% 
% Algebraische Topologie 
% Oliver Schn\"urer
% FU Berlin, Sommer 2007
%
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\hyphenation{Du-al-raum Nor-men Gleich-heit Kom-pakt-heits-satz 
  Viel-fach-heit Funk-tion Funk-tion-en}

\begin{document}
\title{Algebraische Topologie}

%    Information for first author
\author{Oliver C. Schn\"urer}
%    Address of record for the research reported here
\address{Oliver C. Schn\"urer, Freie Universit\"at Berlin,
   Arnimallee 6, 14195 Berlin, Germany}
%    Current address
\curraddr{}
\def\fuaddress{@math.fu-berlin.de}
\email{Oliver.Schnuerer\fuaddress}
%    \thanks will become a 1st page footnote.
\thanks{}

%    General info
\subjclass[2000]{55-01}
% 55-xx Algebraic topology
% 55-01 Instructional exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) 

%\date{Oktober 2006-\today.}

\dedicatory{}

\keywords{}

\begin{abstract}
  Bei diesem Manuskript handelt es sich um Notizen zu einer Vorlesung
  Algebraische Topologie an der 
  \begin{itemize}
  \item Freien Universit\"at Berlin im Sommersemester 2007 und an der 
  \item Universit\"at Konstanz im Sommersemester 2011.
  \end{itemize}
  Wir folgen insbesondere \cite{Hatcher}. Vielen Dank an Arno Fehm,
  Felix Jachan und Ananda Lahiri f\"ur zahlreiche Korrekturen.
\end{abstract}

\maketitle

\tableofcontents

% Spezielle Kopfzeilen
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      \MakeUppercase{\abschnitt}}}}
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%\mainmatter
\addtocounter{section}{-1}
\Section{Ziele der Algebraischen Topologie}
\begin{itemize}
\item Wie kann man topologischen R\"aumen oder einer Klasse von
topologischen R\"aumen algebraische Objekte, beispielsweise Gruppen, 
  zuordnen, die es erlauben, R\"aume zu unterscheiden. Wunsch: Finde 
  eine Zuordnung
$$\fbox{\text{topologische
    R\"aume}}\longrightarrow\fbox{\text{Gruppen}},$$
die es erlaubt, topologisch unterschiedliche R\"aume zu unterscheiden,
aber auf h\"omoomorphen R\"aumen dasselbe Ergebnis liefert. 
Diese Zuordnung sollte effizient berechenbar sein und f\"ur nicht zu
komplizierte topologische R\"aume ebensolche Gruppen liefern. 
\item Wir haben mit Hilfe der Fundamentalgruppe R\"aume und Wege
  unterscheiden k\"onnen, beispielsweise Wege in
  $\R^2\setminus\{p,q\}$ oder kombinatorische Graphen. 
\item Zweidimensionale kompakte Fl\"achen konnten
  wir mit Hilfe der Fundamentalgruppe sogar klassifizieren, \dh wir
  konnten Modellfl\"achen angeben und mit Hilfe ihrer
  Fundamentalgruppen untersuchen, so dass jede solche Fl\"ache zu
  einer dieser Modellfl\"achen hom\"oomorph ist. 
\item Die Dimension eines Raumes (bei der der Zielraum keine Gruppe
  ist) erlaubt es, R\"aume zu unterscheiden. Aus der Analysis ist
  bekannt, dass offene Teilmengen des $\R^n$ und des $\R^m$ nur f\"ur
  $m=n$ diffeomorph sind. Wir werden sehen, dass dies auch f\"ur
  Hom\"oomorphismen richtig ist. 
\item Wir werden Existenzs\"atze beweisen, beispielsweise, dass jede
  stetige Selbstabbildung von $\ol{B_1(0)}\subset\R^n$ einen Fixpunkt
  besitzt. 
\item In der Variationsrechnung ist es h\"aufig n\"utzlich, Minima in
  einer Homotopieklasse zu suchen, wenn globale Minima trivial sind,
  beispielsweise bei geschlossenen Kurven in einer Mannigfaltigkeit,
  wenn wir das L\"angenfunktional minimieren. 
\item Klassifiziere alle geschlossenen dreidimensionalen
  Mannigfaltigkeiten (Thurston).
\item Eine geschlossene dreidimensionale Mannigfaltigkeit $M$ mit
  $\pi_1(M)\cong\{0\}$ ist hom\"oomorph zu $\S^3$ (Poincar\'e,
  Hamilton, Perelman).
\item \ldots
\end{itemize}

\Section{Motivation Homologie}
Wir haben gesehen (Topologie Vorlesung), dass die Fundamentalgruppe es
erlaubt, topologische R\"aume \glqq niederer Dimension\grqq{} zu
unterscheiden. Allerdings h\"angt die Fundamentalgruppe eines
CW-Komplexes nur von seinem $2$-Skelett ab. Als h\"oherdimensionale
Verallgemeinerung der Fundamentalgruppe $\pi_1(X)$, bei der
Abbildungen $\S^1\to X$ betrachtet werden, kann man h\"ohere
Homotopiegruppen $\pi_k(X)$, bei denen man Homotopieklassen von
Abbildungen $\S^k\to X$ betrachtet, berechnen. Diese erm\"oglichen es
beispielsweise, Sph\"aren unterschiedlicher Dimension zu
unterscheiden, sind aber im allgemeinen kompliziert zu berechnen. 

Homologiegruppen erlauben es ebenfalls, beispielsweise Sph\"aren
unterschiedlicher Dimension zu unterscheiden, sind aber im allgemeinen
einfacher als Homotopiegruppen zu berechnen. 

\Subsection{Beispiele}
Sei $X_1$ ein Graph, der aus zwei Ecken $x$ und $y$ und vier
gerichteten Kanten $a$, $b$, $c$ und $d$ besteht, die jeweils von $x$
nach $y$ laufen. Dann ist $\pi_1(X_1)\cong\Z*\Z*\Z$. Wir machen nun
$\pi_1(X_1)$ k\"unstlich abelsch. Damit werden $ab^{-1}$ und $b^{-1}a$
gleich. W\"ahrend $ab^{-1}$ ein Weg von $x$ nach $x$ ist, ist
$b^{-1}a$ ein Weg von $y$ nach $y$. Wege bei denen Anfangs- und
Endpunkt festgelegt sind, werden also zu geschlossenen Wegen mit
beliebigen Anfangs- und Endpunkten, zu \emph{Zykeln}.

Wir schreiben die erhaltene Gruppe nun additiv, also beispielsweise
$a-b+c-d$. Wir nennen dies \emph{Ketten} von Kanten. Manchmal gibt es
mehrere Zerlegungen in geschlossene Wege, z.\,B.{} gilt
$(a-c)+(b-d)=(a-d)+(b-c)$. Diese unterscheiden wir nicht. Wir nennen
nun allgemeiner einen Zykel eine Summe von Kanten, f\"ur die es
mindestens eine solche Zerlegung in geschlossene Wege gibt. 

Eine Kette $ka+lb+mc+nd$ mit $k$, $l$, $m$, $n\in\Z$ ist genau dann
ein Zykel, falls jede Ecke genau so oft betreten wie verlassen wird
(Kleine \"Ubung). In unserem Fall ist die Anzahl, wie oft $y$ betreten
(positiv gez\"ahlt) und verlassen (negativ ge\"ahlt) wird, gerade
$k+l+m+n$. F\"ur $x$ erhalten wir entsprechend $-k-l-m-n$. Somit ist 
$ka+lb+mc+nd$ genau dann ein Zykel, falls $k+l+m+n=0$ gilt. 

Sei nun etwas allgemeiner $C_1$ die freie abelsche Gruppe, die von den
Kanten $a$, $b$, $c$, $d$ erzeugt wird und $C_0$ die freie abelsche
Gruppe, die von den Ecken $x$ und $y$ erzeugt wird. Elemente von $C_1$
sind dann Ketten von Kanten oder $1$-dimensionale Ketten und Elemente
von $C_0$ sind Ketten von Punkten oder $0$-dimensionale Ketten. Wir
definieren nun einen Homomorphismus $\partial:C_1\to C_0$, indem wir
jede der vier Kanten $a$, $b$, $c$, $d$ in unserem Beispiel auf $y-x$
abbilden, also auf den Endpunkt des Weges minus den Anfangspunkt des
Weges. Daher gilt 
$$\partial(ka+lb+mc+nd)=(k+l+m+n)y-(k+l+m+n)x$$ 
und somit sind die Zykel gerade die Elemente in $\ker\partial$. Man
\"uberlegt sich, dass $a-b$, $b-c$ und $c-d$ eine Basis f\"ur den Kern
von $\partial$ bilden. Somit ist jeder Zykel in $X_1$ eine
Linearkombination von diesen drei Zykeln. Diese Zykel entsprechen
gerade den drei \glqq L\"ochern\grqq{} in $X_1$. 

Kleben wir nun entlang $a-b$ eine $2$-Zelle $A$ ein, so erhalten wir
einen neuen Komplex: $X_2$. Ist $A$ geeignet orientiert, so ist $a-b$
gerade der Rand der $2$-Zelle $A$. Damit wird $a-b$ zusammenziehbar,
also homotop trivial. Dies legt es nahe, aus der Gruppe der Zykel
f\"ur $X_1$ die von $a-b$ erzeugte Untergruppe
herauszudividieren. Damit werden in dieser neuen Gruppe insbesondere
$a-c$ und $b-c$ gleich, was der Tatsache entspricht, dass sie in $X_2$
homotop zueinander sind. 

Sei nun $C_2$ die unendliche zyklische von $A$ erzeugte Gruppe. Wir
definieren $\partial_2:C_2\to C_1$ durch $\partial_2(A)=a-b$. Den
Gruppenhomomorphismus, der hier $\partial$ im Beispiel $X_1$
entspricht, wollen wir mit $\partial_1:C_1\to C_0$ bezeichnen. Wir
erhalten ein Paar von Homomorphismen
$$\xymatrix@1{C_2\ar[r]^{\partial_2}&C_1\ar[r]^{\partial_1}&C_0}.$$
Wir interessieren uns nun f\"ur $\ker\partial_1/\im\partial_2$, also
f\"ur die $1$-dimensionalen Zykel modulo der Zykel, die R\"ander von
$2$-Zellen sind. Dies ist die \emph{Homologiegruppe} $H_1(X_2)$. 

Wir k\"onnen nun weiter h\"oherdimensionale Zellen in $X_2$
hineinkleben und $\partial_i$ entsprechende Randoperatoren
definieren. Dies funktioniert wie folgt.

Zu einem Zellkomplex $X$ definieren wir Kettengruppen $C_n(X)$ als
freie abelsche Gruppen, die von den $n$-Zellen von $X$ als Basis
erzeugt werden. Wir definieren geeignete Randabbildungen
$\partial_n:C_n(X)\to C_{n-1}(X)$ und erhalten Homologiegruppen
$H_n(X)=\ker\partial_n/\im\partial_{n+1}$. Insbesondere sind also die
Randabbildungen $\partial_n$ noch geeignet zu definieren.

Wir werden im Folgenden Homologie zun\"achst f\"ur Komplexe und danach
f\"ur allgemeine topologische R\"aume definieren. Simpliziale und
Singul\"are Homologie wurden von Eilenberg und Zilber um 1944/1950
herum eingef\"uhrt. 

\Section{Simpliziale Homologie}
\Subsection{$\Delta$-Komplexe}
Hierf\"ur und f\"ur sehr \"ahnliche Konstruktionen gibt es in der
Literatur unterschiedliche Bezeichnungen, z.\,B.{} (semi-)simpliziale
Komplexe.

Wir haben gesehen (Topologie Vorlesung), dass wir geschlossene
orientierbare Fl\"achen (bis auf Hom\"oomorphismen) erhalten, indem
wir Kanten an Dreiecken identifizieren. Dies wird hier nun
verallgemeinert.

\begin{definition}[Simplex]
  Seien $v_0,\,\ldots,\,v_n$ Punkte in $\R^m$, die nicht in einer
  affinen Ebene mit Dimension $<n$ liegen, d.\,h.{} die Vektoren
  $v_1-v_0,\,\ldots,\,v_n-v_0$ sollen linear unabh\"angig sein. Dann
  ist die konvexe H\"ulle dieser Punkte, $[v_0,\,\ldots,\,v_n]$, ein
  \emph{$n$-Simplex} und $v_i$ sind die Ecken des Simplexes. Das
  \emph{Standard $n$-Simplex} ist gegeben durch
$$\Delta^n=\left\{(t_0,\,\ldots,\,t_n)\in\R^{n+1}:
  \sum\limits_{i=1}^nt_i=1\text{ und }t_i\ge0 \text{ f\"ur alle
  }i\right\}.$$
\par
Wir unterscheiden Simplizes je nach Reihenfolge der Ecken.
\par
Wir erhalten einen kanonischen linearen Homomorphismus
  \begin{align*}
    \Delta^n\to&\,[v_0,\,\ldots,\,v_n],\\
    (t_0,\,\ldots,\,t_n)\mapsto&\,\sum\limits_{i=0}^nt_iv_i.
  \end{align*}
  Die Koeffizienten $t_i$ hei\ss{}en \emph{baryzentrische Koordinaten}
  des Punktes $$\sum\limits_{i=0}^nt_iv_i\in[v_0,\,\ldots,\,v_n].$$
\par  
Lassen wir eine der $(n+1)$ Ecken eines $n$-Simplexes
$[v_0,\,\ldots,\,v_n]$ weg, so erzeugen die restlichen $n$ Ecken ein
$(n-1)$-Simplex, eine \emph{Seite} von $[v_0,\,\ldots,\,v_n]$. Wir
wollen dabei die Ecken in der Seite eines Simplexes immer so anordnen,
wie sie im Simplex angeordnet waren. Wir schreiben f\"ur die Seite,
die wir erhalten, wenn wir die Ecke $v_i$ weglassen, 
$[v_0,\,\ldots,\,\hat v_i,\,\ldots,\,v_n]$ oder
$[v_0,\,\ldots,\,v_{n-1},\,v_{n+1},\,\ldots,\,v_n]$. 
\par 
Die Vereinigung aller Seiten eines Simplexes $\Delta^n$ hei\ss{}t
\emph{Rand} von $\Delta^n$, wir schreiben $\partial\Delta^n$.
Das offene Simplex $\dot\Delta^n$ ist das Innere von $\Delta^n$,
$\Delta^n\setminus\partial\Delta^n$. 
\end{definition}

\begin{definition}\label{delta komplex}
  Eine \emph{$\Delta$-Komplex Struktur} auf einem topologischen Raum
  $X$ ist eine Familie von stetigen Abbildungen
  $\sigma_\alpha:\Delta^n\to X$, wobei $n$ von $\alpha$ abh\"angt, so
  dass
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Einschr\"ankung $\sigma_\alpha|\dot\Delta^n$ ist injektiv
    und jeder Punkt in $X$ liegt im Bild von genau einer solchen
    Einschr\"ankung $\sigma_\alpha|\dot\Delta^n$.
  \item Jede Einschr\"ankung von $\sigma_\alpha$ auf eine Seite von
    $\Delta^n$ ist eine der Abbildungen $\sigma_\beta:\Delta^{n-1}\to
    X$. Hierbei identifizieren wir eine Seite von $\Delta^n$ mit
    $\Delta^{n-1}$ verm\"oge des kanonischen linearen Isomorphismusses
    zwischen ihnen, der die Reihenfolge der Eckpunkte erh\"alt.
  \item Eine Menge $A\subset X$ ist genau dann offen, wenn
    $\sigma_\alpha^{-1}(A)$ f\"ur alle $\sigma_a$ in $\Delta^n$ offen
    ist.
  \end{enumerate}
  $X$ hei\ss{}t \emph{$\Delta$-Komplex}.
  Die Abbildungen $\sigma_\alpha$ werden auch als \emph{charakteristische
  Abbildungen} bezeichnet.
\end{definition}

\begin{remark}
  Die \"ublichen Zerlegungen von Torus oder Kleinscher Flasche liefern
  gerade eine $\Delta$-Komplex Struktur. \par
  Die letzte Bedingung schlie\ss{}t Trivialit\"aten aus wie
  beispielsweise, dass wir $X$ als Vereinigung seiner Punkte
  darstellen. \par
  Die letzte Bedingung sichert weiterhin, dass $X$ (bis auf einen
  Hom\"oomorphismus) ein Quotientenraum von einer Familie von
  disjunkten Simplizes $\Delta^n_\alpha$ ist.  Wir nehmen ein Simplex
  $\Delta^n_\alpha$ f\"ur jede Abbildung $\sigma_\alpha:\Delta^n\to X$
  und betrachten den Quotientenraum, indem wir jede Seite von
  $\Delta^n_\alpha$ mit dem Simplex $\Delta^{n-1}_\beta$
  identifizieren, der in der zweiten Bedingung auftaucht,
  $\sigma_\beta$ ist also gerade die Einschr\"ankung von
  $\sigma_\alpha$ auf die entsprechende Seite. \par
  Wir k\"onnen einen $\Delta$-Komplex induktiv aufbauen, indem wir an
  Punkte $1$-Sim\-ple\-xe, $2$-Simplexe, \ldots{} ankleben. Auf diese
  Weise sehen wir, dass wir einen $\Delta$-Komplex rein kombinatorisch
  beschreiben k\"onnen als Familie von $n$-Simplexen $\Delta^n_\alpha$
  f\"ur alle $n$ mit Abbildungen von einer Seite eines $n$-Simplexes
  $\Delta^n_\alpha$ auf ein $(n-1)$-Simplex $\Delta^{n-1}_\beta$. \par
  Nach Definition eines $\Delta$-Komplexes sind diese Abbildungen
  affin linear.
\end{remark}

% Moegliche \"Ubung: Der letzte Abschnitt auf S. 104 (Hatcher) direkt
% vor dem Kapitel \"uber Simpliziale Homologie. Dies benutzt auch den
% Anhang A.2 \"uber CW-Komplexe.

\subsubsection*{Aufgaben}
\begin{aufgabe}
  Sei $X$ ein CW-Komplex. Sei $X_k$ das $k$-Skelett von $X$. Dann
  induziert die Abbildung $i:X_k\hookrightarrow X$ einen
  Gruppenhomomorphismus $i_*:\pi_1(X_k)\to\pi_1(X)$. Zeige, dass $i_*$
  f\"ur $k=1$ surjektiv und f\"ur $k\ge2$ ein Isomorphismus ist.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Zeige, dass die folgenden R\"aume CW-Komplexe sind, bzw.{} eine
  $\Delta$-Komplex Struktur besitzen: $\mathbb T^2$, $\S^2$, die
  Kleinsche Flasche, $\R P^2$. 
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Zeige, dass es eine stetige surjektive Abbildung $[0,1]\to[0,1]^3$
  gibt und gib ein Beispiel f\"ur solch eine Abbildung an, die kein
  Hom\"oomorphismus ist (oder beweise, dass keine solche Abbildung ein
  Hom\"oomorphismus ist). 
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Untersuche, welche der folgenden R\"aume zueinander hom\"oomorph
  bzw.{} hom\"oomorph zu einem Teilraum sind:
  \[\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|}
\subset&\R&\S^1&\S^2&\R^2&\mathbb T^2&\R^3\\\hline\hline
\R&&&&&&\\\hline
\S^1&&&&&&\\\hline
\S^2&&&&&&\\\hline
\R^2&&&&&&\\\hline
\mathbb T^2&&&&&&\\\hline
\R^3&&&&&&\\\hline
\end{array}\]
Einige F\"alle kann man mit dem aktuellen Kenntnisstand noch nicht
behandeln.  
\end{aufgabe}

\Subsection{Simpliziale Homologie}

\begin{definition}
  Sei $X$ ein $\Delta$-Komplex. Sei $\Delta_n(X)$ die freie abelsche
  Gruppe, die von den offenen $n$-Simplizes
  $e^n_\alpha\equiv\dot\Delta^n_\alpha$ erzeugt wird. Die Elemente von
  $\Delta_n(X)$ hei\ss{}en \emph{$n$-Ketten} und lassen sich als
  \textbf{endliche} formale Summen $\sum\limits_\alpha n_\alpha
  e^n_\alpha$ mit Koeffizienten $n_\alpha\in\Z$ schreiben. Alternativ
  schreibt man auch $\sum\limits_\alpha n_\alpha\sigma_\alpha$, wobei
  $\sigma_\alpha:\Delta^n\to X$ wie in Definition \ref{delta komplex}
  eine charakteristische Abbildung ist.
\end{definition}

\begin{remark}
  Solch eine Summe $\sum\limits_\alpha n_\alpha\sigma_\alpha$ kann man
  sich als endliche Famile (oder Kette) von $n$-Simplizes in $X$ mit
  ganzzahligen Vielfachheiten $n_\alpha$ vorstellen. \par
  Wollen wir auf Simplizes einen Randoperator einf\"uhren, so wollen
  wir dies so machen, dass sich die Orientierung des Simplexes auf
  seine Seiten vererbt. In niederen Dimensionen erhalten wir 
  \begin{align*}
    \partial[v_0,v_1]=&\,[v_1]-[v_0],\\
\partial[v_0,v_1,v_2]=&\,[v_1,v_2]-[v_0,v_2]+[v_0,v_1],\\
\partial[v_0,v_1,v_2,v_3]=&\,[v_1,v_2,v_3]-[v_0,v_2,v_3]
+[v_0,v_1,v_3]-[v_0,v_1,v_2].
  \end{align*}
  Dies legt die folgende Definition nahe.
\end{remark}

\begin{definition}
  Sei $X$ ein $\Delta$-Komplex. Wir definieren einen
  \emph{Randoperator} $\partial_n:\Delta_n(X)\to\Delta_{n-1}(X)$ durch
  Festlegung auf Basiselementen
  $\sigma_\alpha\colon\Delta^n\equiv[v_0,\ldots,v_n]\to X$ (und
  linearer Fortsetzung):
  $$\partial_n(\sigma_\alpha)=\sum\limits_i(-1)^i\sigma_\alpha|
  [v_0,\ldots,\hat v_i,\ldots,v_n].$$ Beachte dabei, dass die rechte
  Seite in $\Delta_{n-1}(X)$ liegt, da jede Einschr\"ankung
  $\sigma_\alpha|[v_0,\ldots,\hat v_i,\ldots,v_n]$ eine
  charakteristische Abbildung eines $(n-1)$-Simplexes von $X$ ist.
\end{definition}

\begin{lemma}\label{dd=0 lem}
F\"ur $\xymatrix@1{\Delta_n(X)\ar[r]^-{\partial_n}&\Delta_{n-1}(X)
\ar[r]^-{\partial_{n-1}}&\Delta_{n-2}(X)}$ gilt
  $\partial_{n-1}\circ\partial_n=0$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt 
\begin{align*}
\partial_n(\sigma)=&\,\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\sigma|
[v_0,\ldots,\hat v_i,\ldots,v_n]
\intertext{und daher}
\partial_{n-1}\partial_n(\sigma)=&\,\sum\limits_{j<i}(-1)^i(-1)^j
\sigma|[v_0,\ldots,\hat v_j,\ldots,\hat v_i,\ldots,v_n]\\
&\,+\sum\limits_{j>i}(-1)^i(-1)^{j-1}\sigma|
[v_0,\ldots,\hat v_i,\ldots,\hat v_j,\ldots,v_n].
\end{align*}
Diese beiden Summen stimmen aber bis auf das Vorzeichen \"uberein.
Daher gilt $\partial_{n-1}\partial_n(\sigma)=0$ f\"ur alle $\sigma$ in
einer Basis von $\Delta_n(X)$ und damit folgt die Behauptung aufgrund
der Linearit\"at.
\end{proof}

\begin{definition}
  Seien $C_i:=\Delta_i(X)$ Gruppen wie oben. Wir definieren
  $\partial_0:C_0\to0$ als die Nullabbildung; gegebenenfalls auch
  f\"ur alle negativen Indices. Dann erhalten wir eine Folge von
  Homomorphismen abelscher Gruppen
$$\xymatrix@1{\ldots\ar[r]&C_{n+1}\ar[r]^-{\partial_{n+1}}&
  C_n\ar[r]^-{\partial_n}&C_{n-1}\ar[r]&\ldots\ar[r]&
  C_1\ar[r]^-{\partial_1}&C_0\ar[r]^-{\partial_0}&0.}$$ Es gilt
$\partial_n\partial_{n+1}=0$ f\"ur alle $n$. Ist eine solche Folge
abelscher Gruppen und eine Folge von Homomorphismen mit
$\partial_n\partial_{n+1}=0$ gegeben, so hei\ss{}t eine solche Folge
von Homomorphismen abelscher Gruppen \emph{Kettenkomplex}. \par
Aus $\partial_n\partial_{n+1}=0$ folgt
$\im\partial_{n+1}\subset\ker\partial_n$. Da die beteiligten Gruppen
abelsch sind, k\"onnen wir den Quotienten bilden. Wir definieren die
$n$-te \emph{Homologiegruppe} des Kettenkomplexes als die
Quotientengruppe $H_n:=\ker\partial_n/\im\partial_{n+1}$. Elemente in
$\ker\partial_n$ hei\ss{}en \emph{Zykel} und Elemente in
$\im\partial_{n+1}$ hei\ss{}en \emph{R\"ander}. Die Nebenklassen von
$\im\partial_{n+1}$ sind die Elemente von $H_n$ und hei\ss{}en
\emph{Homologieklassen}. Zwei Zykel, die dieselbe Homologieklasse
repr\"asentieren, hei\ss{}en \emph{homolog}. Die Differenz zweier
homologer Zykel ist daher ein \emph{Rand}, d.\,h.{} das Bild einer
Kette unter dem Randoperator $\partial$.
\end{definition}

\begin{definition}[Simpliziale Homologie]
  Ist $C_n=\Delta_n(X)$, dann hei\ss{}t der Quotient
  $\ker\partial_n/\im\partial_{n+1}$ die $n$-te \emph{simpliziale
  Homologiegruppe} von $X$ und wird mit $H^\Delta_n(X)$ bezeichnet. 
\end{definition}

\begin{beispiel}
  Sei $X=\S^1$ mit einer Ecke $v$ und einer Kante $e$. Dann sind
  $\Delta_0\left(\S^1\right)$ und $\Delta_1\left(\S^1\right)$ beide
  isomorph zu $\Z$ und es gilt $\partial_1(e)=v-v=0$. F\"ur $n\ge2$
  ist $\Delta_n\left(\S^1\right)\cong0$, da in diesen Dimensionen
  keine Simplizes auftreten. Der Kettenkomplex hat damit die Gestalt
  $$\xymatrix@1{\ldots\ar[r]&0\ar[r]&0\ar[r]^-0&{\Z}\ar[r]^-0&
    {\Z}\ar[r]^-0&0\ar[r]&0.}$$ Es gilt daher
$$H^\Delta_n\left(\S^1\right)\cong
\begin{cases}
  \Z&\text{f\"ur }n=0,1,\\
  0&\text{f\"ur }n\ge2.
\end{cases}$$
Es gilt allgemein, dass die Homologiegruppen eines Kettenkomplexes
isomorph zu den Kettengruppen selbst sind, wenn alle Randabbildungen
$\partial$ verschwinden. 
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
  Sei $X=\mathbb T^2$ der zweidimensionale Torus mit einer
  $\Delta$-Komplex Struktur bestehend aus zwei Dreiecken $U$ und $L$,
  die an einer gemeinsamen Kante $c$ zu einem Quadrat zusammengeklebt
  sind, zwei weiteren Kanten $a$ und $b$, die jeweils geeignet
  identifiziert werden und einer Ecke. Es folgt wie im letzten
  Beispiel, dass $\partial_1=0$ gilt. Somit ist $\im\partial_1=0$ und
  es folgt $H^\Delta_0\left(\mathbb T^2\right)
  \cong\ker\partial_0\cong\Z$. Es gilt
  $\partial_2U=a+b-c=\partial_2L$. Nun ist $\{a,b,a+b-c\}$ eine Basis
  f\"ur $\Delta_1\left(\mathbb T^2\right)$. Daher gilt $H^\Delta_1
  \left(\mathbb T^2\right)\cong\Z\oplus\Z$ und die Homologieklassen
  $[a]$ und $[b]$ bilden eine Basis davon. Da keine $3$-Simplizes
  auftreten, gilt $H^\Delta_2\left(\mathbb T^2\right)
  \cong\ker\partial_2$. Dieser ist isomorph zu $\Z$ und besitzt als
  Basis Elemente der Form $U-L$, denn es gilt $\partial_2(pU+qL)=
  (p+q)(a+b-c)=0$ genau dann, wenn $p=-q$ ist. Wir erhalten also
$$H^\Delta_n\left(\mathbb T^2\right)\cong
\begin{cases}
  \Z\oplus\Z&\text{f\"ur }n=1,\\
\Z&\text{f\"ur }n=0,2,\\
0&\text{f\"ur }n\ge3.
\end{cases}$$
\end{beispiel}

\begin{remark}
  Bisher haben wir uns noch nicht \"uberlegt, ob die Gruppen
  $H^\Delta_n(X)$ von der $\Delta$-Komplex Struktur auf $X$
  abh\"angen. Oder allgemeiner: Haben homotopie\"aquivalente R\"aume
  isomorphe simpliziale Homologiegruppen? Diese Fragen wollen wir mit
  Hilfe der singul\"aren Homologietheorie sp\"ater beantworten. Wir
  werden dazu insbesondere zeigen, dass die simplizialen und die
  singul\"aren Homologiegruppen f\"ur $\Delta$-Komplexe
  \"ubereinstimmen.
\end{remark}

\subsubsection*{Aufgaben}

\begin{aufgabe}\neueZeile
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Seien $\partial_i:C_i\to C_{i-1}$, $i\in\Z$, Homomorphismen
    abelscher Gruppen.  Zeige, dass
    $\partial_n\partial_{n+1}=0\quad\Longleftrightarrow
    \quad\im\partial_{n+1}\subset\ker\partial_n$ ist.
\item Zeige, dass $H_n:=\ker\partial_n/\im\partial_{n+1}$
  wohldefiniert ist.
\item Bestimme die Homologiegruppen zu
  \[\ldots\longrightarrow0\longrightarrow\Z\oplus\Z\longrightarrow0.\]
\item Bestimme die Homologiegruppen zu
\[\xymatrix@1{\ldots\ar[r] &0\ar[r] &\Z\ar[r]^-{\times 2} &\Z\ar[r] &0,}\] 
wobei in der Mitte die Abbildung $x\mapsto2x$ steht.
\item Bestimme die Homologiegruppen zu
\[\xymatrix@1{\ldots\ar[r] &0\ar[r] &0\ar[r] &\Z\ar[r]^-{\eins}
  &\Z\ar[r] &0\ar[r]
  &\Z\ar[r]^-{i_1}&\Z\oplus\Z\ar[r]^-{p_2}&\Z\ar[r]&0,}\] 
wobei
\begin{align*}
i_1:\Z\to&\Z\oplus\Z,&p_2:\Z\oplus\Z\to&\Z,\\
x\mapsto&(x,0),&(x,y)\mapsto&y.
\end{align*}
\item Bestimme die Homologiegruppen zu 
  \[\xymatrix@1{\ldots\ar[r] &0\ar[r] &\Z\ar[r]^-{\eins} &\Z\ar[r]^-0
    &\Z\ar[r]^-\eins &\Z\ar[r]^-0 &\Z\ar[r]^-0 &\Z\ar[r] &0.}\]
\item Untersuche, wann $H_n\cong0$ f\"ur alle $n$ gilt. 
  \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Berechne die simpliziale Homologie der Kleinschen Flasche. 
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Berechne die simpliziale Homologie der Sph\"are $\S^2$.  Gib f\"ur
  $\S^k$, $k\ge2$, eine $\Delta$-Struktur an und berechne die
  simpliziale Homologie von $\S^k$, (zun\"achst) $H_n(\S^k)$ mit
  $k\le3$ und $H_k(\S^k)$. Die anderen Homologiegruppen sind nicht so
  einfach zug\"anglich.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Lies und verstehe in deiner Lieblingsquelle die Definition einer
  freien Gruppe und wie man daraus durch Herausdividieren von
  Relationen eine freie abelsche Gruppe bekommt. Wieso ist die
  Beschreibung \"uber W\"orter und Relationen zu den Beschreibungen
  als formal endliche Summe und als direkte Summe von Kopien von $\Z$
  \"aquivalent. (Dies ist eine Lese- und Verstehaufgabe. Es geht also
  darum, dass du die Aussagen so gut verstehst, dass du sie in der
  \"Ubung vortragen kannst, eine schriftliche Abgabe ist nicht
  n\"otig, eine m\"undliche gegenseitige Probeerkl\"arung aber sehr
  empfohlen.)
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}[Finaltopologie, Wiederholung]
  Wiederhole Definition, sowie Ein\-deu\-tig\-keits- und Existenzsatz
  f\"ur die Finaltopologie. Wiederhole ebenso die Definition der
  Quotiententopologie und die Tatsache, dass $A\subset X/\!\!\sim$
  genau dann offen ist, wenn $\pi^{-1}(A)\subset X$ offen ist, wobei
  $\pi:X\to X/\!\!\sim$ die kanonische Projektion ist. Vergleiche dazu
  beispielsweise das Skript zur mengentheoretischen Topologie.
\end{aufgabe}

\Section{Singul\"are Homologie}
\begin{definition}
  Sei $X$ ein topologischer Raum. Ein \emph{singulares $n$-Simplex} in
  $X$ ist per Definition eine stetige Abbildung $\sigma:\Delta^n\to
  X$. (\glqq Singul\"ar\grqq{} bedeutet hier nur, dass das Bild nicht
  wie ein Simplex aussehen muss.) Sei $C_n(X)$ die freie abelsche
  Gruppe, die als Basis die singul\"aren Simplizes in $X$ besitzt.
  Elemente in $C_n(X)$ hei\ss{}en \emph{(singul\"are) $n$-Ketten} und
  sind endliche formale Summen der Form $\sum\limits_in_i\sigma_i$,
  wobei $n_i\in\Z$ ist und $\sigma_i:\Delta^n \to X$ stetige
  Abbildungen sind. \par
  Mit der gleichen Formel wie bei der simplizialen Homologie
  definieren wir einen Randoperator $\partial_n:C_n(X)\to C_{n-1}(X)$:
$$\partial_n(\sigma)=\sum\limits_i(-1)^i\sigma|
[v_0,\ldots,\hat v_i,\ldots,v_n].$$ Auch hier identifizieren wir
wieder $[v_0,\ldots,\hat v_i,\ldots,v_n]$ in kanonischer Weise mit
$\Delta^{n-1}$, wobei wir die Anordnung der Ecken beibehalten. Verm\"oge
dieser Identifikation k\"onnen wir $\sigma|[v_0,\ldots,\hat
v_i,\ldots,v_n]$ als Abbildung $\Delta^{n-1}\to X$ betrachten, also
als singul\"ares $(n-1)$-Simplex. \par
Wir schreiben auch $\partial$ statt $\partial_n$ f\"ur die Abbildung
$\partial_n:C_n(X)\to C_{n-1}(X)$, wenn keine Missverst\"andnisse zu
bef\"urchten sind. Lemma \ref{dd=0 lem} bleibt samt Beweis
wortw\"ortlich g\"ultig, es gilt also $\partial_n\partial_{n+1}=0$
oder in Kurzschreibweise $\partial^2=0$. \par
Daher k\"onnen wir $H_n(X):=\ker\partial_n/\im\partial_{n+1}$ als die
$n$-te \emph{singul\"are Homolopiegruppe} definieren. 
\end{definition}

Beide Definitionen haben Vor- und Nachteile, selbst f\"ur
$\Delta$-Komplexe.
\begin{remark}
  Unklar ist, ob $H^\Delta_n$ von Wahl der simplizialen Struktur eines
  topologischen Raumes abh\"angt.\par
  Nach Definition stimmen die singul\"aren Homologiegruppen $H_n$
  f\"ur hom\"oomorphe R\"aume \"uberein. Dies war f\"ur $H^\Delta_n$
  ebenso nicht klar. \par
  F\"ur die Gruppen $H_n$ ist nicht offensichtlich, dass sie f\"ur
  einen konkret gegebenen Raum, wie z.\,B. einen Torus, endlich
  erzeugt sind. Auch ist in diesem Falle nicht klar, dass nur endlich
  viele Gruppen $H_n\not\cong0$ sind.
\end{remark}

% Nicht besprochen: Singul\"arer Komplex (S. 108), der es erlaubt,
% singul\"are Homologie als einen Spezialfall der simplizialen
% Homologie zu betrachten.  Ebenso ausgelassen, geometrische
% Interpretation der singul\"aren Homologie, da dies i.\,a.{} nur
% au\ss{}erhalb von Singularit\"aten funktioniert.

Die singul\"aren Homologiegruppen eines topologischen Raumes $X$ sind
vollst\"andig durch die singul\"aren Homologiegruppen auf den
Wegzusammenhangskomponenten von $X$ bestimmt.
\begin{proposition}\label{weg komp hom prop}
  Sei $X$ ein topologischer Raum, bestehend aus den
  Wegzusammenhangskomponenten $X_\alpha$. Dann sind $H_n(X)$ und die
  direkte Summe $\bigoplus\limits_\alpha H_n(X_\alpha)$ isomorph.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Das Bild eines Simplizes unter einer stetigen Abbildung ist immer
  wegzusammenh\"angend. Daher ist $C_n(X)\cong\bigoplus\limits_\alpha
  C_n(X_\alpha)$. Die Randabbildung erh\"alt diese Zerlegung als
  direkte Summe, $C_n(X_\alpha)$ wird nach $C_{n-1}(X_\alpha)$
  abgebildet. Daher lassen sich auch $\ker\partial_n$ und
  $\im\partial_{n+1}$ in direkte Summen zerlegen. Dies \"ubertr\"agt
  sich schlie\ss{}lich noch auf die Homologiegruppen und somit folgt
  $H_n(X)\cong\bigoplus\limits_\alpha H_n(X_\alpha)$.
\end{proof}

\begin{proposition}\label{weg komp H0 prop}
  Sei $X\neq\emptyset$ und wegzusammenh\"angend. Dann gilt
  $H_0(X)\cong\Z$. Daher ist f\"ur jeden Raum $X$ die Gruppe $H_0(X)$
  eine direkte Summe von Kopien von $\Z$ und zwar von einer pro
  Wegzusammenhangskomponente. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Da nach Definition $\partial_0=0$ gilt, folgt
  $H_0(X)=C_0(X)/\im\partial_1$. Wir definieren einen Homomorphismus
  $\epsilon:C_0(X)\to\Z$ durch
  $\epsilon\left(\sum\limits_in_i\sigma_i\right) =\sum\limits_in_i$.
  Ist $X\neq\emptyset$, so ist $\epsilon$ surjektiv. Falls wir zeigen
  k\"onnen, dass $\ker\epsilon=\im\partial_1$ f\"ur einen
  wegzusammenh\"angenden Raum $X$ gilt, so folgt die Behauptung, denn
  dann gilt $H_0(X)=C_0(X)/\im\partial_1 =C_0(X)/\ker\epsilon
  \cong\im\epsilon=\Z$ ($\cong$ in dieser Gleichung gilt f\"ur
  beliebige Abbildungen).\par
Wir wollen also $\ker\epsilon=\im\partial_1$ beweisen. Sei
$\sigma:\Delta^1\to X$ ein singul\"ares $1$-Simplex. Dann gilt
$\epsilon\partial_1(\sigma)= \epsilon(\sigma|[v_1]-\sigma|[v_0])=
1-1=0$. Also gilt $\im\partial_1\subset\ker\epsilon$. Sei andersherum
$\epsilon\left(\sum\limits_in_i\sigma_i\right)=0$, also
$\sum\limits_in_i=0$. Die singul\"aren $0$-Simplizes
$\sigma_i:\Delta^0\to X$ k\"onnen wir mit ihren Bildpunkten
in $X$ identifizieren. W\"ahle einen Basispunkt $x_0\in X$. 
Sei $\sigma_0$ das singul\"are $0$-Simplex mit $\im\sigma_0=\{x_0\}$. 
W\"ahle f\"ur jedes $i$ einen Weg $\tau_i:I\to X$ von $x_0$ nach
$\sigma_i(v_0)$. (Solche Wege existieren, da $X$ nach Voraussetzung
wegzusammenh\"angend ist.) Wir k\"onnen jedes $\tau_i$ als ein
singul\"ares $1$-Simplex $\tau_i:[v_0,v_1]\to X$ auf\/fassen. Es gilt
$\partial\tau_i=\sigma_i-\sigma_0$, wobei wir hier $\tau_i$ als
Simplex auf\/fassen. Da nach Voraussetzung
$\sum\limits_in_i=0$ gilt, erhalten wir 
$$\partial\left(\sum\limits_in_i\tau_i\right)
=\sum\limits_in_i\sigma_i -\sum\limits_in_i\sigma_0
=\sum\limits_in_i\sigma_i.$$ Daher ist $\sum\limits_in_i\sigma_i$ ein
Rand (Bild unter $\partial_1$) und es folgt 
$\ker\epsilon\subset\im\partial_1$.
\end{proof}

\begin{proposition}\label{pkt hom prop} 
  Sei $X$ ein Punkt, dann gilt
$$H_n(X)\cong
\begin{cases}
  0&\text{f\"ur }n>0,\\
  \Z&\text{f\"ur }n=0.
\end{cases}$$
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
In diesem Falle gibt es in jeder Dimension nur ein eindeutig
bestimmtes $n$-dimensionales Simplex $\sigma_n$ und es gilt
$\partial(\sigma_n)=\sum\limits_i(-1)^i\sigma_{n-1}$. Da ein
$n$-Simplex $n+1$ Seiten besitzt, treten $n+1$ Summanden
auf. Somit gilt 
$$\partial(\sigma_n)=
\begin{cases}
  0&\text{f\"ur ungerades }n,\\
  \sigma_{n-1}&\text{f\"ur gerades }n\ge2,\\
  0&\text{f\"ur }n=0.
\end{cases}$$
Wir erhalten also den folgenden Kettenkomplex
$$\xymatrix@1{\ldots\ar[r]&{\Z}\ar[r]^-\cong&{\Z}\ar[r]^-0&{\Z}\ar[r]^-\cong 
&{\Z}\ar[r]^-0 &{\Z}\ar[r]^-0&0.}$$
Daher folgt f\"ur die Homologiegruppen
$$H_n(X)\cong
\begin{cases}
  \Z,&n=0,\\
  0,&\text{sonst.}
\end{cases}$$
\end{proof}

Mit der folgenden Definition von reduzierten Homologiegruppen ist die
Homologie eines Punktes in jeder Dimension trivial.
\begin{definition}
  Wir definieren die \emph{reduzierten Homologiegruppen} $\tilde
  H_n(X)$ als die Homologiegruppen des erweiterten Kettenkomplexes
$$\xymatrix@1{\ldots\ar[r] &C_2(X)\ar[r]^-{\partial_2} 
  &C_1(X)\ar[r]^-{\partial_1} &C_0(X)\ar[r]^-{\epsilon}&\Z\ar[r]&0,}$$
wobei $\epsilon\left(\sum\limits_in_i\sigma_i\right)=\sum\limits_in_i$
wie im Beweis von Proposition \ref{weg komp H0 prop} ist. Wir wollen
annehmen, dass $X\neq\emptyset$ ist, damit wir keine nichttriviale
Homologiegruppe in Dimension $-1$ erhalten.
\end{definition}

\begin{remark}\label{reduz hom rem}
  Es gilt $\epsilon\partial_1=0$, $\epsilon$ verschwindet also auf
  $\im\partial_1$ und somit induziert $\epsilon$ eine Abbildung
  $H_0(X)\to\Z$. Nach Definition von $\tilde H_0(X)$ ist $\tilde
  H_0(X)$ gerade der Kern der von $\epsilon$ induzierten Abbildung. Da
  $\epsilon$ f\"ur $X\neq\emptyset$ surjektiv ist, d.\,h.\
  $\im\epsilon=\Z$ gilt, folgt $H_0(X)\cong\tilde H_0(X)\oplus\Z$.
  Nach Definition der reduzierten Homologiegruppen ist klar, dass
  $H_n(X)\cong\tilde H_n(X)$ f\"ur $n>0$ gilt. \par
  Formal erh\"alt man das $\Z$ im erweiterten Kettenkomplex als die
  von der eindeutig bestimmten Abbildung $[\emptyset]\to X$ erzeugte
  Gruppe, wobei $[\emptyset]$ der leere Simplex ohne Ecken ist. Dann
  ist $\epsilon$ gerade der \"ubliche Randoperator, denn es gilt
  $\partial[v_0]=[\hat v_0]=[\emptyset]$.
\end{remark}

\subsubsection*{Aufgaben}

\begin{aufgabe}
  Lies und verstehe \cite[Theorem 2A.1]{Hatcher}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Seien $X$ und $Y$ hom\"oomorphe topologische R\"aume. Dann gilt
  $$H_n(X)\cong H_n(Y)$$ f\"ur alle $n$. 
\end{aufgabe}

\Section{Homotopieinvarianz}
Wir wollen zeigen, dass homotopie\"aquivalente R\"aume isomorphe
Homologiegruppen haben. Dazu zeigen wir zun\"achst, dass eine
Abbildung $f:X\to Y$ einen Homomorphismus $f_*:H_n(X)\to H_n(Y)$ f\"ur
alle $n$ erzeugt und dass $f_*$ ein Isomorphismus ist, wenn $f$ eine
Homotopie\"aquivalenz ist. 

\begin{definition}
  Sei $f:X\to Y$ stetig. Dann induziert $f$ eine Abbildung
  $f_\sharp:C_n(X)\to C_n(Y)$ verm\"oge
  $f_\sharp(\sigma)=f\circ\sigma: \Delta^n\to Y$ f\"ur singul\"are
  $n$-Simplizes $\sigma:\Delta^n\to X$. (Genauer m\"usste man
  eigentlich von unterschiedlichen Abbildungen sprechen, etwa
  $f^n_\sharp:C_n(X)\to C_n(Y)$. Wie bei den Randabbildungen
  verzichten wir aber auch hier auf diesen Index.) Wir setzen
  $f_\sharp$ linear fort:
$$f_\sharp\left(\sum\limits_in_i\sigma_i\right)
=\sum\limits_in_if_\sharp(\sigma_i) =\sum\limits_in_if\circ\sigma_i.$$
\end{definition}

\begin{remark}\label{sharp partial vertauschen}
Die Abbildungen $f_\sharp:C_n(X)\to C_n(Y)$ erf\"ullen
$f_\sharp\circ\partial=\partial\circ f_\sharp$, denn es gilt
\begin{align*}
  f_\sharp\partial(\sigma)=&\,f_\sharp\left(\sum\limits_i(-1)^i
\sigma|[v_0,\ldots,\hat v_i,\ldots,v_n]\right)\\
=&\,\sum\limits_i(-1)^i(f\circ\sigma)|[v_0,\ldots,\hat v_i,\ldots,v_n]\\
=&\,\partial f_\sharp(\sigma).
\end{align*}
\end{remark}

\begin{definition}
  Wir nennen ein Diagramm von Abbildungen ein \emph{kommutatives
    Diagramm}, wenn man Elemente eines Objektes mit Hilfe der
  gegebenen Pfeile (Abbildungen) auf ein anderes Objekt abbildet und
  dabei das Ergebnis unabh\"angig von der gew\"ahlten (endlichen)
  Folge von Pfeilen ist.
\end{definition}

\begin{remark}
  Nach Bemerkung \ref{sharp partial vertauschen} ist das folgende
  Diagramm also kommutativ
$$\xymatrix{\ldots\ar[r]&C_{n+1}(X)\ar[r]^-\partial
  \ar[d]^{f_\sharp}&C_n(X)\ar[r]^-\partial\ar[d]^{f_\sharp}
  &C_{n-1}(X)\ar[r]\ar[d]^{f_\sharp}&\ldots\\
  \ldots\ar[r]&C_{n+1}(Y)\ar[r]^-\partial&C_n(Y)\ar[r]^-\partial
  &C_{n-1}(Y)\ar[r]&\ldots\,,}$$
was in diesem Falle \"aquivalent zu $f_\sharp\partial=\partial
f_\sharp$ ist. 
\end{remark}

Die folgende Definition und das nachfolgende Lemma sind rein
algebraisch. 
\begin{definition}\label{abb von ketten kompl def}
  Seien $((C_n),(\partial_n))$ und $((K_n),(\partial_n))$
  Kettenkomplexe. Dann ist ein Gruppenhomomorphismus $(f_n)$ mit
  $f_n:C_n\to K_n$ eine \emph{Abbildung von Kettenkomplexen} oder
  \emph{Kettenabbildung}, falls $f\partial=\partial f$ gilt.
\end{definition}

\begin{lemma}\label{ketten abb induz homolgr}
  Sei $f$ eine Abbildung von Kettenkomplexen. Dann induziert $f$ einen
  Homomorphismus zwischen den Homologiegruppen der beiden Kettenkomplexe.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\alpha$ in $\ker\partial$. Dann ist auch
  $f\alpha\in\ker\partial$, denn es gilt $\partial f\alpha
  =f\partial\alpha=f(0)=0$. Zwei Repr\"asentanten einer
  Homologieklasse unterscheiden sich um einen Rand $\partial\beta$.
  Daher ist nachzuweisen, dass $f\partial\beta$ wieder ein Rand ist.
  Dies folgt aber ebenso aus $f\partial=\partial f$.
\end{proof}

\begin{beispiel}
  Seien $X$ und $Y$ topologische R\"aume und $f:X\to Y$ eine stetige
  Abbildung. Dann ist $f_\sharp$ nach Bemerkung \ref{sharp partial
    vertauschen} eine Abbildung von Kettenkomplexen. Nach Lemma
  \ref{ketten abb induz homolgr} induziert $f_\sharp$ nun eine
  Abbildung $f_*:H_n(X)\to H_n(Y)$.
\end{beispiel}

Das folgende Lemma zeigt, dass es sich beim \"Ubergang zu den
induzierten Abbildungen zwischen Homologiegruppen um einen Funktor
handelt.
\begin{lemma}\label{funktor homotopiegr}
  Seien $X$, $Y$ und $Z$ topologische R\"aume, $g:X\to Y$ und $f:Y\to
  Z$ stetige Abbildungen, $\xymatrix@1{X\ar[r]^g&Y\ar[r]^f&Z}$. Seien
  $\eins:X\to X$ und $\eins:H_n(X)\to H_n(X)$ die jeweiligen
  Identit\"aten. Dann gilt
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $(fg)_*=f_*g_*$.
  \item $\eins_*=\eins$.
  \end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}[Beweis]
  Die erste Behauptung folgt aus der Assoziativit\"at bei der
  Komposition $$\xymatrix@1{\Delta^n\ar[r]^\sigma &X\ar[r]^g &Y\ar[r]^f
    &Z}.$$ Der zweite Teil ist offensichtlich.
\end{proof}

Der Hauptsatz dieses Abschnittes ist
\begin{theorem}\label{homotop isomorph homotopiegr}
  Seien $f$, $g:X\to Y$ zwei homotope Abbildungen, dann gilt $f_*=g_*$
  f\"ur die induzierten Homomorphismen $f_*$, $g_*:H_n(X)\to H_n(Y)$.
\end{theorem}

Hieraus folgt wegen Lemma \ref{funktor homotopiegr} 
\begin{corollary}
  Seien $X$, $Y$ topologische R\"aume und $f:X\to Y$ eine
  Homotopie\"aquivalenz. Dann sind die Abbildungen $f_*:H_n(X)\to
  H_n(Y)$ f\"ur alle $n$ Isomorphismen.\par
  Ist $X$ kontrahierbar, so gilt $\tilde H_n(X)\cong0$. 
\end{corollary}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{homotop isomorph homotopiegr}]
  Wir unterteilen f\"ur den Beweis $\Delta^n\times I$ in
  $(n+1)$-Simplizes. Seien $\Delta^n\times\{0\}=[v_0,\ldots,v_n]$ und
  $\Delta^n\times\{1\}=[w_0,\ldots,w_n]$. Hierbei w\"ahlen wir die
  Ecken $v_i$ und $w_i$ so, dass $v_i$ und $w_i$ unter der
  Projektionsabbildung $\Delta^n\times I\to\Delta^n$ dasselbe Bild
  haben. Wir betrachten nun eine Folge von Simplizes der Form
  $[v_0,\ldots,v_i,w_{i+1},\ldots,w_n]$. Der $n$-Simplex
  $[v_0,\ldots,v_i,w_{i+1},\ldots,w_n]$ ist der Graph der Funktion
  $\phi_i:\Delta^n\to I$, wobei $\phi_i$ in
  baryzentrischen Koordinaten durch
  $$\phi_i(t_0,\ldots,t_n)=t_{i+1}+\ldots+t_n$$ gegeben ist. Die Ecken
  des Simplexes $[v_0,\ldots,v_i,w_{i+1},\ldots,w_n]$ sind n\"amlich
  im Graph enthalten, die Funktion $\phi_i$ ist affin linear und unter
  der Projektionsabbildung $\Delta^n\times I\to\Delta^n$ wird
  $[v_0,\ldots,v_i,w_{i+1},\ldots,w_n]$ hom\"oomorph auf $\Delta^n$
  abgebildet. Da $\phi_i\le\phi_{i-1}$ ist, liegt $\graph\phi_i$ unter
  $\graph\phi_{i-1}$. Dazwischen liegt ein $(n+1)$-Simplex
  $[v_0,\ldots,v_i,w_i,\ldots,w_n]$, da
  $w_i\not\in[v_0,\ldots,v_i,w_{i+1},\ldots,w_n]$. Entsprechend der
  Ungleichungskette
  $0=\phi_n\le\phi_{n-1}\le\ldots\le\phi_0\le\phi_{-1}=1$ sehen wir,
  dass $\Delta^n\times I$ die Vereinigung der $(n+1)$-Simplizes
  $[v_0,\ldots,v_i,w_i,\ldots,w_n]$ ist, wobei aufeinanderfolgende
  Simplizes jeweils ein $n$-Simplex als gemeinsame Seite haben. \par
  Sei nun $F:X\times I\to Y$ eine Homotopie von $f$ zu $g$. Wir wollen
  zeigen, dass $f_*:H_n(X)\to H_n(Y)$ und $g_*:H_n(X)\to H_n(Y)$
  \"ubereinstimmen. Definiere einen \emph{Prismenoperator}
  $P:C_n(X)\to C_{n+1}(Y)$ durch
$$P(\sigma)=\sum\limits_i(-1)^iF\circ(\sigma\times\eins)|
[v_0,\ldots,v_i,w_i,\ldots,w_n]$$ f\"ur $\sigma:\Delta^n\to
X$. ($F\circ(\sigma\times\eins)$ ist hierbei die Komposition
$\Delta^n\times I\to X\times I\to Y$.) Der Prismenoperator erf\"ullt
die Identit\"at
\begin{equation}\label{prisma eqn}
\partial P=g_\sharp-f_\sharp-P\partial.
\end{equation}
Dies kann man geometrisch (auf der linken Seite) als Rand des Prismas
und (auf der rechten Seite) als Oberseite $\Delta^n\times\{1\}$,
Unterseite $\Delta^n\times\{0\}$ und Seiten $\partial\Delta^n\times I$
des Prismas verstehen. Zum Beweis von \eqref{prisma eqn} berechnen wir
\begin{align*}
  \partial P(\sigma)=&\,\sum\limits_{j\le
    i}(-1)^i(-1)^jF\circ(\sigma\times\eins)| [v_0,\ldots,\hat
  v_j,\ldots, v_i, w_i,\ldots,w_n]\\
  &\,+\sum\limits_{j\ge i}(-1)^i(-1)^{j+1}F\circ(\sigma\times\eins)|
  [v_0,\ldots,v_i,w_i,\ldots,\hat w_j,\ldots,w_n]\umbruch\\
  =&\,\sum\limits_{j<i}(-1)^i(-1)^jF\circ(\sigma\times\eins)|
  [v_0,\ldots,\hat
  v_j,\ldots, v_i, w_i,\ldots,w_n]\\
  &\,+\sum\limits_{j>i}(-1)^i(-1)^{j+1}F\circ(\sigma\times\eins)|
  [v_0,\ldots,v_i,w_i,\ldots,\hat w_j,\ldots,w_n]\\
  &\,+F\circ(\sigma\times\eins)|[\hat v_0,w_0,\ldots,w_n]\\
  &\,-F\circ(\sigma\times\eins)|[v_0,\ldots,v_n,\hat w_n]\umbruch\\
  =&\,-\sum\limits_{i>j}(-1)^{i-1}(-1)^{j}F\circ(\sigma\times\eins)|
  [v_0,\ldots,\hat v_j,\ldots,v_i,w_i,\ldots,w_n]\\
  &\,-\sum\limits_{i<j}(-1)^i(-1)^jF\circ(\sigma\times\eins)|
  [v_0,\ldots,v_i, w_i,\ldots,\hat w_j,\ldots,w_n]\\
  &\,+F\circ(\sigma\times\eins)|[\hat v_0,w_0,\ldots,w_n]
  -F\circ(\sigma\times\eins)|[v_0,\ldots,v_n,\hat w_n]\umbruch\\
  =&\,-P\partial(\sigma)
  +g\circ\sigma-f\circ\sigma\\
  =&\,-P\partial(\sigma)+g_\sharp(\sigma)-f_\sharp(\sigma).
\end{align*}
In dieser letzten Rechnung haben wir folgendes benutzt: Die Terme mit
$i=j$ bilden eine Teleskopsumme, von der nur die \"au\ss{}ersten
beiden Terme \"ubrigbleiben. Auf der zu den $w_i$'s geh\"orenden
Oberseite ist $F$ gerade $g$ und auf der zu den $v_i$'s geh\"orenden
Unterseite gerade $f$. Die Summen \"uber $j$ ergeben am Ende gerade
den Randoperator. \par
Wir benutzen nun \eqref{prisma eqn} um zu zeigen, dass $f_*=g_*$ gilt.
Sei $\alpha\in C_n(X)$ ein Zykel, also $\partial\alpha=0$. Dann gilt
$g_\sharp(\alpha)-f_\sharp(\alpha)=\partial P(\alpha)
+P\partial(\alpha) =\partial P(\alpha)$. Also ist
$g_\sharp(\alpha)-f_\sharp(\alpha)$ ein Rand (n\"amlich von
$P(\alpha)$). Damit sind $f_\sharp(\alpha)$ und $g_\sharp(\alpha)$
Repr\"asentanten derselben Homologieklasse und somit ist
$f_*([\alpha])=g_*([\alpha])$ ($[\alpha]$ ist die Homologieklasse von
$\alpha$).
\end{proof}

Der letzte Teil des Beweises legt die folgende algebraische
Proposition, Proposition \ref{ketten hom isom prop}, nahe. Den Beweis
dazu erhalten wir direkt aus den obigen \"Uberlegungen. F\"ur die
Formulierung der Proposition ben\"otigen wir die folgende
\begin{definition}
  Seien $A$, $B$ Kettenkomplexe. Seien $f:A_n\to B_n$ und $g:A_n\to
  B_n$ Kettenabbildungen. Ein Operator $P:A_n\to B_{n+1}$ hei\ss{}t
  \emph{Kettenhomotopie} zwischen den Abbildungen $f$ und $g$, falls
  er ein Gruppenhomomorphismus ist und falls $\partial
  P+P\partial=g-f$ gilt.
$$\xymatrix{\ldots\ar[rr]^{\partial}
  &&A_{n+1}\ar[rr]^{\partial^A_{n+1}}\ar@<2.5pt>[dd]^{f_{n+1}}
  \ar@<-2.5pt>[dd]_{g_{n+1}}\ar[ddll]_P
  &&A_n\ar[rr]^{\partial^A_n}\ar@<2.5pt>[dd]^{f_n}
  \ar@<-2.5pt>[dd]_{g_n}\ar[ddll]_{P_{n}}
  &&A_{n-1}\ar[rr]^{\partial}\ar@<2.5pt>[dd]^{f_{n-1}}
  \ar@<-2.5pt>[dd]_{f_{n-1}}\ar[ddll]_{P_{n-1}}
  &&\ldots\ar[ddll]_P\\ \\
  \ldots\ar[rr]_\partial &&B_{n+1}\ar[rr]_{\partial^B_{n+1}}
  &&B_n\ar[rr]_{\partial^B_n} &&B_{n-1}\ar[rr]_\partial &&\ldots.}$$
\end{definition}

\begin{proposition}\label{ketten hom isom prop}
  Kettenhomotope Kettenabbildungen induzieren dieselben Homomorphismen
  zwischen den zugeh\"origen Homologiegruppen. 
\end{proposition}

\subsubsection*{Aufgaben}
\begin{aufgabe}
  Beweise das F\"unferlemma. Zusatz: Wie kann man die Voraussetzungen
  an die vertikalen Pfeile abschw\"achen?
\end{aufgabe}

\begin{lemma}[F\"unferlemma]
Sei 
\[\xymatrix{A\ar[r]^-i\ar[d]^-\alpha&B\ar[r]^-j\ar[d]^-\beta
&C\ar[r]^-k\ar[d]^-\gamma&D\ar[r]^-l\ar[d]^-\delta
&E\ar[d]^-\epsilon\\
A'\ar[r]^-{i'}&B'\ar[r]^-{j'}&C'\ar[r]^-{k'}
&D'\ar[r]^-{l'}&E'}
\]
ein kommutatives Diagramm abelscher Gruppen mit exakten Zeilen. Sind
die Homomorphismen $\alpha,\,\beta,\,\delta$ und $\epsilon$
Isomorphismen, so ist auch $\gamma$ ein Isomorphismus.
\end{lemma}

\begin{aufgabe}
  Zeige dass die Kettenhomotopie von Kettenabbildungen eine
  \"Aquivalenzrelation liefert. 
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Sei $f\simeq g$ f\"ur Abbildungen $f,\,g:X\to Y$. Zeige, dass
  $f_*,\,g_*:\tilde H_n(X)\to\tilde H_n(Y)$ f\"ur alle $n$
  \"ubereinstimmen, $f_*=g_*$. 
\end{aufgabe}
% Details dazu fuer reduzierte Homologiegruppen als Uebung,
% vgl. S. 113, direkt vor dem neuen Kapitel.

\begin{aufgabe}
  Sei $A\to B\to C\to D\to E$ eine exakte Sequenz. Zeigt, dass genau
  dann $C\cong 0$ ist, wenn $A\to B$ surjektiv und $D\to E$ injektiv
  sind.\par
  Sei $(X,A)$ ein Paar topologischer R\"aume. Zeige, dass die
  Inklusionsabbildung $A\hookrightarrow X$ genau dann f\"ur alle $n$
  einen Isomorphismus $H_n(A)\to H_n(X)$ induziert, wenn
  $H_n(X,A)\cong0$ f\"ur alle $n$ gilt.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Zeige, dass die simplizialen Homologiegruppen $H^\Delta_n$ von
  $\S^1\times\S^1$ und $\S^1\vee\S^1\vee\S^2$ in jeder Dimension
  isomorph sind. Zeige weiterhin, dass diese beiden R\"aume jedoch
  nicht hom\"oomorph sind.
\end{aufgabe}

\Section{Exakte Sequenzen und Ausschneidungen}
Naiv k\"onnte man hoffen, dass f\"ur $A\subset X$ auch $H_n(A)\subset
H_n(X)$ bis auf Isomorphie gilt. Dies kann nicht richtig sein, denn
jeder Raum $X$ ist im Kegel \"uber $X$, $\mathcal CX:=(X\times
I)/(X\times\{0\})$, enthalten und jeder solche Kegel ist
kontrahierbar. \par
Stattdessen bekommen wir f\"ur $A\subset X$ Beziehungen zwischen den
Gruppen $H_n(X)$, $H_n(A)$ und $H_n(X/A)$. 

\begin{definition}
  Sei $$\xymatrix@1{\ldots\ar[r]&A_{n+1}\ar[r]^-{\alpha_{n+1}}
    &A_n\ar[r]^-{\alpha_n}&A_{n-1}\ar[r]&\ldots}$$ eine Folge von
  Gruppen und (Gruppen-)Homomorphismen. Dann hei\ss{}t diese Folge
  (oder Sequenz) exakt, falls $\ker\alpha_n=\im\alpha_{n+1}$ gilt.
  (Zun\"achst ist $\im\alpha_{n+1}\subset\ker\alpha_n$
  \"aquivalent zu $\alpha_n\alpha_{n+1}=0$. Diese Bedingung kennen wir
  schon von Kettenkomplexen. Die Bedingung
  $\ker\alpha_n\subset\im\alpha_{n+1}$ besagt gerade dass die
  Homologiegruppen dieses Kettenkomplexes trivial sind.)
\end{definition}

\begin{remark}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\xymatrix@1{0\ar[r]&A\ar[r]^\alpha&B}$ ist genau dann exakt,
    wenn $\ker\alpha=0$, wenn also $\alpha$ injektiv ist.
  \item $\xymatrix@1{A\ar[r]^\alpha&B\ar[r]&0}$ ist genau dann exakt,
    wenn $\im\alpha=B$ gilt, wenn also $\alpha$ surjektiv ist.
  \item $\xymatrix@1{0\ar[r]&A\ar[r]^\alpha&B\ar[r]&0}$ ist nach den
    vorhergehenden \"Uberlegungen genau dann exakt, wenn $\alpha$ ein
    Isomorphismus ist.
  \item $\xymatrix@1{0\ar[r]&A\ar[r]^\alpha&B\ar[r]^\beta&C\ar[r]&0}$
    ist genau dann exakt, wenn $\alpha$ injektiv und $\beta$ surjektiv
    sind und wenn $\ker\beta=\im\alpha$ gilt. Also ist
    $\im\alpha=\ker\beta$ ein Normalteiler und $\beta$ induziert einen
    Isomorphismus $C\cong B/\im\alpha$ und wenn wir $A$ mit $\im\alpha$
    identifizieren, erhalten wir $C\cong B/A$.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{definition}
  Ist $0\to A\to B\to C\to 0$ exakt, so hei\ss{}t dies eine
  \emph{kurze exakte Sequenz}.
\end{definition}

\begin{definition}
  Sei $X$ ein topologischer Raum, $A\subset X$ abgeschlossen und
  besitze $A$ eine Umgebung $U$, so dass $A$ Deformationsretrakt
  von $U$ ist. Dann hei\ss{}t $(X,A)$ ein \emph{gutes Paar}.
\end{definition}

\begin{example}
  Sei $X$ ein CW-Komplex und $A$ ein nichtleerer Teilkomplex. Dann ist
  $(X,A)$ ein gutes Paar.
\end{example}
\begin{proof}[Beweis]
  \cite[Proposition A.5]{Hatcher}.
\end{proof}


\begin{theorem}\label{lange exakte hom seq}
  Sei $(X,A)$ ein gutes Paar. Sei $i:A\hookrightarrow X$ die
  Inklusionsabbildung und $j:X\to X/A$ die Projektionsabbildung. Dann
  gibt es eine Abbildung (Homomorphismus) $\partial:\tilde
  H_n(X/A)\to\tilde H_{n-1}(A)$ (f\"ur jedes $n$), so dass die Sequenz
$$\xymatrix@1{\ldots\ar[r]
&\tilde H_n(A)\ar[r]^-{i_*}
&\tilde H_n(X)\ar[r]^-{j_*}
&\tilde H_n(X/A)\ar[r]^-\partial
&\tilde H_{n-1}(A)\ar[r]^-{i_*}
&}$$
$$\xymatrix@1{&&&
\ar[r]^-{i_*}&\tilde H_{n-1}(X)\ar[r]
&\ldots
&\ldots\ar[r]
&\tilde H_0(X/A)\ar[r]
&0}$$
exakt ist. Die Sequenz hei\ss{}t \emph{lange exakte Homologiesequenz}.
\end{theorem}

\begin{remark}
  Den Beweis werden wir sp\"ater im Zusammenhang mit relativen
  Homologiegruppen f\"uhren und in Proposition \ref{lange ex hom seq
    bew prop} beenden.\par
  Wir werden die Abbildung $\partial$ im Beweis konstruieren. Die
  zugrunde liegende Idee dabei ist, dass $x\in\tilde H_n(X/A)$ sich
  als Kette $\alpha$ in $X$ darstellen l\"asst, so dass
  $\partial\alpha$ ein Zykel in $A$ ist, dessen Homologieklasse
  $\partial x\in\tilde H_{n-1}(A)$ ist.
\end{remark}

\begin{corollary}\label{Sn homol cor}
  Es gilt
\[\tilde H_i\left(\S^n\right)\cong
\begin{cases}
  \Z,&i=n,\\
  0,&i\neq n.
\end{cases}
\]
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei zun\"achst $n>0$. Sei $(X,A)=\left(D^n,\S^{n-1}\right)$. Dann es
  $(X,A)$ ein gutes Paar und $X/A$ ist hom\"oomorph zu $\S^n$. Es gilt
  $\tilde H_i\left(D^n\right)\cong0$, da $D^n$ kontrahierbar ist. Dann
  liefert die Exaktheit aus Theorem \ref{lange exakte hom seq}, dass
  die Abbildungen $\partial:\tilde H_i\left(\S^n\right)\to\tilde
  H_{i-1}\left(\S^{n-1}\right)$ f\"ur $i>0$ Isomorphismen sind. Im
  Falle $i=0$ ist $\tilde H_0\left(\S^n\right)\cong0$. \par
  Im Falle $n=0$ folgt das Korollar aus Proposition \ref{weg komp hom
    prop}, Proposition \ref{pkt hom prop} und Bemerkung \ref{reduz hom
    rem}. \par
  Aus den obigen \"Uberlegungen folgt damit die Behauptung f\"ur alle
  $n\in\N$ per Induktion nach $n$.
\end{proof}

Wir erhalten die folgende Anwendung, die wir zweidimensional 
aus $\pi_1\left(\S^1\right)\cong\Z$ gefolgert hatten.
\begin{corollary}[Brouwerscher Fixpunktsatz] F\"ur $n\ge1$ ist der
  Rand $\partial D^n$ kein Retrakt von $D^n$. Daher besitzt jede
  stetige Abbildung $f:D^n\to D^n$ einen Fixpunkt.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
Sei $r:D^n\to\partial D^n=\S^{n-1}$ eine Retraktion. Sei $i:\partial
D^n\to D^n$ die Inklusion. Dann gilt $ri=\eins$ auf $\S^{n-1}$. Also
ist die Verkn\"upfung 
$$\xymatrix@1{\tilde H_{n-1}\left(\partial D^n\right)\ar[r]^-{i_*}&
  \tilde H_{n-1}\left(D^n\right)\ar[r]^-{r_*}&\tilde
  H_{n-1}\left(\partial D^n\right)}$$ die Identit\"at. Da aber $\tilde
H_{n-1}\left(D^n\right)\cong0$ ist, sind $i_*$ und $r_*$ die
Nullabbildungen. Weil $\tilde H_{n-1}\left(\partial D^n\right)=\tilde
H_{n-1}\left(\S^{n-1}\right)\cong\Z$ ist, kann die Nullabbildung nicht
die Identit\"at sein. Widerspruch. Somit gibt es keine stetige
Retraktion $r:D^n\to\partial D^n$. \par
(Wir gehen nun wortw\"ortlich wie im letzten Semester vor, ersetzen
aber $2$ durch $n$:) Falls es eine Abbildung $f:D^n\to D^n$ gibt, die
keinen Fixpunkt besitzt, definieren wir eine stetige Retraktion von
$D^n$ nach $\S^{n-1}$, \dh eine stetige Abbildung $r:D^n\to\S^{n-1}$,
so dass $r|_{\S^{n-1}}$ die Identit\"at ist.  Sei $x\in D^n$.
Definiere $r(x)$ als den Punkt, in dem eine Halbgerade, die in $f(x)$
startet und durch $x$ geht, den Rand $\partial D^n=\S^{n-1}$
schneidet. Aufgrund der Stetigkeit von $f$ und der Fixpunktfreiheit
ist dies eine stetige Abbildung $D^n\to\S^{n-1}$. Nach Definition ist
auch klar, dass $r$ eine Retraktion ist.\par
Wir erhalten also einen Widerspruch, da wir oben gesehen hatten, dass
es keine Retraktion $r:D^n\to\S^{n-1}$ geben kann. 
\end{proof}

\Subsection{Relative Homologiegruppen}
\begin{definition}\label{rel hom gr def}
  Sei $X$ ein topologischer Raum und $A\subset X$. Sei
  $C_n(X,A):=C_n(X)/C_n(A)$. (Ketten in $A$ sind also in $C_n(X,A)$
  trivial.) Der Randoperator $\partial:C_n(X)\to C_{n-1}(X)$ bildet
  $C_n(A)$ nach $C_{n-1}(A)$ ab. Daher induziert $\partial$ auch auf
  den Quotientenr\"aumen einen Randoperator $\partial:C_n(X,A)\to
  C_{n-1}(X,A)$, \dh ist dort wohldefiniert. Wir erhalten also eine Folge
  von Abbildungen
$$\xymatrix@1{\ldots\ar[r]&C_n(X,A)\ar[r]^-\partial
&C_{n-1}(X,A)\ar[r]&\ldots\,.}$$
Diese erf\"ullen $\partial^2=0$, denn dies gilt bereits, bevor man zu
den Quotientengruppen \"ubergeht. Wir erhalten also einen
Kettenkomplex. Definiere die \emph{relativen Homologiegruppen}
$H_n(X,A)$ durch $H_n(X,A):=\ker\partial/\im\partial$. 
\end{definition}

\begin{remark}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Repr\"asentanten von Elementen in $H_n(X,A)$ hei\ss{}en
    \emph{relative Zykel} und sind repr\"asentiert durch $n$-Ketten
    $\alpha\in C_n(X)$, so dass $\partial\alpha\in C_{n-1}(A)$ ist.
  \item Ein relativer Zykel repr\"asentiert durch $\alpha$ ist in
    $H_n(X,A)$ genau dann trivial, wenn er ein \emph{relativer Rand}
    ist: $\alpha=\partial\beta+\gamma$ mit $\beta\in C_{n+1}(X)$ und
    $\gamma\in C_n(A)$. (Dies folgt, da in $H_n(X,A)$ aus $C_n(X)$
    gerade die Gruppen $\im\partial_{n+1}$ und $C_n(A)$
    herausdividiert werden.)
  \item Dies beschreibt gerade, dass $H_n(X,A)$ die \glqq Homologie
    von $X$ modulo $A$\grqq{} ist.
  \item $C_n(X)/C_n(A)$ ist (bis auf Isomorphie) auch eine Untergruppe
    von $C_n(X)$, mit den singul\"aren Simplizes $\sigma:\Delta^n\to
    X$ als Basis, deren Bild nicht vollst\"andig in $A$ liegt. (Sie
    l\"a\ss{}t sich als Untergruppe auffassen, da ihre Erzeuger als
    Teilmenge der Erzeuger von $C_n(X)$ gew\"ahlt werden k\"onnen.) Da
    diese Untergruppe jedoch nicht unter $\partial$ abgeschlossen ist
    (betrachte Simplizes, deren Bild teilweise in $A$ liegt),
    betrachten wir die Quotientengruppe $C_n(X)/C_n(A)$.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{theorem}\label{paare lange ex seq}
Sei $(X,A)$ ein Paar topologischer R\"aume. Dann gibt es eine lange
exakte Sequenz der Form 
\begin{align*}
\ldots&\to H_n(A)\to H_n(X)\to H_n(X,A)\to\\
\to&H_{n-1}(A)\to H_{n-1}(X)\to H_{n-1}(X,A)\to\\
\to&\ldots\to H_0(X,A)\to0.
\end{align*}  
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $i:C_n(A)\to C_n(X)$ die von der Inklusion $A\hookrightarrow X$
  induzierte Abbildung und $j:C_n(X)\to C_n(X,A)$ die
  Projektionsabbildung. Dann kommutiert das folgende Diagramm (mit
  exakten Zeilen)
$$\xymatrix{0\ar[r]&C_n(A)\ar[r]^-i\ar[d]^\partial
&C_n(X)\ar[r]^-j\ar[d]^\partial
&C_n(X,A)\ar[r]\ar[d]^\partial
&0\\
0\ar[r]&C_{n-1}(A)\ar[r]^-i
&C_{n-1}(X)\ar[r]^-j
&C_{n-1}(X,A)\ar[r]&0}$$
nach Definiton der Abbildungen $\partial$, bzw.{} nach Bemerkung
\ref{sharp partial vertauschen} und Definition \ref{rel hom gr def}. 
Die Behauptung folgt nun aus dem (rein algebraischen) Theorem \ref{alg
  lange ex hom seq thm}. Wir verwenden dabei die rotierte Form des
obigen kommutativen Diagramms. 
\end{proof}

\begin{definition}\label{ku ex seq ketten komp def}
  Ein \emph{kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen} 
$$0\to A\to B\to C\to0$$ ist ein kommutatives Diagramm der Form
\[\xymatrix{&0\ar[d]&0\ar[d]&0\ar[d]&\\
\ldots\ar[r]^-\partial&A_{n+1}\ar[r]^-\partial\ar[d]^-i
&A_{n}\ar[r]^-\partial\ar[d]^-i
&A_{n-1}\ar[r]^-\partial\ar[d]^-i&\ldots\\
\ldots\ar[r]^-\partial&B_{n+1}\ar[r]^-\partial\ar[d]^-j
&B_{n}\ar[r]^-\partial\ar[d]^-j
&B_{n-1}\ar[r]^-\partial\ar[d]^-j&\ldots\\
\ldots\ar[r]^-\partial&C_{n+1}\ar[r]^-\partial\ar[d]
&C_{n}\ar[r]^-\partial\ar[d]
&C_{n-1}\ar[r]^-\partial\ar[d]&\ldots\\
&0&0&0&}\]
in dem die Zeilen Kettenkomplexe und die Spalten kurze exakte
Sequenzen sind. (Die Abbildungen $i$ und $j$ sind hier Abbildungen
von Kettenkomplexen wie in Definition \ref{abb von ketten kompl def}.)
\end{definition}

\begin{theorem}\label{alg lange ex hom seq thm}
  Sei $0\to A\to B\to C\to 0$ eine kurze exakte Sequenz von
  Kettenkomplexen mit Bezeichnungen wie in Definition \ref{ku ex seq
    ketten komp def}. Seien $H_n(\cdot):=\ker\partial/\im\partial$ wie
  \"ublich f\"ur $\cdot=A,\,B,\,C$ die zugeh\"origen Homologiegruppen.
  Dann gibt es eine Abbildung $\partial:H_n(C)\to H_{n-1}(A)$ f\"ur
  alle $n$, so dass
\begin{align*}
&\xymatrix@1{\ldots\ar[r]&H_n(A)\ar[r]^-{i_*}&H_n(B)\ar[r]^-{j_*}
&H_n(C)\ar[r]^-\partial&}\\
&\xymatrix@1{\ar[r]^-\partial&H_{n-1}(A)\ar[r]^-{i_*}&H_{n-1}(B)
\ar[r]^-{j_*}&H_{n-1}(C)\ar[r]&\ldots}
\end{align*}
eine lange exakte Sequenz von Homologiegruppen ist.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Zun\"achst einmal konstruieren wir die Abbildung $\partial$.  (Dann
  werden wir die Exaktheit der Sequenz beweisen.) \par
  Die Randabbildung $\partial$ soll eine Abbildung $\partial:H_n(C)\to
  H_{n-1}(A)$ sein. Sei also $c\in C_n$ ein Zykel.  Da $j$ surjektiv
  ist, gibt es ein $b\in B_n$ mit $c=j(b)$. (Beachte, dass es hier
  zun\"achst einmal nur darum geht, dem Element $c\in C_n$ ein Element
  $\partial c\in A_{n-1}$ zuzuordnen. Erst sp\"ater wollen wir uns um
  die Wohldefiniertheit k\"ummern.) Aufgrund der Kommutativit\"at des
  Diagramms in der kurzen exakten Sequenz von Kettenkomplexen gilt
  $j\partial b=\partial jb=\partial c=0$, wobei wir ausgenutzt haben,
  dass $c=jb$ ist und dass $c$ ein Zykel ist, also $\partial c=0$
  erf\"ullt. Also gilt $B_{n-1}\ni \partial b\in\ker j$. \par
  Da die Sequenz exakt ist, gilt $\im i=\ker j$ und somit finden wir
  ein $a\in A_{n-1}$, so dass $ia=\partial b$ ist. Das Element $a$ ist
  ein Zykel, denn es gilt $i\partial a=\partial ia=\partial\partial
  b=0$ aufgrund der Kommutativit\"at des Diagrammes, wegen
  $ia=\partial b$ und da $\partial^2=0$ ist. $\partial a=0$ folgt nun,
  denn $i$ ist injektiv. \par
  Wir definieren nun $\partial:H_n(C)\to H_{n-1}(A)$ durch
  $\partial[c]:=[a]$, wobei $[\cdot]$ die jeweiligen Homologieklassen
  bezeichnet. \par
  Nachweis der Wohldefiniertheit:
  \begin{itemize}
  \item $a$ ist eindeutig bestimmt durch $\partial b$, denn $i$ ist
    injektiv. 
  \item W\"ahlt man statt $b$ ein anderes Element $b'\in B_n$, so dass
    $j(b')=j(b)$ gilt, so ist $b'-b\in\ker j=\im i$. Also gibt es ein
    $a'\in A_n$ mit $b'-b=ia'$ oder $b'=b+ia'$. Dann erh\"alt man
    statt $a\in A_{n-1}$ das Element $a+\partial a'$, denn es gilt
    $i(a+\partial a')=ia+i\partial a'=\partial b+\partial
    ia'=\partial(b+ia')$ und somit erf\"ullt $a+\partial a'$ die oben
    angegebene Vorschrift, um aus $b\in B_n$ ein Element $a\in
    A_{n-1}$ zu gewinnen. Bei Betrachtung der Homologiegruppen ist
    aber $[a]=[a+\partial a']$, da sich die Repr\"asentanten nur um
    ein Element in $\im\partial$ unterscheiden.
  \item Sei $c+\partial c'$ ein anderer Vertreter f\"ur die
    Homologieklasse $[c]$ mit $c'\in C_{n+1}$. Da $j$ surjektiv ist,
    finden wir $b'\in B_{n+1}$ mit $jb'=c'$. Dann gilt $c+\partial
    c'=c+\partial j b'=c+j\partial b'=j(b+\partial b')$ aufgrund der
    Kommutativit\"at des Diagramms. Also wird $b$ in der obigen
    Konstruktion durch $b+\partial b'$ ersetzt, aber $\partial
    b=\partial(b+\partial b')$ wegen $\partial^2=0$ und somit sind wir
    in $B_{n-1}$ wieder bei $\partial b$, was auch wieder dasselbe
    $a\in A_{n-1}$ liefert.
  \end{itemize} \par
  Die Abbildung $\partial:H_n(C)\to H_{n-1}(A)$ ist ein
  Homomorphismus, denn wenn $\partial[c_1]=[a_1]$ und
  $\partial[c_2]=[a_2]$ verm\"oge $b_1$ bzw.{} $b_2$ gelten, dann ist
  $j(b_1+b_2)=jb_1+jb_2=c_1+c_2$ und $i(a_1+a_2)=ia_1+ia_2=\partial
  b_1+\partial b_2=\partial(b_1+b_2)$. Somit gilt auch
  $\partial([c_1]+[c_2])=[a_1]+[a_2]$. Hier haben wir (\"ofters)
  benutzt, dass wir schon wissen, dass alle Abbildungen, au\ss{}er der
  neu konstruierten Randabbildung $\partial$, Homomorphismen sind. \par
  Nun wollen wir nachrechnen, dass die angegebene Sequenz (an jeder
  Stelle) exakt ist.
\[\xymatrix@1{H_n(A)\ar[r]^-{i_*}&H_n(B)\ar[r]^-{j_*}
&H_n(C)\ar[r]^-\partial&H_{n-1}(A)\ar[r]^-{i_*}&H_{n-1}(B)}\]
Es sind die folgenden sechs Inklusionen nachzurechnen:
\begin{itemize}
\item $\im i_*\subset\ker j_*$: Es gilt $ji=0$, da das Diagramm exakt
  ist. Somit gilt auch $j_*i_*=0$ und die Behauptung folgt.
\item $\im j_*\subset\ker\partial$: Sei $b$ ein Zykel. Dann ist
  $j_*[b]$ ein beliebiges Element in $\im j_*$ und es gilt
  $\partial^Bb=0$.  Somit ist nach Definition $a=0$ in der
  Konstruktion von $\partial$ und die Behauptung folgt.
\item $\im\partial\subset\ker i_*$: Mit den Bezeichnungen aus der
  Konstruktion von $\partial$ gilt $i_*\partial[c]=[\partial
  b]=0$, da in $H_\cdot(B)$ \"Aquivalenzklassen modulo $\im\partial$
  betrachtet werden.
\item $\ker j_*\subset\im i_*$: Nach Definition besitzt eine
  Homologieklasse in $\ker j_*$ als Vertreter einen Zykel $b\in B_n$,
  so dass $jb$ ein Rand ist (und daher $j_*[b]=0$ gilt). Also gibt es
  $c'\in C_{n+1}$ mit $\partial c'=jb$. Da $j$ surjektiv ist, finden
  wir $b'\in B_{n+1}$, so dass $c'=j(b')$ gilt. Es gilt $\partial
  jb'=\partial c'=jb$ und daher folgt $j(b-\partial b')=jb-j\partial
  b'=jb-\partial jb'=0$. Also ist $b-\partial b'\in\ker j=\im i$
  aufgrund der Exaktheit der kurzen exakten Sequenzen. Daher gibt es
  $a\in A_n$ mit $ia=b-\partial b'$. Es gilt $i\partial a=\partial
  ia=\partial(b-\partial b')=\partial b=0$, da $b$ ein Zykel ist. Nun
  ist $i$ injektiv und daher ist auch $a$ ein Zykel. Somit folgt
  $i_*[a]=[b-\partial b']=[b]$. Somit haben wir zu einer
  Homologieklasse $[b]\in\ker j_*$ ein $a$ gefunden, so dass
  $i_*[a]=[b]$ gilt, also folgt $\ker j_*\subset\im i_*$ wie
  behauptet.
\item $\ker\partial\subset\im j_*$: Wir verwenden wieder die
  Bezeichnungen aus der Konstruktion von $\partial$. Sei $c$ ein
  Vertreter einer Homologieklasse in $\ker\partial$. Dann gilt
  $a=\partial a'$ f\"ur ein $a'\in A_n$. Dann ist $b-ia'$ ein Zykel,
  denn es gilt $\partial(b-ia')=\partial b-\partial ia'=\partial
  b-i\partial a'=\partial b-ia=0$ nach Wahl von $a$. Weiterhin gilt
  $j(b-ia')=jb-jia'=jb=c$. Beachte, dass $j_*$ auf $[b-ia']$ definiert
  ist, da $b-ia'$ ein Zykel ist. Es gilt $j_*[b-ia']=[c]$ und wir
  schlie\ss{}en, dass $\ker\partial\subset\im j_*$ gilt.
\item $\ker i_*\subset\im\partial$: Sei $a\in A_{n-1}$ ein Zykel, so
  dass $[a]\in\ker i_*$ gilt. Dann gibt es $b\in B_n$ mit $ia=\partial
  b$. Es gilt $\partial jb=j\partial b=jia=0$ und somit ist $jb$ ein
  Zykel. Nach Definition von $\partial$ gilt schlie\ss{}lich noch
  $\partial[jb]=[a]$ und die Behauptung folgt.
\end{itemize}
\end{proof}
Die hier benutzte Methode wird \"ofter als Diagrammjagd bezeichnet.
Mit Hilfe einer exakten Sequenz k\"onnen viele Aussagen recht elegant
und komprimiert dargestellt werden. Die obigen algebraischen
\"Uberlegungen geh\"oren zum Gebiet der homologischen Algebra.

\begin{remark}\label{partial beschr paar rem}
  Die Randabbildung $\partial:H_n(X,A)\to H_{n-1}(A)$ in der langen
  exakten Sequenz 
  \begin{align*}
    &\xymatrix@1{\ldots\ar[r]&H_n(A)\ar[r]^-{i_*}&H_n(X)\ar[r]^-{j_*}
      &H_n(X,A)\ar[r]^-\partial&}\\
    &\xymatrix@1{\ar[r]^-\partial&H_{n-1}(A)\ar[r]^-{i_*}&H_{n-1}(X)\ar[r]
      &\ldots\ar[r]&H_0(X,A)\ar[r]&0}
  \end{align*}
  in Theorem \ref{paare lange ex seq} ist aufgrund der Konstruktion
  von $\partial$ in Theorem \ref{alg lange ex hom seq thm} die
  folgende Abbildung. Sei $\alpha$ ein relativer Zykel in $C_n(X)$,
  $[\alpha]\in H_n(X,A)$. Dann ist
  $\partial[\alpha]=[\partial\alpha]\in H_{n-1}(A)$.
\end{remark}

\begin{corollary}
  Sei $(X,A)$ ein Paar topologischer R\"aume und
  $H_n(X,A)\cong0$ f\"ur alle $n$. Dann induziert $i:A\hookrightarrow
  X$ Isomorphismen $\xymatrix@1{i_*:H_n(A)\ar[r]^-{\cong}&H_n(X)}$ f\"ur
  alle $n$. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
F\"ur alle $n$ ist 
$$\xymatrix@1{0\ar[r]&H_n(A)\ar[r]^{i_*}&H_n(X)\ar[r]&0}$$
eine exakte Sequenz.   
\end{proof}
% Aus der auf S. 118 angedeuteten Umkehrung vielleicht eine
% Uebungsaufgabe machen. 

\begin{remark}\label{red homol seq paar}
  Sei $(X,A)$ ein Paar topologischer R\"aume mit $A\neq\emptyset$.
  Erweitere die kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen $0\to
  C_n(A)\to C_n(X)\to C_n(X,A)\to 0$ f\"ur $n\ge0$ um die kurze exakte
  Sequenz 
$$\xymatrix@1{0\ar[r]&{\Z}\ar[r]^-\eins&{\Z}\ar[r]&0\ar[r]&0}$$
in Dimension $-1$. Dann liefert die algebraische Konstruktion von
Theorem \ref{alg lange ex hom seq thm} die folgende lange exakte
Homologiesequenz
  \begin{align*}
&\xymatrix@1{\ldots\ar[r]&\tilde H_n(A)\ar[r]^-{i_*}
&\tilde H_n(X)\ar[r]^-{j_*}&H_n(X,A)\ar[r]^-\partial&}\\
&\xymatrix@1{\ar[r]^-\partial&\tilde H_{n-1}(A)\ar[r]^-{i_*}
&\tilde H_{n-1}(X)\ar[r]&\ldots\ar[r]&H_0(X,A)\ar[r]&0.}
  \end{align*}
Beachte dazu, dass $\epsilon:C_0(A)\to\Z$ f\"ur $A\neq\emptyset$
surjektiv ist und somit keine negativen Homologiegruppen auftreten. 
% Die Behauptung, dass H_0(X,A)=\tilde H_0(X,A) gilt, ist mir unklar
% oder einfach nur Definition.
\end{remark}
% Reduzierte lange exakte Homologiesequenz (Details dazu) als
% Uebungsaufgabe stellen. Vgl. dazu insbesonder den Hinweis auf S. 118
% oben.

\begin{beispiel}\label{Dn delDn bsp}
  Sei $n>0$. In der langen exakten Homologiesequenz f\"ur das Paar
  $(D^n,\partial D^n)$ gilt $\tilde H_i(D^n)\cong0$ f\"ur alle $i$.
  Daher sind die Abbildungen $$\partial:H_i(D^n,\partial D^n)\to\tilde
  H_{i-1}(\S^{n-1})=\tilde H_{i-1}(\partial D^n)$$ Isomorphismen f\"ur $i>0$.
  F\"ur $i=0$ benutzen wir, dass in der Homologiesequenz 
  $0\to H_0(D^n,\partial D^n)\to0$ auftritt. Wir erhalten also
\[H_i(D^n,\partial D^n)\cong
\begin{cases}
  \Z,&i=n,\\
  0,&\text{sonst.}
\end{cases}\]
Im Falle $n=0$ benutzen wir Proposition \ref{pkt hom prop} und
erhalten ebenfalls 
\[H_i(D^0,\partial D^0)=H_i(D^0,\emptyset)\cong H_i(D^0)\cong
\begin{cases}
  \Z,&i=0,\\
  0,&\text{sonst.}
\end{cases}\]
\end{beispiel}

\begin{beispiel}\label{X pkt paar bsp}
  Sei $X$ ein topologischer Raum und $x_0\in X$. Wir wenden die lange
  exakte Homologiesequenz f\"ur die reduzierten Homologiegruppen auf
  das Paar $(X,x_0)$ (oder genauer: $(X,\{x_0\})$) an. Da $\tilde
  H_n(x_0)\cong0$ f\"ur alle $n$ gilt, erhalten wir $H_n(X,x_0)\cong
  \tilde H_n(X)$ f\"ur alle $n$. 
\end{beispiel}

\begin{lemma}
  Sei $f:(X,A)\to(Y,B)$ eine Abbildung von Paaren, \dh $f:X\to Y$ ist
  eine stetige Abbildung zwischen topologischen R\"aumen und es gilt
  $f(A)\subset B$. Dann induziert $f$ einen Homomorphismus
  $f_*:H_n(X,A)\to H_n(Y,B)$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Zun\"achst induziert $f$ einen Homomorphismus $f_\sharp:C_n(X,A)\to
  C_n(Y,B)$, da die Kettenabbildung $f_\sharp:C_n(X)\to C_n(Y)$ auch
  $f_\sharp(C_n(A))\subset C_n(B)$ erf\"ullt. Daher ist $f_\sharp$
  auch auf den Quotientengruppen wohldefiniert. In den absoluten
  Kettengruppen $C_n(X)$ und $C_n(Y)$ gilt die Beziehung
  $f_\sharp\partial=\partial f_\sharp$. Somit gilt diese Relation auch
  f\"ur die relativen Kettengruppen $C_n(X)/C_n(A)$ und
  $C_n(Y)/C_n(B)$. Wir k\"onnen also Lemma \ref{ketten abb induz
    homolgr} anwenden und erhalten einen induzierten Homomorphismus
  $f_*:H_n(X,A)\to H_n(Y,B)$.
\end{proof}

\begin{proposition}\label{paar homot induz iso prop}
  Seien zwei Abbildungen $f,\,g:(X,A)\to(Y,B)$ mittels einer Homotopie
  von Paaren homotop, dann gilt $f_*=g_*:H_n(X,A)\to H_n(Y,B)$. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Der Prismenoperator aus dem Beweis von Theorem \ref{homotop isomorph
    homotopiegr} bildet $C_n(A)$ nach $C_{n+1}(B)$ ab. Daher induziert
  er einen relativen Prismenoperator auf den Quotientengruppen,
  $P:C_n(X,A)\to C_{n+1}(Y,B)$. Wir hatten nachgewiesen, dass
  $\partial P+P\partial=g_\sharp-f_\sharp$ gilt. Diese Formel bleibt
  auch richtig, wenn wir zu Quotientengruppen \"ubergehen. Daher sind
  die Abbildungen $f_\sharp$ und $g_\sharp$ kettenhomotop zueinander
  und induzieren daher nach Proposition \ref{ketten hom isom prop}
  denselben Homomorphismus $f_*=g_*:H_n(X,A)\to H_n(Y,B)$.
\end{proof}

\begin{definition}
  Ein Tripel $(X,A,B)$ topologischer R\"aume ist ein topologischer
  Raum $X$ mit Teilmengen $A$ und $B$, so dass $B\subset A\subset X$.
\end{definition}

\begin{corollary}\label{tripel homol seq}
  Sei $(X,A,B)$ ein Tripel topologischer R\"aume. Dann gibt es eine
  lange exakte Homologiesequenz
$$\ldots\to H_n(A,B)\to H_n(X,B)\to H_n(X,A)\to H_{n-1}(A,B)\to\ldots.$$
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  (Dies ist ein Korollar zu Theorem \ref{alg lange ex hom seq thm}.)
  Wir haben die kurze exakte Sequenz
$$0\to C_n(A)\to C_n(X)\to
\underbrace{C_n(X)/C_n(A)}_{=C_n(X,A)}\to0.$$
Hieraus erhalten wir durch Quotientenbildung die kurze exakte Sequenz
$$0\to C_n(A,B)\to C_n(X,B)\to C_n(X,A)\to0.$$
Die zugeh\"orige lange exakte Sequenz ist gerade die oben angegebene
Sequenz. 
\end{proof}

\begin{remark}
  Bestehe nun speziell $B$ aus einem einzelnen Punkt. Nach Beispiel
  \ref{X pkt paar bsp} ist $H_n(X,B)\cong\tilde H_n(X)$ und
  $H_n(A,B)\cong\tilde H_n(A)$. Dann erhalten wir aus der langen
  exakten Homologiesequenz f\"ur Tripel die reduzierte lange exakte
  Homologiesequenz f\"ur das Paar $(X,A)$ wie in Bemerkung \ref{red
    homol seq paar}.
\end{remark}

\Subsection{Ausschneidungen}
Manchmal \"andern sich die relativen Homologiegruppen $H_n(X,A)$
nicht, wenn man eine Teilmenge $Z\subset A$ ausschneidet bzw.{}
wegl\"asst. 

\begin{theorem}\label{ausschneid thm}
  Seien topologische R\"aume $Z\subset A\subset X$ gegeben, so dass
  $\ol Z\subset\interior A$ gilt. Dann induziert die Inklusion
  $(X\setminus Z, A\setminus Z)\hookrightarrow(X,A)$ f\"ur alle $n$
  Isomorphismen $H_n(X\setminus Z,A\setminus Z)\to H_n(X,A)$. \par
  Anders ausgedr\"uckt gilt f\"ur Teilmengen $A,\,B\subset X$ mit
  $X=\interior A\cup\interior B$, dass $(B,A\cap
  B)\hookrightarrow(X,A)$ f\"ur alle $n$ einen Isomorphismus
  $H_n(B,A\cap B)\to H_n(X,A)$ induziert.
\end{theorem}

\begin{remark}
  Zun\"achst einmal sind die beiden Formulierungen \"aquivalent, denn
  setzen wir in der zweiten Formulierung $B=X\setminus Z$, dann gilt 
  $Z=X\setminus B$ und weiter $A\cap B=A\setminus Z$. Es gilt 
  \begin{align*}
    &\,\ol Z\subset\interior A\\
    \aequivalent&\,\ol{X\setminus B}\subset\interior A\\
    \aequivalent&\,X\setminus\interior B\subset\interior A\\
    \aequivalent&\,\interior A\cup\interior B=X.
  \end{align*}
\end{remark}

F\"ur den Beweis von Theorem \ref{ausschneid thm} werden wir
Homologiegruppen mit Hilfe von \glqq kleinen\grqq{} Simplizes berechnen,
die wir aus baryzentrischen Unterteilungen erhalten. Kleinheit
bedeutet hier in einem metrischen Raum, dass der Durchmesser des
Bildes klein ist. In allgemeinen topologischen R\"aumen definieren wir
Kleinheit dadurch, dass das Bild in einer Menge einer vorgegebenen
\"Uberdeckung enthalten ist.

\begin{definition}
  Sei $X$ ein topologischer Raum und $\U=\{U_j\}$ eine Familie von
  Teilmengen, so dass $\bigcup\limits_j\interior U_j=X$ gilt. Sei
  $C^{\U}_n(X)$ die Untergruppe von $C_n(X)$, die aus allen Ketten
  $\sum\limits_i n_i\sigma_i$ besteht, so dass f\"ur jedes $i$ ein $j$
  existiert, so dass $\im\sigma_i\subset U_j$ gilt. Nach Definition
  der Randabbildung liegen Bilder von Ketten aus $C^{\U}_n(X)\subset
  C_n(X)$ in $C^{\U}_{n-1}(X)\subset C_{n-1}(X)$. Wir erhalten also durch
  Einschr\"ankung eine Randabbildung $\partial:C^{\U}_n(X)\to
  C^{\U}_{n-1}(X)$. Daher bilden die Gruppen $C^{\U}_n(X)$ mit
  Randabbildung $\partial$ einen Kettenkomplex. Die zugeh\"origen
  Homologiegruppen bezeichnen wir mit $H^{\U}_n(X)$. 
\end{definition}

F\"ur den Beweis von Theorem \ref{ausschneid thm} ben\"otigen wir die
folgende technische 
\begin{proposition}\label{bary sub div prop}
  Die Inklusion $\iota:C^{\U}_n(X)\hookrightarrow C_n(X)$ ist eine
  Kettenhomotopie\"aquivalenz, \dh es gibt eine Kettenabbildung
  $\rho:C_n(X)\to C^{\U}_n(X)$, so dass $\iota\rho$ und $\rho\iota$
  kettenhomotop zur Identit\"at sind. Also induziert $\iota$ nach
  Proposition \ref{ketten hom isom prop} f\"ur alle $n$ einen
  Isomorphismus $H^{\U}_n(X)\cong H_n(X)$. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
Der l\"angere Beweis mit baryzentrischer Unterteilung gliedert sich in
vier Schritte.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Baryzentrische Unterteilung der Simplizes: Ein Simplex
  $[v_0,\ldots,v_n]$ besteht aus den Punkten $\sum\limits_it_iv_i$ mit
  $\sum\limits_it_i=1$ und $t_i\ge0$ f\"ur alle $i$. Das
  \emph{Baryzentrum} oder der \glqq Schwerpunkt\grqq{} des Simplexes
  $[v_0,\ldots,v_n]$ ist der Punkt $b=\sum\limits_i\frac1{n+1}v_i$,
  f\"ur den wir also $t_i=\frac1{n+1}$ f\"ur alle $i$ setzen. Die
  \emph{baryzentrische Unterteilung} ist nun induktiv definiert. Sei
  $[v_0,\ldots,v_n]$ ein Simplex. Seine baryzentrische Unterteilung
  ist eine Unterteilung in die $n$-Simplizes $[b,w_0,\ldots,w_{n-1}]$,
  wobei $[w_0,\ldots,w_{n-1}]$ ein $(n-1)$-Simplex in der
  baryzentrischen Unterteilung einer Seite $[v_0,\ldots,\hat
  v_i,\ldots,v_n]$ ist. Induktionsanfang ist dabei die baryzentrische
  Unterteilung von $[v_0]$, die als $[v_0]$ selbst definiert ist.
  (Hier ist das Bild selber wieder nur ein Punkt und wir m\"ussen
  daher auch nicht weiter unterteilen.) F\"ur $n=1$ unterteilen wir
  das Simplex $[v_0,v_1]$ in $[b,v_0]$ und $[b,v_1]$, zwei Strecken,
  und f\"ur $n=2$ unterteilen wir $[v_0,v_1,v_2]$ in sechs Dreiecke,
  wenn wir die Baryzentren von $[v_0,v_1]$ mit $b_2$ bezeichnen,
  \ldots, so sind die Dreiecke ($2$-Simplizes) gerade $[b,b_2,v_0]$,
  $[b,b_2,v_1]$, $[b,b_0,v_1]$, $[b,b_0,v_2]$, $[b,b_1,v_2]$ und
  $[b,b_1,v_0]$. Die baryzentrische Unterteilung eines $3$-Simplizes
  besteht aus 24 $3$-Simplizes. Aufgrund der induktiven Definition
  sind die Ecken der Simplizes in der baryzentrischen Unterteilung
  gerade die Baryzentren aller $k$-dimensionalen Seiten
  $[v_{i_0},\ldots,v_{i_k}]$ von $[v_0,\ldots,v_n]$ f\"ur alle $0\le
  k\le n$. F\"ur $k=0$ erhalten wir gerade eine Ecke $v_i$ des
  urspr\"unglichen Simplizes, denn sie ist das Baryzentrum des
  $0$-Simplizes $[v_i]$. Das Baryzentrum von
  $[v_{i_0},\ldots,v_{i_k}]$ hat die baryzentrischen Koordinaten
  $(t_i)$ mit mit 
\[t_i=
\begin{cases}
  \frac1{k+1}&\text{f\"ur }i\in\{i_0,\ldots,i_k\},\\
  0&\text{sonst.}
\end{cases}\]
\par
Wir bemerken, dass die $n$-Simplizes einer baryzentrischen
Unterteilung von $\Delta^n$ und alle ihre Seiten eine
$\Delta$-Komplexstruktur f\"ur $\Delta^n$ bilden, sogar eine
simpliziale Struktur (was wir hier allerdings nicht definiert haben).
\par
Wir behaupten, dass der Durchmesser jedes Simplizes in der
baryzentrischen Unterteilung von $[v_0,\ldots,v_n]$ h\"ochstens $\frac
n{n+1}$ mal der Durchmesser von $[v_0,\ldots,v_n]$ ist. Der
Durchmesser ist hier der Durchmesser des Simplexes, wenn wir ihn als
Teilmenge eines Euklidischen Raumes $\R^k$ betrachten. Zun\"achst
einmal wird der Durchmesser zwischen zwei Ecken des Simplizes
angenommen, denn es gilt f\"ur zwei Punkte $v,\,\sum\limits_it_iv_i\in
[v_0,\ldots,v_n]$
$$\left|v-\sum\limits_it_iv_i\right|=\left|\sum\limits_it_i(v-v_i)\right|
\le\sum\limits_it_i|v-v_i|\le\sum\limits_it_i\max\limits_i|v-v_i|
=\max\limits_i|v-v_i|.$$ Wenden wir diese Formel auf den Abstand
zwischen zwei beliebigen Punkten im Simplex an, so k\"onnen wir also
den Abstand vergr\"o\ss{}ern, wenn wir einen dieser Punkte durch eine
Ecke ersetzen. Nach nochmaliger Anwendung haben wir beide Punkte durch
Eckpunkte ersetzt. F\"ur die eigentliche Absch\"atzung argumentieren
wir per Induktion. Wir d\"urfen $n\ge1$ annehmen. Seien also $w_j$ und
$w_k$ zwei beliebige Ecken eines Simplexes $[w_0,\ldots,w_n]$ aus der
baryzentrischen Unterteilung von $[v_0,\ldots,v_n]$. Ist keiner der
beiden Punkte das Baryzentrum, so liegen sie beide in einem Simplex,
den wir nach baryzentrischer Unterteilung von $[v_0,\ldots,\hat
v_i,\ldots,v_n]$ erhalten haben. Daher ist der Abstand nach
Induktionsvoraussetzung durch $\frac{n-1}n\le\frac n{n+1}$ mal dem
Durchmesser von $[v_0,\ldots,\hat v_i,\ldots,v_n]$ nach oben
beschr\"ankt, der kleiner als der von $[v_0,\ldots,v_n]$ ist. Sei also
ohne Einschr\"ankung $w_j$ das Baryzentrum $b$ und $w_k$ eine Ecke
$v_i$. Sei nun $b_i$ das Baryzentrum von $[v_0,\ldots,\hat
v_i,\ldots,v_n]$, also der Punkt f\"ur den alle baryzentrischen
Koordinaten $1/n$ sind bis auf $t_i=0$. Dann gilt
$b=\frac1{n+1}v_i+\frac n{n+1}b_i$. Wir haben also $b$ als
Konvexkombination von $v_i$ und $b_i$ dargestellt. Auf der Geraden
durch $v_i$, $b$ und $b_i$ ist also $\dist(b,v_i)=\frac
n{n+1}\dist(b_i,v_i)$. Daher ist $\dist(b,v_i)$ nach oben durch $\frac
n{n+1}$-mal dem Durchmesser von $[v_0,\ldots,v_n]$ beschr\"ankt. \par
Beachte, dass der Faktor $\frac n{n+1}$ nur von der Dimension
abh\"angt, bei iterierter baryzentrischer Unterteilung also in
kontrollierter Weise gegen Null geht, obwohl die Form der Simplizes in
der baryzentrischen Unterteilung unterschiedlich ist.
\item Baryzentrische Unterteilung linearer Ketten: Im Beweis wollen
  wir insbesondere einen Unterteilungsoperator $S:C_n(X)\to C_n(X)$
  konstruieren und nachweisen, dass dieser kettenhomotop zur
  Identit\"at ist. Zun\"achst wollen wir solch einen Operator in einem
  einfacheren Fall konstruieren.\par
  Sei $Y$ eine konvexe Teilmenge eines Euklidischen Raumes. Die
  (affin) linearen Abbildungen $\Delta^n\to Y$ erzeugen eine
  Untergruppe von $C_n(Y)$. Wir bezeichnen sie mit $LC_n(Y)$, die
  Gruppe der \emph{linearen Ketten}. Nach Definition des Randoperators
  bildet $\partial:C_n(Y)\to C_{n-1}(Y)$ die Menge $LC_n(Y)$ nach
  $LC_{n-1}(Y)$ ab. Daher bilden die Gruppen $LC_n(Y)$ und die
  Randabbildung $\partial$ einen Unterkomplex von $C_n(Y)$. Definiere
  f\"ur einen Simplex $[w_0,\ldots,w_n]\subset Y$ eine affin lineare
  Abbildung $\lambda:\Delta^n\to Y$ durch $\lambda(e_i):=w_i$ und
  affin lineare Fortsetzung, wobei $e_i$ die Ecken des
  Standardsimplizes $\Delta^n$ bezeichnen. Um keine
  Fallunterscheidungen f\"ur $0$-Simplizes machen zu m\"ussen,
  erweitern wir den Komplex $LC(Y)$ durch $LC_{-1}(Y)=\Z$, erzeugt vom
  leeren Simplex $[\emptyset]$ sowie $\partial[w_0]=[\emptyset]$ f\"ur
  alle $0$-Simplizes $[w_0]$.  (Dies ist nat\"urlich weiterhin ein
  Komplex, da das Bild eines $1$-Simplex aus zwei $0$-Simplizes mit
  unterschiedlichen Vorzeichen besteht.)\par
  F\"ur einen beliebigen Punkt $b\in Y$ erhalten wir einen
  Homomorphismus $b:LC_n(Y)\to LC_{n+1}(Y)$ (unter Verwendung von
  leicht doppeldeutiger Notation) durch
  $b([w_0,\ldots,w_n]):=[b,w_0,\ldots,w_n]$ (genauer w\"are dies f\"ur
  die entsprechenden Abbildungen zu definieren). Dies entspricht
  geometrisch dem Kegeloperator mit $[w_0,\ldots,w_n]$ als Basis und
  $b$ als Spitze. Nach Definition des Randoperators erhalten wir
  \begin{align*}
    \partial b([w_0,\ldots,w_n])=&\,[w_0,\ldots,w_n]+\sum\limits_{i=0}^n
    (-1)^{i+1}[b,w_0,\ldots,\hat w_i,\ldots,w_n]\\
    =&\,[w_0,\ldots,w_n]-b\partial[w_0,\ldots,w_n].
  \end{align*}
  Aufgrund der Linearit\"at erhalten wir $\partial
  b(\alpha)=\alpha-b(\partial\alpha)$ f\"ur alle $\alpha\in LC_n(Y)$.
  Dies dr\"uckt algebraisch die geometrische Tatsache aus, dass der
  Rand eines Kegels aus der Basis und dem Kegel des Randes besteht.
  Schreiben wir diese Relation um, so erhalten wir $\partial
  b+b\partial=\eins$, also ist $b$ eine Kettenhomotopie zwischen der
  Identit\"at und der Nullabbildung im erweiterten Komplex
  $LC(Y)$.\par
  Wir definieren nun induktiv einen Unterteilungshomomorphismus
  $$S:LC_n(Y)\to LC_n(Y).$$ Sei $\lambda:\Delta^n\to Y$ ein Erzeuger von
  $LC_n(Y)$ und sei
  $$b_\lambda:=\lambda\left(\frac1{n+1},\ldots,\frac1{n+1}\right)$$ das
    Bild des Baryzentrums von $\Delta^n$ unter $\lambda$. Induktiv
    definieren wir nun $S$ mit Hilfe des Kegeloperators $b_\lambda$,
    definiert wie im letzten Abschnitt,
    $S(\lambda):=b_\lambda(S\partial\lambda)$. Als Induktionsanfang
    definieren wir $S:LC_{-1}(Y)\to LC_{-1}(Y)$ als Identit\"at,
    $S([\emptyset]):=[\emptyset]$. Wir beobachten, dass $S:LC_0(Y)\to
    LC_0(Y)$ ebenfalls die Identit\"at ist, denn in diesem Fall
    erhalten wir $S([w_0])=w_0(S\partial[w_0])=w_0(S[\emptyset])
    =w_0([\emptyset])=[w_0]$. Ist nun $\lambda:\Delta^n\to Y$ eine
    Einbettung mit $\im\lambda=[w_0,\ldots,w_n]$, dann ist
    $S(\lambda)$ die Summe (mit gewissen Vorzeichen) von $n$-Simplizes
    in der baryzentrischen Unterteilung von $[w_0,\ldots,w_n]$. Dies
    folgt, wenn man die induktiven Definitionen f\"ur die
    baryzentrische Unterteilung und den Unterteilungshomomorphismus
    $S$ vergleicht.\par
Wir behaupten nun, dass $S:LC(Y)\to LC(Y)$ eine Kettenabbildung ist,
also $\partial S=S\partial$ erf\"ullt. Zun\"achst gilt $S=\eins$ auf
$LC_{-1}(Y)$ und $LC_0(Y)$. Die allgemeine Behauptung folgt nun per
Induktion aus der folgenden Rechnung
\begin{align*}
  \partial
  S\lambda=&\,\partial(b_\lambda(S\partial\lambda))&&\text{nach
    Definition von $S$}\\
  =&\,S\partial\lambda-b_\lambda\partial S\partial\lambda
  &&\text{da }\partial b_\lambda+b_\lambda\partial=\eins\\
  =&\,S\partial\lambda-b_\lambda(S\partial\partial\lambda)&&\text{nach
    Induktionsannahme}\\
  =&\,S\partial\lambda&&\text{da }\partial\partial=0.
\end{align*}
Wir definieren nun eine Kettenhomotopie $T:LC_n(Y)\to LC_{n+1}(Y)$
zwischen $S$ und der Identit\"at, die in das folgende Diagramm passt
\[\xymatrix{\ldots\ar[r]&LC_2(Y)\ar[r]^-\partial\ar[d]^-S
&LC_1(Y)\ar[r]^-\partial\ar[d]^-S\ar[dl]^-T
&LC_0(Y)\ar[r]^-\partial\ar[d]^-{S=\eins}\ar[dl]^-T
&LC_{-1}(Y)\ar[r]\ar[d]^-{S=\eins}\ar[dl]^-{T=0}&0\\
\ldots\ar[r]&LC_2(Y)\ar[r]^-\partial
&LC_1(Y)\ar[r]^-\partial
&LC_0(Y)\ar[r]^-\partial
&LC_{-1}(Y)\ar[r]&0\,.
}\]
Definiere $T:LC_n(Y)\to LC_{n+1}(Y)$ induktiv durch
\[T(\lambda):=
\begin{cases}
  0,&n=-1,\\
  b_\lambda(\lambda-T\partial\lambda),&n\ge0.
\end{cases}\]
(Geometrisch kann man sich dies veranschaulichen mit Hilfe einer
induktiv definierten Unterteilung von $\Delta^n\times I$, die man
erh\"alt, indem man alle Simplizes in $(\Delta^n\times\{0\})\cup
(\partial\Delta^n\times I)$, die man auf diese Weise erh\"alt mit dem
Schwerpunkt von $\Delta^n\times\{1\}$ verbindet. $T$ entspricht dann
gerade dem Bild dieser Unterteilung unter der Projektion
$\Delta^n\times I\to\Delta^n$.)\par
Wir wollen nun $\partial T+T\partial=\eins-S$ nachrechnen, was besagt,
dass $T$ eine Kettenhomotopie ist. F\"ur die Abbildung $LC_{-1}(Y)\to
LC_{-1}(Y)$ ist dies erf\"ullt, denn in dieser Dimension gilt $T=0$
und $S=\eins$. Wir gehen nun induktiv vor und wollen die Formel f\"ur
Abbildungen $LC_n(Y)\to LC_n(Y)$ nachrechnen:
\begin{align}\label{Tdel delT}
  \partial T\lambda=&\,\partial(b_\lambda(\lambda-T\partial\lambda))
  &&\text{nach Definition}\\
=&\,(\eins-b_\lambda\partial)(\lambda-T\partial\lambda)&&\text{da }
\partial b_\lambda=\eins-b_\lambda\partial\nonumber\\
=&\,\lambda-T\partial\lambda-b_\lambda\partial\lambda
+b_\lambda\partial T\partial\lambda&&\nonumber\\
=&\,\lambda-T\partial\lambda-b_\lambda\partial\lambda
+b_\lambda(-T\partial+\eins-S)\partial\lambda
&&\text{nach Induktion}\nonumber\\
=&\,\lambda-T\partial\lambda-b_\lambda\partial\lambda
-b_\lambda T\partial\partial\lambda+b_\lambda\partial\lambda
-b_\lambda S\partial\lambda&&\nonumber\\
=&\,\lambda-T\partial\lambda-b_\lambda S\partial\lambda&&
\text{da }\partial\partial=0\nonumber\\
=&\,\lambda-T\partial\lambda-S\lambda,&&\nonumber
\end{align}
da nach Definition $S\lambda=b_\lambda S\partial\lambda$.\par
Nun sind wir mit der Induktion fertig und lassen ab jetzt wieder
$LC_{-1}(Y)$ weg. Die Relation $\partial T+T\partial=\eins-S$ bleibt
auch ohne die Gruppe $LC_{-1}(Y)$ g\"ultig, denn $T:LC_{-1}(Y)\to
LC_0(Y)$ war die Nullabbildung. 
\item Baryzentrische Unterteilung allgemeiner Ketten: Definiere den
  Unterteilungshomomorphismus $S:C_n(X)\to C_n(X)$ durch
  $S\sigma:=\sigma_\sharp S\eins_{\Delta^n}=\sigma_\sharp S$ f\"ur ein
  Simplex $\sigma:\Delta^n\to X$ und $\eins_{\Delta^n}\in
  LC_n\left(\R^{n+1}\right)$. Da $S\eins_{\Delta^n}$ eine Summe von
  $n$-Simplizes in der baryzentrischen Unterteilung von $\Delta^n$
  (mit gewissen Vorzeichen) ist, ist $S\sigma$ die entsprechende Summe
  (mit Vorzeichen) der Einschr\"ankungen von $\sigma$ auf die
  $n$-Simplizes in der baryzentrischen Unterteilung von $\Delta^n$.
  Um nachzurechnen, dass die Abbildung $S$ eine Kettenabbildung ist,
  definieren wir
$\Delta^n_i:=[e_0,\ldots,\hat e_i,\ldots,e_n]$. Wir erhalten damit
  \begin{align*}
    \partial S\sigma=&\,\partial\sigma_\sharp S\eins_{\Delta^n}
    =\sigma_\sharp\partial S\eins_{\Delta^n}
    =\sigma_\sharp S\partial\eins_{\Delta^n}\umbruch\\
    =&\,\sigma_\sharp S
    \left(\sum\limits_i(-1)^i\eins_{\Delta^n_i}\right)
    =\sum\limits_i(-1)^i\sigma_\sharp S\eins_{\Delta^n_i}\umbruch\\
    =&\,\sum\limits_i(-1)^iS(\sigma|_{\Delta^n_i})
    =S\left(\sum\limits_i(-1)^i\sigma|_{\Delta^n_i}\right)\umbruch\\
    =&\,S\partial\sigma.
  \end{align*}
  Benutze f\"ur das drittletzte Gleichheitszeichen induktiv die
  behauptete Aussage eine Dimension niedriger.\par Analog definieren
  wir $T:C_n(X)\to C_{n+1}(X)$ durch $T\sigma:=\sigma_\sharp
  T\eins_{\Delta^n}$. Wir wollen nachrechnen, dass $T$ eine
  Kettenhomotopie zwischen $S$ und der Identit\"at ist, also $\partial
  T+T\partial=\eins-S$ erf\"ullt. Wir erhalten unter Verwendung von
  \eqref{Tdel delT}
  \begin{align*}
    \partial T\sigma=&\,\partial\sigma_\sharp T\eins_{\Delta^n}
    =\sigma_\sharp\partial T\eins_{\Delta^n}
    =\sigma_\sharp(\eins_{\Delta^n}-S\eins_{\Delta^n}
    -T\partial\eins_{\Delta^n})\\
    =&\,\sigma-S\sigma-\sigma_\sharp T\partial\eins_{\Delta^n}
    =\sigma-S\sigma-T\partial\sigma.
  \end{align*}
F\"ur die letzte Gleichheit haben wir dabei die folgenden Umformungen,
die denen beim Nachweis von $\partial S\sigma=S\partial\sigma$ sehr
\"ahnlich sind, benutzt
\begin{align*}
  \sigma_\sharp T\partial\eins_{\Delta^n}=&\,\sigma_\sharp
  T\left(\sum\limits_i(-1)^i\eins_{\Delta^n_i}\right)
  =\sum\limits_i(-1)^i\sigma_\sharp T\eins_{\Delta^n_i}\\
  =&\,\sum\limits_i(-1)^iT\sigma|_{\Delta^n_i}
  =T\left(\sum\limits_i(-1)^i\sigma|_{\Delta^n_i}\right)
  =T\partial\sigma.
\end{align*}
Wiederum haben wir hier beim drittletzten Gleichheitszeichen die
behauptete Aussage induktiv angenommen.
\item Iterierte baryzentrische Unterteilungen:
Definiere $D_m:C_n(X)\to C_{n+1}(X)$ durch
$D_m:=\sum\limits_{i=0}^{m-1}TS^i$. Wir behaupten, dass $D_m$ eine
Kettenhomotopie zwischen $\eins$ und $S^m$ ist, dass also $\partial
D_m+D_m\partial=\eins-S^m$ gilt. Mit Hilfe einer Teleskopsumme
erhalten wir
\begin{align*}
  \partial D_m+D_m\partial=&\,\sum\limits_{i=0}^{m-1}\partial
  TS^i+TS^i\partial
  =\sum\limits_{i=0}^{m-1}\partial TS^i+T\partial S^i&& \text{da
  }\partial S=S\partial\\
=&\,\sum\limits_{i=0}^{m-1}(\partial T+T\partial)S^i
=\sum\limits_{i=0}^{m-1}(\eins-S)S^i&&\text{siehe oben}\\
=&\,\sum\limits_{i=0}^{m-1}S^i-S^{i+1}
=\eins-S^m&&\text{Teleskopsumme.}
\end{align*}
F\"ur jeses singul\"are $n$-Simplex $\sigma:\Delta^n\to X$ gibt es ein
$m$, so dass $S^m\sigma$ in $C^{\U}_n(X)$ liegt. (Dies folgt mit Hilfe
der Kompaktheit von $\Delta^n$ direkt wie folgt. Wir bezeichnen
$S^m\eins_{\Delta^n}$ mit $S^m\Delta^n$. Aufgrund des ersten Teiles
finden wir f\"ur jedes $\epsilon>0$ ein $m$, so dass alle Simplizes in
$S^m\Delta^n$, als Teilmengen von $\Delta^n$ aufgefasst, einen
Durchmesser kleiner als $\epsilon$ haben. \"Uberdecke $\Delta^n$ mit
den offenen Mengen $\sigma^{-1}\left(\interior U_j\right)$, $U_j\in\U$. Aufgrund
der Kompaktheit von $\Delta^n$ gibt es ein $\epsilon>0$
(Lebesguezahl), so dass es f\"ur alle $x\in\Delta^n$ ein $j$ gibt, so
dass $B_\epsilon(x)\cap\Delta^n\subset\sigma^{-1}\left(\interior U_j\right)$ ist.
Damit gilt f\"ur gen\"ugend gro\ss{}es $m$, dass jeder Simplex $A$ aus
$S^m\Delta^n$, aufgefasst als Teilmenge von $\Delta^n$,
$A\subset\sigma^{-1}\left(\interior U_j\right)$ f\"ur ein $j$ erf\"ullt.  Damit
gilt $\sigma(A)\subset U_j$ f\"ur ein $j$. Beachte, dass dieses $m$
von $\sigma$ abh\"angt.) Sei $m(\sigma)\in\N$ minimal, so dass
$S^m\sigma$ in $C^{\U}_n(X)$ ist.\par
Definiere nun $D:C_n(X)\to C_{n+1}(X)$ durch
$D\sigma:=D_{m(\sigma)}\sigma$ und lineare Fortsetzung. Beachte, dass
hier bei einer Summe von Simplizes verschiedene Operatoren $D_m$
auftreten k\"onnen. Wir wollen nachrechnen, dass $D$ eine
Kettenhomotopie ist. Wir haben bereits gesehen, dass 
$$\partial D_{m(\sigma)}\sigma+D_{m(\sigma)}\partial\sigma
=\sigma-S^{m(\sigma)}\sigma$$ gilt. Da $\partial
D_{m(\sigma)}\sigma=\partial D\sigma$ ist, ist dies \"aquivalent zu
\begin{align*}
\partial D\sigma+D\partial\sigma =&\,\sigma -\left(S^{m(\sigma)}\sigma
  +D_{m(\sigma)}(\partial\sigma)-D\partial\sigma\right)\\
\equiv&\,\sigma-\rho(\sigma),
\end{align*}
wobei die letzte Zeile $\rho:C_n(X)\to C_n(X)$ definiert. Wir
behaupten, dass sogar $\rho(\sigma)\in C^{\U}_n(X)\subset C_n(X)$
gilt. Nach Definition von $m(\sigma)$ ist dies f\"ur
$S^{m(\sigma)}\sigma$ der Fall. Betrachte also
$D_{m(\sigma)}(\partial\sigma)-D(\partial\sigma)$. Bezeichnen wir die
Einschr\"ankung von $\sigma$ auf die $i$-te Seite von $\Delta^n$ mit
$\sigma_i$, dann gilt $m(\sigma_i)\le m(\sigma)$. Wir erhalten 
\begin{align*}
  D_{m(\sigma)}(\partial\sigma)-D(\partial\sigma)=&\,
  D_{m(\sigma)}\left(\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\sigma_i\right)
  -D\left(\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\sigma_i\right)\umbruch\\
  =&\,\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\left(D_{m(\sigma)}(\sigma_i)-D(\sigma_i)
  \right)\umbruch\\
  =&\,\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\left(\sum\limits_{j=0}^{m(\sigma)-1}
    TS^j\sigma_i -\sum\limits_{j=0}^{m(\sigma_i)-1}TS^j\sigma_i\right)
  \umbruch\\
  =&\,\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\sum\limits_{j=m(\sigma_i)}^{m(\sigma)-1}
  TS^j\sigma_i\in C^{\U}_{n}(X),
\end{align*}
denn da $j\ge m(\sigma_i)$ f\"ur alle $i$, $j$ in der Summe gilt, sind
alle Terme der Form $S^j\sigma_i\in C^{\U}_n(X)$. Der Operator
$T:C_{n-1}(X)\to C_n(X)$ ist mit Hilfe von Randoperatoren und
baryzentrischen Unterteilungen definiert. Daher gilt
$T\left(C^{\U}_{n-1}(X)\right)\subset C^{\U}_n(X)$ und
$\rho(\sigma)\subset C^{\U}_n(X)$ folgt.\par
Die Abbildung $\rho:C_n(X)\to C^{\U}_n(X)$ (mit neuem Zielbereich) ist
eine Kettenabbildung, denn aufgrund der definierenden Gleichung
$\partial D\sigma+D\partial\sigma=\sigma-\rho\sigma$ folgt
$$\partial\rho\sigma=\partial(\sigma-\partial D\sigma-D\partial\sigma)
=\partial\sigma-\partial D\partial\sigma =\partial\sigma-\partial
D\partial\sigma-D\partial\partial\sigma =\rho\partial\sigma.$$ Die
definierende Gleichung f\"ur $\rho$ besagt, dass $D\partial+\partial
D=\eins-\iota\rho$ gilt, wobei $\iota:C^{\U}_n(X)\hookrightarrow
C_n(X)$ die Inklusionsabbildung ist. Weiterhin ist f\"ur $D:C_n(X)\to
C_{n+1}(X)$ die Einschr\"ankung auf $C^{\U}_n(X)$ trivial, denn f\"ur
$\sigma\in C^{\U}_n(X)$ ist $m(\sigma)=0$, also ist die Summe in der
Definition von $D\sigma$ die Summe \"uber die leere Menge (ebenso
f\"ur $\partial\sigma$), also folgt nach Definition von $\rho$
$$\rho(\sigma)=S^{m(\sigma)}\sigma +D_{m(\sigma)}(\partial\sigma)
-D(\partial\sigma) =S^0\sigma=\sigma.$$ Damit ist $\rho\iota=\eins$,
erf\"ullt also $0\partial+\partial0=\eins-\rho\iota$ f\"ur die
Kettenhomotopie $0:C^{\U}_n(X)\to C^{\U}_{n+1}(X)$. Nach der Definition in
der Formulierung von Proposition \ref{bary sub div prop} ist also
$\imath$ eine Kettenhomotopie\"aquivalenz.\par
Es folgt nach Proposition \ref{ketten hom isom prop}, dass
$\rho_*\iota_*=(\rho\iota)_*=\eins$ auf $H^{\U}_n(X)$ und
$\iota_*\rho_*=(\iota\rho)_*=\eins$ auf $H_n(X)$ gilt. Somit induziert
$\iota$ (wie auch $\rho$ in umgekehrter Richtung) f\"ur alle $n$ einen
Isomorphismus $i_*:H^{\U}_n(X)\to H_n(X)$.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{ausschneid thm}]
  Wir beweisen die zweite Fassung des Theorems. Seien also
  $A,\,B\subset X$ zwei Mengen mit $\interior A\cup\interior B=X$. Sei
  $\U=\{A,B\}$. Wir schreiben $C_n(A+B)$ f\"ur $C^{\U}_n(X)$, also
  f\"ur Summen von Ketten, die ganz in $A$ oder in $B$ liegen ($\neq
  C_n(A\cup B)$). Im Beweis von Proposition \ref{bary sub div prop}
  hatten wir (in der dortigen Notation) nachgewiesen, dass $\partial
  D+D\partial=\eins_{C_n(X)}-\iota\rho$ und
  $\rho\iota=\eins_{C_n(A+B)}$ gelten. Alle Abbildungen in diesen
  Formeln bilden Ketten in $A$ auf Ketten in $A$ ab. Daher induzieren
  sie Abbildungen auf den Quotientengruppen, wenn wir Ketten in $A$
  herausdividieren. Diese induzierten Abbildungen erf\"ullen nach
  Definition ganz automatisch dieselben Formeln f\"ur die
  Quotientengruppen. Daher induziert die von den Inklusionen
  $A\hookrightarrow X$ und $B\hookrightarrow X$ induzierte Abbildung
  $C_n(A+B)/C_n(A)\hookrightarrow C_n(X)/C_n(A)$ einen Isomorphismus
  der Homologiegruppen $H_n^{\U}(X,A)\cong H_n(X,A)$. \par
  Die Inklusion $C_n(B)\to C_n(A+B)$ liefert nach Herausfaktorisieren
  von $C_n(A)$ die Abbildung $C_n(B)/C_n(A\cap B)\to C_n(A+B)/C_n(A)$.
  Dies ist ein Isomorphismus, denn beide Gruppen sind freie abelsche
  Gruppen, die von den singul\"aren $n$-Simplizes in $B$ erzeugt
  werden, die (genauer: deren Bilder) nicht ganz in $A$ liegen. Wir
  erhalten also einen Isomorphismus $H_n(B,A\cap B)\cong
  H^{\U}_n(X,A)$. \par
  Zusammen mit dem letzten Abschnitt erhalten wir also gerade den
  behaupteten Isomorphismus $H_n(X,A)\cong H_n(B,A\cap B)$.
\end{proof}

Die folgende Proposition beendet zusammen mit Bemerkung \ref{red homol
  seq paar}, die insbesondere Theorem \ref{alg lange ex hom seq thm}
benutzt, den Beweis von Theorem \ref{lange exakte hom seq}.
Beachte, dass Bemerkung \ref{red homol seq paar} $A\neq\emptyset$
voraussetzt, f\"ur $A=\emptyset$ Theorem \ref{lange exakte hom seq}
aber offensichtlich auch wahr ist. 
\begin{proposition}\label{lange ex hom seq bew prop}
  Sei $(X,A)$ ein gutes Paar mit $A\neq\emptyset$. Dann induziert die
  Quotientenabbildung $q:(X,A)\to(X/A,A/A)$ f\"ur alle $n$ einen
  Isomorphismus
$$q_*:H_n(X,A)\to H_n(X/A,A/A)\cong\tilde H_n(X/A).$$  
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
Der letzte Isomorphismus folgt nach Beispiel \ref{X pkt paar bsp}.
\par
Sei $V$ eine Umgebung von $A$, so dass $A$ Deformationsretrakt von $V$
ist. Betrachte das folgende kommutative Diagramm
\[\xymatrix{H_n(X,A)\ar[r]\ar[d]^-{q_*}&H_n(X,V)\ar[d]^-{q_*}
&H_n(X\setminus A,V\setminus A)\ar[l]\ar[d]^-{q_*}\\
H_n(X/A,A/A)\ar[r]&H_n(X/A,V/A)
&H_n((X/A)\setminus(A/A),(V/A)\setminus(A/A))\ar[l]\,.}\]
Die horizontalen Pfeile sind jeweils von den Inklusionen induziert.
\par
Wir behaupten, dass die Abbildung $H_n(X,A)\to H_n(X,V)$ links oben
ein Isomorphismus ist. Dazu betrachten wir die lange exakte
Homologiesequenz f\"ur das Tripel $(X,V,A)$ aus Korollar \ref{tripel
  homol seq}. Es gen\"ugt daher zu zeigen, dass $H_n(V,A)\cong0$ f\"ur
alle $n$ ist, denn dann sind die dazwischenliegenden Abbildungen
$H_n(X,A)\to H_n(X,V)$ Isomorphismen. Die Behauptung $H_n(V,A)\cong0$
folgt aus Proposition \ref{paar homot induz iso prop}, analog zur
Argumentation bei der Untersuchung der Fundamentalgruppe, dass
$\pi_i(V)\cong\pi_i(A)$ ist. Seien n\"amlich
$i:(A,A)\hookrightarrow(V,A)$ die Inklusion und $r:(V,A)\to(A,A)$ die
zur Deformationsretraktion geh\"orige Retraktion, so erhalten wir
\[\xymatrix@1{(A,A)\ar[r]^-i\ar@/_{3ex}/[rr]_-\eins&(V,A)\ar[r]^-r
  \ar@/_{3ex}/[rr]_-{\simeq\eins} &(A,A)\ar[r]^-i&(V,A)\,,}\] also
$ri=\eins$ und $ir\simeq\eins$ verm\"oge der Deformationsretraktion.
Somit gilt nach Proposition \ref{paar homot induz iso prop}
$r_*i_*=\eins:H_n(A,A)\to H_n(A,A)$ und $i_*r_*=\eins:H_n(V,A)\to
H_n(V,A)$. $i_*:H_n(A,A)\to H_n(V,A)$ und $r_*:H_n(V,A)\to H_n(A,A)$
sind daher Isomorphismen. Also ist $H_n(V,A)\cong H_n(A,A)\cong0$.
Links oben steht also ein Isomorphismus. \par
Ist $A$ ein Deformationsretrakt von $V$, so ist auch $A/A$ ein
Deformationsretrakt von $V/A$, denn die Stetigkeit der induzierten
Deformationsretraktion folgt aus der Definition der
Quotiententopologie. Somit liefert dieselbe Argumentation wie im
letzten Abschnitt, dass auch $H_n(X/A,A/A)\to H_n(X/A,V/A)$ links
unten im kommutativen Diagramm ein Isomorphismus ist. \par
Nach dem Ausschneidungssatz, Theorem \ref{ausschneid thm} (den wir
anwenden d\"urfen, da nach Definition eines guten Paares $A=\ol
A\subset \interior V$ gilt), ist $H_n(X\setminus A,V\setminus A)\cong
H_n(X,V)$ verm\"oge der Inklusion ein Isomorphismus. Nach Definition
der Quotiententopologie ist auch $(V/A,A/A)$ ein gutes Paar und somit
ist auch die von der Inklusion induzierte Abbildung
$H_n((X/A)\setminus(A/A),(V/A)\setminus(A/A))\to H_n(X/A,V/A)$ ein
Isomorphismus. \par
Die Abbildung $q$, auf $X\setminus A$ eingeschr\"ankt, liefert einen
Hom\"oomorphismus $X\setminus A\to (X/A)\setminus (A/A)$, ebenso f\"ur
$V$ statt $X$. Daher ist die Abbildung $q_*:H_n(X\setminus
A,V\setminus A)\to H_n((X/A)\setminus(A/A),(V/A)\setminus(A/A))$ auf
der rechten Seite ein Isomorphismus.\par
%Das obige Diagramm ist kommutativ. Also ist auch die Abbildung
%$q_*:H_n(X,A)\to H_n(X/A,A/A)$ auf der linken Seite ein Isomorphismus.
Die Abbildung $q_*:H_n(X,A)\to H_n(X/A,A/A)$ auf der linken Seite ist
nun ebenfalls ein Isomorphismus, denn das obige Diagramm ist
kommutativ.\par
Es gilt schlie\ss{}lich $H_n(X/A,A/A)\cong\tilde H_n(X/A)$ nach
Bemerkung \ref{red homol seq paar}, denn es gilt $\tilde
H_n(A/A)\cong0$ f\"ur alle $n$.
\end{proof}

Wir halten als Korollar zum Beweis von Proposition \ref{lange ex hom
  seq bew prop} noch das folgende n\"utzliche Korollar fest.
\begin{corollary}\label{def retr homol iso}
  Sei $X$ ein topologischer Raum und $A$ ein Deformationsretrakt von
  $X$, $i:A\hookrightarrow X$ die Inklusionsabbildung. Dann ist
  $i_*:H_n(A)\stackrel\cong\longrightarrow H_n(X)$ ein Isomorphismus. \par
  Sei $(X,Y)$ ein Paar topologischer R\"aume und $(A,B)\subset(X,Y)$.
  Ist $(A,B)$ ein Deformationsretrakt von $(X,Y)$ (also $A\supset B$,
  $X\supset Y$, $A\subset X$, $B\subset Y$ und es gibt eine
  Deformationsretraktion von $X$ auf $A$, die, eingeschr\"ankt auf
  $Y$, eine Deformationsretraktion von $Y$ auf $B$ ist) und
  $i:(A,B)\hookrightarrow(X,Y)$ die Inklusionsabbildung, so ist
  $i_*:H_n(A,B)\stackrel\cong\longrightarrow H_n(X,Y)$ ein Isomorphismus.
\end{corollary}

F\"ur beliebige Paare erhalten wir
\begin{lemma}
  Sei $X$ ein topologischer Raum und $\emptyset\neq A\subset X$. Sei
  $X\cup\mathcal CA$ der Abbildungskegel der Inklusion
  $A\hookrightarrow X$. (Hier ist $\mathcal CA=(A\times
  I)/(A\times\{0\})$ und wir identifizieren $A\times\{1\}$ mit
  $A\subset X$.) Dann ist $H_n(X,A)\cong\tilde H_n(X\cup\mathcal CA)$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $p\in\mathcal CA$ die Kegelspitze $A\times\{0\}$. Wir erhalten
  die folgende Kette von Isomorphismen
\[\tilde H_n(X\cup\mathcal CA)\cong H_n(X\cup\mathcal CA,\mathcal CA)
\cong H_n((X\cup\mathcal CA)\setminus\{p\},\mathcal CA\setminus\{p\})
\cong H_n(X,A)\,.\] Der Isomorphismus $\tilde H_n(X\cup\mathcal CA)
\cong H_n(X\cup\mathcal CA,\mathcal CA)$ folgt aus der reduzierten
langen exakten Homologiesequenz in Bemerkung \ref{red homol seq paar},
denn $\mathcal CA$ ist kontrahierbar und somit ist $\tilde
H_n(\mathcal CA)\cong0$ f\"ur alle $n$. Der zweite Isomorphismus folgt
aus dem Ausschneidesatz, Theorem \ref{ausschneid thm}. Da $\mathcal
CA\setminus\{p\}$ die Menge $A$ als Deformationsretrakt besitzt, folgt
der letzte Isomorphismus aus Korollar \ref{def retr homol iso}.
\end{proof}

\begin{beispiel}\label{sphaeren zykel bsp}
  Wir wollen nun explizit Zykel angeben, die die unendlichen
  zyklischen Gruppen $H_n(D^n,\partial D^n)$ und $\tilde H_n(\S^n)$
  erzeugen. Wir haben in Beispiel \ref{Dn delDn bsp} bereits gesehen,
  dass $H_n(D^n,\partial D^n)\cong\Z$ gilt. Nach Korollar \ref{Sn
    homol cor} gilt $\tilde H_n(\S^n)\cong\Z$. \par
  Wir betrachten zun\"achst $(D^n,\partial D^n)$ oder genauer das dazu
  hom\"oomorphe Paar $(\Delta^n,\partial\Delta^n)$ und wollen zeigen,
  dass die Abbildung $i_n=\eins:\Delta^n\to\Delta^n$, als singul\"ares
  $n$-Simplex aufgefasst, ein $H_n(\Delta^n,\partial\Delta^n)$
  erzeugender Zykel ist. Da wir modulo $\partial\Delta^n$ rechnen, ist
  klar, dass $i_n$ ein Zykel ist. Wir gehen induktiv vor. F\"ur $n=0$
  ist klar, dass $i_n$ einen Erzeuger repr\"asentiert. Sei also
  $n\ge1$. Induktionsschritt: Sei $\Lambda\subset\Delta^n$ die
  Vereinigung aller $(n-1)$-dimensionaler Seiten bis auf eine. Dann
  behaupten wir, dass die folgenden Abbildungen Isomorphismen sind
  \[H_n(\Delta^n,\partial\Delta^n)\longrightarrow
  H_{n-1}(\partial\Delta^n,\Lambda)\longleftarrow
  H_{n-1}(\Delta^{n-1},\partial\Delta^{n-1}).\] F\"ur die erste
  Abbildung betrachten wir die lange exakte Homologiesequenz zum
  Tripel $(\Delta^n,\partial\Delta^n,\Lambda)$ aus Korollar
  \ref{tripel homol seq}. Da $\Lambda$ Deformationsretrakt von
  $\Delta^n$ ist und wir $n\ge1$ annehmen durften, folgt
  $H_n(\Delta^n,\Lambda)\cong H_n(\Lambda,\Lambda)\cong0$ und wir
  erhalten
\[\xymatrix@1{\ldots\ar[r] &0\ar[r]
  &H_n(\Delta^n,\partial\Delta^n)\ar[r]^-\partial
  &H_{n-1}(\partial\Delta^n,\Lambda)\ar[r]&0\ar[r]&\ldots\,.}\]
F\"ur den zweiten Isomorphismus betrachten wir die Inklusion
$\Delta^{n-1}\hookrightarrow\partial\Delta^n$ als die Einbettung auf
die Seite, die nicht in $\Lambda$ enthalten ist. Diese Einbettung
induziert einen Hom\"oomorphismus zwischen
$\Delta^{n-1}/\partial\Delta^{n-1}$ und
$\partial\Delta^n/\Lambda$. Also gilt $\tilde
H_{n-1}(\Delta^{n-1}/\partial\Delta^{n-1}) \cong\tilde
H_{n-1}(\partial\Delta^n/\Lambda)$. Da es sich bei den beteiligten
R\"aumen um gute Paare handelt, k\"onnen wir Proposition \ref{lange ex
  hom seq bew prop} anwenden und erhalten
\[H_{n-1}(\Delta^{n-1},\partial\Delta^{n-1})\cong \tilde
H_{n-1}(\Delta^{n-1}/\partial\Delta^{n-1}) \cong\tilde
H_{n-1}(\partial\Delta^n/\Lambda)\cong
H_{n-1}(\partial\Delta^n,\Lambda),\] was gerade den zweiten
Isomorphismus liefert. Der Induktionsschritt folgt nun, denn unter dem
Isomorphismus $\partial:H_n(\Delta^n,\partial\Delta^n)\to
H_{n-1}(\partial\Delta^n,\Lambda)$ wird $i_n$ auf $\partial i_n$
abgebildet, was in $C_{n-1}(\partial\Delta_n,\Lambda)$ bzw.{}
$C_{n-1}(\Delta^{n-1},\partial\Delta^{n-1})$ gerade $\pm i_{n-1}$ ist.
\par
Um die Erzeuger von $\tilde H_n(\S^n)$ zu finden, betrachten wir
$\S^n$ als Vereinigung von zwei Simplizes $\Delta^n_1$ und
$\Delta^n_2$, deren R\"ander auf geeignete Weise zusammengeklebt sind,
so dass die Reihenfolge der Ecken erhalten ist. Dann ist
$\Delta^n_1-\Delta^n_2$ (eigentlich die entsprechenden Identit\"aten),
als $n$-Kette aufgefasst, ein Zykel. Wir behaupten, dass
$\Delta^n_1-\Delta^n_2$ ein Erzeuger der Gruppe $\tilde
H_n(\S^n)\cong\Z$ ist. Zun\"achst einmal liefert die reduzierte lange
exakte Homologiesequenz f\"ur das Paar $(\S^n,\Delta^n_2)$, Bemerkung
\ref{red homol seq paar}, da $\tilde H_n(\Delta^n_2)\cong0$ ist, den
Isomorphismus $\tilde H_n(\S^n)\to H_n(\S^n,\Delta^n_2)$. Dies
funktioniert nur f\"ur $n\ge1$, aber im Falle $n=0$ ist ohnehin klar,
dass die hier auftretenden Abbildungen Isomorphismen sind. Weiterhin
sehen wir wie oben, da (verm\"oge des durch die Inklusion induzierten
Isomorphismusses) $\Delta^n_1/\partial\Delta^n_1$ hom\"oomorph zu
$\S^n/\Delta^n_2$ ist, dass
\[H_n(\Delta^n_1,\partial\Delta^n_1)\cong H_n(\S^n,\Delta^n_2)\]
gilt. Wir erhalten also die folgende Kette von Isomorphismen
\[\tilde H_n(\S^n)\longrightarrow H_n(\S^n,\Delta^n_2)\longleftarrow
H_n(\Delta^n_1,\partial\Delta^n_1).\] Der Zykel
$\Delta^n_1-\Delta^n_2$ in der ersten Gruppe entspricht dem Zykel
$\Delta^n_1$ in der dritten Gruppe. Wir haben im ersten Teil des
Beispiels bereits gesehen, dass $\Delta^n_1$ in dieser Gruppe einen
Erzeuger repr\"asentiert. Also repr\"asentiert $\Delta^n_1-\Delta^n_2$
auch einen Erzeuger in $\tilde H_n(\S^n)$.
\end{beispiel}

Aus der obigen Proposition \ref{lange ex hom seq bew prop} erhalten wir
noch
\begin{corollary}
  Sei $X$ ein CW-Komplex. Seien $A,\,B$ Teilkomplexe mit $X=A\cup B$.
  Dann induziert die Inklusionsabbildung $(B,A\cap
  B)\hookrightarrow(X,A)$ f\"ur alle $n$ einen Isomorphismus
  $H_n(B,A\cap B)\to H_n(X,A)$.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Im Falle $A\cap B=\emptyset$ ist die Aussage klar. Nehme also an,
  dass $A\cap B\neq\emptyset$ ist. Da CW-Komplexe und ihre
  Teilkomplexe gute Paare bilden, k\"onnen wir benutzen, dass
  $B/(A\cap B)$ und $X/A$ hom\"oomorph sind. Wir benutzen nun 
  Proposition \ref{lange ex hom seq bew prop} und erhalten
\[H_n(B,A\cap B)\cong\tilde H_n(B/(A\cap B))\cong\tilde H_n(X/A)\cong
H_n(X,A).\]
Die Behauptung folgt. 
\end{proof}

Zur obigen Proposition \ref{lange ex hom seq bew prop} erhalten wir
weiterhin
\begin{corollary}\label{bigvee hom iso cor}
  Seien $X_\alpha$ topologische R\"aume und $x_\alpha\in X_\alpha$, so
  dass $(X_\alpha,x_\alpha)$ (oder genauer $(X_\alpha,\{x_\alpha\})$)
  gute Paare sind. Dann induzieren die Inklusionen
  $i_\alpha:X_\alpha\hookrightarrow\bigvee\limits_\alpha X_\alpha$
  einen Isomorphismus $$\bigoplus\limits_\alpha
  (i_{\alpha})_*:\bigoplus\limits_\alpha\tilde H_n(X_\alpha)\to\tilde
  H_n\left(\bigvee\limits_\alpha X_\alpha\right).$$
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir definieren \[(X,A):=\left(\coprod\limits_\alpha X_\alpha,
    \coprod\limits_\alpha\{x_\alpha\}\right).\] Hierauf wenden wir nun
  Proposition \ref{lange ex hom seq bew prop} an und erhalten 
\begin{align*}
  \tilde H_n\left(\bigvee\limits_\alpha X_\alpha\right) =&\tilde
  H_n\left(\coprod\limits_\alpha X_\alpha/
    \coprod\limits_\alpha\{x_\alpha\}\right)\cong
  H_n\left(\coprod\limits_\alpha X_\alpha,
    \coprod\limits_\alpha\{x_\alpha\}\right)\\
  \cong&\bigoplus\limits_\alpha H_n\left(X_\alpha,\{x_\alpha\}\right)
  \cong\bigoplus\limits_\alpha\tilde H_n\left(X_\alpha\right).
\end{align*}
Der Isomorphismus zwischen dem Koprodukt (der disjunkten Vereinigung)
und der direkten Summe funktioniert hier ganz analog zur Zerlegung in
Proposition \ref{weg komp hom prop}, wo wir solch ein Resultat f\"ur
Homologiegruppen statt f\"ur relative Homologiegruppen gezeigt haben.
\end{proof}

Das folgende Theorem \"uber die Invarianz der Dimension geht auf
L. E. J. Brouwer zur\"uck, der es 1910 mit anderen Methoden bewies.
\begin{theorem}\label{dim inv thm}
  Seien $U\subset\R^m$ und $V\subset\R^n$ offen und nichtleer. Sind
  $U$ und $V$ hom\"oomorph, so gilt $m=n$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Seien ohne Einschr\"ankung $m,\,n\ge2$. Sei $x\in U$. Betrachte die
  Teilr\"aume $\R^m\supset\R^m\setminus\{x\}\supset\R^m\setminus U$.
  Der Ausschneidungssatz, Theorem \ref{ausschneid thm}, liefert
  $H_k(U,U\setminus\{x\})\cong H_k(\R^m,\R^m\setminus\{x\})$. Die
  lange exakte Sequenz, Bemerkung \ref{red homol seq paar}, f\"ur das
  Paar $(\R^m,\R^m\setminus\{x\})$ liefert, da $\tilde H_k(\R^m)\cong
  0$, den Isomorphismus $\partial: H_k(\R^m,\R^m\setminus\{x\}) \to
  \tilde H_{k-1}(\R^m\setminus\{x\})$. Nun besitzt
  $\R^m\setminus\{x\}$ als Deformationsretrakt einen Raum hom\"oomorph
  zu $\S^{m-1}$. Aus den obigen Resultaten schlie\ss{}en wir also,
  dass
  \[H_k(U,U\setminus\{x\})\cong
  \begin{cases}
    \Z,&k=m,\\
    0,&\text{sonst}.
  \end{cases}\]
  Analog schlie\ss{}en wir f\"ur $y\in V$, dass
  \[H_k(V,V\setminus\{y\})\cong
  \begin{cases}
    \Z,&k=n,\\
    0,&\text{sonst}.
  \end{cases}\] Nun induziert ein Hom\"oomorphismus $h:U\to V$ einen
  Hom\"oomorphismus $U\setminus\{x\}\to V\setminus\{h(x)\}$ und damit
  einen Isomorphismus $H_k(U,U\setminus\{x\})\to
  H_k(V,V\setminus\{h(x)\})$ f\"ur alle $k$. Somit folgt $m=n$.
\end{proof}

Die Techniken aus dem obigen Beweis motivieren die folgende
\begin{definition}
  Sei $X$ ein topologischer Raum. Wir definieren die \emph{lokalen
    Homologiegruppen} von $X$ an einem Punkt $x\in X$ als
  $H_n(X,X\setminus\{x\})$. 
\end{definition}

\begin{remark}
  Sei $X$ ein $T_1$-Raum, $x\in X$ und $U\in\U(x)$. Punkte sind also
  abgeschlossen. W\"ahle eine offene Menge $V$ mit $x\in V\subset U$.
  Dann gilt $\ol{X\setminus U}\subset\ol{X\setminus V}=X\setminus
  V\subset X\setminus\{x\}=\interior\,(X\setminus\{x\})$.  Wie im Beweis
  von Theorem \ref{dim inv thm} sehen wir mit Hilfe des
  Ausschneidungssatzes (der aufgrund der obigen Rechnungen anwendbar
  ist), dass $H_n(X,X\setminus\{x\})\cong H_n(U,U\setminus\{x\})$
  gilt. Daher h\"angen die lokalen Homologiegruppen nur von der \glqq
  lokalen Topologie\grqq{} von $X$ in einer Umgebung von $x$ ab. Da
  f\"ur Homomorphismen stets $H_n(X,X\setminus\{x\})\cong
  H_n(Y,Y\setminus\{f(x)\})$ f\"ur alle $x\in X$ und $n$ gilt,
  k\"onnen wir mit Hilfe dieser Gruppen wie im Beweis der Invarianz
  der Dimension damit gegebenenfalls aussagen, dass zwei R\"aume lokal
  nicht hom\"oomorph (mit einer naheliegenden Definition) sind.
\end{remark}

\subsubsection*{Aufgaben}
\begin{aufgabe}
  Lies und verstehe \cite[Proposition A.2]{Hatcher}.
\end{aufgabe}

\begin{definition}
  Sei $X$ ein topologischer Raum. Definiere die \emph{Suspension} von
  $X$, den Doppelkegel \"uber $X$, durch $SX:=(X\times[0,1])/\!\!\sim$
  mit $(x,t)\sim(y,s)$, falls $(x,t)=(y,t)$ oder $s=t=0$ oder $s=t=1$
  gilt.  Es ist $SX:=((X\times[0,1])/(X\times\{0\}))/(X\times\{1\})$.
\end{definition}

F\"ur die folgenden beiden Aussagen ist es erlaubt, $H_n(X)\cong
H^\Delta_n(X)$ f\"ur $\Delta$-Komplexe $X$ zu benutzen. 

\begin{aufgabe}
  Sei $X$ ein topologischer Raum.  Zeige, dass $\tilde
  H_n(X)\cong\tilde H_{n+1}(SX)$ f\"ur alle $n$ gilt.\par
  Allgemeiner: Der Raum $SX$ ist hom\"oomorph zur Vereinigung zweier
  Kegel $\mathcal CX=(X\times[0,1])/(X\times\{0\})$ an der Basis
  $X\times\{1\}$, $((\mathcal CX\times\{a\})\cup(\mathcal
  CX\times\{b\}))/\!\!\sim$, wobei $\sim$ die von $(x,1,a)\sim(x,1,b)$
  erzeugte \"Aquivalenzrelation ist.  Was gilt f\"ur die
  Homologiegruppen, wenn man $k$ Kegel in entsprechender Weise an der
  jeweiligen Basis zusammenklebt?
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Berechne die Homologiegruppen $H_n(X,A)$ im Falle, wenn $A$
    eine endliche Menge von Punkten und $X=\S^2$ oder
    $X=\S^1\times\S^1$ ist.
  \item Sei $X$ eine geschlossene orientierbare F\"ache vom Geschlecht
    $2$. Seien $A$ und $B$ Kreise, die \glqq die beiden Tori
    trennen\grqq{} oder \glqq einem Erzeuger der Fundamentalgruppe
    eines der Tori entsprechen\grqq. Bild siehe Tafel: \ldots\\
    Bestimme die Gruppen $H_n(X,A)$ und $H_n(X,B)$. \"Andern sich im
    Falle \glqq $B$\grqq{} die Gruppen, wenn man einen anderen
    Erzeuger w\"ahlt? 
  \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Lies und verstehe im Anhang bis \cite[Proposition A.5]{Hatcher}. 
\end{aufgabe}

\begin{definition}
  Ein $\Delta$-Komplex hei\ss{}t \emph{simplizialer Komplex}, wenn die
  Simplizes eindeutig durch ihre Ecken bestimmt sind. Also hat jeder
  $n$-Simplex $n+1$ verschiedene Eckpunkte und kein anderer Simplex
  besitzt dieselben Eckpunkte.
\end{definition}

\begin{aufgabe}
  Sei $X$ ein $\Delta$-Komplex. Zeige, dass die zweite baryzentrische
  Unterteilung von $X$ ein simplizialer Komplex ist. Zeige dazu, dass
  die erste baryzentrische Unterteilung einen $\Delta$-Komplex
  liefert, so dass alle Ecken eines Simplexes verschieden sind und
  dann, dass die baryzentrische Unterteilung eines solchen Komplexes
  ein simplizialer Komplex ist. Warum muss man zweimal baryzentrisch
  unterteilen? 
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Sei $f:(X,A)\to(Y,B)$ eine Abbildung von Paaren, so dass $f:X\to Y$
  und $f|A:A\to B$ Homotopie\"aquivalenzen sind. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Zeige, dass $f_*:H_n(X,A)\to H_n(Y,B)$ f\"ur alle $n$ ein
    Isomorphismus ist.
  \item Zeige, dass die Inklusion
    $f:(D^n,\S^{n-1})\hookrightarrow(D^n,D^n\setminus\{0\})$ keine
    Homotopie\"aquivalenz von Paaren ist; es gibt n\"amlich keine
    Abbildung $g:(D^n,D^n\setminus\{0\})\to(D^n,\S^{n-1})$, so dass
    $fg$ und $gf$ verm\"oge von Homotopien von Paaren homotop zur
    Identit\"at sind. Hinweis (der nicht unbewiesen verwendet werden
    soll): Ist $(X,A)\to(Y,B)$ eine Homotopie\"aquivalenz von Paaren,
    so ist auch $(X,\ol A)\to(Y,\ol B)$ eine Homotopie\"aquivalenz von
    Paaren. 
  \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Lies und verstehe im Appendix bis vor Theorem A.6.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
Sei $X$ der Quotientenraum, den man erh\"alt, indem man in einer
endlichen Familie von $2$-Simplizes Paare von Seiten (in affin
linearer Weise) identifiziert. Zeige, dass $X$ lokal hom\"oomorph zu
$\R^2$ ist.   
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Sei $X$ ein endlichdimensionaler CW-Komplex. Zeige, z.\,B. per
  Induktion, die folgenden Aussagen.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Hat $X$ die Dimension $n$ (in naheliegender Weise definiert),
    dann gilt $H_i(X)\cong0$ f\"ur $i>n$ und $H_n(X)$ ist eine freie
    abelsche Gruppe. Mit welchem geometrischen Objekt h\"angen die
    Erzeuger dieser Gruppe zusammen?
\item $H_n(X)$ ist eine freie abelsche Gruppe, deren Erzeuger sich
  bijektiv auf die $n$-Zellen abbilden lassen, falls es keine Zellen
  in den Dimensionen $n+1$ und $n-1$ gibt. 
\item Besteht $X$ aus $k$ St\"uck $n$-Zellen, so ist die Gruppe
  $H_n(X)$ von h\"ochstens $k$ Elementen erzeugt. 
  \end{enumerate}
  Dazu kann es n\"utzlich sein, zun\"achst einmal zu zeigen, dass
  $X^n/X^{n-1}$ hom\"oomorph zu einer Einpunktvereinigung von
  $n$-Sph\"aren ist.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Lies und verstehe im Appendix Theorem A.6 (und ggf.{} zus\"atzlich
  das nachfolgende Gegenbeispiel).
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Betrachte ein $3$-Simplex. Identifiziere Paare von Seiten, so dass
  der Quotientenraum hom\"oomorph zu $\S^3$ ist und der $3$-Simplex
  eine $\Delta$-Struktur auf $\S^3$ liefert. Berechne die simpliziale
  Homologie dieses $\Delta$-Komplexes.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Wir konstruieren einen $3$-dimensionalen $\Delta$-Komplex $X$ wie
  folgt aus $n$ Tetraedern $T_1,\ldots,T_n$: Zun\"achst identifizieren
  wir Seiten, so dass jeweils aufeinanderfolgende Tetraeder $T_i$ und
  $T_{i+1}$ (mit $T_{n+1}\equiv T_1$) genau eine Seite gemeinsam haben
  und alle Tetraeder die an die beiden identifizierten Seiten
  grenzende Kante teilen. Bild: \ldots\,. Identifiziere nun die
  Unterseite von $T_i$ mit der Oberseite von $T_{i+1}$ mit Hilfe
  zweier Rotationen. Dies ist ein Beispiel f\"ur einen Linsenraum.
  Zeige, dass die (simplizialen) Homologiegruppen in den Dimensionen
  $0$ bis $3$ isomorph zu $\Z$, $\Z/n\Z$, $0$ und $\Z$ sind.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Sei $X$ der Kegel \"uber dem $1$-Skelett von $\Delta^3$, also
  hom\"oomorph zur Vereinigung aller Strecken vom Schwerpunkt zu
  Punkten in den sechs Kanten von $\Delta^3$. Berechne f\"ur $x\in X$
  die lokalen Homologiegruppen $H_n(X,X\setminus\{x\})$. Auf welcher
  Teilmenge (von Punkten $x$) von $X$ gilt
  $H_n(X,X\setminus\{x\})\cong0$ f\"ur alle $n$. Diese Menge
  bezeichnen wir mit $\partial X$. (Warum ist diese Bezeichnung \glqq
  als Rand\grqq{} sinnvoll?) Berechne die lokalen Homologiegruppen
  $H_n(\partial X,\partial X\setminus\{x\})$. Sei $f:X\to X$ ein
  Hom\"oomorphismus. Bestimme mit Hilfe der obigen Rechnungen, welche
  Teilmengen $A\subset X$ die Eigenschaft haben, dass $f(A)\subset A$
  gilt (unabh\"angig von der speziellen Wahl des Hom\"oomorphismusses).
\end{aufgabe}

\Subsection{Nat\"urlichkeit}\label{natuerlich sec}
Die Eigenschaft der Nat\"urlichkeit werden wir sp\"ater in Beweisen
ben\"otigen. 

Im Beispiel der langen exakten Sequenz von Paaren aus Theorem
\ref{paare lange ex seq} besagt dies:
\begin{definition}
Die lange exakte Sequenz von Paaren ist \emph{nat\"urlich}, wenn f\"ur
alle Paare $(X,A)$ und $(Y,B)$ und f\"ur alle stetigen Abbildungen
$f:(X,A)\to(Y,B)$ das folgende Diagramm kommutiert
\[\xymatrix{\ldots\ar[r] &H_n(A)\ar[r]^-{i_*}\ar[d]^-{f_*}
  &H_n(X)\ar[r]^-{j_*}\ar[d]^-{f_*}
  &H_n(X,A)\ar[r]^-\partial\ar[d]^-{f_*}
  &H_{n-1}(A)\ar[r]\ar[d]^-{f_*} &\ldots\\
\ldots\ar[r] &H_n(B)\ar[r]^-{i_*} &H_n(Y)\ar[r]^-{j_*}
&H_n(Y,B)\ar[r]^-\partial &H_{n-1}(B)\ar[r] &\ldots\,.
}\]
Dies ist \"aquivalent dazu, dass $f_*$ eine Kettenabbildung ist. Wir
wollen andere lange exakte Sequenzen ebenso nat\"urlich nennen, wenn
die von allen stetigen Abbildungen zwischen den langen exakten
Sequenzen induzierten Homomorphismen Kettenabbildungen sind; ebenso,
wenn diese Abbildungen wie in Theorem \ref{leS nat thm} von
Gruppenhomomorphismen induziert sind.
\end{definition}

\begin{lemma}
  Die lange exakte Sequenz von Paaren aus Theorem \ref{paare lange ex
    seq} ist nat\"urlich.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Quadrate, die nur $f_*,\,i_*$ und $j_*$ enthalten, sind
  kommutativ, denn die entsprechenden Quadrate sind zwischen den
  Kettengruppen $C_n$ kommutativ. Dies \"ubertr\"agt sich direkt auf
  die Homologiegruppen. \par
  F\"ur das noch fehlende Quadrat benutzen wir, dass nach Bemerkung
  \ref{sharp partial vertauschen} auf der Ebene von Ketten
  $f_\sharp\partial=\partial f_\sharp$ ist und dass die Randabbildung
  in unserem Fall nach Bemerkung \ref{partial beschr paar rem} durch
  die Randabbildung $\partial:C_n(X)\to C_{n-1}(X)$ induziert ist. Sei
  also $\alpha\in C_n(X,A)$ ein relativer Zykel, also $[\alpha]\in
  H_n(X,A)$. Dann gilt $f_*\partial[\alpha] =f_*[\partial\alpha]
  =[f_\sharp\partial\alpha] =[\partial f_\sharp\alpha]
  =\partial[f_\sharp\alpha] =\partial f_*[\alpha]$ und die Behauptung
  folgt.
\end{proof}

Statt dies f\"ur jede exakte Sequenz extra beweisen zu m\"ussen,
zeigen wir dies einmal algebraisch. Dies funktioniert, da die bisher
betrachteten langen exakten Sequenzen alle Theorem \ref{alg lange ex
  hom seq thm} benutzen.
\begin{theorem}\label{leS nat thm}
  Die lange exakte Sequenz von Homologiegruppen die wir aus einer
  kurzen exakten Sequenz von Kettenkomplexen konstruiert haben, ist
  nat\"urlich. Dies bedeutet: F\"ur ein kommutatives Diagramm von
  kurzen exakten Sequenzen von Kettenkomplexen der Form
\[\xymatrix@=2ex{&&&0\ar[dd]&&0\ar[dd]&&0\ar[dd]&&\\
  &&0\ar[dd]&&0\ar[dd]&&0\ar[dd]&&&\\
%
  &\ldots\ar[rr]|-\hole&&
  A'_{n+1}\ar[rr]|-\hole^<<<<\partial\ar[dd]|-\hole^<<<{i'}&&
  A'_n\ar[rr]|-\hole^-<<<<\partial\ar[dd]|-\hole^<<<{i'}
  &&A_{n-1}'\ar[rr]\ar[dd]|-\hole^<<<{i'}&&\ldots\\
  \ldots\ar[rr]&& 
  A_{n+1}\ar[rr]^<<<<\partial\ar[ru]^-\alpha\ar[dd]^<<<i&&
  A_n\ar[rr]^<<<<\partial\ar[ru]^-\alpha\ar[dd]^<<<i&&
  A_{n-1}\ar[rr]\ar[ru]^-\alpha\ar[dd]^<<<i&& \ldots&\\
%
  &\ldots\ar[rr]|-\hole&&
  B'_{n+1}\ar[rr]|-\hole^<<<<\partial\ar[dd]|-\hole^<<<{j'}&&
  B'_n\ar[rr]|-\hole^-<<<<\partial\ar[dd]|-\hole^<<<{j'}
  &&B_{n-1}'\ar[rr]\ar[dd]|-\hole^<<<{j'}&&\ldots\\
  \ldots\ar[rr]&& 
  B_{n+1}\ar[rr]^<<<<\partial\ar[ru]^-\beta\ar[dd]^<<<j&&
  B_n\ar[rr]^<<<<\partial\ar[ru]^-\beta\ar[dd]^<<<j&&
  B_{n-1}\ar[rr]\ar[ru]^-\beta\ar[dd]^<<<j&& \ldots&\\
%
  &\ldots\ar[rr]|-\hole&&
  C'_{n+1}\ar[rr]|-\hole^<<<<\partial\ar[dd]|-\hole&&
  C'_n\ar[rr]|-\hole^-<<<<\partial\ar[dd]|-\hole
  &&C_{n-1}'\ar[rr]\ar[dd]|-\hole&&\ldots\\
  \ldots\ar[rr]&& 
  C_{n+1}\ar[rr]^<<<<\partial\ar[ru]^-\gamma\ar[dd]&&
  C_n\ar[rr]^<<<<\partial\ar[ru]^-\gamma\ar[dd]&&
  C_{n-1}\ar[rr]\ar[ru]^-\gamma\ar[dd]&& \ldots&\\
%
&&&0&&0&&0&&\\
  &&0&&0&&0&&&
}\]
ist das induzierte Diagramm
\[\xymatrix{\ldots\ar[r]&H_n(A)\ar[r]^-{i_*}\ar[d]^-{\alpha_*}
  &H_n(B)\ar[r]^-{j_*}\ar[d]^-{\beta_*}
  &H_n(C)\ar[r]^-\partial\ar[d]^-{\gamma_*}
  &H_{n-1}(A)\ar[r]\ar[d]^-{\alpha_*} &\ldots\\  
\ldots\ar[r] &H_n(A')\ar[r]^-{i'_*} &H_n(B')\ar[r]^-{j'_*}
&H_n(C')\ar[r]^-\partial &H_{n-1}(A')\ar[r] &\ldots 
}\]
kommutativ.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  F\"ur die ersten beiden Quadrate ist die Aussage klar, da $\beta
  i=i'\alpha$ impliziert, dass $\beta_*i_*=i'_*\alpha_*$ gilt, und aus
  $\gamma j=j'\beta$ folgt $\gamma_*j_*=j'_*\beta_*$. \par
  F\"ur das dritte Quadrat erinnern wir uns daran, dass die Abbildung
  $\partial:H_n(C)\to H_{n-1}(A)$ durch $\partial[c]:=[a]$ definiert
  ist, wobei $c=j(b)$ und $ia=\partial b$ gelten. Wir wollen also
  zeigen, dass $\partial[\gamma(c)]=[\alpha a]$ gilt. Nun ist $\gamma
  c=\gamma jb=j'\beta b$ und $i'\alpha a=\beta ia=\beta\partial
  b=\partial\beta b$. Vergleiche dies nun mit der Definition des
  Randoperators. Somit folgt $\partial\gamma_*[c] =\alpha_*[a]
  =\alpha_*\partial[c]$.   
\end{proof}

Da wir bei der Konstruktion der langen exakten Sequenzen insbesondere 
Theorem \ref{alg lange ex hom seq thm} benutzt haben, folgt 
\begin{corollary}
  Die lange exakte Homologiesequenz eines Tripels topologischer
  R\"au\-me, Korollar \ref{tripel homol seq}, und die reduzierte lange
  exakte Homologiesequenz eines Paares topologischer R\"aume,
  Bemerkung \ref{red homol seq paar}, sind nat\"urlich.
\end{corollary}

\begin{lemma}
  Die lange exakte Homologiesequenz f\"ur gute Paare, reduzierte
  Homologiegruppen und Quotientenr\"aume aus Theorem \ref{lange exakte
    hom seq} ist nat\"urlich.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $f:(X,A)\to(Y,B)$ eine stetige Abbildung von Paaren. Dann wollen
  wir nachweisen, dass das Diagramm
\[\xymatrix{\ldots\ar[r] &\tilde H_n(A)\ar[r]^-{i_*}\ar[d]^-{f_*}
  &\tilde H_n(X)\ar[r]^-{q_*}\ar[d]^-{f_*} &\tilde
  H_n(X/A)\ar[r]^-\partial\ar[d]^-{\ol f_*} &\tilde
  H_{n-1}(A)\ar[r]\ar[d]^-{f_*} &\ldots\\
\ldots\ar[r] &\tilde H_n(B)\ar[r]^-{i_*} &\tilde H_n(Y)\ar[r]^-{q_*}
&\tilde H_n(Y/B)\ar[r]^-\partial &\tilde H_{n-1}(B)\ar[r] &\ldots}\]
kommutativ ist, wobei $i:A\hookrightarrow X$ die Inklusionsabbildung,
$q:X\to X/A$ die Projektionsabbildung und $\ol f:X/A\to Y/B$ die auf
den Quotienten von $f$ induzierte Abbildung ist.\par
Zun\"achst einmal gilt $fi=if$ und $\ol fq=qf$ und somit sehen wir
wieder direkt, dass die ersten beiden Quadrate kommutieren.\par
Das dritte Quadrat k\"onnen wir wie folgt erweitern (vergleiche
Proposition \ref{lange ex hom seq bew prop})
\[\xymatrix{\tilde H_n(X/A)\ar[r]^-{j_*}_-\cong \ar[d]^-{\ol f_*}
  &H_n(X/A,A/A)\ar[d]^-{\ol f_*}
  &H_n(X,A)\ar[l]_-{q_*}^-\cong\ar[r]^-\partial\ar[d]^-{f_*}
  &\tilde H_{n-1}(A)\ar[d]^-{f_*}\\
  \tilde H_n(Y/B)\ar[r]^-{j_*}_-\cong &H_n(Y/B,B/B)
  &H_n(Y,B)\ar[l]_-{q_*}^-\cong\ar[r]^-\partial &\tilde
  H_{n-1}(B)\,.}\]
Die horizontalen Pfeile im ersten Quadrat sind nach Bemerkung \ref{red
  homol seq paar} Isomorphismen und die horizontalen Pfeile im zweiten
Quadrat sind nach Proposition \ref{lange ex hom seq bew prop}
Isomorphismen. Beachte auch, dass diese hier auftretenden
Isomorphismen gerade die sind, die in Proposition \ref{lange ex hom
  seq bew prop} auftraten und die wir verwendet haben, um $H_n(X,A)$
in Theorem \ref{paare lange ex seq} durch $\tilde H_n(X/A)$ zu
ersetzen. Wegen der Na\"urlichkeit der langen exakten Homologiesequenz
aus Bemerkung \ref{red homol seq paar} sehen wir, dass das erste
Quadrat kommutiert.  Mit der gleichen Begr\"undung kommutiert auch das
dritte Quadrat. Das mittlere Quadrat kommutiert, da $\ol fq=qf$ auf
der Ebene von Ketten gilt.
\end{proof}

\Section{Die \"Aquivalenz von simplizialer und 
singul\"arer Homologie}\label{aequiv simp sing hom sec}
Wir wollen zeigen, dass singul\"are und simpliziale Homologie f\"ur
$\Delta$-Komplexe stets isomorph sind. Wir wollen hier auch den Fall
relativer Homologiegruppen mitbehandeln. Sei also $X$ ein
$\Delta$-Komplex und $A\subset X$ ein Unter-$\Delta$-Komplex, also
eine Vereinigung von Simplizes in $X$, so dass $A$ damit eine
$\Delta$-Komplex Struktur bekommt. Wir nennen $(X,A)$ auch ein Paar
von $\Delta$-Komplexen. \par
Wir definieren relative Ketten durch
$\Delta_n(X,A):=\Delta_n(X)/\Delta_n(A)$ und genauso wie bei der
singul\"aren Homologie auch relative simpliziale Homologiegruppen
$H^\Delta_n(X,A)$. Genauso wie im Falle der singul\"aren Homologie
erhalten wir f\"ur das Paar $(X,A)$ eine lange exakte Homologiesequenz
analog zu Theorem \ref{paare lange ex seq}. Der Beweis funktioniert
ganz analog zum singul\"aren Fall, insbesondere, da die Hauptarbeit
rein algebraisch war. \par
Da simpliziale Ketten formale Summen von charakteristischen
Abbildungen $\sigma_\alpha:\Delta^n\to X$ sind, sind sie in
kanonischer Weise auch singul\"are Ketten. Wir erhalten also eine
Abbildung $\Delta_n(X,A)\to C_n(X,A)$. Dies induziert einen
kanonischen Homomorphismus $H^\Delta_n(X,A)\to H_n(X,A)$.\par
Hier schlie\ss{}en wir $A=\emptyset$ nicht aus. Die \"Uberlegungen
beinhalten also den absoluten (nicht relativen) Fall, da in
kanonischer Weise $H_n(X,\emptyset)\cong H_n(X)$ und
$H^\Delta_n(X,\emptyset)\cong H^\Delta_n(X)$ gelten.

Als algebraisches Hilfsmittel werden wir beim Beweis der \"Aquivalenz
von simplizialer und singul\"arer Homologie das F\"unferlemma
benutzen. 
\begin{lemma}[F\"unferlemma]
Sei 
\[\xymatrix{A\ar[r]^-i\ar[d]^-\alpha&B\ar[r]^-j\ar[d]^-\beta
&C\ar[r]^-k\ar[d]^-\gamma&D\ar[r]^-l\ar[d]^-\delta
&E\ar[d]^-\epsilon\\
A'\ar[r]^-{i'}&B'\ar[r]^-{j'}&C'\ar[r]^-{k'}
&D'\ar[r]^-{l'}&E'}
\]
ein kommutatives Diagramm abelscher Gruppen mit exakten Zeilen. Sind
die Homomorphismen $\alpha,\,\beta,\,\delta$ und $\epsilon$
Isomorphismen, so ist auch $\gamma$ ein Isomorphismus.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir werden zeigen, dass
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\gamma$ surjektiv ist, wenn $\beta$ und $\delta$ surjektiv
    und $\epsilon$ injektiv sind,
  \item $\gamma$ injektiv ist, wenn $\beta$ und $\delta$ injektiv sind
    und $\alpha$ surjektiv ist.
  \end{enumerate}
  Damit k\"onnen wir die Voraussetzungen an $\alpha$ und $\epsilon$
  abschw\"achen. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $c'\in C'$. Da $\delta$ surjektiv ist, gibt es ein $d\in
    D$, so dass $\delta d=k'c'$ gilt. Es gilt $\epsilon ld=l'\delta
    d=l'k'c'=0$, da insbesondere die letzte Zeile exakt ist. Aus
    $\epsilon ld=0$ und der Injektivit\"at von $\epsilon$ folgt
    $ld=0$. Da die erste Zeile exakt ist, finden wir ein $c\in C$, so
    dass $d=kc$ gilt. Es gilt $k'(c'-\gamma c)=k'c'-k'\gamma c=
    k'c'-\delta kc=k'c'-\delta d=0$ aufgrund von schon hergeleiteten
    Identit\"aten. Aufgrund der Exaktheit gibt es ein $b'\in B'$, so
    dass $c'-\gamma c=j'b'$ gilt. Weil $\beta$ surjektiv ist,
    existiert $b\in B$ mit $b'=\beta b$. Es gilt nun
    $\gamma(c+jb)=\gamma c+\gamma jb=\gamma c+j'\beta b=\gamma
    c+j'b'=c'$ und daher ist $\gamma$ surjektiv. 
  \item Sei nun $c\in C$ mit $\gamma c=0$. Es gilt $\delta kc=k'\gamma
    c=0$. Da $\delta$ injektiv ist, folgt auch $kc=0$. Daher gibt es
    ein $b\in B$ mit $c=jb$. Es gilt $j'\beta b=\gamma jb=\gamma c=0$.
    Aufgrund der Exaktheit finden wir also $a'\in A'$, so dass $\beta
    b=i'a'$ gilt. Nun ist $\alpha$ surjektiv, es gibt also ein $a\in
    A$, so dass $a'=\alpha a$ ist. Es gilt $\beta(ia-b)=\beta ia-\beta
    b=i'\alpha a-\beta b=i'a'-\beta b=0$. Da $\beta$ injektiv ist,
    folgt auch $ia-b=0$ oder, \"aquivalent dazu, $b=ia$. Weiterhin
    gilt $c=jb=jia=0$ aufgrund der Exaktheit ($ji=0$). Also ist
    $\ker\gamma$ trivial und $\gamma$ injektiv.
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}\label{HHDelta aequiv thm}
  Sei $(X,A)$ ein Paar von $\Delta$-Komplexen. Dann sind die
  Homomorphismen $H^\Delta_n(X,A)\to H_n(X,A)$ f\"ur alle $n$
  Isomorphismen. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $X$ zun\"achst endlichdimensional, \dh f\"ur ein $n_0$ und f\"ur
  alle $\sigma_\alpha:\Delta^n\to X$ gelte $n\le n_0$. Sei weiterhin
  zun\"achst $A=\emptyset$. Sei $X^k$ das $k$-Skelett von $X$,
  definiert als die Vereinigung (der Bilder) aller Simplizes mit
  Dimension $\le k$, also aller $n$-Simplizes mit $n\le k$. \par
Wir betrachten das folgende kommutative Diagramm, dessen Zeilen lange
exakte Homologiesequenzen von Paaren, vergleiche Theorem \ref{paare
  lange ex seq}, sind
\begin{equation}\label{HHDelta diagramm}
\xymatrix@=1.4ex{H^\Delta_{n+1}\left(X^k,X^{k-1}\right)\ar[r]\ar[d]
  &H^\Delta_n\left(X^{k-1}\right)\ar[r]\ar[d]
  &H^\Delta_n\left(X^k\right)\ar[r]\ar[d]
  &H^\Delta_n\left(X^k,X^{k-1}\right)\ar[r]\ar[d]
  &H^\Delta_{n-1}\left(X^{k-1}\right)\ar[d]\\
  H_{n+1}\left(X^k,X^{k-1}\right)\ar[r] &H_n\left(X^{k-1}\right)\ar[r]
  &H_n\left(X^k\right)\ar[r] &H_n\left(X^k,X^{k-1}\right)\ar[r]
  &H_{n-1}\left(X^{k-1}\right)\,.}
\end{equation}
Da die vertikalen Pfeile gerade die kanonischen Abbildungen
$H^\Delta_n\to H_n$ sind, ist das Diagramm kommutativ. \par
Wir wollen zun\"achst zeigen, dass der erste und der vierte vertikale
Pfeil Isomorphismen sind, genauer, dass
$H^\Delta_n\left(X^k,X^{k-1}\right)\to H_n\left(X^k,X^{k-1}\right)$
f\"ur alle $n$ ein Isomorphismus ist. Nehme dazu ohne Einschr\"ankung
an, dass $X^k\neq\emptyset$. \par
F\"ur die simplizialen Kettengruppen gilt
$\Delta_n\left(X^k,X^{k-1}\right)\cong0$, falls $k\neq n$ ist. F\"ur
$k=n$ ist $\Delta_n\left(X^k,X^{k-1}\right)$ die freie abelsche
Gruppe, die von den ($k$- oder) $n$-Simplizes von $X$ erzeugt wird.
Damit ist $\Delta_n\left(X^k,X^{k-1}\right)$ f\"ur festes $k$ ein
Kettenkomplex, in dem s\"amtliche Randabbildungen die Nullabbildungen
sind (da nur in einer Dimension eine m\"oglicherweise nichttriviale
Gruppe steht). F\"ur solch einen Kettenkomplex stimmen die
Homologiegruppen gerade mit den Kettengruppen \"uberein. Somit
verschwindet auch $H^\Delta_n\left(X^k,X^{k-1}\right)$ f\"ur $k\neq n$
und ist im Falle $k=n$ die von den $k$-Simplizes in $X$ erzeugte freie
abelsche Gruppe.\par
Zur Berechnung der singul\"aren Homologiegruppen
$H_n\left(X^k,X^{k-1}\right)$ betrachten wir die Abbildung
$$\Phi:\coprod\limits_\alpha\left(\Delta^k_\alpha,
  \partial\Delta^k_\alpha\right) \to\left(X^k,X^{k-1}\right),$$   
die auf den Simplizes gerade durch die charakteristischen Abbildungen
$\Delta^k\to X$ aller $k$-Simplizes von $X$ gegeben ist. Nach
Definition eines $\Delta$-Komplexes induziert $\Phi$ eine Abbildung
auf den Quotientenr\"aumen. Dies ist sogar ein Hom\"oomorphismus
zwischen $\coprod\limits_\alpha\Delta^k_\alpha/\coprod\limits_\alpha
\partial\Delta^k_\alpha$ und $X^k/X^{k-1}$. Somit induziert $\Phi$
einen Isomorphismus zwischen den zugeh\"origen singul\"aren
Homologiegruppen 
\[H_n\left(\coprod\limits_\alpha \Delta^k_\alpha/\coprod\limits_\alpha
  \partial\Delta^k_\alpha\right)\cong H_n\left(X^k/X^{k-1}\right)\]
f\"ur alle $n$. Da beide topologischen R\"aume hom\"oomorph sind,
stimmen auch die reduzierten Homologiegruppen \"uberein. Nun sind
$\Delta$-Kom\-ple\-xe CW-Komplexe und damit ist ein $\Delta$-Komplex
und ein $\Delta$-Unterkomplex insbesondere ein gutes Paar. Wir
k\"onnen also Proposition \ref{lange ex hom seq bew prop} auf die
vertikalen Pfeile im folgenden Diagramm anwenden und erhalten dort den
oberen Isomorphismus
\[\xymatrix{H_n\left(\coprod\limits_\alpha \Delta^k_\alpha,
    \coprod\limits_\alpha \partial\Delta^k_\alpha\right)\ar[r]^-\cong
  \ar[d]^-\cong &H_n\left(X^k,X^{k-1}\right)\ar[d]^-\cong\\
  \tilde H_n\left(\coprod\limits_\alpha
    \Delta^k_\alpha/\coprod\limits_\alpha
  \partial\Delta^k_\alpha\right)\ar[r]^-\cong
&\tilde H_n\left(X^k/X^{k-1}\right).}\] Nach Definition ist der
Quotient $\coprod\Delta^k_\alpha/\coprod\partial\Delta^k_\alpha$ (bis auf
einen Hom\"oomorphismus) eine Einpunktvereinigung von
$k$-dimensionalen Sph\"aren. Mit Hilfe von Korollar \ref{bigvee hom
  iso cor} erhalten wir also
% Das folgende Kommando braucht aus irgendeinem Grund die geschweifte
% Klammer um den ersten Eintrag, der dadurch leicht verschoben
% erscheint. 
\[\xymatrix{{\bigoplus\limits_\alpha\tilde H_n(\mathbb S^k)}\ar[r]^-\cong
  &\tilde H_n\left(\bigvee\limits_\alpha \S^k\right)\ar[r]^-\cong
  &\tilde H_n\left(\coprod\limits_\alpha\Delta^k_\alpha/
    \coprod\limits_\alpha\partial\Delta^k_\alpha\right).}
\]
Dabei wissen wir aufgrund von Beispiel \ref{sphaeren zykel bsp}, dass
f\"ur $k=n$ die Homologiegruppen $H_n(\Delta^k,\partial\Delta^k)$ von
$\eins:\Delta^k\to\Delta^k$ erzeugt werden und au\ss{}erdem trivial
sind, falls $k\neq n$ ist. \par
Dies alles zusammengenommen haben wir dieselbe Beschreibung f\"ur die
Homologiegruppen $H_n\left(X^k,X^{k-1}\right)$ wie f\"ur
$H^\Delta_n\left(X^k,X^{k-1}\right)$ einschlie\ss{}lich der Erzeuger,
falls $n>0$ ist, also in dem Fall, wenn reduzierte und nicht
reduzierte Homologiegruppen \"ubereinstimmen. F\"ur $n=0$ ist die
Aussage aber offenbar ebenfalls wahr. Es gilt n\"amlich
\begin{align*}
  &\xymatrix{C_1(X^0,\emptyset)\ar[r]^-{\partial=0}&
    C_0(X^0,\emptyset),}\\
  &\xymatrix{0\cong\Delta_1(X^0,\emptyset)\ar[r]^-0&
    \Delta_0(X^0,\emptyset).}
\end{align*}
Somit ist
\[H^\Delta_n\left(X^k,X^{k-1}\right)\to H_n\left(X^k,X^{k-1}\right)\]
f\"ur alle $n,\,k$ ein Isomorphismus. \par
Betrachte nun das kommutative Diagramm \eqref{HHDelta diagramm}. Die
Zeilen sind exakt. Wir haben gerade gezeigt, dass der erste und der
vierte vertikale Pfeil Isomorphismen sind. Wir gehen nun per Induktion
(nach $k$) vor und d\"urfen daher annehmen, dass auch der zweite und
der f\"unfte vertikale Pfeil Isomorphismen sind. Dann liefert das
F\"unferlemma, dass auch der mittlere Pfeil ein Isomorphismus ist.
Dies zeigt die Behauptung im Fall, wenn $X$ endlichdimensional ist und
$A=\emptyset$ gilt. \par
Wir betrachten als n\"achstes den Fall, wenn $X$ unendlichdimensional
ist, wenn also $X$ nicht endlichdimensional ist. Wir wollen dazu
benutzen, dass eine kompakte Menge in $X$ nur endlich viele offene
Zellen $D^k_\alpha$ in $X$ (also die hom\"oomorphen Bilder von
$\interior D^k_\alpha$) schneiden kann. Dies gilt allgemein f\"ur
CW-Komplexe, vergleiche \cite[Proposition A.1]{Hatcher}. F\"ur
$\Delta$-Komplexe sieht man dies direkt wie folgt ein: Falls eine
kompakte Menge $C$ unendlich viele solcher offenen Simplizes
schneidet, so finden wir eine Folge von Punkten $(x_i)_{i\in\N}$,
$x_i\in C$ so dass jeder Punkt $x_i$ in einem anderen offenen Simplex
liegt. Nach Definition eines $\Delta$-Komplexes, Definition \ref{delta
  komplex}, sind die Mengen $U_i:=X\setminus\bigcup\limits_{j\neq
  i}\{x_j\}$ in $X$ offen, da alle Urbilder unter den
charakteristischen Abbildungen der Simplizes offen sind. Die Mengen
$U_i$ \"uberdecken $C$, besitzen aber keine endliche
Teil\"uberdeckung. Widerspruch. Somit ist $C$ bereits in endlich
vielen offenen Simplizes enthalten. \par
Wir wollen nun damit zeigen, dass $H^\Delta_n(X)\to H_n(X)$ surjektiv
ist. F\"ur ein beliebiges Element in $H_n(X)$ finden wir einen
singul\"aren $n$-Zykel $z$, der das vorgegebene Element
repr\"asentiert. Der Zykel $z$ ist eine endliche Linearkombination aus
singul\"aren Simplizes. Diese haben kompakte Bilder in $X$ und treffen
daher nur endlich viele offene Simplizes in der gegebenen
$\Delta$-Struktur von $X$. Also sind alle diese Bilder im $k$-Skelett
$X^k$ f\"ur ein geeignetes $k$ enthalten. Wir wissen bereits, dass
$H^\Delta_n\left(X^k\right)\to H_n\left(X^k\right)$ ein Isomorphismus
und daher insbesondere surjektiv ist. Also ist $z$ in $X^k$ (und damit
auch in $X$) zu einem simplizialen Zykel (singul\"ar) homolog. Somit
ist die Abbildung $H^\Delta_n(X)\to H_n(X)$ surjektiv.\par
Zur Injektivit\"at: Sei ein simplizialer $n$-Zykel $z$ der Rand einer
singul\"aren Kette $a$ in $X$. Dies bedeutet, dass $z$ im Kern der
Abbildung $H^\Delta_n(X)\to H_n(X)$ liegt. Nun ist das Bild dieser
Kette $a$ in $X$ kompakt, liegt also (ebenso wie $z$) wieder in einem
$X^k$. Damit ist $z$ aber auch ein Element des Kernes von
$H^\Delta_n\left(X^k\right)\to H_n\left(X^k\right)$. Da diese
Abbildung nach Voraussetzung jedoch ein Isomorphismus ist, ist $z$ in
$X^k$ ein simplizialer Rand und somit auch in $X$. \par
Sei schlie\ss{}lich $X$ beliebig und $A\neq\emptyset$.  Analog zu
\eqref{HHDelta diagramm} betrachten wir das folgende kommutative
Diagramm, dessen Zeilen lange exakte Homologiesequenzen von Paaren und
dessen vertikale Pfeile die kanonischen Abbildungen, erzeugt von
$C^\Delta_n\to C_n$, sind
\[\xymatrix@=2.0ex{H^\Delta_{n+1}(X,A)\ar[r]\ar[d]
  &H^\Delta_n(A)\ar[r]\ar[d] &H^\Delta_n(X)\ar[r]\ar[d]
  &H^\Delta_n(X,A)\ar[r]\ar[d] &H^\Delta_{n-1}(A)\ar[d]\ar[r]
  &H^\Delta_{n-1}(X)\ar[d]\\
  H_{n+1}(X,A)\ar[r] &H_n(A)\ar[r] &H_n(X)\ar[r] &H_n(X,A)\ar[r]
  &H_{n-1}(A)\ar[r] &H_{n-1}(X)\,.}\]
(Im Vergleich zu \eqref{HHDelta diagramm} haben wir rechts noch ein
Quadrat angeh\"angt.) Aufgrund der obigen \"Uberlegungen sind in den
vier rechten Quadraten die beiden \"au\ss{}eren vertikalen Pfeile
Isomorphismen. Nach F\"unferlemma ist daher auch $H^\Delta_n(X,A)\to
H_n(X,A)$ ein Isomorphismus. 
\end{proof}

\begin{remark}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Aus Theorem \ref{HHDelta aequiv thm} folgt insbesondere, dass
    die Gruppen $H_n(X)$ endlich erzeugt sind, wenn $X$ eine
    $\Delta$-Komplex Struktur mit endlich vielen $n$-Simplizes
    besitzt. (In diesem Falle sind die n\"amlich die simplizialen
    Kettengruppen $\Delta_n(X)$ endlich erzeugt, also auch die
    Untergruppe der Zykel und somit schlie\ss{}lich ebenso
    $H^\Delta_n(X)$.)
  \item Theorem \ref{HHDelta aequiv thm} liefert auch, dass
    $H^\Delta(X)$ (bis auf einen Gruppenisomorphismus) nicht von der
    Wahl einer $\Delta$-Struktur auf $X$ abh\"angt.
  \item Schreiben wir $H_n(X)$ als die direkte Summe zyklischer
    Gruppen, so hei\ss{}t die Anzahl der $\Z$ Summanden von $H_n(X)$
    die $n$-te \emph{Bettizahl} von $X$. Die nat\"urlichen Zahlen, die
    die Ordnung der endlichen zyklischen Summanden angeben, hei\ss{}en
    \emph{Torsionskoeffizienten}.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\subsubsection*{Aufgaben}
Ziel der folgenden Lese- und Verstehaufgaben ist der Beweis des
$n$-dimensionalen Satzes von Borsuk und Ulam \cite[Corollary
2B.7]{Hatcher}. 
\begin{theorem}[Borsuk--Ulam]
  Sei $g:\S^n\to\R^n$ stetig. Dann gibt es ein $x\in\S^n$, so dass
  $g(x)=g(-x)$ gilt. 
\end{theorem}
Wichtig ist bei der Homologie mit Koeffizienten daher insbesondere der
Fall $G=\Z/2\Z$. 

\begin{aufgabe}
  Lies und verstehe \"uber Homologietheorien mit von $\Z$
  verschiedenen Koeffizienten auf Seite 153 in \cite{Hatcher}, soweit
  wir dies f\"ur Koeffizienten in $\Z$ schon besprochen haben.  
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Besorge dir die Grundkenntnisse zu \"Uberlagerungen, wie sie f\"ur
  die n\"achste Aufgabe n\"otig sind. 
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Lies und verstehe die Herleitung der langen exakten Sequenz zwischen
  der Formulierung und dem Beweis von Proposition 2B.6 in
  \cite{Hatcher}. 
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Lies und verstehe Lemma 2.49 \cite{Hatcher}.
\end{aufgabe}

\Section{Abbildungsgrad}\label{abb grad sec}
Der Abbildungsgrad wurde schon vor der Entwicklung der singul\"aren
Homologietheorie mit Hilfe der sogenannten \glqq simplizialen
Approximation\grqq{} definiert.

\begin{definition}
  Sei $f:\S^n\to\S^n$ eine stetige Abbildung f\"ur $n>0$. Dann
  induziert $f$ eine Abbildung $f_*:H_n(\S^n)\to H_n(\S^n)$. $f_*$ ist
  eine Abbildung zwischen zwei unendlichen zyklischen Gruppen. Also
  ist $f_*$ von der Form $f_*(\alpha)=d\alpha$ f\"ur alle $\alpha\in
  H_n(\S^n)$ und f\"ur ein $d\in\Z$, wobei $d$ nur von $f$ abh\"angt.
  Wir nennen $d$ den \emph{Abbildungsgrad} (oder \emph{Grad} oder
  \emph{Brouwergrad} oder \emph{Brouwerschen Abbildungsgrad}) der
  Abbildung $f$. Wir bezeichnen ihn mit $\deg f$.
\end{definition}

Es gelten die folgenden (relativ) elementaren Eigenschaften des
Abbildungsgrades
\begin{lemma}\label{abb grad eig}
Seien $f,\,g:\S^n\to\S^n$ stetige Abbildungen. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Abbildung $\eins:\S^n\to\S^n$ erf\"ullt $\deg\eins=1$.
  \item Ist $f$ nicht surjektiv, so gilt $\deg f=0$. 
  \item Homotope Abbildungen $f,\,g:\S^n\to\S^n$ haben denselben
    Abbildungsgrad. 
  \item $\deg(f\circ g)=\deg f\cdot\deg g$.
  \item Ist $f:\S^n\to\S^n$ eine Homotopie\"aquivalenz, so gilt $\deg
    f=\pm 1$. 
  \item Ist $f(\hat x,x^{n+1})=(\hat x,-x^{n+1})$, in Koordinaten
    $\left(\hat x,x^{n+1}\right)$ des $\R^{n+1}$ beschrieben, eine
    Reflektion an der $(n-1)$-Sph\"are $\left\{x^{n+1} =0\right\}
    \cap\S^n$, so gilt $\deg f=-1$.
  \item F\"ur die Antipodalabbildung $-\eins:x\mapsto-x$ gilt
    $\deg\,(-\eins)=(-1)^{n+1}$. 
  \item Besitzt $f$ keine Fixpunkte, so gilt $\deg f=(-1)^{n+1}$.
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist klar, da $\eins_*=\eins$. 
  \item Sei $x_0\in\S^n\setminus f(\S^n)$. Dann k\"onnen wir $f$
    zerlegen als 
\[\xymatrix{\S^n\ar[rr]^-f\ar[dr]^-{\tilde f}&&\S^n\\
&\S^n\setminus\{x_0\}\ar@{^(->}[ru]^-i&}\]
und erhalten Abbildungen
\[\xymatrix{H_n(\S^n)\ar[rr]^-{f_*}\ar[dr]^-{\left(\tilde f\right)_*}&&
  H_n(\S^n).\\ 
  &{\underbrace{H_n(\S^n\setminus\{x_0\})}_{\cong0}}\ar[ru]^-{i_*}&}\]
Somit ist $f_*:H_n(\S^n)\to H_n(\S^n)$ die Nullabbildung und es folgt
$\deg f=0$.
  \item Ist $f\simeq g$, so folgt $f_*=g_*$ und daher gilt $\deg
    f=\deg g$. (Die Umkehrung ist komplizierter und wurde von
    Hopf bewiesen, \cite[Korollar 4.25]{Hatcher} ist ein Beweis, der
    Homotopietheorie verwendet.)
  \item Folgt direkt aus $(fg)_*=f_*g_*$.  
  \item Ist $f$ eine Homotopie\"aquivalenz, so gibt es eine Abbildung
    $g$, so dass $fg\simeq\eins$ ist. Aus der Multiplikativit\"at des
    Abbildungsgrades folgt $\deg f\cdot\deg g=\deg\eins=1$. Da $\deg
    f,\,\deg g\in\Z$ ist, folgt $\deg f=\pm1$. 
  \item $\S^n$ besitzt eine $\Delta$-Komplex Struktur mit genau zwei
    $n$-Simplizes $\Delta^n_1$ und $\Delta^n_2$, die der oberen und
    der unteren Hemisph\"are entsprechen. Nach Beispiel \ref{sphaeren
      zykel bsp} repr\"asentiert $\Delta^n_1-\Delta^n_2$ gerade einen
    Erzeuger von $H_n(\S^n)$ (beachte, dass wir dort die Reihenfolge
    der Ecken beim Zusammenkleben beibehalten haben). Die Reflektion
    vertauscht gerade $\Delta^n_1$ und $\Delta^n_2$, bildet also den
    Erzeuger von $H_n(\S^n)$ auf sein Inverses ab. 
  \item Die Antipodalabbildung $-\eins$ l\"a\ss{}t sich als
    Verkn\"upfung von $n+1$ Reflexionen, alle mit Abbildungsgrad $-1$,
    schreiben. Bei jeder dieser Reflexionen wird gerade das Vorzeichen
    einer Koordinate im $\R^{n+1}$ ge\"andert.
  \item Gilt $x\neq f(x)$ f\"ur alle $x\in\S^n$ so liegt der Ursprung
    nicht auf der Verbindungsstrecke von $f(x)$ zu $-x$, definiert
    durch $[0,1]\ni t\mapsto(1-t)f(x)+t(-x)$. Also definiert 
    \[f_t(x):=\frac{(1-t)f(x)-tx}{|(1-t)f(x)-tx|}\] eine Homotopie
    zwischen $f_0=f$ und $f_1=-\eins$.\par (Beachte, dass die
    Antipodalabbildung $-\eins$ keine Fixpunkte besitzt. Die Aussage,
    dass jede fixpunktfreie Abbildung -- bis auf Homotopie -- die
    Antipodalabbildung ist, k\"onnen wir als Umkehrung davon
    auf\/fassen.)
  \end{enumerate}
\end{proof}

Eine Anwendung des Abbildungsgrades ist
\begin{theorem}\label{tang vf Sn}
  Auf $\S^n$ gibt es genau dann ein stetiges nirgends verschwindendes
  tangentiales Vektorfeld, wenn $n$ ungerade ist.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Die differentialgeometrische Aussage \"uber die Existenz eines
  nullstellenfreien Vektorfeldes ist \"aquivalent dazu, dass es eine
  stetige Abbildung $v:\S^n\to\R^{n+1}$ gibt mit $\langle
  v(x),x\rangle=0$ und $v(x)\neq0$ (oder sogar $|v(x)|=1$) f\"ur alle
  $x$. \par
  \Hinrichtung Wir nehmen nun an, dass $v$ eine solche Abbildung mit
  $|v(x)|=1$ ist. F\"ur $t\in[0,1]$ definieren wir eine Homotopie
  $f_t(x):=x\cdot\cos\pi t+v(x)\cdot\sin\pi t$. Diese Homotopie spielt
  sich f\"ur einen festen Wert von $x$ auf dem Gro\ss{}kreis durch $x$
  und $v(x)$ ab. Beachte, dass $\langle x,v(x)\rangle=0$ sichert, dass
  $f_t$ nullstellenfrei ist ($f_t$ braucht auch nicht mehr normiert zu
  werden). Die Abbildung $f_t$ ist eine Homotopie
  zwischen $f_0=\eins$ und $f_1=-\eins$. Daher gilt
  $1=\deg\eins=\deg\,(-\eins)=(-1)^{n+1}$ und somit ist $n$
  ungerade.\par
\Rueckrichtung Sei $n=2k-1$. Definiere
\[v\left(x^1,x^2,\ldots,x^{2k-1},x^{2k}\right)
:=\left(-x^2,x^1,\ldots,-x^{2k},x^{2k-1}\right).\] Motiviert durch den
Fall $\S^1\subset\R^2$ drehen wir also in jeder zweidimensionalen
Ebene um $90^\circ$. Es gilt $\langle x,v(x)\rangle=0$, also ist $v$
ein tangentiales Vektorfeld. Es verschwindet nirgends, denn f\"ur alle
$x\in\S^n$ ist $|v(x)|=1$.
\end{proof} 
Komplizierter ist es, die maximale Anzahl von tangentialen
Vektorfeldern auf $\S^n$ zu finden, die in jedem Punkt linear
unabh\"angig sind.

\begin{remark}
  Theorem \ref{tang vf Sn} besagt, dass jedes tangentiale Vektorfeld
  auf $\S^2$ (oder auf $\S^{2k}$) eine Nullstelle besitzt. Dies
  bedeutet umgangssprachlich: \glqq Ein Igel l\"a\ss{}t sich nicht
  ohne Wirbel k\"ammen.\grqq
\end{remark}

\begin{definition}
  Sei $X$ ein topologischer Raum.  Die Hom\"oomorphismen $X\to X$
  bilden eine Gruppe bez\"uglich Hintereinanderausf\"uhrung. Eine
  Gruppe $G$ \emph{operiert} auf einem Raum $X$, wenn es einen
  Gruppenhomomorphismus von $G$ auf die Gruppe der Hom\"oomorphismen
  $X\to X$ gibt. (Wir ordnen also jedem Gruppenelement $g\in G$ einen
  Hom\"oomorphismus $X\to X$ zu, so dass dem Produkt von
  Gruppenelementen die Verkettung der zugeh\"origen Hom\"oomorphismen
  und $\eins\in G$ die Identit\"at $\eins:X\to X$ zugeordnet werden.)
  Die Gruppe $G$ operiert \emph{frei} auf $X$, wenn nur dem Element
  $\eins\in G$ ein Hom\"oomorphismus zugeordnet wird, der einen
  Fixpunkt besitzt. (Die Zuordnung
  $\Z/2\Z\ni0\mapsto(\eins:\S^n\to\S^n)$ und
  $\Z/2\Z\ni1\mapsto(-\eins:\S^n\to\S^n)$ beschreibt eine freie
  Operation von $\Z/2\Z$ auf $\S^n$.)
\end{definition}

\begin{proposition}
  Die Gruppe $\Z/2\Z$ ist (bis auf Isomorphismen) die einzige
  nichttriviale Gruppe, die f\"ur gerades $n$ frei auf $\S^n$
  operiert.
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $G$ eine nichttriviale Gruppe, $g\mapsto f_g$ sei die Operation
  von $g$ auf $\S^n$, also ist insbesondere $f_g:\S^n\to\S^n$ ein
  Hom\"oomorphismus. Da Hom\"oomorphismen $f$ einen Abbildungsgrad
  $\deg f=\pm1$ besitzen, liefert die Komposition $g\mapsto
  f_g\mapsto\deg f_g$ eine Funktion $d:G\to\{\pm1\}$. Da der
  Abbildungsgrad multiplikativ ist, $\deg\,(f_{g_1}\circ
  f_{g_2})=(\deg f_{g_1})\cdot(\deg f_{g_2})$, ist $d$ ein
  Homomorphismus. Wir hatten gesehen, Lemma \ref{abb grad eig}, dass
  eine fixpunktfreie Abbildung $f_g:\S^n\to\S^n$ Abbildungsgrad $\deg
  f_g=(-1)^{n+1}=-1$ hat, falls $n$ gerade ist. Seien also
  $g_1,\,g_2\in G$. Wir nehmen an, dass $g_1\neq\eins\neq g_2$ gilt
  und erhalten $\deg f_{g_1}=-1=\deg f_{g_2}$.  Es gilt $d(g_1\cdot
  g_2)=(-1)\cdot(-1)=1$, also operiert $f_{g_1\cdot g_2}$ nicht
  fixpunktfrei auf $\S^n$ und wir erhalten $g_1\cdot g_2=\eins$. Damit
  ist aber jedes Element $\neq\eins$ das Inverse jedes Elementes
  $\neq\eins$. Somit ist $G$ isomorph zu $\Z/2\Z$.
\end{proof}

Mit Hilfe des \emph{lokalen Abbildungsgrades} kann man oft den
Abbildungsgrad einer Abbildung berechnen.
\begin{definition}\label{lok abb grad}
  Sei $f:\S^n\to\S^n$, $n>0$, eine stetige Abbildung. Nehme an, dass es
  einen Punkt $y\in\S^n$ gibt, so dass $f^{-1}(y)$ nur aus endlich
  vielen Punkten $x_1,\ldots,x_m$ besteht. (Bei einer glatten
  Abbildung ist dies aufgrund des Sardschen Satzes f\"ur fast alle
  Bildpunkte der Fall.) Sei $V$ eine offene Umgebung von $y$.  Seien
  $U_1,\ldots,U_m$ disjunkte Umgebungen der Punkte $x_1,\ldots,x_m$,
  die wir so w\"ahlen, dass $f(U_i)\subset V$ f\"ur alle $i$
  gilt. Dann ist auch $f(U_i\setminus\{x_i\})\subset
  V\setminus\{y\}$. Wir erhalten das folgende kommutative Diagramm
\[\xymatrix{&H_n(U_i,U_i\setminus\{x_i\}) \ar[r]^-{f_*} \ar[dl]_-\cong
  \ar[d]^-{k_i} &H_n(V,V\setminus\{y\}) \ar[d]^-\cong\\
H_n(\S^n,\S^n\setminus\{x_i\}) &H_n\left(\S^n,\S^n\setminus
  f^{-1}(y)\right) \ar[l]_-{p_i} \ar[r]^-{f_*}
&H_n(\S^n,\S^n\setminus\{y\})\\ 
&H_n(\S^n)\ar[ul]^-\cong \ar[u]^j \ar[r]^-{f_*} &H_n(\S^n)
\ar[u]_-\cong\,,}\] 
wobei $k_i$ und $p_i$ durch die entsprechenden Inklusionen induziert
sind und alle anderen Abbildungen die offensichtlichen Abbildungen
sind. Daher ist das Diagramm kommutativ. Die beiden Isomorphismen in
der oberen H\"alfte des Diagrammes kommen vom Ausschneidungssatz,
Theorem \ref{ausschneid thm}, genauso wie im Beweis von Theorem
\ref{dim inv thm} (Invarianz der Dimension). Da f\"ur $p\in\S^n$
aufgrund der Voraussetzung $n>0$ aber $H_n(\S^n\setminus\{p\})\cong0$
folgt, liefert die lange exakte Sequenz von Paaren die beiden
Isomorphismen im unteren Teil des Diagrammes (In Dimension $n=1$ ist
noch die folgende Zusatz\"uberlegung n\"otig: Zun\"achst einmal ist
$H_0(\S^n,\S^n\setminus\{p\})\cong0$, wie man beispielsweise aus der
langen exakten Homologiesequenz f\"ur Tripel sieht. Daher ist $\Z\cong
H_0(\S^n\setminus\{p\})\to H_0(\S^n)\cong\Z$ ein Isomorphismus und
somit $H_1(\S^n,\S^n\setminus\{p\})\to H_0(\S^n\setminus\{p\})$ die
Nullabbildung.  Also ist auch hier $H_1(\S^n)\to
H_1(\S^n,\S^n\setminus\{p\})$ ein Isomorphismus.). Mit Hilfe dieser
vier Isomorphismen sehen wir, dass die beiden Gruppen
$H_n(U_i,U_i\setminus\{x_i\})$ und $H_n(V,V\setminus\{y\})$ isomorph
zu $H_n(\S^n)\cong\Z$ sind. Also ist die Abbildung $f_*$ in der
obersten Zeile des Diagrammes verm\"oge dieser Identifikation gerade
eine Multiplikation mit einer Zahl in $\Z$. Wir nennen diese Zahl den
\emph{lokalen Abbildungsgrad} von $f$ in $x_i$ und bezeichnen ihn mit
$\deg f|x_i$. (Beachte insbesondere, dass die Kommutativit\"at des
obigen Diagrammes nicht impliziert, dass der lokale Abbildungsgrad mit
dem Abbildungsgrad \"ubereinstimmen muss.)\par
Der lokale Abbildungsgrad ist aufgrund des Ausschneidungssatzes nicht
von der speziellen Wahl der Umgebungen $U_i$ abh\"angig. F\"ur die
Unabh\"angigkeit von der Wahl von $V$ argumentiert man analog. Zu
Umgebungen $U_i$ und $W_i$ finden wir einen kleinen offenen Ball $B$
um $x_i$, so dass $\ol B\subset U_i$ und $\ol B\subset W_i$ gelten.
Wir erhalten dann aufgrund des Ausschneidungssatzes das kommutative
Diagramm
\[\xymatrix{H_n(U_i,U_i\setminus\{x_i\})\ar[rd]^-{f_*}&\\
H_n(B,B\setminus\{x_i\})\ar[u]^-\cong\ar[r]^-{f_*}&
H_n(V,V\setminus\{y\})}\]
was die Wohldefiniertheit zeigt, da $\deg_{U_i} f|x_i=\deg_B f|x_i$
gilt und wir analog auch $\deg_{W_i} f|x_i=\deg_B f|x_i$ erhalten.
\end{definition}

\begin{remark}
  Sei $f$ nun zus\"atzlich ein Hom\"oomorphismus. Dann gibt es f\"ur
  jeden Punkt $y$ genau einen Punkt $x_i$ mit $f(x_i)=y$. Dann sind
  alle Abbildungen im obigen Diagramm Isomorphismen (wir k\"onnen
  sogar die oberste Zeile weglassen bzw.{} $V=\S^n$ und $U_i=\S^n$
  w\"ahlen) und es gilt $\deg f|x_i=\deg f=\pm1$. (Das Ergebnis muss
  $\pm1$ sein, da $f^{-1}$ existiert.) Bildet allgemeiner $f$ jede
  Menge $U_i$ hom\"oomorph auf $V$ ab, dann gilt $\deg f|x_i=\pm1$
  f\"ur alle $i$.  (Die Begr\"undung f\"ur $\pm1$ ist hier wieder
  analog zu oben mit Hilfe der Existenz einer Inversen. Die
  Surjektivit\"at der Einschr\"ankung von $f$ kann man auch durch
  Verkleinern der beteiligten Mengen k\"unstlich herstellen.) (Das
  Vorzeichen kann man h\"aufig in Anwendungen aufgrund der
  Homotopieinvarianz des Abbildungsgrades bestimmen.)
\end{remark}

Lokaler Abbildungsgrad und Abbildungsgrad h\"angen wie folgt zusammen:
\begin{proposition}\label{lok abb grad prop}
In der Situation von Definition \ref{lok abb grad} gilt 
\[\deg f=\sum\limits_i\deg f|x_i.\]
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Aufgrund des Ausschneidungsatzes ist
  \[H_n\left(\S^n,\S^n\setminus\left\{f^{-1}(y)\right\}\right)
  \cong\bigoplus\limits_i H_n(U_i,U_i\setminus\{x_i\}) \cong
  \bigoplus\limits_i\Z,\] wobei wir benutzt haben, dass die Mengen
  $U_i$ disjunkt sind, um die direkte Summe zu erhalten. $k_i$ ist
  dann gerade die Inklusionsabbildung f\"ur den $i$-ten Summanden,
  induziert von $(U_i, U_i \setminus \{x_i\}) \hookrightarrow
  \left(\S^n, \S^n \setminus \left\{f^{-1}(y)\right\}\right)$. Das
  obere Dreieck kommutiert und somit sind $p_i$ die Abbildungen des
  $i$-ten direkten Summanden auf $H_n(\S^n,\S^n\setminus\{x_i\})$. Wie
  bisher identifizieren wir die \"au\ss{}eren Gruppen im obigen
  kommutativen Diagramm mit $\Z$. Die Kommutativit\"at des unteren
  Dreiecks impliziert $p_ij(1)=1$, also muss in $j(1)$ aufgrund der
  Ausschneidungseigenschaft ($H_n(U_i,U_i\setminus\{x_i\})\cong
  H_n(\S^n,\S^n\setminus\{x_i\})$ verm\"oge der auf den $i$-ten
  Summanden eingeschr\"ankten Abbildung $p_i$) in jeder Komponente
  eine Eins stehen, $j(1)=(1,\ldots,1)$.  Also ist
  $j(1)=(1,\ldots,1)=\sum\limits_ik_i(1)$. Das obere Quadrat ist
  kommutativ. Also bildet die mittlere Abbildung $f_*$ das Element
  $k_i(1)$ auf $\deg f|x_i$ ab und somit wird $\sum\limits_ik_i(1)
  =j(1)$ auf $\sum\limits_i\deg f|x_i$ abgebildet.  Da $f_*$ in der
  untersten Zeile $1$ auf $\deg f$ abbildet, folgt $\deg
  f=\sum\limits_i\deg f|x_i$.
\end{proof}

Vergleiche dies mit der folgenden Definition aus der nichtlinearen
Funktionalanalysis \cite{Deimling}, wo man mit Hilfe einer analogen
Formel den Abbildungsgrad definiert.
\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $f\in
  C^0\left(\ol\Omega,\R^n\right)\cap C^1(\Omega,\R^n)$. F\"ur einen
  regul\"aren Wert $y\in\R^n\setminus f(\partial\Omega)$ von
  $f|_\Omega$ definieren wir den Brouwer-Grad 
  \[G(f,\Omega,y):=\sum\limits_{x\in f^{-1}(y)}\sgn\det df(x).\]
\end{definition}

Wir wollen Proposition \ref{lok abb grad prop} benutzen, um
nachzuweisen, dass es f\"ur jedes $k\in\Z$ und jedes $n>0$ eine
Abbildung mit Abbildungsgrad $k$ gibt.
\begin{example}
  Sei $n\ge1$, $k\in\Z$. Wir wollen ohne Einschr\"ankung annehmen,
  dass $k>0$ ist. Im Falle $k<0$ gen\"ugt es, an geeigneter Stelle im
  Beweis zus\"atzliche Reflektionen einzubauen und im Falle $k=0$
  gen\"ugt es, eine konstante Abbildung zu betrachten. Sei
  $q:\S^n\to\bigvee\limits_{i=1}^k\S^n$ die Quotientenabbildung, die
  die Komplemente von $k$ disjunkten offenen Kugeln $B_i$ in $\S^n$ zu
  einem Punkt identifiziert und aus jeder Kugel (zusammen mit dem
  Punkt, der bei der Identifikation des Komplementes der offen Kugeln
  entsteht) eine $\S^n$ macht. Sei $p:\bigvee\limits_{i=1}^k
  \S^n\to\S^n$ eine Abbildung, die alle Sph\"aren mit einer einzigen
  Sph\"are identifiziert, \glqq$\S^n\times\{i\}\to\S^n$\grqq.
  Betrachte die Abbildung $f:=pq$. F\"ur fast alle $y\in\S^n$
  (n\"amlich gerade f\"ur alle, die nicht dem identifizierten Punkt
  aus der Einpunktvereinigung entsprechen; es gilt also f\"ur alle
  Punkte bis auf einen) besteht $f^{-1}(y)$ aus je einem Punkt $x_i\in
  B_i$.  Eingeschr\"ankt auf eine geeignete Umgebung von $x_i$
  (z.\,B.{} auf $B_i$ und mit einer entsprechenden Einschr\"ankung im
  Bild) ist $f$ ein Hom\"oomorphismus. Daher ist $\deg f|x_i=\pm1$.
  Falls n\"otig wenden wir vor $p$ noch eine Reflektion der
  entsprechenden Sph\"aren $\S^n$ in $\bigvee\limits_{i=1}^k\S^n$ an
  und erhalten $\deg f|x_i=1$ f\"ur alle $i$ (oder $=-1$). Proposition
  \ref{lok abb grad prop} liefert nun $\deg f=\sum\limits_{i=1}^k\deg
  f|x_i=\sum\limits_{i=1}^k1=k$ und wir haben wie gew\"unscht eine
  Abbildung mit Abbildungsgrad $k$ konstruiert.
\end{example}

\begin{example}\label{zk abb grad bsp}
  Betrachte $\S^1\subset\C$. Sei $k\in\Z$. Wir behaupten, dass die
  Abbildung $f(z):=z^k$ den Abbildungsgrad $\deg f=k$ besitzt. F\"ur
  $k=0$ ist dies offensichtlich, denn dann ist $f$ konstant, also
  insbesondere nicht surjektiv. Durch Komposition mit $z\mapsto
  z^{-1}$, einer Spiegelung, d\"urfen wir annehmen, dass $k>0$ ist.
  Sei $y\in\S^1$. F\"ur jedes $y\in\S^1$ besteht $f^{-1}(y)$ aus $k$
  Punkten $x_1,\ldots,x_k$. Wenn wir $f$ auf eine kleine Umgebung
  eines dieser Punkte $x_i$ einschr\"anken, ist $f$ ein
  Hom\"oomorphismus, der um den Faktor $k$ streckt und dreht. Durch
  lokales Homotopieren von $f$, das den lokalen Abbildungsgrad von $f$
  nicht ver\"andert, k\"onnen wir die Streckung wegdeformieren. (Dies
  folgt aus der Homotopieinvarianz und aufgrund des
  Ausschneidungssatzes.) Also stimmt der lokale Abbildungsgrad mit dem
  lokalen Abbildungsgrad einer Rotation \"uberein. Eine Rotation ist
  ein Hom\"oomorphismus, also stimmen ihr lokaler (Abbildungsgrad) und
  (globaler) Abbildungsgrad \"uberein. Weiterhin ist eine Rotation
  homotop zur Identit\"at, besitzt also den Abbildungsgrad $+1$. Also
  gilt $\deg f|x_i=1$ f\"ur alle $i=1,\ldots,k$ und wir erhalten nach
  Proposition \ref{lok abb grad prop}, dass $\deg f=k$ gilt.
\end{example}

F\"ur beliebige Sph\"aren $\S^n$, $n\ge1$, erhalten wir Abbildungen mit
dem (lokalen) Abbildungsgrad (in einem speziellen Punkt, hier einem
der Pole, falls $n\ge2$) auch mit Hilfe von Suspensionen der
Abbildungen $z\mapsto z^k$ aus Beispiel \ref{zk abb grad
  bsp}.
\begin{definition}
  Seien $X$ und $Y$ topologische R\"aume. Sei $f:X\to Y$ eine stetige
  Abbildung. Sei $\mathcal CX:=(X\times I)/(X\times\{1\})$ der Kegel
  von $X$. Wir definieren die von $f$ induzierte Abbildung $\mathcal
  Cf:\mathcal CX\to\mathcal CY$ vertreterweise (d.\,h.{} von $X\times
  I$ nach $Y\times I$ ohne Quotientenbildung) durch
\[\mathcal Cf(x,t):=(f(x),t).\]
Analog definieren wir die \emph{Suspension} von $f$, $Sf:SX\to SY$,
vertreterweise durch $Sf(x,t):=(f(x),t)$. Beachte, dass diese
Abbildungen jeweils auf den Kegeln bzw.{} Suspensionen wieder
wohldefiniert und stetig sind.
\end{definition}

Der \"Ubergang zur Suspension erh\"alt den Abbildungsgrad, was die
obige Behauptung zeigt, dass der (lokale) Abbildungsgrad (f\"ur
$n\ge2$) beliebige Werte aus
$\Z$ annehmen kann:
\begin{proposition}
  Sei $f:\S^n\to\S^n$ stetig und $Sf:\S^{n+1}\to\S^{n+1}$ die
  Suspension von $f$. Dann gilt $\deg Sf=\deg f$. 
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir haben hier $S\S^n$ und $\S^{n+1}$ identifiziert.\par Bezeichne
  $\mathcal C\S^n$ den Kegel $(\S^n\times I)/(\S^n\times\{1\})$ und
  identifiziere die Basis wie folgt mit $\S^n$:
  $\S^n\equiv\S^n\times\{0\}\subset\mathcal C\S^n$. Dann ist $\mathcal
  C\S^n/\S^n$ die Suspension von $\S^n$. Die induzierte Abbildung
  $\mathcal Cf:(\mathcal C\S^n,\S^n)\to(\mathcal C\S^n,\S^n)$, die auf
  dem zweiten Faktor mit $f$ \"ubereinstimmt, ohne die Notation
  $\mathcal Cf$ abzu\"andern, induziert auf dem Quotientenraum
  $\S^{n+1}\simeq S\S^n=\mathcal C\S^n/\S^n$ gerade die Suspension
  $Sf$ der Abbildung $f$. Nach Kapitel \ref{natuerlich sec} ist die
  lange exakte Homologiesequenz f\"ur Paare aus Bemerkung \ref{red
    homol seq paar} nat\"urlich. Wir wenden dies auf $(\mathcal
  C\S^n,\S^n)$ an und erhalten den rechten Teil des folgenden
  kommutativen Diagrammes 
\[\xymatrix{\tilde H_{n+1}(\S^{n+1})\ar[d]^-{(Sf)_*}
\ar@/^{5ex}/[rr]^-\partial_-\cong
&H_{n+1}(\mathcal C\S^n,\S^n)\ar[r]^-\partial_-\cong\ar[d]^-{(Cf)_*}
\ar[l]_-\cong
&\tilde H_n(\S^n)\ar[d]^-{f_*}\\
\tilde H_{n+1}(\S^{n+1})\ar@/_{5ex}/[rr]^-\partial_-\cong
&H_{n+1}(\mathcal C\S^n,\S^n)\ar[r]^-\partial_-\cong\ar[l]_-\cong
&\tilde H_n(\S^n)\,.}\]
Hier haben wir links bereits $S\S^n$ und $\S^{n+1}$ identifiziert und
auch f\"ur $Sf$ keine neue Notation eingef\"uhrt. Die beiden Pfeile
nach links sind von der Quotientenabbildung induziert und nach
Proposition \ref{lange ex hom seq bew prop} Isomorphismen, da es sich
um gute Paare handelt. Schlie\ss{}lich ist $\partial$ ein
Isomorphismus, da $\tilde H_i(\mathcal C\S^n)\cong0$ f\"ur alle $i$
gilt, da ein Kegel \"uber einer Menge stets kontrahierbar ist.
Benutzen wir die Identifikation von $S\S^n$ und $\S^{n+1}$ und
Proposition \ref{lange ex hom seq bew prop}, so erhalten wir die
gekr\"ummten Pfeile und brauchen ab jetzt nur noch die \"au\ss{}eren
Pfeile zu betrachten. Die Kommutativit\"at des obigen Diagrammes
liefert also, dass $f_*$ und $Sf_*$ Multiplikationen mit der gleichen
Zahl sind. Somit stimmen die beiden Abbildungsgrade wie behauptet
\"uberein.
\end{proof}

\subsubsection*{Aufgaben}
\begin{aufgabe}
  Betrachte stetige Abbildungen $f:\S^n\to\S^n$ f\"ur $n\ge1$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Gib eine stetige surjektive Abbildung $f:\S^n\to\S^n$ an, so
    dass $f_*:H_n(\S^n)\to H_n(\S^n)$ die Nullabbildung ist.
  \item Sei $f:\S^n\to\S^n$ stetig. Zeige, dass $f$ homotop zu einer
    Abbildung ist, die einen Fixpunkt besitzt. 
  \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Sei $f:D^n\to D^n$ stetig. Zeige, dass $f$ einen Fixpunkt besitzt,
  also den Brouwerschen Fixpunktsatz erf\"ullt, indem du mit Hilfe von
  $f$ eine Abbildung $\S^n\to\S^n$ konstruierst, die die gesamte
  Sph\"are auf die \glqq s\"udliche\grqq{} Hemisph\"are abbildet und
  dann den Abbildungsgrad benutzt. (Solch einen Beweis hat auch
  Brouwer angegeben.)
\end{aufgabe}


\begin{aufgabe}
  Sei $f:\S^{2n}\to\S^{2n}$ eine stetige Abbildung. Zeige, dass es
  einen Punkt $x\in\S^{2n}$ gibt, so dass entweder $f(x)=x$ oder
  $f(x)=-x$ gilt. Schlie\ss{}e daraus, dass jede stetige Abbildung $\R
  P^2\to\R P^2$ einen Fixpunkt besitzt. Benutze lineare Abbildungen
  $\R^{2n}\to\R^{2n}$, um eine Abbildung $\S^{2n-1}\to\S^{2n-1}$ zu
  konstruieren, so dass weder $f$ noch $-f$ einen Fixpunkt besitzt.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Eine Reflektion des $\R^{n+1}$ an einer $n$-dimensionalen Hyperebene
  durch den Ursprung induziert eine Abbildung $\S^n\to\S^n$. Seien
  $A$, $B:\S^n\to\S^n$ zwei solche Abbildungen. Zeige, dass $A$ und
  $B$ homotop sind. Es gen\"ugt sogar, eine Homotopie $f_t$ zu
  benutzen, so dass jede Abbildung $f_t$ wie beschrieben von einer
  Reflektion induziert ist. (Es k\"onnte n\"utzlich sein, eine
  Reflektion zun\"achst mit Hilfe des Skalarproduktes zu beschreiben.)
\end{aufgabe}

\Section{Zellul\"are Homologie}
F\"ur CW-Komplexe kann man mit Hilfe des Abbildungsgrades sehr
effizient Homologiegruppen ausrechnen. Dazu ben\"otigen wir zun\"achst
das folgende technische Lemma.
\begin{lemma}\label{zh lem}
Sei $X$ ein CW-Komplex. Dann gilt
\begin{enumerate}[(i)]
\item\label{zh1} $H_k(X^n,X^{n-1})\cong0$ f\"ur $k\neq n$.
  $H_n(X^n,X^{n-1})$ ist eine freie abelsche Gruppe, deren Erzeuger
  bijektiv auf die $n$-Zellen von $X$ abgebildet werden k\"onnen.
\item\label{zh2} $H_k(X^n)\cong0$ f\"ur $k>n$. Insbesondere gilt
  $H_k(X)\cong0$, falls $X$ ein endlichdimensionaler CW-Komplex ist
  und $k>\dim X$ gilt.
\item\label{zh3} Ist $k<n$, so induziert die Inklusion
  $i:X^n\hookrightarrow X$ einen Isomorphismus $i_*:H_k(X^n)\to
  H_k(X)$.
\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]\neueZeile
  \begin{enumerate}[(a)]
  \item $(X^n,X^{n-1})$ ist ein gutes Paar und $X^n/X^{n-1}$ ist
    hom\"oomorph zu einer Einpunktvereinigung von $n$-dimensionalen
    Sph\"aren und zwar von einer $n$-Sph\"are pro $n$-Zelle. Nach
    Proposition \ref{lange ex hom seq bew prop} gilt
    $H_k(X^n,X^{n-1})\cong\tilde H_k(X^n/X^{n-1})$. Der obige
    Hom\"oomorphismus liefert $\tilde H_k(X^n/X^{n-1})\cong\tilde
    H_k\left(\bigvee \limits_l\S^n\right)$ f\"ur $l$ in einer
    geeigneten Indexmenge und nach Korollar \ref{bigvee hom iso cor}
    ist $\tilde H_k\left(\bigvee
      \limits_k\S^n\right)\cong\bigoplus\limits_l\tilde H_k(\S^n)$.
    Nun ist $\tilde H_k(\S^n)\cong\Z$ f\"ur $k=n$ und $\cong0$ f\"ur
    $k\neq n$. Die Behauptung \eqref{zh1} folgt also.
  \item Die lange exakte Sequenz f\"ur Paare, Theorem \ref{paare lange
      ex seq}, enth\"alt
    \[H_{k+1}(X^n,X^{n-1})\to H_k(X^{n-1})\to H_k(X^n)\to
    H_k(X^n,X^{n-1}).\] Sei zun\"achst $k\neq n$, $k\neq n-1$. Dann
    verschwinden die beiden \"au\ss{}eren Gruppen in dieser Sequenz
    nach \eqref{zh1}. Wir erhalten also Isomorphismen
    $H_k(X^{n-1})\cong H_k(X^n)$, falls $k\neq n$, $k\neq n-1$. \par
    Ist $k>n$ (also insbesondere $k>0$), so erhalten wir daraus
    $H_k(X^n)\cong H_k(X^{n-1})\cong H_k(X^{n-2})\cong\ldots\cong
    H_k(X^0)\cong0$ und \eqref{zh2} folgt.
  \item Ist $k<n$, so folgt f\"ur alle $m\ge0$, dass $H_k(X^n)\cong
    H_k(X^{n+1}) \cong \ldots \cong H_k(X^{n+m})$ gilt. Dies zeigt
    \eqref{zh3}, falls $X$ ein endlichdimensionaler CW-Komplex
    ist.\par
    (Lediglich die folgenden Gruppen brauchen also nicht isomorph zu
    beiden \glqq Nachbarn\grqq{} zu sein: $H_k(X^{k+1})$, $H_k(X^k)$
    und $H_k(X^{k-1})$.)\par
    Beachte, dass die obigen Isomorphismen jeweils von den
    Inklusionsabbildungen $X^{n-1}\hookrightarrow X^n$ induziert sind.
    % F\"ur den folgenden Teil steht bei Hatcher noch ein
    % allgemeinerer Ansatz, den wir hier jedoch nicht ben\"otigen.
  \item Es bleibt also noch, \eqref{zh3} f\"ur unendlichdimensionale
    CW-Komplexe $X$ nachzuweisen. Eine singul\"are Kette in $X$ hat
    ein kompaktes Bild, trifft also nach \cite[Appendix A.1]{Hatcher}
    nur das Innere von endlich viele Zellen des CW-Komplexes $X$.
    Daher liegt jede singul\"are Kette in einem endlichen Skelett
    $X^m$. \par
    Sei $\alpha$ ein $k$-Zykel in $X$. Dann ist $\alpha$ also auch ein
    $k$-Zykel in einem $X^m$ f\"ur $m$ gen\"ugend gro\ss; wir d\"urfen
    $m>n$ annehmen. Aufgrund der Isomorphismen aus der
    endlichdimensionalen Variante von \eqref{zh3} ist $\alpha$ homolog
    zu einem Zykel in $X^n$. Also kommt jeder $k$-Zykel in $X$ von
    einem $k$-Zykel in $X^n$, falls $n>k$ ist. Somit ist
    $i_*:H_k(X^n)\to H_k(X)$ surjektiv. \par
    Die Argumentation f\"ur die Injektivit\"at funktioniert analog.
    Sei $\alpha$ ein $k$-Zykel in $X^n$ mit $[\alpha]\in\ker i_*$.
    Nehme an, dass $\alpha=\partial\beta$ f\"ur einen $(k+1)$-Zykel in
    $X$ gilt. Dann liegt $\beta$ ein einem $X^m$ f\"ur geeignetes
    gro\ss{}es $m\ge n$. Also ist $[\alpha]$ auch schon im Kern der
    Abbildung $H_k(X^n)\to H_k(X^m)$. Diese Abbildung ist aber ein
    Isomorphismus. Somit ist $[\alpha]=0$ in $H_k(X^n)$ und
    \eqref{zh3} folgt auch f\"ur unendlichdimensionale CW-Komplexe.
  \end{enumerate}
\end{proof}

F\"ur die Paare $(X^{n+1},X^n)$, $(X^n,X^{n-1})$ und
$(X^{n-1},X^{n-2})$ erhalten wir aus den langen exakten Sequenzen aus
Theorem \ref{paare lange ex seq} mit Hilfe von Lemma \ref{zh lem}
\begin{align*}
  &\xymatrix@R=8pt{H_{n+1}(X^{n+1},X^n)\ar[r]^-{\partial_{n+1}}
    &H_n(X^n)\ar[r] & H_n(X^{n+1}) \ar[r] \ar[d]^-{\cong}
    &{H_n(X^{n+1},X^n)}\ar[d]^-{\cong}\\
    &&H_n(X) & 0},\umbruch\\
  &\xymatrix@R=8pt{H_n(X^{n-1})\ar[r]\ar[d]^-\cong
    &H_n(X^n)\ar[r]^-{j_n}\ar[r]
    &H_n(X^n,X^{n-1})\ar[r]^-{\partial_n} &H_{n-1}(X^{n-1}),\\
    0&&&&}\umbruch\\
  &\xymatrix@R=8pt{H_{n-1}(X^{n-2})\ar[r]\ar[d]^-\cong
    &H_{n-1}(X^{n-1})\ar[r]^-{j_{n-1}}
    &H_{n-1}(X^{n-1},X^{n-2}).\\
    0&&&&}
\end{align*}
Diese Teile aus exakten Sequenzen von Paaren bauen wir nun in ein
gemeinsames Diagramm ein.
\[\xymatrix@C-40pt{
  &&&&&0&&&\\
  &&0\ar[dr]&&H_n(X)\ar[ru]&&&&\\
  &{\phantom{HnnnX}}&&{\phantom{n}}H_n(X^n){\phantom{n}}
  \ar[ur]^-{i_n}\ar[dr]^-{j_n}&&&&&\\
  \ldots\ar[rr]
  &&H_{n+1}(X^{n+1},X^n)\ar[rr]^-{d_{n+1}}\ar[ur]^-{\partial_{n+1}}
  &&H_n(X^n,X^{n-1})\ar[rr]^-{d_n}\ar[dr]_-{\partial_n}
  &&H_{n-1}(X^{n-1},X^{n-2})\ar[rr]
  &&{\ldots}\\
  &&&&&H_{n-1}(X^{n-1})\ar[ur]_-{j_{n-1}}&&{\phantom{HnnnX}}&\\
  &&&&0\ar[ru]&&&&}\]
Dieses Diagramm machen wir kommutativ, indem wir
$d_{n+1}:=j_n\partial_{n+1}$ und $d_n:=j_{n-1}\partial_n$ f\"ur alle
$n$ definieren.  Nach Bemerkung \ref{partial beschr paar rem} ist der
obige Randoperator $\partial$ mit Hilfe eines Randoperators f\"ur
$n$-Ketten definiert. Daher treten in $d_nd_{n+1}$ zwei solche
Randoperatoren auf und da $j$ von Projektionsabbildungen induziert
ist, folgt $d_nd_{n+1}=0$ f\"ur alle $n$. Also ist die Zeile im obigen
Diagramm ein Kettenkomplex. Die Kettengruppen
$H_n\left(X^n,X^{n-1}\right)$ sind aufgrund der \"Uberlegungen beim
Beweis der \"Aquivalenz von singul\"arer und simplizialer Homologie
von den $n$-Zellen in $X$ erzeugt und frei, siehe Kapitel \ref{aequiv
  simp sing hom sec}. Daher bezeichnen wir diesen Kettenkomplex als
\emph{zellul\"aren Kettenkomplex}. Die Homologiegruppen dieses
Kettenkomplexes hei\ss{}en \emph{zellul\"are Homologiegruppen} von
$X$. Wir bezeichnen sie mit $H^{CW}_n(X)$, lassen den Index CW aber
gleich wieder weg, denn es gilt
\begin{theorem}\label{CW sing aequiv thm}
  Sei $X$ ein CW-Komplex. Dann gilt $H_n^{CW}(X)\cong H_n(X)$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Aufgrund des obigen Diagrammes k\"onnen wir die Gruppen $H_n(X)$ und
  $H_n(X^n)/\im\partial_{n+1}$ identifizieren.  Da $i_n$ surjektiv und
  die Sequenz exakt ist, gilt
  $H_n(X^n)/\im\partial_{n+1}=H_n(X^n)/\ker i_n\cong\im i_n=H_n(X)$.
  Die Abbildung $j_n$ ist injektiv, bildet also $\im\partial_{n+1}$
  isomorph auf $\im(j_n\partial_{n+1})=\im d_{n+1}$ ab. Weiterhin
  bildet sie aufgrund der Exaktheit $H_n(X^n)$ isomorph auf $\im
  j_n=\ker\partial_n$ ab. Auch $j_{n-1}$ ist injektiv. Somit haben
  $\partial_n$ und $j_{n-1}\partial_n=d_n$ denselben Kern, es folgt
  also $\ker\partial_n=\ker d_n$. Zusammengenommen induziert $j_n$
  also einen Isomorphismus $H_n(X^n)/\im\partial_{n+1}\cong
  \ker\partial_n/\im d_{n+1}\cong\ker d_n/\im d_{n+1}\equiv
  H_n^{CW}(X)$. Aufgrund der allerersten Identifikation im Beweis
  erhalten wir also $H_n(X)\cong H_n^{CW}(X)$ wie behauptet.
\end{proof}

\begin{remark}\label{H HCW bem}
Wir erhalten direkt die folgenden Konsequenzen.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Ist $X$ ein CW-Komplex ohne $n$-Zellen, so ist $H_n(X)\cong0$,
  da die $n$-te zellul\"are Kettengruppe $H_n(X^n,X^{n-1})$ dann nach
  Lemma \ref{zh lem} trivial ist.
\item Ist $X$ ein CW-Komplex mit $k$ $n$-Zellen, so l\"a\ss{}t sich
  $H_n(X)$ mit $k$ oder weniger Elementen erzeugen. (Wie bei der
  ersten Behauptung folgt dies, denn wenn $H_n(X^n,X^{n-1})$ von $k$
  Elementen erzeugt ist, so sind $\ker d_n$ und $\ker d_n/\im d_{n+1}$
  von $k$ oder weniger Elementen erzeugt.)
\item Ist $X$ ein CW-Komplex ohne Zellen in den Dimensionen $n+1$ und
  $n-1$, so ist $H_n(X)$ eine freie abelsche Gruppe deren Erzeuger
  gerade den $n$-Zellen von $X$ entsprechen. Dies liegt daran, dass
  in diesem Falle $X^{n+1}=X^n$ und $X^{n-1}=X^{n-2}$ gelten und somit
  der relevante Teil des zellul\"aren Kettenkomplexes gerade die
  Gestalt $0\cong H_{n+1}(X^{n+1},X^n)\to H_n(X^n,X^{n-1})\to
  H_{n-1}(X^{n-1},X^{n-2})\cong0$ hat. 
\end{enumerate}
\end{remark}

\begin{aufgabe}
  Benutze die letzte Beobachtung in Bemerkung \ref{H HCW bem}, um die
  Homologiegruppen von $\mathbb CP^n$ zu bestimmen: Stelle $\mathbb
  CP^n$ als CW-Komplex mit jeweils genau einer Zelle in jeder geraden
  Dimension $\le 2n$ dar und schlie\ss{}e daher, dass
\[H_i(\mathbb CP^n)\cong
\begin{cases}
  \Z&\text{f\"ur }i=0,2,4,\ldots,2n,\\
  0&\text{sonst.}
\end{cases}\] Stelle $\S^n\times\S^n$ als CW-Komplex mit genau einer
$0$-Zelle, zwei $n$-Zellen und einer $2n$-Zelle dar. Berechne
$H_i(\S^n\times\S^n)$. (Der Fall $n=1$ braucht nicht mehr zu behandelt
werden, denn \ldots\,.)\par
Hier ist jeweils auch zu begr\"unden, warum die topologischen R\"aume
hom\"oomorph zu einem CW-Komplex mit der angegebenen Zellenzahl sind.
\end{aufgabe}

Um etwas ausrechnen zu k\"onnen m\"ussen wir insbesondere noch die
Randabbildungen kennen. Betrachten wir zun\"achst $d_1:H_1(X^1,X^0)\to
H_0(X^0)$. Erzeuger von $H_1(X^1,X^0)$ sind gerade (bis auf einen
Isomorphismus) die $1$-Zellen und da in Dimension $1$ die Definitionen
f\"ur CW-Komplexe und $\Delta$-Komplexe \"ubereinstimmen, gerade
$\cong\Delta_1(X)$. Wir hatten $d_1$ so definiert, dass das folgende
Diagramm kommutativ wird
\[\xymatrix{H_1(X^1,X^0)\ar[rr]^-{d_1}\ar[dr]_-{\partial_1}
&&H_0(X^0).\\
&H_0(X^0)\ar[ru]_-{j_0}&}\]
Daher ist $d_1$ gerade die Randabbildung $\Delta_1(X)\to\Delta_0(X)$
des $\Delta$-Komplexes $X$. \par
Im Spezialfall, dass $X$ genau eine $0$-Zelle besitzt (und daher
zusammenh\"angend ist), ist $d_1=0$, da (geometrische Begr\"undung)
alle $1$-Zellen an beiden Seiten an diese $1$-Zelle angeklebt werden
oder da (algebraische Begr\"undung) sonst $H^{CW}_0(X)=H_0(X^0)/\im
d_1\cong\Z/\im d_1\not\cong H_0(X)\cong\Z$ w\"are. \par
Falls $n>1$ ist, erhalten wir die Randabbildungen aus dem folgenden
\begin{lemma}
Sei $n>1$. Es gilt
\[d_n(e^n_\alpha)=\sum\limits_\beta d_{\alpha\beta}e^{n-1}_\beta,\]
wobei $d_{\alpha\beta}$ der Abbildungsgrad der Abbildung
\[\S^{n-1}_\alpha\to X^{n-1}\to\S^{n-1}_\beta\] ist, die sich aus der
anheftenden Abbildung von $e^n_\alpha$ und der Quotientenabbildung,
unter der $X^{n-1}\setminus e^{n-1}_\beta$ zu einem Punkt kollabiert,
zusammensetzt.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir identifizieren hier die Zellen $e^n_\alpha$ und $e^{n-1}_\beta$
  mit Erzeugern der jeweiligen Summanden der zellul\"aren
  Kettengruppen. Die anheftende Abbildung f\"ur eine Zelle
  $e^n_\alpha$ hat kompaktes Bild, trifft also nach \cite[Proposition
  A.1]{Hatcher} nur endlich viele $(n-1)$-dimensionale Zellen
  $e^{n-1}_\beta$ in ihrem Inneren, so dass sich ein nichttrivialer
  Abbildungsgrad ergeben kann. Daher ist die angegebene Summe
  endlich.\par
  Um die angegebene Formel herzuleiten, betrachten wir das folgende
  kommutative Diagramm
\[\xymatrix@C=3.0ex{
H_n(D^n_\alpha,\partial D^n_\alpha)\ar[r]^-\partial_-\cong
\ar[d]^-{\Phi_{\alpha*}}
&\tilde H_{n-1}(\partial D^n_\alpha)\ar[r]^-{\Delta_{\alpha\beta*}}
\ar[d]^-{\phi_{\alpha*}}
&\tilde H_{n-1}(\S^{n-1}_\beta)\\
H_n(X^n,X^{n-1})\ar[r]^-{\partial_n}\ar[dr]_-{d_n}
&\tilde H_{n-1}(X^{n-1})\ar[r]^-{q_*}\ar[d]^-{j_{n-1}}
&\tilde H_{n-1}(X^{n-1}/X^{n-2})\ar[u]^-{q_{\beta*}}\ar[d]^-\cong\\
&H_{n-1}(X^{n-1},X^{n-2})\ar[r]^-\cong
&H_{n-1}(X^{n-1}/X^{n-2},X^{n-2}/X^{n-2}),}\]
wobei
\begin{itemize}
\item $\Phi_\alpha$ die charakteristische Abbildung der Zelle
  $e^n_\alpha$ und $\phi_\alpha$ ihre anheftende Abbildung ist.  
\item $q:X^{n-1}\to X^{n-1}/X^{n-2}$ die Projektionsabbildung auf den
  Quotienten ist. 
\item $q_\beta:X^{n-1}/X^{n-2}\to\S^{n-1}_\beta$ bildet das Komplement
  der offenen Zelle $e^{n-1}_\beta$ auf einen Punkte ab. Das Ergebnis
  ist ein topologischer Raum hom\"oomorph zu einer Sph\"are
  $\S^{n-1}$. Verm\"oge der charakteristischen Abbildung $\Phi_\beta$
  identifizieren wir sie mit $\S^{n-1}_\beta=D^{n-1}_\beta/\partial
  D^{n-1}_\beta$.
\item $\Delta_{\alpha\beta}:\partial D^n_\alpha\to\S^{n-1}_\beta$ ist
  definiert als $\Delta_{\alpha\beta}:=q_\beta q\phi_\alpha$. Damit
  ist das obige Quadrat per definitionem
  kommutativ. $\Delta_{\alpha\beta}$ kann auch als Komposition der
  anheftenden Abbildung f\"ur $e^n_\alpha$ mit der Quotientenabbildung
  $X^{n-1}\to\S^{n-1}_\beta$ aufgefasst werden, wobei bei der
  Quotientenbildung das Komplement von $e^{n-1}_\beta$ in $X^{n-1}$ auf
  einen Punkt abgebildet wird. 
\end{itemize}
Das Quadrat links oben ist kommutativ, da die vertikalen Pfeile von
der charakteristischen und der anheftenden Abbildung her kommen und
die horizontalen Pfeile von Randabbildungen herkommen.  Benutze dann
die Nat\"urlichkeit der reduzierten langen exakten Homologiesequenz
f\"ur Paare. Das Quadrat rechts unten ist offensichtlich kommutativ
und das rechts oben nach Definition. Das Dreieck links unten ist ein
Teil des Diagrammes in der Definition der Randabbildungen $d_n$ f\"ur
die zellul\"are Homologie.  Beachte hierbei stets, dass wir zur Zeit
$n>1$ annehmen, wir also reduzierte oder nicht reduzierte
Homologiegruppen verwenden k\"onnen.  Die beiden Isomorphismen rechts
unten sind klar, der links oben folgt aus der reduzierten langen
exakten Homologiesequenz f\"ur Paare, da die reduzierten
Homologiegruppen von $D^n_\alpha$ trivial sind. \par
Sei also $\left[D^n_\alpha\right]\in H_n\left(D^n_\alpha,\partial
  D^n_\alpha\right)\cong\Z$ ein Erzeuger. Die Abbildung
${\Phi_{\alpha}}_*$ bildet diesen auf einen Erzeuger des Summanden
$\Z$ der Gruppe $H_n\left(X^n,X^{n-1}\right)$ ab, der der Zelle
$e^n_\alpha$ entspricht. Bezeichne diesen Erzeuger mit $e^n_\alpha$;
also gilt ${\Phi_\alpha}_*\left[D^n_\alpha\right]=e^n_\alpha$. Die
Kommutativit\"at des linken Teils des obigen Diagrammes liefert
\[d_n(e^n_\alpha)=j_{n-1}{\phi_\alpha}_*\partial
\left[D^n_\alpha\right].\] W\"ahle f\"ur
$H_{n-1}\left(X^{n-1},X^{n-2}\right)$ eine Basis, die den Zellen
$e^{n-1}_\beta$ entspricht. Dann ist die Abbildung ${q_\beta}_*$ die
Projektion von $H_{n-1}\left(X^{n-1}/X^{n-2}\right)$ auf den Summanden
$\Z\cong\tilde H_{n-1}\left(\S^{n-1}_\beta\right)$, der gerade
$e^{n-1}_\beta$ entspricht. (F\"ur
$H_{n-1}\left(X^{n-1},X^{n-2}\right)$ und $\tilde
H_{n-1}\left(X^{n-1}/X^{n-2}\right)$ k\"onnen wir dabei dieselben
Erzeuger w\"ahlen und brauchen diese Gruppen daher nicht zu
unterscheiden.)  Nach Korollar \ref{bigvee hom iso cor} ist
$d_n(e^n_\alpha)$ durch diese Bilder eindeutig bestimmt. Aufgrund der
Kommutativit\"at des obigen Diagrammes ist die $e^{n-1}_\beta$
entsprechende Komponente von $d_n(e^n_\alpha)$ durch
${\Delta_{\alpha\beta}}_*
\partial\left[D^n_\alpha\right] ={q_\beta}_*q_* {\phi_\alpha}_*
\partial\left[D^n_\alpha\right]$ gegeben. (Beachte, dass
$\partial\left[D^n_\alpha\right]$ ein Erzeuger von $\tilde
H_{n-1}\left(\partial D^n_\alpha\right)$ ist.) Der Koeffizient in
dieser Darstellung mit Erzeugern, die Zellen $e^{n-1}_\beta$
entsprechen, kommt also gerade von der Abbildung
${\Delta_{\alpha\beta}}_*:\tilde H_{n-1}\left(\partial
  D^n_\alpha\right)\to \tilde H_{n-1}\left(\S^{n-1}_\beta\right)$ und
ist damit der oben beschriebene Abbildungsgrad.
\end{proof}

\begin{aufgabe}\label{zellul hom bsp}
  Bestimme die zellul\"aren Homologiegruppen der folgenden R\"aume:
  $\mathbb T^2$, $\mathbb T^3\simeq(\S^1)^3$, $\R{}P^2$, $\S^n$,
  Kleinsche Flasche, $\C{}P^n$.
\end{aufgabe}

\Section{Eulercharakteristik}
\begin{definition}
Sei $X$ ein endlicher CW-Komplex, also ein CW-Komplex, der aus endlich
vielen Zellen aufgebaut ist. Definiere die \emph{Eulercharakteristik}
von $X$, $\chi(X)$, durch $\chi(X):=\sum\limits_n(-1)^nc_n$, wobei
$c_n$ die Anzahl der $n$-Zellen in $X$ bezeichnet.   
\end{definition}

\begin{definition}
  Sei $G$ eine endlich erzeugte abelsche Gruppe. Stelle $G$ als
  direkte Summe zyklischer Gruppen dar. Die Anzahl der Summanden
  isomorph zu $\Z$ hei\ss{}t \emph{Rang} von $G$, $\rang G$. 
\end{definition}

Es gilt
\begin{lemma}
  Sei $0\to A\to B\to C\to0$ eine kurze exakte Sequenz endlich
  erzeugter abelscher Gruppen. Dann gilt $\rang B=\rang A+\rang C$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung.
\end{proof}

Wir wollen nun nachweisen, dass $\chi(X)$ homologisch definiert werden
kann und daher nur vom Homotopietyp von $X$ abh\"angt, insbesondere
also von der gew\"ahlten CW-Struktur auf $X$ unabh\"angig ist.
\begin{theorem}
  Sei $X$ ein endlicher CW-Komplex. Dann gilt
  \[\chi(X)=\sum\limits_n(-1)^n\rang H_n(X).\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Das Theorem l\"a\ss{}t sich algebraisch wie folgt umformulieren: Sei 
\[\xymatrix{0\ar[r] &C_k\ar[r]^-{d_k} &C_{k-1}\ar[r] &\ldots\ar[r]
  &C_1\ar[r]^-{d_1} &C_0\ar[r] &0}\]
ein Kettenkomplex aus endlich erzeugten abelschen Gruppen. Dann wollen
wir zeigen, dass
\[\sum\limits_{i=1}^k(-1)^i\rang C_i=\sum\limits_{i=1}^k(-1)^i\rang H_i\]
gilt, wobei $H_k$ die entsprechenden Homologiegruppen bezeichnet.
Wenden wir dies auf den zellul\"aren Kettenkomplex mit
$C_k=H_k\left(X^k,X^{k-1}\right)$ an, so ist die linke Seite gerade
die Eulercharakteristik, da $H_k\left(X^k,X^{k-1}\right)$ eine freie
abelsche Gruppe ist, die von den $k$-Zellen erzeugt wird. F\"ur die
rechte Seite benutzen wir, dass nach Theorem \ref{CW sing aequiv thm}
bei dieser Wahl der Gruppen $C_k$ der zellul\"are Kettenkomplex gerade
Homologiegruppen liefert, die isomorph zu denen der singul\"aren
Homologie sind, also insbesondere denselben Rang wie diese haben.\par
Definiere also
\begin{itemize}
\item die Zykel $Z_n:=\ker d_n$, 
\item die R\"ander $B_n:=\im d_{n+1}$, 
\item die Homologiegruppen $H_n:=Z_n/B_n$. 
\end{itemize}
Wir erhalten kurze exakte Sequenzen \[0\to Z_n\to C_n\to B_{n-1}\to0\]
und \[0\to B_n\to Z_n\to H_n\to0.\] Diese entsprechen den kurzen exakten
Sequenzen \[0\to\ker d_n\to C_n\to\im d_n\to0\] (was allgemein f\"ur
Gruppenhomomorphismen $d_n$ gilt) und \[0\to\im d_{n+1}\to\ker
d_n\to\ker d_n/\im d_{n+1}\to0\] (was f\"ur Kettenabbildungen gilt).
F\"ur die R\"ange der jeweiligen Gruppen folgt also
\begin{align*}
  \rang C_n=&\,\rang Z_n+\rang B_{n-1},\\
  \rang Z_n=&\,\rang B_n+\rang H_n.
\end{align*}
Wir setzen die zweite Gleichung in die erste ein, summieren mit
Vorfaktoren $(-1)^n$, benutzen, dass sich alle Bildr\"ange gegenseitig
aufheben, und erhalten
\[\sum\limits_n(-1)^n\rang C_n=\sum\limits_n(-1)^n(\rang B_n+\rang
B_{n-1}+\rang H_n)=\sum\limits_n(-1)^n\rang H_n.\]
Das Theorem folgt. 
\end{proof}

\begin{aufgabe}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Bestimme die Eulercharakteristik f\"ur die Beispiele aus
    Aufgabe \ref{zellul hom bsp}. 
  \item Bestimme die Eulercharakteristik eines Fahrradvorderrades mit
    Schlauch, Felge, Speichen und Nabe.
  \end{enumerate}
\end{aufgabe}

%Dieses Kapitel kann vorgezogen werden; nur die klassischen
%Anwendungen bauen darauf auf. Dies haette Vorteile fuer die
%Uebungsaufgaben, denn zu Mayer-Vietoris Sequenzen kann man leicht
%eine ganze Menge davon stellen. 
\Section{Mayer-Vietoris Sequenzen}
F\"ur R\"aume und Teilr\"aume gibt es noch eine weitere wichtige
exakte Sequenz, die Mayer-Vietoris Sequenz. 
\begin{theorem}\label{mv seq thm}
Sei $X$ ein topologischer Raum, $A,\,B\subset X$ mit $\interior
A\cup\interior B=X$. Dann ist die folgende Sequenz eine lange exakte
Sequenz
\[\xymatrix@=3.3ex{\ldots\ar[r]&H_n(A\cap B)\ar[r]^-\Phi&H_n(A)\oplus
  H_n(B)\ar[r]^-\Psi&H_n(X)\ar[r]^-\partial&H_{n-1}(A\cap
  B)\ar[r]&\ldots&}\]
\[\xymatrix@=3.3ex{\ldots\ar[r]&H_0(X)\ar[r]&0.}\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir verwenden den Kettenkomplex $C_n(A+B)$ wie im Beweis von Theorem
  \ref{ausschneid thm}. Nach Proposition \ref{bary sub div prop}
  induziert $C_n(A+B)\hookrightarrow C_n(X)$ einen Isomorphismus der
  Homologiegruppen $H_n(A+B)\cong H_n(X)$. Die Mayer-Vietoris Sequenz
  ist nun die lange exakte Sequenz, die man mit Theorem \ref{alg lange
    ex hom seq thm} aus der kurzen exakten Sequenz
\[\xymatrix{0\ar[r]&C_n(A\cap B)\ar[r]^-\phi&C_n(A)\oplus
  C_n(B)\ar[r]^-\psi&C_n(A+B)\ar[r]&0}\]
und dem obigen Isomorphismus bekommt. (Die Abbildungen sind in der
langen exakten Sequenz in naheliegender Weise bezeichnet.) Die obige
Sequenz ist dabei eine kurze exakte Sequenz, wenn wir
$\phi(x):=(x,-x)$ und $\psi(x,y):=x+y$ setzen: Zun\"achst ist
$\ker\phi=0$, denn eine Kette in $A\cap B$, die in $A$ (oder $B$)
verschwindet, verschwindet auch schon in $A\cap B$. Nach Definition
von $\phi$ und $\psi$ gilt $\psi\phi=0$, also ist
$\im\phi\subset\ker\psi$. Zu $\ker\psi\subset\im\phi$: Sei $(x,y)\in
C_n(A)\oplus C_n(B)$, so dass $x+y=0$ gilt und damit auch
$x=-y$. Daher ist $x\in C_n(A)$ und $x\in C_n(B)$, also gilt auch
$x\in C_n(A\cap B)$. Nun ist $\phi(x)=(x,-x)=(x,y)$. Daher ist jedes
Element in $\ker\psi$ auch in $\im\phi$ und die Behauptung folgt. Die
Exaktheit an der Stelle $C_n(A+B)$ ist klar, da $\psi$ offensichtlich
surjektiv ist. Somit ist die angegebene kurze Sequenz exakt und das
Theorem folgt. 
\end{proof}

\begin{aufgabe}
  Erweitere die kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen, die man
  erh\"alt, wenn man die kurzen exakten Sequenzen aus dem Beweis von
  Theorem \ref{mv seq thm} \"ubereinanderschreibt, wie folgt
  \[\xymatrix{ 0\ar[r]&C_0(A\cap
    B)\ar[r]^-\phi\ar[d]^-\epsilon&C_0(A)\oplus
    C_0(B)\ar[r]^-\psi\ar[d]^-{\epsilon\oplus\epsilon}
    &C_0(A+B)\ar[r]\ar[d]^-\epsilon&0\\ 
0\ar[r]&\Z\ar[r]^-\phi&\Z\oplus\Z\ar[r]^-\psi&\Z\ar[r]&0}\] 
und erhalte daraus eine Mayer-Vietoris Sequenz f\"ur reduzierte
Homologiegruppen, falls $A\cap B\neq\emptyset$ ist, n\"amlich 
\[\xymatrix@=3.3ex{\ldots\ar[r]&\tilde H_n(A\cap B)\ar[r]^-\Phi&\tilde
  H_n(A)\oplus \tilde H_n(B)\ar[r]^-\Psi&\tilde
  H_n(X)\ar[r]^-\partial&\tilde H_{n-1}(A\cap B)\ar[r]&\ldots&}\]
\[\xymatrix@=3.3ex{\ldots\ar[r]&\tilde H_0(X)\ar[r]&0.}\]
\end{aufgabe}

Die folgende Aufgabe l\"a\ss{}t sich insbesondere auf CW-Komplexe und
ihre Unterkomplexe anwenden.
\begin{aufgabe}
  Sei $X$ ein topologischer Raum, $A,\,B\subset X$ und gelte $X=A\cup
  B$. Seien $U\supset A$ und $V\supset B$ Umgebungen von $A$ bzw.{}
  $B$, so dass 
  \begin{itemize}
  \item $A$ Deformationsretrakt von $U$,
  \item $B$ Deformationsretrakt von $V$ und
  \item $A\cap B$ Deformationsretrakt von $U\cap V$ ist.
  \end{itemize}
  Benutze das F\"unferlemma, um zu zeigen, dass $C_n(A+B)\to C_n(U+V)$
  einen Isomorphismus auf der Ebene der Homologiegruppen erzeugt.
  Leite daraus eine Mayer-Vietoris Sequenz f\"ur $A$, $B$ und $X$ her.
\end{aufgabe}

\begin{example}
  Sei $X=\S^n$ und seien $A$ und $B$ die abgeschlossene n\"ordliche
  und s\"udliche Hemisph\"are. Dann gilt $A\cap B\simeq\S^{n-1}$
  ($\simeq:=$ ist hom\"oomorph zu). Nun ist $\tilde H_i(A)\oplus\tilde
  H_i(B)\cong0$, da $A$ und $B$ auf einen Punkt kontrahierbar sind.
  Sei nun $n\ge1$. Wir erhalten f\"ur $i\ge1$ aus der Mayer-Vietoris
  Sequenz die Isomorphismen $\tilde H_i\left(\S^n\right)\cong\tilde
  H_{i-1}\left(\S^{n-1}\right)$. Per Induktion kann man hieraus
  nochmals die Homologiegruppen der Sph\"aren berechnen. 
\end{example}

\begin{aufgabe}
  Zerlege die Kleinsche Flasche in zwei M\"obiusb\"ander und bestimme
  mit Hilfe einer Mayer-Vietoris Sequenz die Homologiegruppen der
  Kleinschen Flasche. 
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}
  Sei $(X,Y)=(A\cup B,C\cup D)$ ein Paar topologischer R\"aume, so
  dass $C\subset A$, $D\subset B$, $X=\interior A\cup\interior B$ und
  $Y=\interior C\cup\interior D$ gelten. Dann ist die folgende lange
  relative Mayer-Vietoris Sequenz exakt:
\[\xymatrix@=3.5ex{\ldots\ar[r]&H_n(A\cap B,C\cap D)\ar[r]^-\Phi
  &H_n(A,C)\oplus H_n(B,D)\ar[r]^-\Psi&H_n(X,Y)\ar[r]^-\partial
  &\ldots\,.}\] Zeige dazu zun\"achst, dass in dem folgenden
kommutativen Diagramm mit von Inklusionen induzierten Abbildungen alle
Zeilen und Spalten exakt sind
\[\xymatrix@=3.5ex{&0\ar[d]&0\ar[d]&0\ar[d]&\\
  0\ar[r]&C_n(C\cap D)\ar[r]^-\phi\ar[d] &C_n(C)\oplus
  C_n(D)\ar[r]^-\psi\ar[d]
  &C_n(C+D)\ar[r]\ar[d]&0\\
  0\ar[r]&C_n(A\cap B)\ar[r]^-\phi\ar[d] &C_n(A)\oplus
  C_n(B)\ar[r]^-\psi\ar[d]
  &C_n(A+B)\ar[r]\ar[d]&0\\
  0\ar[r]&C_n(A\cap B,C\cap D)\ar[r]^-\phi\ar[d] &C_n(A,C)\oplus
  C_n(B,D)\ar[r]^-\psi\ar[d]
  &C_n(A+B,C+D)\ar[r]\ar[d]&0\\
  &0&0&0&.}\] Hierbei ist $C_n(A+B,C+D)$ die Quotientengruppe aus
$C_n(A+B)\subset C_n(X)$ und $C_n(C+D)\subset C_n(Y)$. Komplizierter
ist dabei die Exaktheit der dritten Zeile. Zeige dazu zun\"achst
einmal, dass die dritte Zeile ein Kettenkomplex ist und folgere dann
die Exaktheit mit Hilfe einer langen exakten Homologiesequenz.
\end{aufgabe}

\Section{Klassische Anwendungen}
Eine Einbettung hatten wir als stetige Abbildung definiert, die ein
Hom\"oomorphismus auf ihr Bild ist. 
\begin{proposition}\neueZeile\label{klass prop}
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $h:D^k\to\S^n$ eine Einbettung. Dann gilt $\tilde
    H_i\left(\S^n\setminus h\left(D^k\right)\right)\cong0$ f\"ur alle
    $i$. 
  \item Sei $h:\S^k\to\S^n$ eine Einbettung und $k<n$. Dann ist
\[\tilde H_i\left(\S^n\setminus h\left(\S^k\right)\right)\cong
\begin{cases}
  \Z,&i=n-k-1,\\
  0,&\text{sonst.}
\end{cases}\]
  \end{enumerate}
\end{proposition}

Als Folgerung erhalten wir den verallgemeinerten Jordanschen Kurvensatz:
\begin{corollary}
  Sei $A\subset\R^n$ mit $A\simeq\S^{n-1}$. Dann ist $\R^n\setminus A$
  die disjunkte Vereinigung von zwei offenen wegzusammenh\"angenden
  Mengen. Die Aussage bleibt auch richtig, wenn wir $\R^n$ durch
  $\S^n$ ersetzen. 
\end{corollary}
Der Satz von Sch\"onfliess besagt, dass jede Einbettung
$\S^1\hookrightarrow\S^2$ \"aquivalent zur Standardeinbettung
ist. \"Aquivalenz besagt hier, dass es einen Hom\"oomorphismus von
$\S^2$ gibt, der das Bild von $\S^1$ auf einen \"Aquator abbildet. 

Beachte aber, dass die Komplemente einer eingebetteten Sph\"are
$\S^{n-1}\subset\S^n$ nicht einfach zusammenh\"angend sein m\"ussen. 
Die Alexander-Sph\"are liefert das entsprechende Gegenbeispiel.

In Dimension $n=4$ ist die entsprechende Aussage zum Satz von
Sch\"onfliess f\"ur glatte Einbettungen eine offene Vermutung, die
Sch\"onfliess Vermutung.

Einbettungen $\S^1\to\S^3$ sind im allgemeinen nicht \"aquivalent zu
Standardeinbettungen. Gegenbeispiele sind Knoten. Hieran sehen wir,
dass Homologiegruppen (ohne zur universellen \"Uberlagerung
\"uberzugehen) es nicht erlauben, Knoten zu unterscheiden, wie wir
dies in Spezialf\"allen mit Hilfe der Fundamentalgruppe k\"onnen. 

Mit Hilfe von Theorem \ref{gebietsinvarianz thm} folgt, dass es
Einbettungen $D^k\to\S^n$ oder $\S^k\to\S^n$ nur f\"ur $k\le n$ geben
kann. Betrachte dazu die Einschr\"ankung auf einen $n$-dimensionalen
Unterraum. Dieser hat in $\S^n$ schon ein offenes Bild. Damit l\"asst
sich die Abbildung nicht stetig und injektiv in die Zusatzdimensionen
fortsetzen.

\begin{proof}[Beweis von Proposition \ref{klass prop}]\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir beweisen das Resultat per Induktion nach $k$. F\"ur $k=0$
    ist $\S^n\setminus h\left(D^0\right)$ hom\"oomorph zu $\R^n$ und
    das Resultat folgt. Wir f\"uhrend den Induktionsschritt f\"ur
    $I^k$ statt $D^k$. Setze $A:=\S^n\setminus
    h\left(I^{k-1}\times\left[0,\frac12\right]\right)$ und
    $B:=\S^n\setminus
    h\left(I^{k-1}\times\left[\frac12,1\right]\right)$. Es gilt $A\cap
    B=\S^n\setminus h\left(I^k\right)$ und $A\cup B=\S^n\setminus
    h\left(I^{k-1}\times\left\{\frac12\right\}\right)$. Nach
    Induktionsannahme gilt $\tilde H_i(A\cup B)\cong0$ f\"ur alle $i$.
    $A$ und $B$ sind offene Mengen. Damit ist die Mayer-Vietoris
    Sequenz f\"ur $A$ und $B$ exakt. (Um die reduzierte Mayer-Vietoris
    Sequenz exakt zu machen, ist insbesondere nachzuweisen, dass
    $A\cap B\neq\emptyset$ ist. Dies entspricht hier gerade dem
    Nachweis, dass $h:D^k\to\S^n$ nicht surjektiv ist. Dies ist aber
    der Fall, da eine surjektive Einbettung ein Hom\"oomorphismus ist,
    die Homologiegruppen von $D^k$ und $\S^n$ unabh\"angig von $k$ und
    $n$ jedoch nicht \"ubereinstimmen.) Also ist $\Phi:\tilde
    H_i\left(\S^n\setminus h\left(I^k\right)\right)=\tilde H_i(A\cap
    B)\to\tilde H_i(A)\oplus\tilde H_i(B)$ f\"ur alle $i$ ein
    Isomorphismus. Bis auf Vorzeichen induzieren die Inklusionen
    $\S^n\setminus h\left(I^k\right)\hookrightarrow A$ und
    $\S^n\setminus h\left(I^k\right)\hookrightarrow B$ die beiden
    Komponenten von $\Phi$. Gibt es also einen $i$-dimensionalen Zykel
    $\alpha$ in $\S^n\setminus h\left(I^k\right)$, der kein Rand in
    $\S^n\setminus h\left(I^k\right)$ ist, also einen Repr\"asentanten
    einer nichttrivialen Homologieklasse, dann ist $\alpha$ auch in
    $A$ oder in $B$ kein Rand (da es das Bild von $\alpha$ unter der
    Inklusion ist, die den Isomorphismus $\Phi$ induziert). (Im Falle
    $i=0$ ist \glqq Rand\grqq{} im Sinne von erweiterten
    Kettenkomplexen zu verstehen, da der obige Isomorphismus
    reduzierte Homologiegruppen verwendet.) Wir sind zu $A$ und $B$
    gekommen, indem wir auf den letzten Faktor in $I^k$ eine
    Intervallhalbierung angewandt haben. Iterieren wir nun dieses
    Argument, so erhalten wir eine geschachtelte Folge von Intervallen
    $I=I_1\supset I_2\supset\ldots$ mit $\bigcap\limits_{i=1}^\infty
    I_i=\{p\}\in I$ und $\alpha$ ist in keiner der Mengen
    $\S^n\setminus h\left(I^{k-1}\times I_m\right)$ f\"ur beliebiges
    $m\in\N$ ein Rand. Da wir nach Induktionsvoraussetzung bereits
    wissen, dass $\tilde H_i\left(\S^n\setminus
      h\left(I^{k-1}\times\{p\}\right)\right)\cong0$ ist, ist $\alpha$
    in $\S^n\setminus h\left(I^{k-1}\times\{p\}\right)$ ein Rand von
    einer Kette $\beta$, $\alpha=\partial\beta$. Die Kette $\beta$ ist
    aber eine endliche Linearkombination singul\"arer Simplizes, deren
    Bilder in $\S^n\setminus h\left(I^k\times\{p\}\right)$ kompakt
    sind und auch deren Vereinigung ist in dieser Menge kompakt. Da
    diese Vereinigung eine kompakte Menge ist und von den
    geschachtelten offenen Mengen $\S^n\setminus h\left(I^{k-1}\times
      I_m\right)$ \"uberdeckt wird, gibt es ein $m\in\N$, so dass
    $\beta$ bereits eine Kette in $\S^n\setminus h\left(I^{k-1}\times
      I_m\right)$ ist. In dieser Menge gilt nat\"urlich auch
    $\alpha=\partial\beta$. Dies zeigt aber, dass $\alpha$ auch schon
    in $\S^n\setminus h\left(I^k\right)$ ein Rand ist. Es folgt, dass
    $\tilde H_i\left(\S^n\setminus h\left(I^k\right)\right)\cong0$ wie
    behauptet gilt.
  \item Wir beweisen die Aussage wiederum per Induktion. F\"ur $k=0$
    ist $\S^n\setminus h(\S^0)\simeq\S^{n-1}\times\R$, also $\tilde
    H_i\left(\S^n\setminus h\left(\S^0\right)\right)\cong\tilde
    H_i(\S^{n-1})$ und die Behauptung folgt nach Korollar \ref{Sn
      homol cor}. F\"ur den Induktionsschritt zerlegen wir
    $\S^k=D^k_+\cup D^k_-$, wobei $D^k_+$ die obere abgeschlossene und
    $D^k_-$ die untere abgeschlossene Hemisph\"are sind. Es gilt
    $D^k_+\cap D^k_-\simeq\S^{k-1}$. Definiere $A:=\S^n\setminus
    h\left(D^k_+\right)$ und $B:=\S^n\setminus h\left(D^k_-\right)$.
    Aufgrund des ersten Teiles gilt $\tilde H_i(A)\cong\tilde
    H_i(B)\cong0$ f\"ur alle $i$. Also liefert die reduzierte
    Mayer-Vietoris Sequenz f\"ur $i\ge0$ den Isomorphismus $\tilde
    H_{i+1}(\S^n\setminus h(\S^{k-1}))\cong\tilde H_i(\S^n\setminus
    h(\S^k))$. (Beachte wie oben, dass die reduzierte Mayer-Vietoris
    Sequenz exakt ist, da $h$ f\"ur $k<n$ nicht surjektiv sein kann.
    Somit ist auch $\tilde H_{-1}(\S^n\setminus h(\S^k))\cong0$.) Dies
    zeigt die Behauptung nach Induktionsannahme.
  \end{enumerate}
\end{proof}

Zum zweiten Teil des Beweises erhalten wir das folgende
\begin{corollary}
  Sei $h:\S^n\to\S^n$ eine Einbettung. Dann ist $h$ surjektiv. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Falls $h$ nicht surjektiv w\"are, k\"onnten wir wie im zweiten Teil
  des obigen Beweises argumentieren und erhielten aus der
  Mayer-Vietoris Sequenz $0\oplus0\cong\tilde H_0(A)\oplus\tilde
  H_0(B)\to\tilde H_0(\S^n\setminus h(\S^{n-1}))\to0$. Also w\"are
  $\tilde H_0(\S^n\setminus h(\S^{n-1}))\cong0$ im Widerspruch zum
  zweiten Teil von Proposition \ref{klass prop}. Der Widerspruch
  l\"ost sich aber im Falle $A\cap B=\emptyset$ auf, da dann die $0$
  rechts in der Mayer-Vietoris Sequenz durch $\tilde
  H_{-1}(\emptyset)\cong\Z$ ersetzt wird. Somit ist $h$ surjektiv.
\end{proof}

\begin{aufgabe}
  Zeige mit Techniken \"ahnlich denen bereits in diesem Abschnitt
  verwandten:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Es gibt keine Einbettung $\S^n\hookrightarrow\R^n$.
\item F\"ur $m>n$ gibt es keine Einbettung $\R^m\hookrightarrow\R^n$.
\item F\"ur $m>n$ gibt es keine stetige injektive Abbildung
  $\R^m\to\R^n$. 
  \end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}[Geh\"ornte Alexander-Sph\"are]
  Es gibt eine zu $\S^2$ hom\"oomorphe Teilmenge $S$ des $\R^3$, so
  dass eine Zusammenhangskomponente von $\R^3\setminus S$ nicht
  einfach zusammenh\"angend ist.
\end{aufgabe}

\Subsection{Gebietsinvarianz}
Die Offenheit von Mengen ist unter Einbettungen zwischen R\"aumen
gleicher Dimension erhalten.
\begin{theorem}\label{gebietsinvarianz thm}
  Sei $U\subset\R^n$ offen. Sei $h:U\to\R^n$ eine Einbettung. Dann ist
  $h(U)\subset\R^n$ offen.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Betrachte die Einpunktkompaktifizierung $\S^n$ von $\R^n$. Wir
  wollen die zur Behauptung \"aquivalente Aussage zeigen, dass $h(U)$
  in $\S^n$ offen ist. Sei also $h:U\to\S^n$ eine Einbettung. Sei
  $x\in U$ und $\epsilon>0$, so dass $\ol B_\epsilon(x)\subset U$ ist.
  Es gen\"ugt zu zeigen, dass $h(B_\epsilon(x))=h\left(\ol
    B_\epsilon(x) \setminus\partial B_\epsilon(x)\right)$ in $\S^n$
  offen ist. Nach Proposition \ref{klass prop} besteht $\S^n\setminus
  h(\partial B_\epsilon(x))$ aus zwei Wegzusammenhangskomponenten.
  Diese beiden Wegzusammenhangskomponenten sind gerade
  $h(B_\epsilon(x))$ und $\S^n\setminus h\left(\ol
    B_\epsilon(x)\right)$, denn diese beiden Mengen sind zun\"achst
  einmal disjunkt und disjunkt zu $h(\partial B_\epsilon(x))$. Dann
  ist die erste Menge das Bild von $B_\epsilon(x)$ unter einer
  stetigen Abbildung (sogar hom\"oomorph zu $B_\epsilon(x)$) und damit
  wegzusammenh\"angend. Die zweite Menge ist nach Proposition
  \ref{klass prop} wegzusammenh\"angend. Schlie\ss{}lich ist
  $h(B_\epsilon(x))\cup\left(\S^n\setminus h\left(\ol
      B_\epsilon(x)\right)\right)=\S^n\setminus h(\partial
  B_\epsilon(x))$. Somit sind die angegebenen Mengen gerade die
  Wegzusammenhangskomponenten von $\S^n\setminus h(\partial
  B_\epsilon(x))$. Nun ist $\S^n\setminus h(\partial B_\epsilon(x))$
  in $\S^n$ offen. Damit sind die Wegzusammenhangskomponenten, die in
  $\S^n\setminus h(\partial B_\epsilon(x))$ offen sind (da dies ein
  Raum ist, der lokal hom\"oomorph zu $\R^n$ ist), auch in $\S^n$
  offen. Insbesondere ist also $h(B_\epsilon(x))\subset\S^n$ offen.
  Das Theorem folgt.
\end{proof}

F\"ur topologische Mannigfaltigkeiten erhalten wir hieraus
\begin{corollary}
  Sei $M$ eine geschlossene (geschlossen := kompakt, ohne Rand)
  $n$-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit, $N$ eine
  zusammenh\"angende $n$-di\-men\-sio\-na\-le topologische Mannigfaltigkeit.
  Sei $h:M\to N$ eine Einbettung. Dann ist $h$ surjektiv und damit
  insbesondere ein Hom\"oomorphismus.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Definition einer Mannigfaltigkeit sind $M$ und $N$
  Hausdorffr\"aume. $h(M)$ ist daher als stetiges Bild einer kompakten
  Menge wieder kompakt. Insbesondere ist $h(M)$ also
  abgeschlossen. Nach Theorem \ref{gebietsinvarianz thm} ist $h(M)$
  aber auch offen in $N$. Da $N$ zusammenh\"angend ist, gilt
  $h(M)=N$ und die Behauptung folgt.
\end{proof}

\begin{aufgabe}
  Vervollst\"andige nun die Aufgabe vom Anfang des Semesters und
  untersuche, welche der topologischen R\"aume $\R$, $\S^1$, $\S^2$,
  $\R^2$, $\mathbb T^2$ und $\R^3$ zueinander hom\"oomorph bzw.{}
  hom\"oomorph zu einem Teilraum sind. 
\end{aufgabe}

\iffalse
\begin{verbatim}
\Section{Homologie mit Koeffizienten}
Wir haben bisher Ketten der Form $\sum\limits_in_i\sigma_i$
betrachtet, wobei $n_i\in Z$ war und $\sigma_i$ singul\"are Simplizes
waren. Nun wollen wir alles beibehalten, au\ss{}er, dass wir $n_i\in
G$ f\"ur eine abelsche Gruppe zulassen. Wir erhalten eine abelsche
Gruppe der $n$-Ketten, die wir mit $C_n(X;G)$ bezeichnen. Relative
Ketten bezeichnen wir mit $C_n(X,A;G):=C_n(X;G)/C_n(A;G)$. F\"ur die
Randabbildung $\partial$ benutzen wir die alte Definition
$\partial\left(\sum\limits_in_i\sigma_i\right) =\sum\limits_{i,j}
(-1)^jn_i\sigma_i|[v_0,\ldots,\hat v_j,\ldots,v_n]$. Dazu definieren
wir $(-1)^jn_i$ als $n_i$ f\"ur gerades $j\in\Z$ und f\"ur ungerades
$j\in\Z$ als $-n_i$, wobei wir die Gruppen weiterhin additiv schreiben
wollen. Die Relation $\partial^2=0$ bleibt richtig und somit bilden
die Kettengruppen $C_n(X;G)$ und $C_n(X,A;G)$ Kettenkomplexe. Die
daraus entstehenden Homologiegruppen (die wir bilden d\"urfen, da $G$
abelsch ist), hei\ss{}en \emph{Homologiegruppen mit Koeffizienten in
  $G$} und werden mit $H_n(X;G)$ bzw.{} $H_n(X,A;G)$ bezeichnet.
Reduzierte Homologiegruppen erhalten wir, indem wir den erweiterten
Kettenkomplex $\xymatrix@1{\ldots\ar[r] &C_0(X;G)\ar[r]^-\epsilon
  &G\ar[r] &0}$ betrachten, wobei $\epsilon$ wieder durch Aufsummieren
der Koeffizienten definiert ist. \par
Ein wichtiges Beispiel ist $G=\Z/2\Z\equiv\Z_2$, wenn es nicht auf die
Orientierung ankommt.\par
Die bisherigen theoretischen Resultate \"ubertragen sich auf
Homologietheorien mit Koeffizienten. (Beim Abbildungsgrad aus Kapitel
\ref{abb grad sec} und den Anwendungen auf zellul\"are
Homotopietheorien und insbesondere bei der Bestimmung der
Koeffizienten in den Randoperatoren ist Vorsicht geboten.) Bei
Berechnungen \"andern sich die Resultate entsprechend (und sind dann
gegebenenfalls nicht mehr so aussagekr\"aftig, wenn die Gruppe zu
einfach ist). Wir erhalten beispielsweise f\"ur $H_n(X;G)$ die Gruppe
$G$, falls $n=0$ und sonst $0$ (bis auf $\cong$). Entsprechend ist
$\tilde H_n(\S^k;G)$ die Gruppe $G$ f\"ur $n=k$ und $0$ sonst.

\Section{Borsuk-Ulam Theorem}
Dieses Kapitel kann man noch einf\"ugen, wenn dies die Zeit erlaubt. 
Achtung, dies ben\"otigt nicht nur S. 174-176 in \cite{Hatcher},
sondern auch Lemma 2.49 von Seite 154 dort. 
Ist Leseaufgabe geworden. 
\end{verbatim}
\fi

\begin{appendix}

\Section{Topologische Grundlagen}
% Dieser Abschnitt ist aus den Vorlesungen Topologie,
% Differentialtopologie und Differentialgeometrie (indirekt)
% zusammenkopiert.
Wir wiederholen einige wichtige Grundbegriffe aus der Topologie. 

Seien $X,Y$ topologische R\"aume.  Setze $I:=[0,1]$.
\begin{definition}[Homotopie]
  Seien $X,Y$ topologische R\"aume. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine \emph{Homotopie} ist eine Familie $(\phi_t)_{t\in I}$ von
    Abbildungen $\phi_t:X\to Y$, so dass die Abbildung $\Phi:X\times
    I\to Y$, definiert durch $\Phi(x,t):=\phi_t(x)$, stetig ist.
  \item Zwei Abbildungen $f_0$, $f_1:X\to Y$ zwischen topologischen
    R\"aumen hei\ss{}en \emph{homotop}, wenn es eine Homotopie
    $(g_t)_{t\in I}$ mit $g_t:X\to Y$, $g_0=f_0$ und $g_1=f_1$
    gibt. Wir schreiben $f_0\simeq f_1$. 
  \item Eine stetige Abbildung $f:X\to Y$ zwischen topologischen
    R\"aumen hei\ss{}t \emph{Homotopie\"aquivalenz}, wenn es eine
    stetige Abbildung $g:Y\to X$ gibt, so dass $f\circ g\simeq\eins_Y$
    und $g\circ f\simeq\eins_X$ gelten.
  \item Zwei topologische R\"aume $X$ und $Y$ haben den gleichen
    \emph{Homotopietyp} oder sind bis auf Homotopie \"aquivalent oder
    sind \emph{homotopie\"aquivalent}, wenn es eine
    Homotopie\"aquivalenz zwischen ihnen gibt. Wir schreiben $X\simeq
    Y$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}[Retrakte]\label{retrakt def}
  Sei $X$ ein topologischer Raum und $A\subset X$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann ist $A$ ein \emph{Retrakt} von $X$, wenn es eine stetige
    Abbildung $r:X\to A$ (\emph{Retraktion}) gibt, so dass
    $r|_A=\eins_A$ ist.
  \item Dann ist $A$ ein \emph{Deformationsretrakt} von $X$, wenn es
    eine Familie $(f_t)_{t\in I}$ von Abbildungen $f_t:X\to X$ gibt,
    so dass $f_0=\eins_X$, $f_1(X)=A$ und $f_t|_A=\eins_A$ f\"ur alle
    $t\in I$ gelten und dass weiterhin $X\times I\ni(x,t)\mapsto
    f_t(x)$ stetig ist.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiele}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\partial B_1((-1,0))\cup\partial B_1((1,0))$ ist ein Retrakt
    und ein Deformationsretrakt von $\R^2\setminus\{(-1,0),(1,0)\}$.
  \item Die Menge $\partial B_1((1,0))$ ist ein Retrakt, aber kein
    Deformationsretrakt von $\R^2\setminus\{(-1,0),(1,0)\}$.\par
    Die Tatsache, dass es sich nicht um einen Deformationsretrakt
    handelt ist zwar anschaulich klar, ein Beweis ben\"otigt aber
    Betrachtungen \"uber Fundamentalgruppen.
  \item Sei $M\subset\R^n$ eine Untermannigfaltigkeit mit
    Tubenumgebung $U$. Dann ist $M$ ein Deformationsretrakt von $U$. 
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{lemma}
  Sei $X$ ein topologischer Raum, $A\subset X$. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $A$ ein Deformationsretrakt von $X$, so ist $A$ ein
    Retrakt von $X$. 
  \item Ist $A$ ein Deformationsretrakt von $X$, so sind $A$ und $X$
    homotopie\"aquivalent. 
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item W\"ahle $r=f_1$. 
  \item Benutze die Abbildung $f_1\colon X\to A$ und die Inklusion
    $i\colon A\to X$. Es gilt $f_1\circ i =\id_A$. Die Homotopie $f_t$
    zeigt, dass $i\circ f_1\simeq\id_X$ gilt. 
    \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  Ein wichtiges Beispiel f\"ur homotope Abbildungen sind 
  homotope Wege. Ein Weg ist eine stetige Abbildung von $[0,1]$ in
  einen topologischen Raum. Ein geschlossener Weg ist eine stetige
  Abbildung $f$ von $[0,1]$ in einen topologischen Raum mit
  $f(0)=f(1)$ oder, \"aquivalent dazu, eine Abbildung von $\S^1$ in
  einen topologischen Raum. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Frei homotope geschlossene Wege: Sei $X$ ein topologischer
    Raum und seien $\alpha,\beta\colon\S^1\to X$ geschlossene
    Wege. Dann ist $\alpha$ (frei) homotop zu $\beta$, falls die
    Abbildungen $\alpha$ und $\beta$ homotop zueinander sind. 
  \item Wege mit festen Endpunkten: Sei $X$ ein topologischer Raum,
    $x_0,x_1\in X$. Seien $\alpha,\beta\colon [0,1]\to X$ stetige
    Abbildungen mit $\alpha(0) =\beta(0) =x_0$ und $\alpha(1)
    =\beta(1) =x_1$. Dann hei\ss{}t $\alpha$ homotop zu $\beta$, wenn
    es eine stetige Abbildung $\Phi\colon [0,1]\times[0,1]\to X$ mit
    $\Phi(\cdot,0)=\alpha$, $\Phi(\cdot,1)=\beta$, $\Phi(0,t)=x_0$ und
    $\Phi(1,t)=x_1$ f\"ur alle $t\in I$ gibt.
  \item Geschlossene Wege mit festen Endpunkten: Wie bei festen
    Endpunkten, falls $x_0=x_1$ ist. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

Homotope Wege mit festen Endpunkten sind Beispiel f\"ur relative
Homotopien: 
\begin{definition}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine Homotopie $\phi_t:X\to Y$ hei\ss{}t \emph{relativ} zu
    einer Menge $A\subset X$, wenn $\phi_t(a)$ f\"ur beliebiges aber
    festes $a\in A$ unabh\"angig von $t\in I$ ist.  (Einen Spezialfall
    davon haben wir bereits beim Deformationsretrakt kennen gelernt.
    Dort hatten wir gefordert, dass $f_t|_A=\eins_A$ f\"ur alle
    $t\in I$ gilt.)
  \item Sei $\phi_t:X\to Y$ eine Homotopie und seien $A\subset X$ und
    $B\subset Y$. Falls $\phi_t(A)\subset B$ f\"ur alle $t\in I$ gilt,
    so sprechen wir von einer Homotopie von Paaren
    $\phi_t:(X,A)\to(Y,B)$. Im Spezialfall, dass $A=\{x_0\}$ und
    $B=\{y_0\}$ gelten, sprechen wir von einer Homotopie von
    punktierten R\"aumen und schreiben $\phi_t:(X,x_0)\to(Y,y_0)$.
  \item Entsprechend hei\ss{}en punktierte R\"aume $(X,x_0)$ und
    $(Y,y_0)$ \emph{homotopie\"aquivalent}, wenn es stetige
    Abbildungen $\phi:(X,x_0)\to(Y,y_0)$ und $\psi:(Y,y_0)\to (X,x_0)$
    gibt, so dass $\phi\circ\psi\simeq\eins_Y$ und
    $\psi\circ\phi\simeq\eins_X$ gelten, wobei \glqq$\simeq$\grqq{}
    sich auf Homotopien punktierter R\"aume bezieht. Die Abbildungen
    $\phi$ und $\psi$ hei\ss{}en dann \emph{Homotopieinverse}
    voneinander. Wir schreiben $(X,x_0)\simeq(Y,y_0)$.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}[Finale Topologie, Quotiententopologie]
  Sei $Y$ eine Menge und seien $(X_i,\mathcal O_i)$, $i\in I$,
  topologische R\"aume. Seien $f_i:X_i\to Y$ Abbildungen. Dann
  existiert eine feinste Topologie auf $Y$, die finale Topologie, so
  dass alle $f_i$ stetig werden, n\"amlich $\mathcal O:=\{A\subset
  Y:f_i^{-1}(A)\in\mathcal O_i \text{ f\"ur alle }i\in I\}$. \par
  \textbf{Spezialfall Quotientenraum:} Sei $(X,\mathcal O)$ ein
  topologischer Raum und $\sim$ eine \"Aquivalenzrelation auf $X$. Sei
  $\bar x$ die \"Aquivalenzklasse von $x$ und $\bar X:=\{\bar x:x\in
  X\}$. Definiere die Projektion $p:X\to\bar X$ durch $x\mapsto\bar
  x$. Die zugeh\"orige finale Topologie hei\ss{}t
  Quotiententopologie. $U\subset\bar X$ ist genau dann offen, wenn
  $p^{-1}(U)\subset X$ offen ist.
\end{definition}

\begin{definition}[Zusammenkleben von R\"aumen]
  Seien $X$ und $Y$ disjunkte topologische R\"aume, $A\subset X$ eine
  abgeschlossene Teilmenge und $f:A\to Y$ eine stetige Abbildung.  Wir
  definieren auf $X\cup Y$ eine \"Aquivalenzrelation $\sim$ durch
  $$z_1\sim z_2:\aequivalent
  \begin{cases}
    (z_1,\,z_2\in A&\text{und}\quad f(z_1)=f(z_2))\quad\text{oder}\\
    (z_1\in A,\,z_2\in f(A)&\text{und}\quad f(z_1)=z_2)\quad\text{oder}\\
    (z_2\in A,\,z_1\in f(A)&\text{und}\quad f(z_2)=z_1)\quad\text{oder}\\
    &\phantom{\text{und}}\quad(z_1=z_2).
  \end{cases}$$
  Den Faktorraum $(X\cup Y)/\!\!\sim$ bezeichnen wir mit $Y\cup_f X$.
  $Y\cup_f X$ hei\ss{}t der durch Zusammenkleben von $X$ mit $Y$
  mittels $f$ entstandene Raum. 
\end{definition}

\begin{remark}
  Insbesondere werden beim Zusammenkleben von $X\cup Y$ zu $Y\cup_f X$
  die Punkte aus $f(A)$ mit allen ihren Urbildern identifiziert.
\end{remark}

\begin{beispiele}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $X=[0,1]$, $A=\{0\}\cup\{1\}$, $Y=[2,3]$ und $f(0)=2$,
    $f(1)=3$. Dann ist $X\cup_f Y$ hom\"oomorph zu $\S^1$.
  \item Sei $X=\ol{B_1(0)}\subset\R^n$, $A=\partial B_1(0)$,
    $Y=\{p\}$ eine einpunktige Menge und sei $f(x)=p$ f\"ur alle
    $x\in A$. Dann ist $Y\cup_f X$ hom\"oomorph zu $\S^n$. 
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{definition}[Ankleben von Zellen]
  Definiere $D^n:=\ol{B_1(0)}\subset\R^n$ als die abgeschlossene
  $n$-dimensionale Einheitskugel, $e^n:=B_1(0)\subset\R^n$ als die
  offene $n$-dimensionale Einheitskugel und $\S^{n-1}:=\partial
  B_1(0)\equiv D^n\setminus\dot D^n$ als die $(n-1)$-dimensionale
  Sph\"are.  Wir nennen auch $D^n$ eine $n$-dimensionale Kugel, $e^n$
  eine $n$-dimensionale Zelle und $\S^n$ eine $n$-dimensionale
  Sph\"are.\par
  Sei $X$ ein topologischer Raum und $f:\S^{n-1}\to X$ eine stetige
  Abbildung. Wir sagen, dass $X\cup_f D^n$ (oder ein dazu
  hom\"oomorpher Raum) durch Ankleben (oder Anheften) einer $n$-Zelle
  mittels $f$ entstanden sei.  Man schreibt auch laxerweise $X\cup_f
  e^n$ statt $X\cup_f D^n$.
\end{definition}

\begin{remark}
  Sei $p:X\cup D^n\to X\cup_f D^n$ die kanonische Projektion.  Dann
  ist $p|_{e^n}:e^n\to p(e^n)$ ein Hom\"oomorphismus.  Dies erkl\"art,
  warum man vom Anheften/Ankleben einer $n$-Zelle spricht.
\end{remark}

\begin{beispiele}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $X=D^n$ und $f:\S^{n-1}\to D^n$ die kanonische
    Inklusionsabbildung (in einen zweiten $n$-Ball).  Dann ist
    $X\cup_f D^n$ hom\"oomorph zu einer $n$-dimensionalen Sph\"are.
  \item Sei $X:=\{(x,y)\in\R^2:0\le x\le1,\,0\le y\le1\}$,
    $A:=\{(x,y)\in X:x=0\vee x=1\}$, $Y:=[0,1]$. Sei $f:A\to Y$ durch
    $f(0,y):=y$ und $f(1,y):=1-y$ definiert. Dann ist $M:=Y\cup_f X$
    hom\"oomorph zu dem (abgeschlossenen) M\"obiusband.\par
    Der Rand $\partial M=M\setminus\dot M$ des M\"obiusbandes ist
    hom\"oomorph zu $\S^1$. Somit l\"asst sich an $M$ eine $2$-Zelle
    mittels einer Abbildung $g:\S^1\to\partial M$ injektiv
    ankleben. Wir k\"onnen f\"ur $g$ einen Hom\"oomorphismus
    w\"ahlen. Wir erhalten einen neuen Raum. (Dieser ist hom\"oomorph
    zu $\R P^2$.)
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

Wir k\"onnen auch mehrere Zellen gleichzeitig ankleben.
\begin{definition}
  Seien $D^n\times\{i\}$, $i\in I$, $n$-B\"alle und
  $f_i:\S^{n-1}\times\{i\}\to X$ stetige Abbildungen der
  dazugeh\"origen $(n-1)$-Sph\"aren in einen topologischen Raum
  $X$. $\S^{n-1}_I =\bigcup\limits_{i\in
    I}\left(\S^{n-1}\times\{i\}\right)$ ist ein Unterraum von
  $D^n_I:=\bigcup\limits_{i\in I} (D^n\times\{i\})$. Wir erhalten eine
  stetige Abbildung $f:\S^{n-1}_I\to X$ durch die Definition
  $f(x,i):=f_i(x)$.  Man sagt, dass $X':=X\cup_f D^n_I$ durch Ankleben
  der $n$-Zellen $e^n\times\{i\}$, $i\in I$, an $X$ entstanden sei.
\end{definition}

CW-Komplexe wurden von J. H. C. Whitehead eingef\"uhrt.  Sie werden
induktiv definiert. (CW steht f\"ur ``closure-finite weak
topology''.)
\begin{definition}[endliche CW-Komplexe]
  Ein nulldimensionaler CW-Komplex ist eine endliche Menge von
  Punkten, die mit der diskreten Topologie versehen ist.\par
  Ein $n$-dimensionaler CW-Komplex ist ein Raum der Form $X\cup_f
  e^n_I$, wobei $f$ stetig, $X$ ein $k$-dimensionaler CW-Komplex mit
  $k<n$ und $e^n_I=\bigcup\limits_{i\in I}(e^n\times\{i\})$,
  $|I|<\infty$, die topologische Summe von $n$-Zellen mit $n\ge1$
  ist.\par Die Menge aller Punkte in einem CW-Komplex, die bereits in
  einem $k$-di\-men\-sio\-na\-len CW-Komplex enthalten sind hei\ss{}t
  $k$-Skelett oder $k$-Ger\"ust.
\end{definition}

F\"ur unendliche CW-Komplexe verwendet man die folgende Definition.
\begin{definition}[CW-Komplex]
  Ein CW-Komplex ist ein Hausdorffraum $X$ mit einer (disjunkten)
  Zerlegung $\mathcal E$ in Zellen, so dass
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item es zu jeder $n$-Zelle $e$ eine stetige Abbildung
    $\Phi_e\colon\bar e\to X$ gibt, die $e$ hom\"oomorph auf $e$ und
    $\partial e$ in die Vereinigung der maximal $(n-1)$-dimensionalen
    Zellen abbildet. Die Abbildungen $\Phi_e$ bezeichnet man auch als
    charakteristische Abbildungen. 
  \item $\bar e$ (oder genauer $\Phi_e(\bar e)$) f\"ur jedes
    $e\in\mathcal E$ nur endlich viele andere Zellen in $\mathcal E$
    trifft (H\"ullenendlichkeit).
  \item $A\subset X$ genau dann abgeschlossen ist, wenn $A\cap\bar e$
    (genauer $A\cap\Phi_e(\bar e)$) f\"ur jede Zelle $e\in\mathcal E$
    abgeschlossen ist (schwache Topologie).
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiele}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\S^2$ ist hom\"oomorph zu einem zweidimensionalen
    CW-Komplex. Man klebt zun\"achst eine $1$-Zelle $e^1$ an einen
    Punkt und erh\"alt einen zu $\S^1$ hom\"oomorphen Raum. Durch
    Ankleben von zwei $2$-Zellen $e^2_1$ und $e^2_2$ an den
    entstandenen Raum erh\"alt man einen zu $\S^2$ hom\"oomorphen
    Raum.
  \item Man erh\"alt auch einen zu einer $\S^2$ hom\"oomorphen
    CW-Komplex, indem man eine $2$-Zelle an einen Punkt klebt.
  \item Klebt man eine $n$-Zelle an einen Punkt, so erh\"alt man einen
    $n$-dimensionalen CW-Komplex hom\"oomorph zu $\S^n$.
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{definition}[Kegel]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $X$ ein topologischer Raum. Wir definieren den Kegel
    \"uber $X$ als $CX:=(X\times[0,1])/(X\times\{0\})$. 
  \item Sei $f\colon X\to Y$ stetig. Dann ist $C_f$, der
    Abbildungskegel von $f$ als $Y\cup_fCX$ definiert. (\glqq Wir
    kleben den Kegel \"uber $X$ mit Hilfe von $f$ in den Raum
    $Y$.\grqq{} Hier betrachten wir die Abbildung $f$ als auf
    $X\times\{1\}\subset CS$ definiert.)
  \end{enumerate}
\end{definition}

\end{appendix}

\bibliographystyle{amsplain}

\def\emph#1{\textit{#1}}

\begin{thebibliography}{1}
\bibitem{Deimling}
Klaus Deimling, \emph{Nichtlineare {G}leichungen und {A}bbildungsgrade},
  Springer-Verlag, Berlin, 1974, Hochschultext.

\bibitem{Hatcher}
Allen Hatcher, \emph{Algebraic topology}, Cambridge University Press,
  Cambridge, 2002,\\ {\tt http://www.math.cornell.edu/\~{}hatcher/}.

\end{thebibliography}
\markboth{\scriptsize{\textsc{\MakeUppercase{Literatur}}}}
{\scriptsize{\textsc{\MakeUppercase{Literatur}}}} 
\end{document}
