Torische Varietäten

Vorlesung mit Übung (3+1 Stunden)

Daniel Plaumann

Inhalt

Torische Varietäten sind eine spezielle Klasse von algebraischen Varietäten (=Lösungsmengen von Polynomgleichungssystemen). Sie sind charakterisiert durch die Operation eines algebraischen Torus mit einer dichten Bahn. Trotz der abstrakt wirkenden Definition erlauben sie eine sehr explizite kombinatorische Beschreibung.
Die meisten Konzepte der algebraischen Geometrie sind für torische Varietäten einerseits nicht trivial andererseits aber viel konkreter beschreibbar als im allgemeinen Fall. (Etwa projektives vs. affines Bild, Konstruktion von Varietäten durch Verklebung, Divisoren, Garben und Vektorbündel, schließlich Auflösung von Singularitäten, Garbencohomologie, etc.) Sie sind deshalb auch als Quelle von Beispielen und als Testfeld für neue Fragen in der algebraischen Geometrie sehr beliebt.

Die Vorlesung wird dem ausgezeichneten neuen Buch von Cox, Little und Schenck folgen (s.u.).
Ziel für alle Teilnehmer sollte es sein, mit den Grundbegriffen der Theorie gründlich vertraut zu werden und eigenständig mit torischen Varietäten zu arbeiten.

Skript

Als Ergänzung zum Buch von Cox, Little, Schenck: Endfassung

Übungsaufgaben

Blatt 1 - Besprechung am 8.11.
Blatt 2 - Besprechung am 15.11.
Blatt 3 - Besprechung am 22.11.
Blatt 4
Blatt 5 - Besprechung am 6.12.
Blatt 6 - Besprechung am 20.12.
Blatt 7 - Besprechung am 17.1.
Blatt 8 - Besprechung am 24.1.
Blatt 9 - Besprechung am 31.1.
Blatt 10 - Besprechung am 7.2.

Zielgruppe

Die Vorlesung richtet sich an Studierende ab dem dritten Studienjahr. Grundkenntnisse in algebraischer Geometrie (etwa im Umfang der üblichen einsemestrigen Vorlesung) sind sehr hilfreich, aber, bei entsprechender Motivation, nicht zwingend erforderlich.

Studiengänge

Master (Wahl- oder Spezialisierungsmodul), Lehramt (Übungsschein), Diplom (Übungsschein)
ECTS Credits: 6

Termin und Raum

Dienstags 15:15 - 16:45 Uhr in D404 und
Donnerstags 13:30 - 15:00 Uhr in D436

Sprache

Deutsch, Englisch

Literatur

D.A. Cox, J.B. Little, H.K. Schenck: Toric Varieties. Graduate Studies in Mathematics, Vol. 124, American Mathematical Society (2011)
W. Fulton: Introduction to Toric Varieties. Annals of Mathematics Studies 131, Princeton University Press (1993)
T. Oda: Convex Bodies and Algebraic Geometry: An Introduction to the Theory of Toric Varieties. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 3. Folge, Band 15, Springer (1988)

zuletzt geändert am 17. Februar 2012