: Betrachten Sie zunächst die Funktion $e(x)=h(0)^{-1}h(a^{-1}x)$.)}
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.	




	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Donnerstag, 30.\ April 2020, 09:54 Uhr}, direkt an die Tutorin / den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
	

	
\end{document}