Vorlesung Algorithmische algebraische Geometrie (B5), WS 2014/15
- Zeit und Ort:
Dienstag 11.45-13.15 (D406), Donnerstag 10.00-11.30 (F426)
- Beginn der Vorlesung: Dienstag, 21. Oktober 2014
- Zwei Übungsgruppen: Do 13.30-15.00 (D436, Scheiderer), Fr 11.45-13.15 (D404, Wenzel)
Gruppeneinteilung
- Beginn der Übungen ab 30. Oktober
- 9 ECTS-Punkte
- Verwendbarkeit: Vertiefungsmodul (Bachelor), Wahlmodul (Master, GymPO1)
- Klausur: Dienstag 24. Februar 2015,
9.30-11.30 Uhr, Raum G309;
Klausurergebnisse
- Eventuell nötige Wiederholungsprüfungen werden mündlich
abgenommen
Inhalt der Vorlesung
Die Vorlesung gibt eine Einführung in die Grundlagen der kommutativen
Algebra und algebraischen Geometrie, also in die algebraischen und
geometrischen Aspekte von polynomialen Gleichungssystemen. Algorithmen,
die auf die 1960er Jahre zurückgehen, erlauben es, solche Systeme in
effektiver Weise zu lösen. Diese Methoden haben inzwischen eine große
Bedeutung in Forschung und Anwendungen. Deshalb werden algorithmische
Fragen eine wichtige Rolle in der Vorlesung spielen. Für konkrete
Anwendungen wird mit dem Softwarepaket SINGULAR gearbeitet. Es ist frei
erhältlich unter
http://www.singular.uni-kl.de.
Die wichtigsten Themen der Vorlesung sind affine und projektive algebraische
Varietäten, rationale Abbildungen und Funktionenkörper, Dimension
von Varietäten sowie eine Einführung in Gröbnerbasen.
Voraussetzung für das Verständnis des Kurses sind die
Grundvorlesungen in Algebra einschließlich B3. Insbesondere wird
Vertrautheit mit den Grundbegriffen von kommutativen Ringen und Idealen
erwartet (Summe, Durchschnitt, Produkt von Idealen, Quotientenringe,
Primideale und maximale Ideale, Ringe von Brüchen). Vorausgesetzt
werden auch die grundlegenden Eigenschaften von noetherschen Ringen
einschließlich Hilbertscher Basissatz, sowie der Begriff des ganzen
Abschlusses. Diese Themen werden in der Vorlesung Zahlentheorie (B4)
behandelt. Davon abgesehen ist die Kenntnis des Stoffes von B4 für die
jetzige Vorlesung zwar teilweise hilfreich, aber nicht zwingend notwendig.
Die nötigen
Vorkenntnisse
aus der kommutativen Algebra kann man hier in kompakter Form
herunterladen. Die nötigen
Grundkenntnisse aus der Topologie dürften weitgehend aus der
Analysis bekannt sein.
Falls es Probleme mit der Installation von SINGULAR gibt, siehe
hier
für einige Hinweise zur Installation und für mögliche
Alternativen.
Die
Übungsblätter zur Vorlesung gibt es
hier.
Literaturempfehlungen
Algebraische Geometrie:
- D. Cox, J. Little, D. O'Shea: Ideals, Varieties, and
Algorithms. Springer, 1996.
- E. Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie.
Vieweg, 1997.
- J. Harris: Algebraic Geometry: A First Course. Springer
GTM 133, 1992.
Kommutative Algebra:
- M. Atiyah, B. I. Macdonald: Introduction to Commutative
Algebra. Addison-Wesley, 1969.
- D. Eisenbud: Commutative Algebra. With a View Toward
Algebraic Geometry. Springer GTM 150, 1999.
SINGULAR:
- G.-M. Greuel, G. Pfister: A Singular Introduction to
Commutative Algebra. Springer, 2002.
-
Online Manual SINGULAR
Weiterführende Literatur:
- D. Cox, J. Little, D. O'Shea: Using Algebraic Geometry.
Springer GTM 185, 1998.
- I. R. Shafarevich: Basic Algebraic Geometry I, II.
Springer 1994.
- R. Hartshorne: Algebraic Geometry. Springer GTM 52,
1977.
- U. Görtz, T. Wedhorn: Algebraic Geometry I.
Vieweg+Teubner, 2010.
