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\setlength{\parindent}{0em}

\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
\newcommand{\pow}[1]{\!\left[\!\left[#1\right]\!\right]}
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\renewcommand{\epsilon}[0]{\varepsilon}

\let\phi\varphi

\def\K{\mathbb{K}}

\DeclareMathOperator{\id}{id}

%--------------------------------

%Für Tutoren: Hier können weitere Kommentarfarben festgelegt werden und Kürzel festgelegt werden.
\definechangesauthor[color=BrickRed]{Fehler}
\definechangesauthor[color=NavyBlue]{Komm.}

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\begin{document}

	

	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} O.\ Schnürer, L.\ S.\ Krapp\hfill Universität Konstanz\\ Sommersemester~2020\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Analysis II \\
		\normalsize Blatt 8\\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor(in):} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung dieses Übungsblatts werden alle Resultate bis einschließlich Definition~5.71 vorausgesetzt. Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\
	
	\textbf{Aufgabe 8.1} (Interpolationsungleichung) \hfill 	\textbf{[4 Punkte]}
	
				
		Sei $\varphi\in C^2(\R)$ eine beschränkte Funktion mit beschränkter zweiter Ableitung. Zeigen Sie, dass\vspace{-1mm}
		$$\norm{\varphi'}_{L^\infty}^2\leq 4\norm{\varphi''}_{L^\infty}\norm{\varphi}_{L^\infty}\vspace{-2mm}$$
		gilt.
		
		\
		
		\emph{(Hinweis: Betrachten Sie zunächst den Fall $\varphi \geq 0$ und wenden Sie Lemma~4.100 auf $\varphi(x+t)$ an.)}
		
	\
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.	
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 8.2} ($L^p$-Norm II) \hfill 	\textbf{[2 + 2 + 2* +  2* + 2* Punkte]}
	
	Seien $a,b\in \R$ mit $a<b$ und sei $p\in [1,\infty)$.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item 	 Sei $f\in R([a,b],\R)$. Zeigen Sie:
		\begin{enumerate}[(i)]
		\item Für alle $\varepsilon >0$ gibt es eine Treppenfunktion $T\colon [a,b]\to \R$, die\vspace{-2mm}
		\[
		\norm{f-T}_{L^p} < \epsilon\vspace{-3mm}
		\]
		erf\"ullt.
		\item Für alle $\varepsilon >0$ gibt es eine stetige Funktion $g\colon [a,b]\to \R$, die\vspace{-2mm}
		\[
		\norm{f-g}_{L^p} < \epsilon\vspace{-3mm}
		\]
		erf\"ullt.
		\item[(iii)*] Für alle $\epsilon>0$ gibt es ein $h\in C^\infty_c((a,b))$, am Rand durch Null fortgesetzt, das \vspace{-2mm}
		\[
		\norm{f-h}_{L^p} < \epsilon\vspace{-3mm}
		\]
		erf\"ullt.

		\emph{(Dies bedeutet, dass die glatten Funktionen mit kompaktem Tr\"ager bez\"uglich der $L^p$-Norm dicht im Raum $L^p([a,b])$ der Riemann integrierbaren Funktionen mit endlicher $L^p$-Norm liegen.)}
		\end{enumerate}
	
		\item Sei $q \in [1,\infty]$ mit $q\neq p$. Zeigen Sie:
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item[(i)*] Es gibt ein $c \in \R_{>0}$, sodass für alle $f\in R([a,b],\R)$ je eine der Ungleichungen
			$$\norm{f}_{L^p}\leq c\norm{f}_{L^q} \text{\ \  und\ \  } \norm{f}_{L^q}\leq c \norm{f}_{L^p}\vspace{-1mm}$$
			erfüllt ist.
			\item[(ii)*] Die Normen $\norm{.}_{L^p}$ und $\norm{.}_{L^q}$ sind auf $R([a,b],\R)$ nicht äquivalent.
		\end{enumerate}

		
	\end{enumerate}
	
	\
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.	
	
	\newpage
	
		\textbf{Aufgabe 8.3} (Glättungskern) \hfill 	\textbf{[4 Punkte]}
	
	Eine Funktion $\eta\in C^{\infty}(\R,\R_{\geq 0})$ heißt \emph{Glättungskern}, falls \vspace{-2mm} $$\mathrm{supp}\ \eta \subset [-1,1]\text{\ \ \  und\ \  }\int_{-1}^1 \eta =1\vspace{-4mm}$$ gelten. 
	
	Sei \vspace{-4mm} $$g\colon \R \to \R, \quad x\mapsto \begin{cases}
	\exp\!\brackets{\frac{1}{x^2-1}},&\text{ falls } |x|<1\\
	0,& \text{ falls } |x|\geq 1.
	\end{cases}\vspace{-2mm}$$
	Zeigen Sie:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Für jedes $n\in \N$ existiert $p_n(x)\in P(\R)$ (also ein Polynom mit reellen Koeffizienten), sodass\vspace{-2mm}
		$$g^{(n)}(a)=\frac{p_n(a)}{(a^2-1)^{2n}}\cdot g(a)\vspace{-3mm}$$
		für alle $a \in (-1,1)$ gilt.
		\item Die Funktion $g$ ist unendlich oft differenzierbar.
		
		\emph{(Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass $g^{(n)}(1)=g^{(n)}(-1)=0$ für alle $n\in \N$ gilt, und überlegen Sie sich vorab, welche Teilschritte Sie zeigen müssen, um $g \in C^\infty(\R)$ folgern zu können.)}
		\item Es gibt ein $c\in (1,4)$, sodass
		$j\colon \R\to \R,  x\mapsto cg(x)$ einen Glättungskern bildet.
	\end{enumerate}
	
	
	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 8.4} (Glättung) \hfill 	\textbf{[2 + 2 + 1* + 1* + 1* + 2* Punkte]}
	
	Sei $\eta$ ein Glättungskern. Seien ferner $a,b\in \R$ mit $a<b$ und sei $f\in R([a,b],\R)$. Für $\varepsilon > 0 $ definieren wir für alle $x\in \R$\vspace{-2mm}
		$$\eta_\epsilon(x) :=\epsilon^{-1}\eta\brackets{\tfrac x\epsilon}\text{\ \ \ und \ \ } f_\varepsilon(x):=\int_a^b\eta_\epsilon (x-t)f(t)\,dt.\vspace{-1mm}$$
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item Zeigen Sie, dass $f_\epsilon$ unendlich oft differenzierbar ist.
			
			\item Sei $f$ in $x_0 \in(a,b)$ stetig. Zeigen Sie, dass $\underset{{\varepsilon \to 0}}{\lim}\ f_\varepsilon(x_0)=f(x_0)$ gilt.
			
			\item \hspace{-3.1mm}
			*\hspace{-0.5mm} Sei $f\in R([a,b],\R)$ nun zus\"atzlich stetig. Zeigen Sie, dass f\"ur alle $\Omega\Subset(a,b)$ 
			die gleichm\"a\ss{}ige Konvergenz $\Vert f_\epsilon-f\Vert_{C^0(\Omega)}\to0$ f\"ur $\epsilon\to0$ gilt. 
			
			\item \hspace{-3.5mm}
			*\hspace{-0.5mm} Sei $f\in R([a,b],\R)\cap C^1((a,b))$. Zeigen Sie f\"ur $x\in(a,b)$ und $0<\epsilon<\mathrm{dist}(x,\{a,b\})$, dass $(f')_\epsilon(x) =(f_\epsilon)'(x)$ gilt. 
			
			\item \hspace{-3.5mm}
			*\hspace{-0.5mm} Folgern Sie, dass f\"ur $f\in R([a,b],\R)\cap C^k([a,b])$, $k\in\N$, und $\Omega\Subset(a,b)$ die Konvergenz $\Vert f_\epsilon-f\Vert_{C^k(\Omega)}\to0$ f\"ur $\epsilon\to0$ richtig ist. 
			
			\item \hspace{-3.5mm}
			*\hspace{-0.5mm} Sei $f\in C^0(\R)$ mit $f(x)\to0$ f\"ur $x\to\pm\infty$. Zeigen Sie, dass $f_\epsilon\rightrightarrows0$ f\"ur $\epsilon\to\infty$ gilt. 
			%
			%\item \hspace{-3.5mm}
			%*\hspace{-0.5mm}
			%Sei $\eta$ der Glättungskern $j$ aus Aufgabe~8.3 und sei \vspace{-3mm}
			%$$f \colon [-2,2]\to \R, x\mapsto \int_{-2}^x T(x)\,dx,\vspace{-2mm}$$
			%wobei\vspace{-2mm} $$T=\sum_{k=-2}^1 (-1)^k \cdot k \cdot \chi_{[k,k+1)}.\vspace{-2mm}$$
			%Zeichnen Sie $f$, $f_1$, $f_{\tfrac12}$ und $f_{\tfrac 14}$.
		\end{enumerate}
	
		
			


	
	\textbf{Lösung:} %Hier die eigene Lösung eintragen.

	\

	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Freitag, 12.\ Juni 2020, 09:54 Uhr}, direkt an die Tutorin / den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
	

	
\end{document}