% 
% Differentialgeometrie I
% Oliver Schn\"urer
% FU Berlin, Winter 2008/2009, kleiner Teil
% Uni Konstanz, Sommer 2010, Winter 2013/14
%
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  Viel-fach-heit Funk-tion Funk-tion-en}

\begin{document}
\title{Differentialgeometrie I}

%    Information for first author
\author{Oliver C. Schn\"urer}
%    Address of record for the research reported here
\address{Oliver C. Schn\"urer, Fachbereich Mathematik und Statistik,
  Universit\"at Konstanz, 78457 Konstanz, Germany}
%    Current address
\curraddr{}
\def\AmSeeHome{@uni-konstanz.de}
\email{Oliver.Schnuerer\AmSeeHome}
%    \thanks will become a 1st page footnote.
\thanks{}

%    General info
\subjclass[2000]{53-01}
% 53-xx Differential geometry
% 53-01 Instructional exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) 
% 53C22 Geodesics [See also 58E10]

\date{\today.}

\dedicatory{}

\keywords{}

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\begin{abstract}
  Bei diesem Manuskript handelt es sich um Notizen zu einer Vorlesung
  Differentialgeometrie I an der Universit\"at Konstanz:
  Sommersemester 2010, Wintersemester 2013/14. \par Vielen Dank an die
  H\"orer f\"ur Korrekturen. 
\end{abstract}

\maketitle

\tableofcontents

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%\addtocounter{section}{-1}

% Spezielle Kopfzeilen 
\long\def\Section#1{\section{#1} \def\abschnitt{#1}}
\long\def\Subsection#1{\subsection{#1} \def\unterabschnitt{#1}}
\markboth{\scriptsize{\textsc{\thesection.{} 
\MakeUppercase{\abschnitt}}}}%
{\scriptsize{\textsc{\thesection.{} 
\MakeUppercase{\abschnitt}}}}{}
%{\scriptsize{\textsc{\thesubsection.{} \MakeUppercase{\unterabschnitt{}}}}}

\noindent In der Differentialgeometrie geht es um Mannigfaltigkeiten
und deren Kr\"um\-mung.

Wir orientieren uns hier an 
\cite{doCarmoDifferentialgeometrie,TomiDG1,CGNotes,GudmundssonGaussian,GudmundssonRiemannian,KuehnelDG}. 

\Section{Kurven in der Ebene}
\begin{definition}[Kurven]
  Sei $I\subset\R$ ein Intervall. $\alpha\in C^k(I,\R^n)$ hei\ss{}t
  Kurve der Klasse $C^k$. $\alpha$ hei\ss{}t regul\"ar oder eine
  Immersion, wenn $k\ge1$ und $\alpha'(t)\neq0$ f\"ur alle $t\in I$
  gelten. \par Sei $J\subset\R$ ein weiteres Intervall. Dann hei\ss{}t
  $\phi:J\to I$ Parametertransformation der Klasse $C^k$, wenn $\phi$
  bijektiv ist und $\phi$ und $\phi^{-1}$ von der Klasse $C^k$
  sind. Ist $\phi'>0$, so hei\ss{}t $\phi$ orientierungserhaltend,
  sonst orientierungsumkehrend. \par Eine Kurve $\alpha:[a,b]\to\R^n$
  hei\ss{}t geschlossen, falls $\alpha(a)=\alpha(b)$ gilt. Ist
  $\alpha\in C^k$, so hei\ss{}t $\alpha$ geschlossen von der Klasse
  $C^k$, falls $\alpha^{(l)}(a)=\alpha^{(l)}(b)$ f\"ur alle $0\le l\le
  k$ gilt. Eine geschlossene Kurve hei\ss{}t Jordankurve, wenn
  $\alpha(s)=\alpha(t)$ impliziert, dass $s=t$ oder $(t,s)=(a,b)$ oder
  $(t,s)=(b,a)$ gilt.
\end{definition}

\begin{definition}[Bogenl\"ange]
  Ist $\alpha\in C^1([a,b],\R^n)$ (oder st\"uckweise von der Klasse
  $C^1$), so ist $L(\alpha):=\int\limits_a^b|\alpha'(t)|\,dt$ die
  Bogenl\"ange von $\alpha$. \par Eine Kurve $\alpha:I\to\R^n$
  hei\ss{}t nach der Bogenl\"ange parametrisiert, falls
  $|\alpha'(s)|=1$ f\"ur alle $s\in I$ gilt.
\end{definition}

\begin{lemma}
  $L(\alpha)$ ist invariant unter Parametertransformationen. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\alpha:I\to\R^n$ eine st\"uckweise $C^1$-Kurve.  Sei $\phi:J\to
  I$ eine Parametertransformation. Dann gilt \[L(\alpha\circ\phi)
  =\int\limits_J|(\alpha\circ\phi)'(t)|\,dt =\int\limits_J
  |\alpha'(\phi(t))|\cdot|\phi'(t)|\,dt =\int\limits_I|\alpha'(s)|\,ds
  =L(\alpha)\] aufgrund der Integraltransformationsformel.
\end{proof}

\begin{lemma}
  Sei $\alpha:[a,b]\to\R^n$ eine regul\"are Kurve der Klasse
  $C^1$. Dann gibt es eine orientierungserhaltende
  Parametertransformation $\phi$ der Klasse $C^1$, so dass
  $\alpha\circ\phi$ nach der Bogenl\"ange parametrisiert
  ist. (Sinngem\"a\ss{} gilt dies auch f\"ur $C^1$-Kurven.)
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Setze
  \[l:=L(\alpha)=\int\limits_a^b|\alpha'(t)|\,dt \quad\text{und}\quad
  \psi(t):= \int\limits_a^t|\alpha'(\tau)|\,d\tau.\] Dann ist
  $\psi:[a,b]\to[0,l]$ wegen $|\alpha'|\neq0$ strikt monoton,
  $\psi'(t)=|\alpha'(t)|>0$. Somit existiert $\phi:=\psi^{-1}$ und ist
  ebenfalls von der Klasse $C^1$. Es gilt
  $\phi'(s)=\frac1{\psi'(\phi(s))}$. Daher
  folgt \[|(\alpha\circ\phi)'(s)| =|\alpha'(\phi(s))|\cdot|\phi'(s)|
  =\frac{|\alpha'(\phi(s))|}{|\alpha'(\phi(s))} =1.\]
\end{proof}

\begin{definition}[Kr\"um\-mung]
  Sei $\alpha:I\to\R^n$ eine regul\"are nach der Bogenl\"ange
  parametrisierte Kurve der Klasse $C^2$. Dann hei\ss{}t
  $T(s):=\alpha'(s)$ (Einheits-)""Tan\-gen\-tial\-vek\-tor an $\alpha$
  und $\alpha''(s)$ Kr\"um\-mungsvektor von $\alpha$ im Punkte
  $\alpha(s)$. \par
  Aus $\langle\alpha'(s),\alpha'(s)\rangle =1$ folgt
  $\langle\alpha''(s),\alpha'(s)\rangle=0$. Somit steht $\alpha''$
  stets senkrecht auf $\alpha'$. \par
  \underline{$n=2$:} Sei $T=\left(T^1,T^2\right)$. Definiere
  $N(s):=\left(\begin{smallmatrix}0 &-1\\
      1&0 \end{smallmatrix}\right)T(s)=\left(-T^2,T^1\right)$ und
  $\alpha''(s)=\kappa(s)N(s)$. $\kappa(s)$ hei\ss{}t Kr\"um\-mung der
  Kurve $\alpha$ im Punkt $\alpha(s)$. (Aus Platzgr\"unden schreiben
  wir Vektoren im $\R^n$ h\"aufiger als Zeilenvektoren.) \par
  \underline{$n=3$:} Falls $\alpha''(s)\neq0$ gilt, setzen wir
  $N(s):=\frac{\alpha''(s)}{|\alpha''(s)|}$ und definieren die
  Kr\"um\-mung ebenfalls durch $\alpha''(s)=\kappa(s)N(s)$. \par
  $|\kappa(s)|$ hei\ss{}t Absolutkr\"ummung.
\end{definition}
Die Kr\"um\-mung eines im Gegenuhrzeigersinn durchlaufenen Kreises mit
Radius $r$ ist $\frac1r$. \par Die Wahl der Normalen bei Kurven ist
eine andere als in h\"oheren Dimensionen.

\begin{theorem}[Isoperimetrische Ungleichung]\label{isop ungl}
  Sei $G\subset\R^2$ beschr\"ankt und sei $\partial G$ das Bild einer
  nach der Bogenl\"ange parametrisierten st\"uckweisen $C^1$-Kurve
  $\alpha:[0,L]\to\R^2$. Sei $A:=|G|$ der Fl\"acheninhalt von $G$ und
  $L$ die L\"ange von $\alpha$. Dann gilt \[A\le\frac1{4\pi} L^2\] und
  Gleichheit tritt genau dann ein, wenn $G$ ein Ball ist.
\end{theorem}

\begin{lemma}
  Sei $G\subset\R^2$ beschr\"ankt und sei $\partial G$ das Bild einer
  st\"uckweisen $C^1$-Kurve $\alpha:[0,a]\to\R^2$. Sei
  $\alpha|_{[0,a)}$ injektiv und gelte $\alpha(0)=\alpha(a)$. Sei
    $\alpha(t)=(x(t),y(t))$. Dann gilt
    $|G|=\int\limits_0^ax(t)y'(t)\,dt$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $\nu$ die \"au\ss{}ere Normale an $G$. Nehme an, dass $G$ links
  der Kurve liegt und dass diese nach der Bogenl\"ange parametrisiert
  ist. Dann sind $T=\alpha'=(x',y')$ und $\nu=(y',-x')$. Nach dem
  Divergenzsatz gilt \[2|G|=\int\limits_G2
  =\int\limits_G\divergenz(x,y) =\int\limits_{\partial
    G}\left\langle\nu,(x,y)\right\rangle =\int\limits_0^a
  (xy'-yx')(s)\,ds.\] Da $\alpha$ eine geschlossene Kurve ist, sehen
  wir mit partieller Integration, dass beide Summanden denselben
  Beitrag liefern. Aufgrund der Integraltranformationsformel gilt die
  Behauptung auch, wenn $\alpha$ nicht nach der Bogenl\"ange
  parametrisiert ist.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von \ref{isop ungl}]
  Sei $x(t)$ ohne Einschr\"ankung in $t=0$ minimal und in $t=t_0$
  maximal. Sei $(x(t),\bar y(t))$ eine Parametrisierung eines Kreises
  vom Radius $r$, ohne Einschr\"ankung $B_r(0)$, der nach orthogonaler
  Projektion
  auf die $x$-Achse dasselbe Bild wie die Kurve $\alpha$ hat.  Es gilt
  \begin{align}
    A+\pi r^2=&\,\int\limits_0^L xy'-\bar yx'\,ds
    =\int\limits_0^L
    \left\langle
    \begin{pmatrix} x\\ \bar y\end{pmatrix},
    \begin{pmatrix} y'\\ -x'\end{pmatrix}\right\rangle\,ds \nonumber\\ 
  \le&\,\int\limits_0^L \underbrace{\sqrt{x^2+\bar y^2}}_{=r,\text{ da
    }(x,\bar y)\in\partial B_r(0)}\cdot\quad
  \underbrace{\sqrt{x'^2+y'^2}}_{=|\alpha'|=1}\,ds = Lr. \label{fl
    absch}
  \end{align}
  Somit ist 
  \begin{equation}\label{ab ungl}
    2\sqrt{A}\cdot\sqrt{\pi r^2}\le A+\pi r^2 \le Lr
  \end{equation}
  und die isoperimetrische Ungleichung folgt.\par Gilt \"uberall
  Gleichheit, so folgt aus der ersten Ungleichung in \eqref{ab ungl}
  $A=\pi r^2$. $r$ h\"angt damit insbesondere nicht von der Richtung
  ab, in die wir die Kurve projizieren. Aus \eqref{fl absch} folgt
  $(xy'-\bar yx')^2=(x^2+\bar y^2)(x'^2+y'^2)$, also auch (direktes
  Ausmultiplizieren oder: drehe einen Vektor um $90^\circ$ und benutze
  die Orthogonalit\"at) $(xx'+\bar yy')^2=0$. Aus dieser Gleichung
  folgen die ersten beiden Gleichheitszeichen in \[\frac x{y'}
  =-\frac{\bar y}{x'} =\pm\frac{\sqrt{x^2+\bar y^2}}{\sqrt{x'^2+y'^2}}
  =\pm r.\] (Falls $y'=0$ ist, folgt $x=0$ und die n\"achste Gleichung
  gilt trotzdem.)  Also gilt $x=\pm ry'$. Da $r$ unabh\"angig von
  Drehungen des Koordinatensystems ist, folgt ebenso $y=\pm rx'$. Also
  ist $x^2+y^2=r^2(x'^2+y'^2)=r^2$. $\alpha$ durchl\"auft also einen
  Kreis.
\end{proof}

% Tomi-Skript, S. 6; zun\"achst weggelassen, da es zu viel \"uber
% Liftungen voraussetzt.
% \begin{definition}[Windungszahl]
%   Sei $\alpha:[a,b]\to\S^1\subset\R^2$ eine geschlossene Kurve mit
%   $\alpha(a)=(\cos\theta_0,\sin\theta_0)$. Dann gibt es genau eine
%   stetige Funktion (Liftung) $\theta:[a,b]\to\R$ mit
%   $\alpha(t)=(\cos\theta(t),\sin\theta(t))$ und $\theta(a)=\theta_0$.
%   Dann ist $\frac{\theta(b)-\theta(a)}{2\pi}$ die Windungszahl von
%   $\alpha$.
% \end{definition}
% Die Windungszahl h\"angt nicht von der Wahl von $\theta_0$ ab und ist
% unter orientierungserhaltenden Parametertransformationen invariant. 

\Section{Hyperfl\"achen im Euklidischen}
\subsection{Metrik, Normale, zweite Fundamentalform und
  Hauptkr\"ummungen}
\begin{definition}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $X:\Omega\to\R^{n+1}$ sei von der
  Klasse $C^1$. $X$ hei\ss{}t regul\"ar, falls die Vektoren
  $X_i:=\fracp{}{x^i}X$ in jedem Punkt in $\Omega$ linear unabh\"angig
  sind. Dann ist $X=X(x)$, $x\in\Omega$, der Einbettungsvektor einer
  in den $\R^{n+1}$ immersierten Hyperfl\"ache $X$ bzw.{} $\im X\equiv
  M$. Ist $X$ ein Hom\"oomorphismus auf $\im X$, so hei\ss{}t $X$
  Einbettung. $X$ ist eine Parametrisierung der Hyperfl\"ache $M$. Ist
  $n=2$, so hei\ss{}t $M$ eine Fl\"ache.\par
  In $\Omega$ definieren wir eine Metrik $g=(g_{ij})_{1\le i,j\le n}$,
  die von $X$ auf $\Omega$ induzierte Metrik,
  durch \[g_{ij}(x)=\langle X_i(x),X_j(x)\rangle_{\R^{n+1}}, \quad
  x\in\Omega.\] In jedem Punkt $x\in\Omega$ definiert die Metrik $g$
  ein Skalarprodukt. Seien $V=(V^i)_{1\le i\le n}$, $W=(W^j)_{1\le
    j\le n}$ Vektoren. Wir schreiben \[\sum\limits_{i,j=1}^n
  g_{ij}V^iW^j =g(V,W)=\langle V,W\rangle_g =\langle V,W\rangle.\] Mit
  $g^{-1}=(g^{ij})_{1\le i,j\le n}$ bezeichnen wir die Inverse der
  Metrik oder die inverse Metrik.
\end{definition}

\begin{lemma}\label{char metrik lem}
  Sei $\alpha:[a,b]\to\Omega$ eine $C^1$-Kurve. Dann ist die Metrik
  die eindeutig definierte stetige symmetrische $n\times n$-Matrix
  (genauer: Tensor), so dass
  \[L(X\circ\alpha)=\int\limits_a^b\sqrt{\sum\limits_{i,j=1}^n
  g_{ij}(\alpha(t)) (\alpha'(t))^i (\alpha'(t))^j}\,dt\] f\"ur alle
  solchen Kurven gilt. 
\end{lemma}
\begin{remark}[Einsteinsche Summenkonvention]
  Wir wollen die Einsteinsche Summenkonvention verwenden. D.\,h.{} wir
  summieren \"uber doppelt auftretende Indices (einmal \glqq
  oben\grqq{} und einmal \glqq unten\grqq) und zwar von $1$ bis $n$
  f\"ur lateinische Indices (da $\Omega\subset\R^n$) und von $1$ bis
  $n+1$ f\"ur griechische Indices (da $\im X\subset\R^{n+1}$). Wir
  summieren nicht (nochmals), wenn bereits explizit Summen ($\sum$)
  dastehen. Wir schreiben $\delta= (\delta_{\alpha\beta})_{1\le\alpha,
    \beta\le n+1}$ f\"ur das Euklidische
  Skalarprodukt. Beispiele: \[g_{ij}V^iW^j =\sum\limits_{i,j=1}^n
  g_{ij}V^iW^j \text{ oder }
  g_{ij}=X^\alpha_i\delta_{\alpha\beta}X^\beta_j
  =\sum\limits_{\alpha,\beta=1}^{n+1} X_i^\alpha\delta_{\alpha\beta}
  X_j^\beta=\langle X_i,X_j\rangle_{\R^{n+1}}.\]
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis von Lemma \ref{char metrik lem}]
  Setze $\gamma:=X\circ\alpha$. Dann gilt nach Definition und
  Kettenregel
  \begin{align*}
    L(\gamma)=&\,\int\limits_a^b|\gamma'(t)|\,dt =\int\limits_a^b
    |DX(\alpha(t))\langle\alpha'(t)\rangle|\,dt =\int\limits_a^b
    \left|X_i(\alpha(t))(\alpha')^i(t)\right|\,dt\\ =&\,\int\limits_a^b
    \sqrt{(\alpha')^i(t)X^\beta_i(\alpha(t)) \delta_{\beta\gamma}
      X^\gamma_j(\alpha(t)) (\alpha')^j(t)}\,dt\\ =&\,\int\limits_a^b
    \sqrt{(\alpha')^i(t) g_{ij}(\alpha(t)) (\alpha')^j(t)}\,dt.
  \end{align*}
  Dies gilt f\"ur alle Kurven, insbesondere auch f\"ur solche mit
  $\alpha'\in\{e_i,e_j,e_i+e_j,e_i-e_j\}$. Wegen der Stetigkeit von
  $g$ und der Polarisationsformel charakterisiert das die Metrik $g$. 
\end{proof} 

\begin{definition}[Normalenvektor]
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und sei $X:\Omega\to\R^{n+1}$ eine
  immersierte Hyperfl\"ache oder Immersion. Dann hei\ss{}t eine
  stetige Abbildung $\nu:\Omega\to\S^n\subset\R^{n+1}$ ein
  (Einheits-)""Normalenvektor an die Hyperfl\"ache $X$, falls
  \[\langle\nu,X_i\rangle=0\text{
    f\"ur alle }1\le i\le n\text{ gilt},\] \dh falls $\nu$
  senkrecht auf der Hyperfl\"ache $X$ steht.
\end{definition}

\begin{lemma}
  Sei $\gamma:=X\circ\alpha$ eine Kurve in einer immersierten
  Hyperfl\"ache $X:\Omega\to\R^{n+1}$ und sei $\alpha$ von der Klasse
  $C^1$. Sei $\nu$ ein Normalenvektor an die Hyperfl\"ache. Dann
  gilt \[\langle\gamma'(t),\nu(\alpha(t))\rangle=0\text{ f\"ur alle
  }t.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Kettenregel und Definition des Normalenvektors. 
\end{proof}

\begin{definition}[Zweite Fundamentalform]
  Sei $X:\Omega\to\R^{n+1}$ eine immersierte Hyperfl\"ache der Klasse
  $C^2$ mit Normalenvektor $\nu$. Dann hei\ss{}t der symmetrische
  Tensor $A=(h_{ij})_{1\le i,j\le n}$, definiert
  durch \[h_{ij}:=-\left\langle \fracp{^2X}{x^i\partial x^j},
    \nu\right\rangle\equiv-\langle X_{,ij},\nu\rangle,\] 
  zweite Fundamentalform von $X$ bzgl.{} $\nu$. 
\end{definition}

\begin{remark}
  Der geometrisch interessante Teil der zweiten Ableitungen des
  Einbettungsvektors $X$ sind die normalen Anteile. Daher definieren
  wir 
  \begin{align*}
    X_{;ij}\equiv&\, X_{ij}:=\fracp{^2X}{x^i\partial x^j}
    -\Gamma^k_{ij}X_k\\ \intertext{wobei
      $\left(\Gamma^k_{ij}\right)_{1\le i,j,k\le n}$ sogenannte
      Christoffelsymbole bezeichnet, die durch}
    \Gamma^k_{ij}=&\,\tfrac12g^{kl}\left(\tfracp{}{x^j}g_{il}
      +\tfracp{}{x^i}g_{jl} -\tfracp{}{x^l}g_{ij}\right)
  \end{align*}
  definiert sind. $X_{;ij}$ ist gerade der normale Anteil von
  $X_{,ij}$. Dies ist \"aquivalent zu \[0=X_{;ij}-\langle
  X_{,ij},\nu\rangle\nu.\] Diese Gleichheit gilt, denn die rechte
  Seite verschwindet nach Definition, wenn wir das Skalarprodukt mit
  $\nu$ bilden. Beim Skalarprodukt mit $X_k$ erhalten wir
  \begin{align*}
    0\stackrel !=&\,\langle X_{,ij},X_k\rangle -\Gamma^l_{ij}\langle
    X_l,X_k\rangle\\ =&\,\langle X_{,ij},X_k\rangle
    -\tfrac12\tfracp{}{x^j}g_{ik} -\tfrac12\tfracp{}{x^i}g_{jk}
    +\tfrac12\tfracp{}{x^k}g_{ij}\\
    =&\,\langle X_{,ij},X_k\rangle -\tfrac12\langle X_{,ij},X_k\rangle
    -\tfrac12\langle X_i,X_{,kj}\rangle -\tfrac12\langle
    X_{,ij},X_k\rangle -\tfrac12\langle X_j,X_{,ki}\rangle\\
    &\,+\tfrac12\langle X_{,ik},X_j\rangle +\tfrac12\langle
    X_i,X_{,jk}\rangle=0.
  \end{align*}
\end{remark}

Hieraus folgt direkt nach Definition
\begin{lemma}[Gau\ss{}sche Formel]
  Es gilt \[X_{;ij}=-h_{ij}\nu.\] 
\end{lemma}

\begin{definition}[Hauptkr\"ummungen]
  Die Eigenwerte von $h_{ij}$ bzgl.{} $g_{ij}$ hei\ss{}en
  Hauptkr\"ummungen $\lambda_i$ von $M$: Ein Vektor $\xi$ hei\ss{}t
  Eigenvektor von $h_{ij}$ bzgl.{} $g_{ij}$ zum Eigenwert $\lambda$,
  falls \[h_{ij}\xi^j=\lambda g_{ij}\xi^j\quad\text{oder, \"aquivalent
    dazu,}\quad A(\cdot,\xi)=\lambda g(\cdot,\xi)\] gilt. Eine
  Hyperfl\"ache $M$ hei\ss{}t lokal konvex, falls $h_{ij}$ positiv
  semidefinit ist; wir schreiben $h_{ij}\succcurlyeq0$. $M$ hei\ss{}t
  (lokal) strikt konvex, falls $h_{ij}$ positiv definit ist:
  $h_{ij}\succ0$. Elementarsymmetrische Funktionen der
  Hauptkr\"ummungen sind wohldefiniert,
  \begin{itemize}
  \item $H=S_1=\lambda_1+\ldots+\lambda_n=g^{ij}h_{ij}$ hei\ss{}t mittlere
    Kr\"ummung, 
  \item $S_2=\sum\limits_{1\le i<j\le n}\lambda_i\lambda_j$ hei\ss{}t
    Skalarkr\"ummung,
  \item $S_k=\sum\limits_{1\le i_1<\ldots<i_k\le n}
    \lambda_{i_1}\cdot\ldots\cdot\lambda_{i_k}$, 
  \item $K=S_n=\lambda_1\cdot\ldots\cdot\lambda_n=\frac{\det
      h_{ij}}{\det g_{ij}}$ hei\ss{}t Gau\ss{}kr\"ummung (letzte
    Gleichheit herleiten).
  \end{itemize}
\end{definition}

\begin{lemma}
  Die Hauptkr\"ummungen sind unabh\"angig von der Parametrisierung der
  Fl\"ache $M$ definiert. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $X:\Omega\to\R^{n+1}$ eine Parametrisierung von $M$. Sei $\hat
  X:\hat\Omega\to\R^{n+1}$ eine weitere Parametrisierung mit $\hat
  X=X\circ\psi$, wobei $\psi\colon\hat\Omega\to\Omega$ ein
  Diffeomorphismus ist. Beachte, dass die Normalenvektoren
  \"ubereinstimmen. Es gilt
  \begin{align*}
    \hat X_i=&\,X_k\psi^k_i,\\
    \hat X_{,ij}=&\,X_{,kl}\psi^k_i\psi^l_j +X_k\psi^k_{,ij},\\
    \hat h_{ij}=&\,-\left\langle\hat X_{,ij},\nu\right\rangle
    =-\psi_i^k\langle X_{,kl},\nu\rangle\psi^l_j,\\
    \hat g_{ij}=&\,\psi^k_iX^\alpha_k\delta_{\alpha\beta}
    X^\beta_l\psi^l_j.
  \end{align*}
  Die Behauptung folgt. 
\end{proof}
Die Hauptkr\"ummungen \"andern sich auch nicht, wenn wir die
Hyperfl\"ache $M\subset\R^{n+1}$ translatieren oder rotieren.\par
Eine $n$-dimensionale Hyperfl\"ache besitzt in jedem Punkt $n$
Hauptkr\"ummungen: Unter der Transformation $\psi^k(x)=A^k_ix^i$, $A$
eine invertierbare $n\times n$-Matrix wird die Metrik zu $\hat g_{ij}
=g_{kl} A^k_iA^l_j$. W\"ahle $A$ so, dass $\hat g_{ij}=\delta_{ij}$
gilt. Dann folgt die Behauptung aus der linearen Algebra, denn eine
symmetrische $n\times n$-Matrix (hier $\hat h_{ij}$) besitzt $n$
reelle Eigenwerte.

\begin{definition}
  Sei $X\colon\Omega\to\R^{n+1}$ eine Parametrisierung von $M$. Sei
  $\nu$ eine Wahl des Normalenvektors. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ein Vektor $V\in\R^{n+1}$ hei\ss{}t normal im Punkt $X(p)$,
    falls $V$ ein Vielfaches von $\nu(p)$ ist. 
  \item Ein Vektor $V\in\R^{n+1}$ hei\ss{}t tangential im Punkt
    $X(p)$, falls $\langle \nu(p),V\rangle=0$ gilt. 
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{lemma}[Weingartengleichung]
  Es gilt \[\nu_{,i}=h^j_iX_j\equiv g^{jk}h_{ki}X_j.\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir differenzieren $\langle\nu,\nu\rangle=1$ und erhalten
  $\langle\nu,\nu_{,i}\rangle=0$. Somit ist $\nu_{,i}$ ein
  Tangentialvektor. Damit k\"onnen wir $\nu_{,i}$ in der Form
  $\nu_{,i}=a^k_iX_k$ darstellen.  Differenziere nun $\langle
  \nu,X_j\rangle=0$. Wir erhalten
  \[0=\langle \nu_{,i},X_j\rangle +\langle\nu,X_{,ij}\rangle
  =\left\langle a^k_iX_k,X_j\right\rangle
  +\langle\nu,-h_{ij}\nu\rangle =a^k_ig_{kj}-h_{ij}.\] Multipliziere
  nun mit $g^{jl}$ und benutze die Symmetrie der zweiten
  Fundamentalform.  
\end{proof}

\subsection{Graphische Hyperfl\"achen}
\begin{lemma}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, $u\in C^2(\Omega)$ und $M:=\graph u$
  mit Einbettungsvektor $X(x)=(x,u(x))$. Dann gilt
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\nu=\fracd{(Du,-1)}{\sqrt{1+|Du|^2}}$,
  \item $g_{ij}=\delta_{ij}+u_iu_j$,\quad
    $g^{ij}=\delta^{ij}-\fracd{u^iu^j}{1+|Du|^2}$,\quad $u_i=\tfracp
    u{x^i}$,\quad $u^i=u_j\delta^{ji}$,
  \item $\det g_{ij}=1+|Du|^2$,
  \item $h_{ij}=\fracd{u_{ij}}{\sqrt{1+|Du|^2}}$,\quad
    $u_{ij}=\tfracp{^2u}{x^i\partial x^j}$,
  \item $H=\divergenz\left(\fracd{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right)$,
  \item $K=\fracd{\det D^2u}{\left(1+|Du|^2\right)^{\frac{n+2}2}}$.
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt $X_i=(e_i,u_i)$, $X_{,ij}=(0,u_{,ij})$. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\nu$ steht auf allen Vektoren $X_i$ senkrecht und hat L\"ange
    eins. Also ist $\nu$ ein Normalenvektor. (Man k\"onnte aber auch
    $-\nu$ betrachten.)
  \item $g_{ij}=\langle(e_i,u_i),(e_j,u_j)\rangle
    =\delta_{ij}+u_iu_j$,
    \begin{align*}
      g^{ik}g_{kj}=&\,\left(\delta^{ik}-\fracd{u^iu^k}{1+|Du|^2}\right)
      \left(\delta_{kj}+u_ku_j\right)\\ =&\,\delta^i_j +u^iu_j
      -\fracd{u^iu_j}{1+|Du|^2}-\fracd{u^iu_j|Du|^2}{1+|Du|^2}=\delta^i_j,
    \end{align*}
  \item $g_{ij}$ hat bez\"uglich $\delta_{ij}$ die Eigenvektoren $Du$
    (falls dieser von Null verschieden ist) mit Eigenwert $1+|Du|^2$
    und $n-1$ dazu orthogonale Vektoren zum Eigenwert $1$.
  \item $h_{ij}=-\langle X_{,ij},\nu\rangle
    =\fracd{u_{ij}}{\sqrt{1+|Du|^2}}$,
  \item $H=g^{ij}h_{ij}=\fracd1{\sqrt{1+|Du|^2}}
    \left(\delta^{ij}u_{ij} -\fracd{u^iu^ju_{ij}}{1+|Du|^2}\right)$,\\ 
    $\divergenz\left(\fracd{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right)
    =\fracpd{}{x^i}\left(\fracd{u^i}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right)
    =\fracd{\Delta
      u}{\sqrt{1+|Du|^2}}-\fracd{u^iu^ju_{ij}}{\sqrt{1+|Du|^2}^3}$.
  \item $K=\fracd{\det h_{ij}}{\det g_{ij}}=\fracd{\det
      D^2u}{\sqrt{1+|Du|^2}^n\cdot\left(1+|Du|^2\right)}$.
  \end{enumerate}
\end{proof}

\subsection{Beispiele}

\begin{beispiel}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $u:B_R(0)\to\R$ durch $u(x)=-\sqrt{R^2-|x|^2}$
    gegeben. Dann sind s\"amtliche Hauptkr\"ummungen von $\graph u$ in
    jedem Punkt $\frac1R$:\par
    Es gilt $u_i=\frac{x_i}{-u}$, $|Du|^2=\frac{|x|^2}{u^2}$,
    $g_{ij}=\delta_{ij}+\frac{x_ix_j}{R^2-|x|^2}$,
    \begin{align*}
      u_{ij} =&\,\frac{\delta_{ij}}{-u} +\frac{x_ix_j}{(-u)^3}
      =\frac1{-u}(\delta_{ij}+u_iu_j)
      =\frac{g_{ij}}{-u},\umbruch\\
      h_{ij}=&\, \frac{u_{ij}}{\sqrt{1+|Du|^2}}=
      \frac{g_{ij}}{(-u)\sqrt{1+|Du|^2}}
      =\frac{g_{ij}}{\sqrt{u^2+|x|^2}} =\frac{g_{ij}}R.
    \end{align*}
  \item Die Hauptkr\"ummungen des Graphen von $x\mapsto
    \frac12ax^2+\frac12by^2$ im Ursprung sind $a$ und $b$. 
  \end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{beispiele}[rotationssymmetrische Graphen]
  Sei $u\colon\R^n\to\R$ (oder auf einer Teilmenge definiert) mit
  $u(x)=\phi(|x|)$ f\"ur ein $\phi\in C^2$ mit (falls dort definiert)
  $\phi'(0)=0$ f\"ur die Regularit\"at im Ursprung. Wir erhalten
  \begin{align*}
    u(x)=&\,\phi(|x|)\equiv\phi(r),\umbruch\\
    u_i(x)=&\,\phi'\frac{x_i}{|x|},\umbruch\\
    u_{ij}(x)=&\,\phi'\frac1{|x|}
    \left(\delta_{ij}-\frac{x_ix_j}{|x|^2}\right)
    +\phi''\frac{x_i}{|x|}\frac{x_j}{|x|},\umbruch\\
    g_{ij}=&\,\delta_{ij}+u_iu_j =\delta_{ij}
    +(\phi')^2\frac{x_i}{|x|}\frac{x_j}{|x|},\umbruch\\
    h_{ij}=&\,\frac{u_{ij}}{\sqrt{1+|Du|^2}}
    =\frac1{\sqrt{1+(\phi')^2}}
    \left(\frac{\phi'}{|x|}\left(\delta_{ij}
        -\frac{x_ix_j}{|x|^2}\right)
      +\phi''\frac{x_ix_j}{|x|^2}\right).  
  \end{align*}
  Bez\"uglich einer Orthogonalbasis bestehend aus $\frac xr$ und $n-1$
  dazu orthogonalen Vektoren werden die quadratischen Formen
  $(g_{ij})$ und $(h_{ij})$ durch Diagonalmatrizen mit Eintr\"agen 
  \[
  \begin{array}{|c||c|c|}
    \hline
    &1-\text{fach} &(n-1)-\text{fach}\\\hline\hline
    g_{ij}\raisebox{-1.5ex}{\rule{0mm}{4ex}}& 1+(\phi')^2 & 1\\\hline 
    g^{ij}\raisebox{-2ex}{\rule{0mm}{5ex}}& \frac1{1+(\phi')^2}
    &1\\\hline 
    h_{ij}\raisebox{-3ex}{\rule{0mm}{6ex}}&
    \frac1{\sqrt{1+(\phi')^2}}\phi'' & 
    \frac1{\sqrt{1+(\phi')^2}}\frac{\phi'}r\\\hline 
  \end{array}
  \]
  dargestellt, wobei der nur einfach auf"|tretende Wert jeweils zur
  Richtung $\frac xr$ geh\"ort. Somit ist eine Hauptkr\"ummung
  $\frac{\phi''}{(1+(\phi')^2)^{3/2}}$ und die anderen $(n-1)$
  Hauptkr\"ummungen sind jeweils
  $\frac1{\sqrt{1+(\phi')^2}}\frac{\phi'}r$. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item \textbf{Sph\"are:} Ist $\graph u$ eine (Halb-)sph\"are, so
    gilt $u(x)=-\sqrt{R^2-|x|^2}$ und daher
    $\phi(r)=-\sqrt{R^2-r^2}$. Wir erhalten
    \begin{align*}
      \phi=&\,-\sqrt{R^2-r^2},\umbruch\\
      \phi'=&\,\frac r{\sqrt{R^2-r^2}},\umbruch\\
      \phi''=&\,\frac1{\sqrt{R^2-r^2}}
      +\frac{r^2}{\sqrt{R^2-r^2}^3}
      =\frac{R^2}{\sqrt{R^2-r^2}^3},\umbruch\\ 
      1+(\phi')^2=&\,1+\frac{r^2}{R^2-r^2}
      =\frac{R^2}{R^2-r^2},\umbruch\\ 
      \sqrt{1+(\phi')^2}=&\,\frac R{\sqrt{R^2-r^2}},\umbruch\\ 
      \lambda_1=&\,\frac{\phi''}{\sqrt{1+(\phi')^2}^3}
      =\frac{R^2}{\sqrt{R^2-r^2}^3} \frac{\sqrt{R^2-r^2}^3}{R^3}
      =\frac1R,\umbruch\\ 
      \lambda_2=\ldots=\lambda_n=&\,
      \frac1{\sqrt{1+(\phi')^2}}\frac{\phi'}r 
      =\frac{\sqrt{R^2-r^2}}R\frac r{r\sqrt{R^2-r^2}} =\frac1R.
    \end{align*}
    Die Hauptkr\"ummungen sind dabei wie \"ublich nur bis auf
    Permuationen wohldefiniert. 
  \item \textbf{Parabel:} Es gilt $u(x)=\frac12a|x|^2$, also
    $\phi(r)=\frac12ar^2$ f\"ur ein $a\in\R$. Wir erhalten $\phi'=ar$
    und $\phi''=a$. Die Hauptkr\"ummungen sind somit (bis auf
    Permutationen) 
    \begin{align*}
      \lambda_1=&\,\frac{\phi''}{(1+(\phi')^2)^{3/2}} =\frac
      a{(1+a^2r^2)^{3/2}},\umbruch\\
      \lambda_2=\ldots=\lambda_n=&\,\frac1{\sqrt{1+(\phi')^2}}
      \frac{\phi'}r =\frac{a}{\sqrt{1+a^2r^2}}. 
    \end{align*}
    Somit gehen s\"amtliche Hauptkr\"ummungen f\"ur $r\to\infty$ gegen
    Null. \par So ein Verhalten ist typisch f\"ur \glqq ganze
    Graphen\grqq: Man kann zeigen, dass die Hauptkr\"ummungen eines
    beliebigen auf ganz $\R^n$ definierten Graphen, \dh eines ganzen
    Graphen, in $\R^{n+1}$ nicht alle gleichm\"a\ss{}ig nach unten
    durch eine positive Konstante beschr\"ankt sein k\"onnen.
  \item \textbf{Kegel:} Sei $u(x)=a|x|$ f\"ur ein $a\in\R$. Dann gilt
    $\phi(r)=ar$. Wir erhalten $\phi'=a$ sowie $\phi''=0$. Somit sind
    die Hauptkr\"ummungen f\"ur $x\neq0$ durch $0$ (einfach) und
    $\frac1{\sqrt{1+a^2}} \frac ar$ mit Vielfachheit $(n-1)$ gegeben.
  \item \textbf{Zylinder:} $\S_R^{n-k}\times\R^k$ hat die
    Hauptkr\"ummungen $\frac1R$ mit Vielfachheit $n-k$ und $0$ mit
    Vielfachheit $k$. \hfill (\"Ubung.)
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{beispiele}[Minimalfl\"achen]
  Eine Fl\"ache oder Hyperfl\"ache hei\ss{}t Minimalfl\"ache, falls
  $H=0$ gilt. Diese Definition ist historisch gewachsen. Man kann
  zeigen, dass solch eine Fl\"ache stets ein kritischer Punkt des
  Fl\"acheninhaltes ($A=\int\sqrt{\det g_{ij}} =\int\sqrt{1+|Du|^2}$
  im graphischen Fall) ist, i.\,a.{} ist sie aber kein Minimum des
  Fl\"acheninhaltes.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item \textbf{Helikoid:} Das Helikoid ist durch die
    Einbettung \[\R^2\ni(r,\theta)\overset X\longmapsto (r\cos\theta,
    r\sin\theta, \theta)\in\R^3\] gegeben. Wir erhalten
    \begin{align*}
      X_r=&\,(\cos\theta,\sin\theta,0),\umbruch\\
      X_\theta=&\,(-r\sin\theta,r\cos\theta,1),\umbruch\\
      X_{,rr}=&\,(0,0,0),\umbruch\\
      X_{,\theta\theta}=&\,(-r\cos\theta,-r\sin\theta,0),\umbruch\\
      X_{,r\theta}=&\,(-\sin\theta,\cos\theta,0),\umbruch\\
      g=&\,
      \begin{pmatrix}
        g_{rr} & g_{r\theta}\\
        g_{r\theta} & g_{\theta\theta}
      \end{pmatrix}
      =
      \begin{pmatrix}
        1 & 0\\
        0 & 1+r^2
      \end{pmatrix},\umbruch\\
      \nu=&\,\frac{(-\sin\theta,\cos\theta,-r)}
      {\sqrt{1+r^2}},\umbruch\\ 
      A=&\,
      \begin{pmatrix}
        h_{rr} & h_{r\theta}\\
        h_{r\theta} & h_{\theta\theta}
      \end{pmatrix}
      =
      \begin{pmatrix}
        0 & -\frac1{\sqrt{1+r^2}}\\
        -\frac1{\sqrt{1+r^2}} & 0
      \end{pmatrix}. 
    \end{align*}
    $g$ ist eine Diagonalmatrix. Daher ist auch $g^{-1}$
    diagonal. $A=(h_{\cdot\cdot})$ hat aber auf der Diagonalen nur
    Nullen. Daher folgt $H=\sum\limits_{i,j\in\{r,\theta\}}
    g^{ij}h_{ij}=0$. Somit ist das Helikoid eine Minimalfl\"ache.\par
    \textbf{Katenoid:} Das Katenoid ist die
    Menge \[\left\{(x,y,z)\in\R^3\colon x^2+y^2=\cosh^2 z\right\}.\]
    Wir erinnern uns an $\cosh
    z=\frac12\left(e^z+e^{-z}\right)$. Diese Menge k\"onnen wir mit
    Hilfe der Immersion \[\R^2\ni(z,\theta)\overset X\longmapsto
    (\phi(z)\cdot\sin\theta, \phi(z)\cdot\cos\theta,z)\] mit
    $\phi(z)=\cosh z$ parametrisieren. Wir rechnen zun\"achst mit
    einer allgemeinen Funktion $\phi$ und zeigen dann, dass wir f\"ur
    dieses spezielle $\phi$ eine Minimalfl\"ache erhalten. Es gilt
    \begin{align*}
      X_z=&\,(\phi'\cdot\sin\theta,\phi'\cdot\cos\theta, 1),\umbruch\\
      X_\theta=&\,(\phi\cdot\cos\theta,-\phi\cdot\sin\theta,
      0),\umbruch\\
      X_{,zz}=&\,(\phi''\cdot\sin\theta,\phi''\cdot\cos\theta,
      0),\umbruch\\
      X_{,\theta\theta}=&\,(-\phi\cdot\sin\theta,-\phi\cdot\cos\theta,
      0),\umbruch\\
      X_{,z\theta}=&\,(\phi'\cdot\cos\theta,-\phi'\cdot\sin\theta,
      0),\umbruch\\
      \nu=&\,\frac{(\sin\theta,\cos\theta,-\phi')}
      {\sqrt{1+(\phi')^2}},\umbruch\\
      g_{zz}=&\,1+(\phi')^2,\umbruch\\
      g_{z\theta}=&\,0,\umbruch\\
      g_{\theta\theta}=&\,\phi^2,\umbruch\\
      h_{zz}=&\,-\langle X_{,zz},\nu\rangle
      =-\frac{\phi''}{\sqrt{1+(\phi')^2}},\umbruch\\
      h_{\theta\theta}=&\,\frac{\phi}{\sqrt{1+(\phi')^2}},\umbruch\\
      h_{z\theta}=&\,0,\umbruch\\
      \left(g^{-1}\right)=&\,
      \begin{pmatrix}
        \frac1{1+(\phi')^2} & 0\\
        0 & \frac1{\phi^2}
      \end{pmatrix},\umbruch\\
      H=&\,g^{zz}h_{zz}+2g^{z\theta}h_{z\theta}
      +g^{\theta\theta}h_{\theta\theta} \qquad\text{(keine
        Summenkonvention)}\\ 
      =&\,\frac1{\sqrt{1+(\phi')^2}}\left(\frac{-\phi''}{1+(\phi')^2}
        +\frac\phi{\phi^2}\right). 
    \end{align*}
    Es folgt $H=0$ f\"ur $\phi(z)=\cosh z$, da
    \begin{align*}
      \phi(z)=&\,\frac12\left(e^z+e^{-z}\right),\umbruch\\
      \phi'(z)=&\,\frac12\left(e^z-e^{-z}\right),\umbruch\\
      \phi''(z)=&\,\frac12\left(e^z+e^{-z}\right)=\phi(z),\umbruch\\ 
      0\overset!=&\,4\left(-\phi''\phi+1+(\phi')^2\right)\umbruch\\
      =&\,4+\left(e^z-e^{-z}\right)^2
      -\left(e^z+e^{-z}\right)^2\umbruch\\ 
      =&\,4+e^{2z}-2+e^{-2z}-e^{2z}-2-e^{-2z}\umbruch\\
      =&\,0      
    \end{align*}
    gilt.     
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\subsection{Umlaufsatz}
Das Folgende ben\"otigt einige topologische Grundbegriffe aus dem
n\"achsten Kapitel, insbesondere Grundkenntnisse \"uber
\"Uberlagerungen.
\begin{definition}[Windungszahl]
  Sei $\alpha:[a,b]\to\S^1=\{(x,y)\in\R^2\colon x^2+y^2=1\}$. Gelte
  $\alpha(a)=(\cos\theta_0,\sin\theta_0)$. Es gibt genau eine stetige
  Funktion $\theta\colon[a,b]\to\R$ mit $\alpha(t)=(\cos\theta(t),
  \sin\theta(t))$ und $\theta(a)=\theta_0$. ($\theta$ ist die Liftung
  von $\alpha$ bez\"uglich der \"Uberlagerung $p:\R\to\S^1$,
  $p(t)=(\cos t,\sin t)$.) Ist $\alpha$ eine geschlossene Kurve, \dh
  gilt $\alpha(a)=\alpha(b)$, so folgt aus
  $\cos\theta(a)=\cos\theta(b)$ und $\sin\theta(a)=\sin\theta(b)$ dass
  $\theta(b)-\theta(z) =2\pi m$ mit $m\in\Z$ gilt. $m$ hei\ss{}t
  Windungszahl der geschlossenen Kurve $\alpha\colon[a,b]\to\S^1$.\par
  F\"ur eine stetige geschlossene Kurve
  $\alpha\colon[a,b]\to\R^2\setminus\{0\}$ ist die Windungszahl von
  $\alpha$ als die Windungszahl von $|\alpha|^{-1}\alpha
  \colon[a,b]\to\S^1$ definiert.
\end{definition}

\begin{remark}
  Die Windungszahl ist wohldefiniert, denn aus \[\alpha(t)
  =(\cos\theta(t),\sin\theta(t))
  =\left(\cos\tilde\theta(t),\sin\tilde\theta(t)\right)\] folgt
  $\theta(t)-\tilde\theta(t)=2\pi m(t)$ mit $m(t)\in\Z$. Da $m$ stetig
  ist, ist $m$ konstant. Insbesondere ist also $\theta(a)-\theta(b)
  =\tilde\theta(a)-\tilde\theta(b)$ und damit wohldefiniert. \par
  Die Windungszahl ist unter orientierungserhaltenden
  Parametertransformationen invariant.
\end{remark}

\begin{definition}
  Sei $\alpha\colon[a,b]\to\R^2$ eine regul\"are $C^1$-geschlossene
  Kurve. Dann ist die Umlaufzahl von $\alpha$ als Windungszahl von
  $T:=\alpha'$ definiert.
\end{definition}

\begin{remark}
  Ist $\alpha$ eine $C^2$ geschlossene Kurve von der Klasse $C^2$ und
  nach der Bogenl\"ange parametrisiert, so gilt
  \begin{align*}
    T(s)=&\,\alpha'(s)=(\cos\theta(s),\sin\theta(s)),\quad\theta\in
    C^1,\\
    \alpha''(s)=&\, \theta'(s)(-\sin\theta(s),\cos\theta(s))
    =\kappa(s)\cdot N(s),\\
    \kappa(s)=&\,\theta'(s).
  \end{align*}
  F\"ur die Umlaufzahl von $\alpha$ gilt
  \[\frac1{2\pi}(\theta(b)-\theta(a)) =\frac1{2\pi}\int\limits_a^b
  \theta'(s)\,ds =\frac1{2\pi}\int\limits_a^b\kappa(s)\,ds\in\Z.\] 
\end{remark}

\begin{theorem}[Umlaufsatz]
  F\"ur eine regul\"are $C^1$-geschlossene $C^1$-Jordankurve hat die
  Umlaufzahl den Wert $\pm1$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Ohne Einschr\"ankung sei $\alpha$ nach der Bogenl\"ange
  parametrisiert. Sei $\alpha\colon\R\to\R^2$ $l$-periodisch und von
  der Klasse $C^1$. Sei weiterhin ohne Einschr\"ankung $\alpha^2(0)$
  minimal. Somit gilt $(\alpha^2)'(0)=0$ und $\alpha'(0)=(\pm1,0)$, wir
  nehmen ohne Einschr\"ankung auch $\alpha'(0)=(1,0)$ an. Setze
  $\triangle:=\{(s_1,s_2)\in\R^2\colon 0\le s_1\le s_2\le l\}$ und
  definiere $e:\triangle\to\S^1$ durch
  \[e(s_1,s_2):=
  \begin{cases}
    \frac{\alpha(s_2)-\alpha(s_1)}{|\alpha(s_2)-\alpha(s_1)|},
    &\text{falls }s_1<s_2\text{ und }(s_1,s_2)\neq(0,l),\\
    \alpha'(s) &\text{falls }s_1=s_2=s,\\
    -\alpha'(0) &\text{falls }(s_1,s_2)=(0,l).
  \end{cases}
  \]
  Da $\alpha$ eine Jordankurve ist, ist $e$ wohldefiniert. $e$ ist
  stetig, da
  \[\frac{\alpha(s_2)-\alpha(s_1)}{|\alpha(s_2)-\alpha(s_1)|}
  =\frac{\frac{\alpha(s_2)-\alpha(s_1)}{s_2-s_1}}
  {\frac{|\alpha(s_2)-\alpha(s_1)|}{s_2-s_1}}
  \to\frac{\alpha'(s)}{|\alpha'(s)|}\] f\"ur $s_1,s_2\to s$,
  $s_2>s_1$. Da $\alpha'(0)=(1,0)$ gilt, existiert eine stetige
  Liftung $\theta\colon\triangle\to\R$ mit $\theta(0,0)=0$, so dass
  $\theta$ der Abbildung $e$ unter der \"Uberlagerung
  $p\colon\R\to\S^1$, $x\mapsto(\cos x,\sin x)$ \"uberlagert ist:
  \[\xymatrix{&\R\ar[d]^-p\\ \triangle\ar[ur]^-\theta \ar[r]_-e
    &\S^1.}\] 
  Wegen $\alpha'(s)=e(s,s) =(\cos\theta(s,s),\sin\theta(s,s))$
  erf\"ullt die Umlaufzahl $k$ von $\alpha$
  \[k=\tfrac1{2\pi}(\theta(l,l)-\theta(0,0))
  =\tfrac1{2\pi}((\theta(l,l)-\theta(0,l))
  +(\theta(0,l)-\theta(0,0))).\] Es gilt
  \[e(t,l)=
  \begin{cases}
    -\alpha'(0)=(-1,0) &\text{f\"ur }t=0,\\
    \alpha'(0)=(1,0) &\text{f\"ur }t=l,\\
    \frac{\alpha(l)-\alpha(t)}{|\alpha(l)-\alpha(t)|} &\text{f\"ur
    }0<t<l. 
  \end{cases}\]
  Da $\alpha^2(0)=\alpha^2(l)$ minimal ist, folgt $e^2(t,l)\le0$ f\"ur
  $0\le t\le l$. $e^2(\cdot,l)$ nimmt also nur Werte auf dem unteren
  Halbkreis an. Dort ist $p$ invertierbar. Damit ist
  $\theta(l,l)-\theta(0,l)=2\pi-\pi=\pi$. \par Ebenso ist
  $e^2(0,t)\ge0$ f\"ur $0\le t\le l$ und daher gilt
  $\theta(0,l)-\theta(0,0)=\pi-0=\pi$. Daher hat $\alpha$ die
  Umlaufzahl $1$. 
\end{proof}

\Section{Topologische Grundbegriffe}
\begin{definition}[Topologie]
  Sei $X\neq\emptyset$ eine Menge. Eine Topologie auf $X$ ist eine
  Kollektion $\mathcal O$ von Teilmengen von $X$, so dass
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\emptyset\in\mathcal O$, $X\in\mathcal O$,
  \item $A_i\in\mathcal O$, $i\in I$, impliziert $\bigcup\limits_{i\in
      I} A_i\in\mathcal O$,
  \item $A_1,\,A_2\in\mathcal O$ impliziert $A_1\cap A_2\in\mathcal
    O$. 
  \end{enumerate}
  Die Mengen $A\in\mathcal O$ hei\ss{}en offene Mengen. $B\subset X$
  hei\ss{}t abgeschlossen, wenn $X\setminus B$ offen ist.\par Eine
  Topologie $\mathcal O_1$ hei\ss{}t feiner als eine Topologie
  $\mathcal O_2$ (und $\mathcal O_2$ hei\ss{}t gr\"ober als $\mathcal
  O_1$) falls $\mathcal O_2\subset\mathcal O_1$ gilt. \par
  Sei $Y\subset X$ und $\mathcal O$ eine Topologie auf $X$. Dann
  hei\ss{}t $\mathcal O_Y:=\{A\cap Y:A\in\mathcal O\}$ von $\mathcal
  O$ auf $Y$ induzierte Topologie.\par Eine Menge $\mathcal B\subset
  \mathcal O$ hei\ss{}t Basis der Topologie $\mathcal O$, falls jedes
  $A\subset\mathcal O$ Vereinigung von Mengen in $\mathcal B$
  ist. \par Eine Menge $\mathcal S\subset\mathcal O$ hei\ss{}t
  Subbasis einer Topologie $\mathcal O$, wenn die Kollektion aller
  endlichen Schnitte von Mengen in $\mathcal S$ eine Basis der
  Topologie bildet. 
\end{definition}

\begin{beispiel}
  Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Dann sind die Kugeln
  $B_\epsilon(x)$, $x\in X$, $\epsilon>0$, Basis der metrischen
  Topologie. Die metrische Topologie des $\R^n$ besitzt eine
  abz\"ahlbare Basis.
\end{beispiel}

\begin{definition}[Umgebung, Stetigkeit]
  Sei $(X,\mathcal O)$ ein topologischer Raum. Sei $x\in X$, $U\subset
  X$ mit $x\in U$. Dann hei\ss{}t $U$ Umgebung von $x$, wenn es
  $V\in\mathcal O$ mit $x\in V\subset U$ gibt. Die Menge aller
  Umgebungen von $x$ bezeichnen wir mit $\mathcal U(x)$. \par Seien
  $(X,\mathcal O_X)$ und $(Y,\mathcal O_Y)$ topologische R\"aume. Eine
  Abbildung $f:X\to Y$ hei\ss{}t in $x\in X$ stetig, wenn es zu jedem
  $V\in\mathcal U_Y(f(x))$ eine Umgebung $U\in\mathcal U(x)$ mit
  $f(U)\subset V$ gibt. $f$ hei\ss{}t stetig, wenn $f$ in allen
  Punkten $x\in X$ stetig ist. $f$ hei\ss{}t Hom\"oomorphismus, falls
  $f$ bijektiv ist und $f$ und $f^{-1}$ stetig sind. 
\end{definition}

\begin{definition}[Initiale Topologie, Produkttopologie]
  Sei $X$ eine Menge und seien $(X_i,\mathcal O_i)$, $i\in I$,
  topologische R\"aume. Seien $f_i:X\to X_i$ Abbildungen. Dann
  existiert eine gr\"obste Topologie auf $X$, die Initialtopologie, so
  dass alle Abbildungen $f_i:X\to X_i$ stetig werden. $\mathcal
  S:=\{f_i^{-1}(A_i):A_i\in\mathcal O_i, i\in I\}$ ist eine Subbasis
  dieser Topologie.\par \textbf{Spezialfall Produkttopologie:} Ist
  $X:=X_1\times X_2\times\ldots$ und $f_i$ die Projektion auf den
  Faktor $i$, so ist $\mathcal S:=\{X_1\times\ldots\times
  X_{i-1}\times A_i\times X_{i+1}\times\ldots:A_i\subset X_i\text{
    offen},\,i\in I\}$. Ist $X=X_1\times\ldots\times X_n$, so ist
  $\{A_1\times\ldots \times A_n:A_i\in\mathcal O_i\}$ eine Basis.
\end{definition}

\begin{definition}[Finale Topologie, Quotiententopologie]
  Sei $Y$ eine Menge und seien $(X_i,\mathcal O_i)$, $i\in I$,
  topologische R\"aume. Seien $f_i:X_i\to Y$ Abbildungen. Dann
  existiert eine feinste Topologie auf $Y$, die finale Topologie, so
  dass alle $f_i$ stetig werden, n\"amlich $\mathcal O:=\{A\subset
  Y:f_i^{-1}(A)\in\mathcal O_i \text{ f\"ur alle }i\in I\}$. \par
  \textbf{Spezialfall Quotientenraum:} Sei $(X,\mathcal O)$ ein
  topologischer Raum und $\sim$ eine \"Aquivalenzrelation auf $X$. Sei
  $\bar x$ die \"Aquivalenzklasse von $x$ und $\bar X:=\{\bar x:x\in
  X\}$. Definiere die Projektion $p:X\to\bar X$ durch $x\mapsto\bar
  x$. Die zugeh\"orige finale Topologie hei\ss{}t
  Quotiententopologie. $U\subset\bar X$ ist genau dann offen, wenn
  $p^{-1}(U)\subset X$ offen ist. 
\end{definition}

\begin{beispiele}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $X=\R$, $x\sim y\Longleftrightarrow x-y\in\Z$, $\bar
    X=\R/\Z$. Verm\"oge $h\colon\R/\Z\to\S^1$ mit $h(\bar x)=e^{2\pi
      ix}$ sehen wir, dass $\bar X$ hom\"oomorph zu $\S^1$ ist.
  \item $\S^n:=\{x\in\R^{n+1}:|x|=1\}$, $x\sim y\Longleftrightarrow
    x=\pm y$. $\mathbb P^n:=\S^n/\sim$ ist der $n$-dimensionale reelle
    projektive Raum. 
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{definition}[Kompaktheit]
  Ein topologischer Raum $(X,\mathcal O)$ hei\ss{}t
  \"uberdeckungskompakt, wenn jede \"Uberdeckung durch offene Mengen
  eine endliche Teil\-\"uber\-deckung besitzt. Ein
  \"uberdeckungskompakter Raum hei\ss{}t kompakt, falls er ein
  $T_2$-Raum (= Hausdorffraum) ist, d.\,h.{} falls je zwei Punkte
  $x\neq y\in X$ disjunkte Umgebungen besitzen.
\end{definition}
Ist $(X,d)$ ein metrischer Raum, so sind Kompaktheit,
\"Uberdeckungskompaktheit und Folgenkompaktheit \"aquivalent.

\begin{theorem}[Tychonov]
  Das Produkt kompakter topologischer R\"aume ist kompakt. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Topologievorlesung.
\end{proof}

\begin{definition}[\"Uberlagerung]
  Seien $X,\,Y$ topologische R\"aume. Dann hei\ss{}t $p:X\to Y$
  \"Uberlagerung, wenn 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $p$ stetig und surjektiv ist,
  \item jedes $y\in Y$ eine offene Umgebung $V$ besitzt, so dass
    $p^{-1}(V)=\bigcup_i U_i$ mit paarweise disjunkten offenen
    $U_i\subset X$ ist und $p|_{U_i}:U_i\to V$ f\"ur alle $i\in I$
    Hom\"oomorphismen sind. 
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $X=\R$, $Y=\S^1$, $p(t)=e^{it}$,
  \item $p:\S^n\to\mathbb P^n$, $p(x)=\bar x$. \glqq 2-bl\"attrige
    \"Uberlagerung\grqq. 
  \end{enumerate}
\end{beispiel}

\begin{theorem}
  Sei $p:X\to B$ eine \"Uberlagerung. Sei $Z$ ein topologischer Raum
  und $f:Z\to B$ eine stetige Abbildung. Ist $Z$ einfach
  zusammenh\"angend (also z.\,B.{} $Z=[0,1]$ oder $Z=[0,1]^2$), so
  existiert eine stetige Liftung $\tilde f:Z\to X$ mit $f=p\circ\tilde
  f$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Topologievorlesung. 
\end{proof}

\Section{Mannigfaltigkeiten} 
\begin{definition}[Mannigfaltigkeit]\label{mf def}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ein topologischer Raum $M$ hei\ss{}t lokal euklidisch von der
    Dimension $m$, falls $M$ mit offenen Mengen \"uberdeckt werden
    kann, von denen jede zu einer offenen Teilmenge von $\R^m$
    hom\"oomorph ist.
  \item Ein Paar $(U,\phi)$, wobei $U\subset M$ offen ist und
    $\phi:U\to\phi(U)\subset\R^m$ ein Hom\"oomorphismus (wie oben)
    ist, hei\ss{}t Karte von $M$. Eine Kollektion $\mathcal A$ von
    Karten hei\ss{}t Atlas von $M$, falls
    $M\subset\bigcup\limits_{(U,\phi)\in\mathcal A}U$ gilt.
  \item Zwei Karten $(U,\phi)$ und $(V,\psi)$ hei\ss{}en
    $C^k$-vertr\"aglich, $k\ge1$, wenn $\psi\circ\phi^{-1}:\phi(U\cap
    V)\to\psi(U\cap V)$ ein $C^k$-Diffeomorphismus ist. Ein Atlas
    hei\ss{}t von der Klasse $C^k$, falls je zwei seiner Karten
    $C^k$-vertr\"aglich sind.
  \item Ist $\mathcal A$ ein $C^k$-Atlas, so gibt es genau einen
    maximalen $C^k$-Atlas $\mathcal A_0$ mit $\mathcal
    A\subset\mathcal A_0$; er besteht aus allen Karten, welche mit den
    Karten von $\mathcal A$ auch $C^k$-vertr\"aglich sind.
  \item Eine differenzierbare ($C^k$-)""Struktur auf $M$ ist ein
    maximaler $C^k$-Atlas auf $M$.
  \item Ein lokal-euklidischer Hausdorff-Raum mit einer
    differenzierbaren Struktur hei\ss{}t differenzierbare
    Mannigfaltigkeit.
 \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Beispiele sind $\R^n$, $\S^n$. 
  \item Offene Teilmengen differenzierbarer Mannigfaltigkeiten sind
    differenzierbare Mannigfaltigkeiten.
  \item Teilweise fordert man zus\"atzlich, dass die Topologie von $M$
    eine abz\"ahlbare Basis besitzt.
  \item In der algebraischen Topologie lernt man, dass offene
    nichtleere Teilmengen von $\R^m$ und $\R^n$ nur dann hom\"oomorph
    zueinander sein k\"onnen, wenn $m=n$ gilt. Somit ist die Dimension
    eines nichtleeren lokal euklidischen Raumes wohldefiniert.
  \item Wir schreiben h\"aufig $M^m$ f\"ur eine $m$-dimensionale
    Mannigfaltigkeit $M$.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{beispiel}[Untermannigfaltigkeiten des $\R^{m+n}$]
  Eine Teilmenge $M\subset\R^{m+n}$ hei\ss{}t $m$-dimensionale
  $C^k$-Untermannigfaltigkeit von $\R^{m+n}$, wenn es zu jedem $x\in
  M$ eine offene Umgebung $U\subset\R^{m+n}$ und einen
  $C^k$-Diffeomorphismus $\phi:U\to\phi(U)\subset\R^{m+n}$
  mit \[\phi(U\cap M)=\phi(U)\cap\left(\R^m\times\{0\}\right)\]
  gibt. Ein solches $M$ besitzt einen $C^k$-Atlas,
  n\"amlich \[\mathcal A:=\{(U\cap M,\phi|_{U\cap M})\colon
  \text{wobei }(U,\phi)\text{ wie oben}\}.\]\par $M$ ist lokal
  euklidisch von der Dimension $m$. Es gilt \[(\psi|_{V\cap
    M})\circ(\phi|_{U\cap M})^{-1}
  =\psi\circ\phi^{-1}|_{(\R^m\times\{0\})\cap\phi(U\cap V)}\in C^k.\]
\end{beispiel}

\begin{remark}
  Der Einbettungssatz von Whitney (vgl.{} z.\,B.{} eine Vorlesung
  Differentialtopologie) besagt, dass jede $m$-dimensionale
  Mannigfaltigkeit (bis auf einen Diffeomorphismus) eine
  Untermannigfaltigkeit des $\R^{m+n}$ ist, falls $n\gg1$ gen\"ugend
  gro\ss{} ist.
\end{remark}

In der folgenden Definition verlangen wir nicht, dass $f$ stetig
ist. Stattdessen fordern wir die Existenz gewisser Umgebungen. \par
Die Forderung, dass $f(U)$ offen ist, ist n\"otig, da wir sonst die
Dimension im Zielraum erh\"ohen k\"onnten. 
\begin{definition}[Differenzierbare Abbildungen]\neueZeilealt
  Seien $M,\,N$ $C^k$-Mannigfaltigkeiten. Eine Abbildung $f:M\to N$
  hei\ss{}t von der Klasse $C^k$, falls es zu jedem $x\in M$ Karten
  $(U,\phi)$ von $M$ und $(V,\psi)$ von $N$ mit $x\in U$, $f(U)\subset
  V$ gibt und $\psi\circ f\circ\phi^{-1}\in C^k$ ist. \par Ist $f$
  bijektiv und $f^{-1}$ ebenfalls von der Klasse $C^k$, $k\ge1$, so
  hei\ss{}t $f$ Diffeomorphismus von der Klasse $C^k$. \par Gibt es
  f\"ur jedes $x\in M$ eine Umgebung $U$, so dass $f(U)$ offen und
  $f|_U:U\to f(U)$ ein Diffeomorphismus ist, so hei\ss{}t $f$ ein
  lokaler Diffeomorphismus.
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $f$ von der Klasse $C^k$, so ist $f$ stetig: $\psi\circ
    f\circ\phi^{-1}$ ist stetig, also auch $f=\psi^{-1}\circ(\psi\circ
    f\circ \phi^{-1})\circ\phi$. 
  \item Ist $f$ von der Klasse $C^k$, so ist $\psi\circ f\circ
    \phi^{-1}\in C^k$ f\"ur alle Karten $(U,\phi)$, $(V,\psi)$ der
    betreffenden differenzierbaren Strukturen. (Falls $U$ klein genug
    ist, so dass die Komposition wohldefiniert ist.)
    \begin{proof}[Beweis]
      Sei $x\in U$, $f(x)\in V$ und $z:=\phi(x)$. Nach Definition
      existieren Karten $(U_0,\phi_0)$ und $(V_0,\psi_0)$ mit $x\in
      U_0$, $f(U_0)\subset V_0$, so dass $\psi_0\circ f\circ
      \phi_0^{-1}\in C^k$ ist. Wir w\"ahlen eine offene Umgebung $W$ von
      $z$ mit $\phi^{-1}(W)\subset U_0\cap U$ und
      $f(\phi^{-1}(W))\subset V\cap V_0$. In $W$ gilt dann \[\psi\circ
      f\circ\phi^{-1} =\underbrace{\left(\psi\circ\psi_0^{-1}
        \right)}_{\in C^k} \circ \underbrace{\left(\psi_0\circ
          f\circ\phi_0^{-1}\right)}_{\in C^k} \circ
      \underbrace{\left(\phi_0\circ\phi^{-1}\right)}_{\in C^k}\in
      C^k.\]
      Dies beendet den Beweis, da $\psi\circ f\circ\phi^{-1}$ genau
      dann in $C^k$ ist, wenn dies lokal um jeden Punkt herum
      gilt. Dies haben wir aber gerade nachgewiesen. 
    \end{proof}
  \item Eine Karte ist eine differenzierbare Abbildung, da
    $\id\circ\phi\circ\phi^{-1}$ dies ist.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{beispiel}[Kartesisches Produkt]
  Seien $(M,\mathcal A)$, $(N,\mathcal B)$ zwei
  $C^k$-Mannig"-fal"-tig"-kei"-ten. Dann ist ein $C^k$-Atlas auf
  $M\times N$ durch \[\{(U\times V,\phi\times\psi)\colon
  (U,\phi)\in\mathcal A, (V,\psi)\in\mathcal B\}\] mit
  $(\phi\times\psi)((x,y))=(\phi(x),\psi(y))\in\R^m\times\R^n$
  gegeben.
\end{beispiel}

\begin{definition}[Zur\"uckziehen einer differenzierbaren Struktur]
  Sei $M$ ein topologischer Raum, $N$ eine differenzierbare
  Mannigfaltigkeit mit Atlas $\mathcal A$ und $h:M\to N$ ein
  Hom\"oomorphismus. Definiere \[h^*\mathcal
  A:=\left\{\left(h^{-1}(U),\phi\circ h\right)\colon(U,\phi)
    \in\mathcal A\right\}\] 
\end{definition}

\begin{remark}
  Eine zur\"uckgezogene Struktur $h^*\mathcal A$ ist ein $C^k$-Atlas
  auf $M$ und $h:(M,h^*\mathcal A)\to(N,\mathcal A)$ ist ein
  Diffeomorphismus. \par
  Sei $M=N=\R$ und $h(x)=x^3$. Sei $\mathcal A$ die Standardstruktur
  auf $\R$ mit der Identit\"at als Karte. Dann ist $(\R,h^*\mathcal A)
  \neq (\R,\mathcal A)$, da $h$ kein Diffeomorphismus von
  $(\R,\mathcal A)$ ist. 
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  F\"ur die Kartenwechselabbildungen gilt \[(\psi\circ h)\circ
  (\phi\circ h)^{-1} =\psi\circ\phi^{-1}\in C^k.\] Somit ist
  $h^*\mathcal A$ ein $C^k$-Atlas.\par W\"ahle die Karten $\phi$ und
  $\phi\circ h$. Dann gelten \[\phi\circ h\circ (\phi\circ h)^{-1}
  =\id\in C^k\] und analog $(\phi\circ h)\circ
  h^{-1}\circ\phi^{-1}=\id\in C^k$ und somit ist $h$ ein
  Diffeomorphismus.
\end{proof}

Ein Atlas legt im folgenden Sinne bereits die Topologie fest: 
\begin{lemma}\label{atlas liefert top lem}
  Sei $\mathcal A=\{(U,\phi)\}$ ein Atlas auf einer Menge $X$ (bis auf
  die Stetigkeitsforderung an $\phi$), \dh gelte
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $U\subset X$, $\phi\colon U\to\phi(U)\subset\R^n$ ist bijektiv
    und $\phi(U)\subset\R^n$ ist offen.
  \item $X=\bigcup\limits_{(U,\phi)\in\mathcal A}U$ und f\"ur
    $(U,\phi),\,(V,\psi)\in\mathcal A$ ist $\psi\circ\phi^{-1}\colon
    \phi(U\cap V)\to\psi(U\cap V)$ stets ein Hom\"oomorphismus. 
  \end{enumerate}
  Dann gibt es genau eine Topologie auf $X$, so dass $X$ lokal
  euklidisch mit $\mathcal A$ als Atlas wird. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \textbf{Eindeutigkeit:} Ist $X$ lokal euklidisch mit Atlas $\mathcal
  A$, so sind die Abbildungen $\phi\colon U\to\phi(U)$ f\"ur
  $(U,\phi)\in\mathcal A$ Hom\"oomorphismen. Sei $V\subset X$
  offen. Dann gilt \[V=\bigcup\limits_{(U,\phi)\in\mathcal A}U\cap V
  =\bigcup\phi^{-1}(\underbrace{\phi(U\cap V)}_{\text{offen im
    }\R^n}).\] Zun\"achst ist $U\cap V$ relativ offen in $U$. Dann ist
  $\phi(U\cap V)$ relativ offen in $\phi(U)$ und daher auch in
  $\R^n$. \par
  Definiere \[\mathcal\B:=\{\phi^{-1}(W)\colon(U,\phi)\in\mathcal
  A,\,W\subset\phi(U)\text{ offen}\}.\] Mengen der Form $\phi^{-1}(W)$
  sind offen in $U$ und, da $\mathcal A$ ein Atlas auf $X$ ist, auch
  in $X$.  Die Menge ist $\mathcal B$ in einer Basis von $X$
  enthalten. Weil sich aber aufgrund der obigen Gleichung jede offene
  Menge in $X$ als eine Vereinigung von Mengen in $\mathcal B$
  darstellen l\"asst, ist $B$ eine Basis. Daher ist die Topologie
  eindeutig bestimmt. \par \textbf{Existenz:} Wir behaupten, dass
  $\mathcal B$ Basis einer Topologie ist.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $X=\bigcup\limits_{B\in\mathcal B}B$, da f\"ur eine Karte
    $(U,\phi)$ nach Definition $\phi^{-1}(\phi(U))=U\in\mathcal
    B$ ist und da nach Voraussetzung $X=\bigcup \limits_{(U,\phi)
      \in\mathcal A}U$ gilt.
  \item Seien $W_i\subset\phi_i(U_i)$ offen, $i=1,2$, und sei $x\in
    \phi^{-1}_1(W_1)\cap\phi^{-1}_2(W_2)$. $\mathcal B$ ist eine Basis
    der Topologie, wenn wir eine Menge $A\in\mathcal B$ mit $x\in
    A\subset\phi^{-1}_1(W_1)\cap\phi^{-1}_2(W_2)$ finden (\cite[Satz
    2.7]{OSTopo}). Setze $z_i:=\phi_i(x)$. Dann gelten
    $z_2=\phi_2\circ\phi_1^{-1}(z_1)$ und $z_i\in W_i$. Da
    $\phi_2\circ\phi_1^{-1}$ stetig ist, gibt es eine offene Menge
    $W\subset\R^n$, so dass $z_1\in W\subset W_1$ und
    $\phi_2\circ\phi_1^{-1}(W)\subset W_2$. Es folgt
    $\phi_1^{-1}(W)\subset\phi_2^{-1}(W_2)$. Daher ist \[x\in
    \underbrace{\phi_1^{-1} (W)}_{\in\mathcal B} \subset
    \phi_1^{-1}(W_1)\cap \phi_2^{-1}(W_2)\] und somit ist $\mathcal B$
    die Basis einer Topologie.
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{definition}[Untermannigfaltigkeit]
  Sei $N$ eine $n$-dimensionale differenzierbare
  $C^k$-Mannigfaltigkeit. Eine Teilmenge $M\subset N$ hei\ss{}t
  $C^k$-Untermannigfaltigkeit von $N$, wenn es zu jedem $x\in M$ eine
  Karte $(U,\phi)$ von $N$ mit $x\in U$ und \[\phi(U\cap
  M)=\phi(U)\cap\left(\R^m\times\{0\}\right),\] $m\le n$, gibt. Die
  Kollektion aller $(U\cap M,\phi|_{U\cap M})$ ist dann ein
  $C^k$-Atlas von $M$. 
\end{definition}

\Section{Tangentialb\"undel}
Wir haben die folgende anschauliche Definition. 
\begin{definition}
  Sei $M\subset\R^n$ eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit. Dann
  wird der Tangentialraum von $M$ in $x$ von allen Vektoren
  $\alpha'(0)$ aufgespannt, wobei $\alpha:(-\epsilon,\epsilon)\to
  M\subset\R^n$ eine differenzierbare Kurve mit $\alpha(0)=x$ ist.
\end{definition}

\begin{remark}
  Diesen Vektorraum k\"onnen wir auch
  als \[T_xM:=(d\phi(x))^{-1}\left(\R^m\times\{0\}\right)\] schreiben,
  wobei $\phi$ eine Karte des $\R^n$ ist, die zeigt, dass $M^m$ eine
  Untermannigfaltigkeit ist.
\end{remark}

Wir wollen diese Definition auf abstrakte (= nicht immersierte)
Mannigfaltigkeiten $M$ verallgemeinern: Sei $x\in M$. Betrachte alle
differenzierbaren Kurven $\alpha:(-\epsilon,\epsilon)\to M$ mit
$\alpha(0)=x$. Zwei solche Kurven $\alpha$ und $\beta$ hei\ss{}en
\"aquivalent, wenn es eine Karte $(U,\phi)$ um $x$ mit
\[(\phi\circ\alpha)'(0)=(\phi\circ\beta)'(0)\] gibt. Gilt diese
Relation f\"ur eine Karte $(U,\phi)$, so auch f\"ur jede andere Karte
$(V,\psi)$ um $x$:
\begin{align*}
  (\psi\circ\alpha)'(0) =&\,\left(\left(\psi\circ\phi^{-1}\right)
    \circ\phi\circ\alpha\right)'(0) =d \left(\psi\circ\phi^{-1}\right)
  (\phi(\alpha(0))) \langle(\phi\circ\alpha)'(0)\rangle\\
  =&\,d\left(\psi\circ\phi^{-1}\right)(\phi(\alpha(0)))
  \langle(\phi\circ\beta)'(0)\rangle =(\psi\circ\beta)'(0).
\end{align*}
Hieraus folgt auch die Transitivi\"at dieser Relation. 
\begin{definition}
  Ein Tangentialvektor im Punkt $x$ ist eine \"Aquivalenzklasse
  $[\alpha]$ von differenzierbaren Kurven
  $\alpha:(-\epsilon,\epsilon)\to M$ mit $\alpha(0)=x$. \par Die Menge
  dieser \"Aquivalenzklassen hei\ss{}t Tangentialraum im Punkt $x$:
  $T_xM$.
\end{definition}

\begin{lemma}\label{TxM ist VR}
  Ist $(U,\phi)$ eine Karte, so ist f\"ur alle $x\in U$ durch
  $\phi_{*,x}([\alpha]):=(\phi\circ\alpha)'(0)$ eine bijektive
  Abbildung $\phi_{*,x}:T_xM\to\R^m$, $m=\dim M$, definiert. \par
  F\"ur zwei Karten $(U,\phi)$, $(V,\psi)$ und $x\in U\cap V$ gilt
  \[\psi_{*,x}\circ\phi_{*,x}^{-1}=d\left(\psi\circ\phi^{-1}\right)
  (\phi(x))\in GL\left(\R^m\right).\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  $\phi_{*,x}([\alpha])$ ist wohldefiniert, denn 
  $\alpha\sim\beta$ ist \"aquivalent zu $(\phi\circ\alpha)'(0)
  =(\phi\circ\beta)'(0)$. $\phi_{*,x}$ ist injektiv, denn
  $\phi_{*,x}([\alpha]) =\phi_{*,x}([\beta])$ bedeutet
  $\alpha\sim\beta$. \par
  $\phi_{*,x}$ ist surjektiv: Sei $v\in\R^m$. Definiere
  $\alpha(t):=\phi^{-1} (\phi(x)+tv)$. Dann ist \[\phi_{*,x}([\alpha])
  =(\phi\circ\alpha)'(0) =\left.\dt(\phi(x)+tv)\right|_{t=0}=v.\] Wir
  haben bereits gesehen, dass
  \begin{align*}
    (\psi\circ\alpha)'(0)=&\,d\left(\psi\circ\phi^{-1}\right)
    (\phi(\alpha(0))) \langle(\phi\circ\alpha)'(0)\rangle
    \intertext{gilt. Nach Definition folgt also}
    \psi_{*,x}([\alpha]) =&\,d\left(\psi\circ\phi^{-1}\right)
    (\phi(\alpha(0))) \left\langle\phi_{*,x}([\alpha])\right\rangle
  \end{align*}
  wie behauptet. 
\end{proof}

\begin{corollary}
  $T_xM$ besitzt genau eine Vektorraumstruktur, so dass alle
  $\phi_{*,x}$ Vektorraumisomorphismen werden: Setze f\"ur $v,\,w\in
  T_xM$ und $\lambda\in\R$ \[v+\lambda w:=
  \phi_{*,x}^{-1}(\phi_{*,x}(v)+\lambda \phi_{*,x}(w)).\] Nach Lemma
  \ref{TxM ist VR} ist diese Definition unabh\"angig von der Wahl der
  Karte. Bringe $\phi_{*,x}$ auf die andere Seite und benutze die
  Linearit\"at der Komposition $\phi_{*,x}\circ\psi_{*,x}^{-1}$:
  \begin{align*} \phi_{*,x}(v+_\phi\lambda w) =&\,\phi_{*,x}(v)
    +\lambda\phi_{*,x}(w)\umbruch\\
    =&\,\phi_{*,x}\circ\psi_{*,x}^{-1}\circ\psi_{*,x}(v)
    +\lambda\phi_{*,x}\circ\psi_{*,x}^{-1}\circ\psi_{*,x}(w)
    \umbruch\\
    =&\,\phi_{*,x}\circ\psi_{*,x}^{-1}(\psi_{*,x}(v)
    +\lambda\psi_{*,x}(w))\umbruch\\
    =&\,\phi_{*,x}(v+_\psi\lambda w).
  \end{align*}
\end{corollary}

\begin{definition}
  Die (disjunkte) Vereinigung \[TM:=\bigcup\limits_{p\in M}\{p\}\times
  T_pM\] hei\ss{}t Tangentialb\"undel von $M$. F\"ur eine offene
  Teilmenge $U\subset M$ setze $TU:=\bigcup\limits_{p\in U}\{p\}\times
  T_pM$.\par Ist $(U,\phi)$ eine Karte von $M$, so hei\ss{}t die
  Abbildung
  \begin{align*}
    \phi_*\colon TU\to&\,\phi(U)\times\R^m,\\
    (x,v)\mapsto&\,(\phi(x)),\phi_{*,x}(v))
  \end{align*}
  die von $(U,\phi)$ induzierte Karte von $TM$. 
\end{definition}

\begin{lemma}
  Ist $M$ von der Klasse $C^k$, so bilden die von einem Atlas
  induzierten Karten einen $C^{k-1}$-Atlas der Menge $TM$ im Sinne von
  Lemma \ref{atlas liefert top lem}. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\phi_*$ ist bijektiv: Aus $\phi_*((x,v))=\phi_*((y,w))$ folgt
    $\phi(x)=\phi(y)$ und $\phi_{*,x}(v)=\phi_{*,y}(w)$ und somit $x=y$
    und, nach Lemma \ref{TxM ist VR}, $v=w$. Die Surjektivit\"at folgt
    ebenfalls nach Lemma \ref{TxM ist VR}.
  \item Aus $M=\bigcup\limits_{(U,\phi)\in\mathcal A}U$ folgt
    $TM=\bigcup\limits_{(U,\phi)\in\mathcal A}TU$.
  \item Zur Vertr\"aglichkeit: Seien $(U,\phi)$ und $(V,\psi)$ Karten
    von $M$ mit $z\in\phi(U\cap V)$ und $z=\phi(x)$, $v\in\R^m$. Dann
    gilt nach Lemma \ref{TxM ist VR}
    \begin{align*}
      \psi_*\circ\phi^{-1}_*((z,v)) =&\,\psi_*\left(\left(x,
          \phi_{*,x}^{-1}(v) \right)\right) =\left(\psi(x),
        \psi_{*,x}\left(\phi^{-1}_{*,x}(v)\right)\right) \\
      =&\,\left(\psi\left(\phi^{-1}(z)\right),
        d\left(\psi\circ\phi^{-1}\right)(z)\langle v\rangle \right).
    \end{align*}
    $\psi_*\circ\phi_*^{-1}$ ist, als Funktion von $(z,v)$, $(k-1)$-mal
    stetig differenzierbar.
  \item $TM$ ist mit diesem Atlas und der damit induzierten Topologie
    Hausdorffsch: Punkte $(x,v)$ und $(y,w)$ lassen sich f\"ur $x\neq
    y$ trennen, da $M$ Hausdorffsch ist und f\"ur $w\neq v$, da dies
    f\"ur $\R^m$ der Fall ist.  \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $M$ eine $C^k$-Mannigfaltigkeit, $k\ge1$. Nach Lemma \ref{atlas
    liefert top lem} besitzt $TM$ genau eine Topologie, die $TM$ zu
  einer (differenzierbaren) $C^{k-1}$-Man"-nig"-fal"-tig"-keit mit einem
  Atlas, der aus den von $M$ induzierten Karten besteht, macht. \par
  Die nat\"urliche Projektion $p:TM\to M$, $(x,v)\mapsto x$ ist von
  der Klasse $C^{k-1}$.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt
  \[\xymatrix{&&&TU\ar[rr]^-p \ar[d]_-{\phi_*}
    \ar@{}[rrd]|{/\!/\!/} &&
    U\ar[d]^-\phi&&&\\                                                       
    \anfuegen{rrr}{\,\,\R^m\times\R^m\supset}&&&              
    \phi(U)\times\R^m\ar[rr]^-{p_1}&&\phi(U).&&&}\]
  Wegen $p_1(\phi_*(x,v))=p_1((\phi(x),\phi_{*,x}(v)))=\phi(x)$ und
  $\phi(p(x,v))=\phi(x)$ kommutiert das Diagramm. Aus $p_1=\phi\circ
  p\circ \phi_*^{-1}\in C^\infty$ erhalten wir $p\in C^{k-1}$.
\end{proof}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $U\subset\R^m$ offen. Wir identifizieren $TU$ mit
    $U\times\R^m$ verm\"oge \[[\alpha]\leftrightarrow
    (\alpha(0),\alpha'(0)).\]
  \item Sei $M$ eine Untermannigfaltigkeit von $N$. F\"ur jedes $x\in
    M$ ist $T_xM\subset T_xN$. Also gilt $TM\subset TN$. $TM$ ist
    sogar eine Untermannigfaltigkeit von $TN$. (\"Ubung.) \par
    Spezialfall $N=\R^n$: $T_xM$ ist ein Unterraum von $\R^n$,
    $TM\subset T\R^n=\R^n\times\R^n$.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{definition}[Induzierte Abbildung der Tangentialb\"undel]
  Seien $M$, $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten ($C^k$) und
  $f\colon M\to N$ eine Abbildung der Klasse $C^k$. Dann definieren
  wir f\"ur $x\in M$ die Abbildung
  \begin{align*}
    f_{*,x}:T_xM\to&\,T_{f(x)}N,\\
    f_{*,x}([\alpha])=&\,[f\circ\alpha],
  \end{align*}
  wobei $\alpha:(-\epsilon,\epsilon)\to M$ differenzierbar ist und
  $\alpha(0)=x$ gilt. Definiere
  \begin{align*}
    f_*:TM\to&\,TN,\\
    f_*((x,v)):=&\,(f(x),f_{*,x}(v)).
  \end{align*}
\end{definition}
\begin{remark}\label{f* koord bem}
  \textbf{Wohldefiniertheit von $f_*$:}\par
  Seien $(U,\phi)$ und $(V,\psi)$ Karten um $x$ bzw.{} $f(x)$.  Seien
  $\alpha,\beta\colon(-\epsilon,\epsilon)\to M$ mit
  $\alpha(0)=\beta(0)=x$ gegeben. Ist $\alpha\sim\beta$, so folgt
  $(\phi\circ\alpha)'(0) =(\phi\circ\beta)'(0)$. Es gilt
  \begin{align*}
    (\psi\circ f\circ\alpha)'(0) =&\,\left(\left(\psi\circ
        f\circ\phi^{-1}\right)\circ\phi\circ\alpha\right)'(0)
    =d\left(\psi\circ f\circ \phi^{-1}\right)(\phi(x))
    \langle(\phi\circ\alpha)'(0)\rangle\\
    =&\,d\left(\psi\circ f\circ\phi^{-1}\right)(\phi(x))
    \langle(\phi\circ\beta)'(0)\rangle = (\psi\circ f\circ\beta)'(0).  
  \end{align*}
  Somit ist $f\circ\alpha\sim f\circ\beta$. \par
  \textbf{Koordinatendarstellung von $f_*$:} Seien $(U,\phi)$ und
  $(V,\psi)$ Karten um $x$ bzw.{} $f(x)$. In Karten hat $f_{*,x}$ die
  Form $d\left(\psi\circ f\circ\phi^{-1}\right)(\phi(x))$, wenn wir
  die Kommutativit\"at des folgenden Diagrammes nachrechnen k\"onnen:
  \begin{equation}\label{f* koord diag}
  \xymatrix{T_xM\ar[rrr]^-{f_{*,x}}\ar[d]_-{\phi_{*,x}}
    \ar@{}[drrr]|{/\!/\!/} &&& T_{f(x)}N\ar[d]^-{\psi_{*,f(x)}}\\ 
    \R^m\ar[rrr]_-{d\left(\psi\circ f\circ\phi^{-1}\right)(\phi(x))}&&&
    \R^n }
  \end{equation}
  F\"ur $v=[\alpha]\in T_xM$ gilt
  \begin{align*}
    \psi_{*,f(x)}\circ f_{*,x}(v) =&\, \psi_{*,f(x)}([f\circ\alpha])
    =(\psi\circ f\circ\alpha)'(0) =(\psi\circ
    f\circ\phi^{-1}\circ \phi\circ\alpha)'(0)\\ =&\,d\left(\psi\circ
      f\circ\phi^{-1}\right)(\phi(x))
    \langle\underbrace{(\phi\circ\alpha)'(0)}_{=\phi_{*,x}(v)}\rangle.
  \end{align*}
  \textbf{Beachte:} In Koordinaten ist $f_*$ somit gerade die
  Ableitung der Abbildung in Koordinaten.
\end{remark}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $f_{*,x}\colon T_xM\to T_{f(x)}N$ ist linear. (Benutze
    \eqref{f* koord diag}.)     
  \item Gelte ohne Einschr\"ankung $f(U)\subset V$ (in der \"ublichen
    Notation). \[\xymatrix{TU\ar[rr]^-{f_*} \ar[d]_-{\phi_*}
      \ar@{}[drr]|{/\!/\!/} && TV\ar[d]^-{\psi_*}\\ \phi(U)\times\R^m
      \ar[rr]_-{\left(\psi\circ f\circ\phi^{-1}\right)_*} &&
      \psi(V)\times\R^n.}\] 
    Insbesondere ist $f_*$ von der Klasse $C^{k-1}$, falls $f$ von der
    Klasse $C^k$ ist. 
    \item Es gilt die folgende funktorielle Eigenschaft von
      \glqq${}_*$\grqq: Sind $f\colon L\to M$ und $g\colon M\to N$
      differenzierbare Abbildungen von differenzierbaren
      Mannigfaltigkeiten, so gilt $(g\circ f)_*=g_*\circ f_*$.
      \begin{proof}[Beweis]
        Sei $[\alpha]\in T_xL$. 
        \[(g\circ f)_{*,x}([\alpha]) =[g\circ f\circ\alpha]
        =g_{*,f(x)}([f\circ\alpha]) =g_{*,f(x)}(f_{*,x}([\alpha])).\]
      \end{proof}
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{definition}[Immersion, Submersion, Einbettung]
  Seien $M,\,N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Sei $f\colon M\to
  N$ eine differenzierbare Abbildung.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $f$ hei\ss{}t immersiv bzw.{} submersiv im Punkt $x\in M$,
    falls $f_{*,x}:T_xM\to T_{f(x)}N$ injektiv bzw.{} surjektiv
    ist. $f$ hat in $x\in M$ den Rang $k$, falls dies f\"ur $f_{*,x}$
    gilt. 
  \item $f$ hei\ss{}t Immersion bzw.{} Submersion bzw.{} eine
    Abbildung von konstantem Rang $k$, wenn $f$ in allen Punkten
    immersiv bzw.{} submersiv ist bzw.{} den Rang $k$ hat.
  \item Eine stetige Abbildung $f\colon X\to Y$ zwischen topologischen
    R\"aumen hei\ss{}t Einbettung, wenn $f:X\to f(X)$
    Hom\"oomorphismus ist, wobei $f(X)$ die Unterraumtopologie
    tr\"agt. 
  \item Eine differenzierbare Abbildung $f$ zwischen differenzierbaren
    Mannigfaltigkeiten hei\ss{}t differenzierbare Einbettung, wenn $f$
    Immersion und Einbettung ist.
  \item Sei $f:M\to N$ eine Immersion. $f(M)$ hei\ss{}t immersierte
    Mannigfaltigkeit. \par Ist $f$ zus\"atzlich injektiv, dann
    hei\ss{}t $\tilde M:=f(M)$ mit der Topologie und differenzierbaren
    Struktur, die $f:M\to\tilde M$ zu einem Diffeomorphismus macht,
    eine immersierte Untermannigfaltigkeit von $N$. (Die induzierten
    Strukturen erh\"alt man wie folgt: $\tilde U\subset\tilde M$ ist
    offen, falls $f^{-1}\big(\tilde U\big)$ in $M$ offen ist. Ist
    $(U,\phi)$ eine Karte f\"ur $M$, so ist $(f(U),\phi\circ f^{-1})$
    eine Karte f\"ur $\tilde M$.)
  \end{enumerate}  
\end{definition}

\begin{remark}
  Achtung, eine injektive Immersion ist i.\,a.{} keine
  differenzierbare Einbettung: Sei $M=(-1,2\pi)$, $N=\R^2$ und \[f(x)=
  \begin{cases}
    (1,x)&\text{f\"ur }-1<x\le0,\\
    (\cos x,\sin x)
    &\text{f\"ur }0<x<2\pi.
  \end{cases}\]
\end{remark}

\begin{remark}\label{top einb bem}
  Ist $f:X\to Y$ stetig und injektiv, $X$ kompakt und $Y$
  Hausdorffsch, so ist $f$ eine Einbettung. 
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  Siehe Topologievorlesung \cite[Satz 9.12]{OSTopo}. 
\end{proof}

Das Rangtheorem aus der Analysis \cite[Theorem 10.3.1]{Dieudonne}
liefert
\begin{theorem}\label{rang thm}
  Sei $f:M^m\to N^n$ eine Abbildung die in jedem Punkt den Rang $l$
  hat. Dann gibt es f\"ur jeden Punkt $p\in M$ Karten $(U,\phi)$ und
  $(V,\psi)$ von $M$ bzw.{} $N$ mit $p\in U$, $f(p)\in V$ und
  $f(U)\subset V$, so dass \[\psi\circ
  f\circ\phi^{-1}\left(x^1,\ldots,x^m\right)
  =\left(x^1,\ldots,x^l,0,\ldots,0\right).\]
\end{theorem}
Ohne Einschr\"ankung k\"onnen wir auch $\phi(U)=B_1^m(0)$ und
$\psi(V)=B_1^n(0)$ annehmen. 

\begin{theorem}
  Sei $f\colon M^m\to N^n$ von der Klasse $C^k$, $k\ge1$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $f$ eine differenzierbare Einbettung, so ist $f(M)$ eine
    Untermannigfaltigkeit von $N$ der Klasse $C^k$ und der Dimension
    $m=\dim M$. 
  \item Ist $y_0\in N$ und hat $f$ konstanten Rang $l$, so ist
    $f^{-1}(y_0)\equiv f^{-1}(\{y_0\})$ entweder leer oder eine
    Untermannigfaltigkeit der Dimension $m-l$.
  \item Ist $y_0\in N$ und $f$ f\"ur alle $x\in f^{-1}(y_0)$
    submersiv, so ist $f^{-1}(y_0)$ entweder leer oder eine
    Untermannigfaltigkeit der Dimension $m-n=\dim M-\dim N$. 
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $x_0\in M$, $y_0:=f(x_0)$. Seien $(U,\phi)$ bzw.{}
    $(V,\psi)$ Karten um $x_0$ bzw.{} $y_0$. Setze
    $z_0:=\phi(x_0)$. $f_{*,x_0}$ ist injektiv. Also folgt, dass
    $L:=d\left(\psi\circ f\circ\phi^{-1}\right)(z_0)$ injektiv ist,
    insbesondere $m\le n$.\par Erg\"anze eine Basis von
    $L\left(\R^m\right)$ durch $v_{m+1},\ldots,v_n$ zu einer Basis des
    $\R^n$. Definiere \[F(z):=\psi\circ
    f\circ\phi^{-1}\left(z^1,\ldots,z^m\right)
    +\sum\limits_{l=m+1}^nz^lv_l,\quad z\in\R^n.\] Dann ist
    $dF(z_0,0)$ bijektiv und es existiert $\epsilon>0$, so dass
    $F:B_\epsilon(z_0,0)\to F(B_\epsilon(z_0,0))$ ein Diffeomorphismus
    ist. Es gilt
    \begin{equation}\label{Fpsifphi eq}
      F|_{\R^m\times\{0\}}=\psi\circ f\circ\phi^{-1}.
    \end{equation}
    Setze $V_\epsilon :=\psi^{-1} (F(B_\epsilon((z_0,0))))$. Dann ist
    $(V_\epsilon,F^{-1}\circ\psi)$ eine Karte um $y_0$. Da $f^{-1}$
    stetig ist, existiert eine offene Umgebung $V_0$ von $y_0$ mit
    $V_0\subset V_\epsilon$ und $f^{-1}(V_0)\subset\phi^{-1}
    \left(B_\epsilon(z_0,0) \cap\R^m\right)$, wobei wir $\R^m$ und
    $\R^m\times\{0\}$ identifizieren.
    \[\xymatrix{\anfuegen{rrrr}{\qquad\phi^{-1}\left(B_\epsilon(z_0,0)
          \cap\R^m\right) \subset}&&&&U \ar[r]^-f\ar[d]_-\phi & V
      \ar[d]^-\psi && \anfuegen{ll}{\supset V_\epsilon\supset
        V_0\quad} &\\ &\anfuegen{rrr}{B_\epsilon(z_0,0)
        \cap\R^m\subset} &&&\phi(U)  
      & \psi(V)&&&\anfuegen{lll}{\supset F(B_\epsilon(z_0,0))\quad}}\]
    Es folgt
    \begin{align*}
      f(M)\cap V_0=&\,V_0\cap \left(f\circ\phi^{-1}
      \left(B_\epsilon(z_0,0)\cap\R^m\right)\right) \\
      =&\,V_0\cap\left(\psi^{-1}\circ
        F\left(B_\epsilon(z_0,0)\cap\R^m\right)\right) \qquad \text{
        nach \eqref{Fpsifphi eq}.}
    \end{align*}
  \item Sei $x_0\in f^{-1}(y_0)$, $(U,\phi)$ und $(V,\psi)$ seien
    Karten um $x_0$ \bzw $y_0$. Gelte ohne Einschr\"ankung
    $f(U)\subset V$. F\"ur $z\in\left(\psi\circ
      f\circ\phi^{-1}\right)^{-1}(\psi(y_0)) =\phi\circ f^{-1}(y_0)$
    hat $d\left(\psi\circ f\circ\phi^{-1}\right)$ konstanten Rang
    $l$. Somit ist (ggf.{} nach Verkleinern von $U$ und $V$) die Menge
    $\phi\left(f^{-1}(y_0)\right)\cap \phi(U)$ nach dem Rangtheorem
    eine Untermannigfaltigkeit von $\R^m$. Da $\phi^{-1}$
    Diffeomorphismus ist, ist $f^{-1}(y_0)\cap U$ eine
    Untermannigfaltigkeit von $M$.
  \item Lokal hat $f$ nahe $f^{-1}(y_0)$ konstanten Rang $n$. Die
    Behauptung folgt. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

Lokal sind Immersionen stets Einbettungen:
\begin{theorem}
  Sei $f:M^m\to N^n$ eine Immersion. Dann gibt es zu jedem $p\in M$
  eine offene Umgebung $U\subset M$ mit $p\in U$, so dass $f|_U$ eine
  Einbettung ist. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  W\"ahle Karten $(U,\phi)$ und $(V,\psi)$ von $M$ bzw.{} $N$ mit
  $p\in U$ und $\phi(p)=0\in\R^m$ so dass $\hat f:=\psi\circ
  f\circ\phi^{-1}\colon B_1^m(0)\to B_1^n(0)$ die Form \[\hat
  f\left(x^1,\ldots,x^m\right)
  =\left(x^1,\ldots,x^m,0,\ldots,0\right)\] hat. Dann ist $\hat
  f:B_1^m(0)\to B_1^n(0)$ eine Einbettung. $\phi\colon U\to B_1^m(0)$
  und $\psi\colon V\to B_1^n(0)$ sind Diffeomorphismen. Daher ist
  $f:U\to V$ eine Einbettung, wenn $f(U)$ die Unterraumtopologie
  bez\"uglich der Menge $V$ tr\"agt. Da aber $V\subset N$ offen ist,
  ist das dieselbe Topologie wie die Unterraumtopologie bez\"uglich
  der Menge $N$. Also ist $f|_U$ eine Einbettung.
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $M$ eine kompakte (differenzierbare) Mannigfaltigkeit der Klasse
  $C^k$, $0\le k\le\infty$. Dann existiert $n\in\N$ und eine
  (differenzierbare) Einbettung $f\colon M\to\R^n$ der Klasse $C^k$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $m=\dim M$. Zu jedem Punkt $x\in M$ gibt es eine Karte
  $(V,\phi)$ mit $\phi(x)=0$ und $B_3(0)\subset\phi(V)$. Da $M$
  kompakt ist, gibt es $(V_1,\phi_1)$, \ldots, $(V_l,\phi_l)$ mit
  $M=\bigcup\limits_{j=1}^l \phi^{-1}_j(B_1(0))$. Sei $\lambda\in
  C^\infty\left(\R^m\right)$ mit $0\le\lambda\le1$, $\lambda(x)=1$
  f\"ur $x\in B_1(0)$ und $\lambda(x)=0$ f\"ur $x\in\R^m\setminus
  B_2(0)$. Definiere $\lambda_j\colon M\to\R$ und $f_j\colon M\to\R^m$
  durch
  \begin{align*}
    \lambda_j(x):=&\,
    \begin{cases}
      \lambda\circ\phi_j(x),& x\in V_j,\\
      0,& \text{sonst,}
    \end{cases}\\
    f_j(x):=&\,
    \begin{cases}
      \lambda_j(x)\phi_j(x),& x\in V_j,\\
      0,& \text{sonst.}
    \end{cases}
  \end{align*}
  Es gilt $\lambda_j,\,f_j\in C^k$. Definiere $f\colon
  M\to\R^{(m+1)l}$, $f\in C^k$, durch
  \[f(x):=(f_1(x),\lambda_1(x),\ldots,f_l(x),\lambda_l(x)).\] $f$ ist
  injektiv: Seien $x,\,y\in M$ mit $f(x)=f(y)$. Da die Mengen
  $\phi_j^{-1}(B_1(0))$ die Mannigfaltigkeit $M$ \"uberdecken, gibt es
  ein $j_0$ mit $\lambda_{j_0}(x)=1$. Wegen $\lambda_{j_0}(y)=1$ folgt
  $x,\,y\in V_{j_0}$. Wegen $\phi_{j_0}(x)
  =\phi_{j_0}(x)\lambda_{j_0}(x) =f_{j_0}(x) =f_{j_0}(y)
  =\phi_{j_0}(y)$ folgt $x=y$. Nach Bemerkung \ref{top einb bem} ist
  $f$ eine topologische Einbettung, denn $M$ ist kompakt und $\R^k$
  ist Hausdorffsch.\par Sei $k\ge1$. Dann ist $f$ auch eine Immersion,
  denn f\"ur $x\in\phi_{j_0}^{-1}(B_1(0))$ ist
  $(f_{j_0})_{*,x}=(\phi_{j_0})_{*,x}$ injektiv, also auch $f_{*,x}$.
  Im Fall $k=0$ liefert Bemerkung \ref{top einb bem}, dass $f$ eine
  Einbettung ist.
\end{proof}

\Section{Vektorb\"undel}
Vektorb\"undel verallgemeinern das Tangentialb\"undel. 
\begin{definition}[Vektorb\"undel]
  Seien $X,\,B$ topologische R\"aume, $p:X\to B$ stetig und $E$ ein
  normierter Vektorraum. Eine $E$-B\"undelkarte ist ein Paar
  $(U,\Phi)$, wobei 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $U\subset B$ offen ist und $\Phi\colon p^{-1}(U)\to U\times E$
    ein Hom\"oomorphismus ist. 
  \item Das Diagramm \[\xymatrix{p^{-1}(U)\ar[r]^-{\Phi} \ar[d]_-p
      &U\times E \ar[ld]^-{p_1}\\ U&}\] ist kommutativ. F\"ur $y\in
    p^{-1}(x)$ (genauer: $p^{-1}(\{x\})$) erhalten wir \[\Phi(y)
    =(p_1\Phi(y),p_2\Phi(y)) \equiv(x,\Phi_x(y)).\] $p^{-1}(x)$
    hei\ss{}t Faser von $x$; es ist $\Phi(p^{-1}(x))=\{x\}\times
    E$. (\"Aquivalent zur obigen Definition erhalten wir
    $\Phi_x:=p_2\circ\Phi|_{p^{-1}(x)}$.) $\Phi_x:p^{-1}(x)\to E$ ist
    ein Hom\"oomorphismus.
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}
  Ein $E$-B\"undelatlas $\mathcal A$ f\"ur $p:X\to B$ ist eine
  Kollektion von $E$-B\"undelkarten, so dass
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $B\subset\bigcup\limits_{(U,\Phi)}U$,
  \item F\"ur $(U,\Phi),\,(V,\Psi)\in\mathcal A$ mit $U\cap
    V\neq\emptyset$ gilt 
    \begin{enumerate}[(a)]
    \item $\Psi_x\circ\Phi_x^{-1}\colon E\to E$ ist ein Isomorphismus
      normierter Vektorr\"aume,
    \item $x\mapsto\Psi_x\circ\Phi_x^{-1}$ ist stetig von $U\cap V$
      nach $L(E)$ mit der Operatornorm $\Vert
      T\Vert:=\sup\limits_{\Vert x\Vert=1}\Vert Tx\Vert$. 
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ein Vektorb\"undel $p\colon X\to B$ ist eine Abbildung $p$ wie
    oben mit einem zugeh\"origen B\"undelatlas $\mathcal A$. Wir
    nennen auch $X$ Vektorb\"undel. Wir sprechen auch von B\"undeln
    statt von Vektorb\"undeln. (Es gibt z.\,B.{} auch
    $\S^1$-B\"undel. Hier sind aber s\"amtliche B\"undel stets
    Vektorb\"undel.)
  \item Ein Vektorb\"undel hei\ss{}t $E$-B\"undel, falls $E$ ein
    normierter Vektorraum ist und die Bilder der B\"undelkarten die
    Form $U\times E$ haben. Ein Linienb\"undel ist (bei reellen
    Mannigfaltigkeiten wie hier) ein $\R$-B\"undel. 
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $(x,v)\in U\times E$. Wegen $\Psi\circ\Phi^{-1}(x,v)
    =\left(x,\Psi_x\circ\Phi_x^{-1}(v)\right)$ und da $\Psi,\,\Phi$
    Hom\"oomorphismen sind, ist $x\mapsto\Psi_x\circ\Phi_x^{-1}$
    automatisch stetig, falls $E$ endlichdimensional ist.
  \item Wie beim Tangentialb\"undel erhalten die Fasern $p^{-1}(x)$
    eine eindeutige Vektorraumstruktur, so dass alle $\Phi_x\colon
    p^{-1}(x)\to E$ Vektorraumisomorphismen werden: F\"ur $v,\,w\in
    p^{-1}(x)$ und $\lambda\in\R$ setzt man \[v+\lambda w :=
    \Phi_x^{-1}(\Phi_x(v) +\lambda\Phi_x(w)).\]
  \item Das triviale B\"undel \"uber $B$ ist durch $X=B\times E$,
    $\Phi(x,v)=(x,v)$ gegeben.
  \item Das Tangentialb\"undel ist ein Vektorb\"undel: Sei $M$ eine
    differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Tangentialb\"undel
    $TM$. Definiere $p:TM\to B\equiv M$ durch $T_xM\ni v\mapsto
    p(v)=x\in M$. Ist $(U,\phi)$ eine Karte von $M$, so definieren wir
    \begin{align*}
      \Phi\colon T_UM\equiv p^{-1}(U)\to&\, U\times E\equiv
      U\times\R^m,\\ 
      T_xM\ni v\mapsto &\,\Phi(v)=(x,\phi_{*,x}(v)).
    \end{align*}
    $\Psi_x\circ\Phi_x^{-1} =\psi_{*,x}\circ\phi_{*,x}^{-1}$ ist ein
    Isomorphismus des $\R^m$, $m=\dim M$. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{definition}[Vektorb\"undel der Klasse $C^k$]
  Ist $p:X\to B$ ein Vektorb\"undel und $B$ eine differenzierbare
  Mannigfaltigkeit der Klasse $C^k$, so hei\ss{}t ein
  Vektorb\"undelaltlas $\mathcal A=\{(U,\Phi)\}$ von der Klasse $C^k$,
  falls f\"ur je zwei Karten $(U,\Phi),\,(V,\Psi)\in\mathcal A$ die
  Kartenwechselabbildung \[\Psi\circ\Phi^{-1}\colon(U\cap V)\times
  E\to (U\cap V)\times E\] von der Klasse $C^k$ ist. 
\end{definition}

\begin{remark}
  Betrachte $E$-Vektorb\"undel mit $\dim E<\infty$. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Besitze $U\cap V$ eine differenzierbare Struktur. Wegen
    \[\Psi\circ\Phi^{-1}(x,v)
    =\left(x,\Psi_x\circ\Phi_x^{-1}(v)\right)\] und da
    $\Psi_x\circ\Phi_x^{-1}$ ein Vektorraumisomorphismus von $E$ ist,
    sind $\Psi\circ\Phi^{-1}\in C^k$ und
    $\left(x\mapsto\Psi_x\circ\Phi_x^{-1}\right)\in C^k$ \"aquivalent.
  \item Jedes Vektorb\"undel der Klasse $C^k$ \"uber einer
    $C^k$-Mannigfaltigkeit ist auf nat\"urliche
    Weise eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Klasse $C^k$ der
    Dimension $\dim B+\dim E$: Sei $\mathcal A=\{(U,\Phi)\}$ ein
    Vektorb\"undelatlas und sei $\mathcal B=\{(V,\phi)\}$ ein Atlas
    von $B$. Nehme ohne Einschr\"ankung an, dass f\"ur jedes
    $(U,\Phi)\in\mathcal A$ ein $(U,\phi)\in\mathcal B$ existiert;
    sonst ersetze $U$ durch $U\cap V$. Als Diagramm erhalten wir
    \[\xymatrix{\linksanfuegen{X\supset\quad}& p^{-1}(U)\ar[d]_-p
      \ar[r]^-{\Phi} & U\times E\ar[dl]^-{p_1} \ar[rr]^-{(\phi,\id)}
      && \phi(U)\times E\ar[d]^-{p_1}\\ & U\ar[rrr]^-\phi &&&
      \phi(U).}\]
    Die Vertr\"aglichkeit der Karten ergibt sich
    aus \[(\psi,\id)\circ\Psi\circ \Phi^{-1}\circ(\phi,\id)^{-1}(x,v)
    =(\psi\circ\phi^{-1}(x), \Psi_x\circ\Phi^{-1}_x(v)).\] 
    Dann ist $\tilde{\mathcal A}:=\{(p^{-1}(U),(\phi,\id)\circ\Phi)\}$
    ein $C^k$-Atlas von $X$.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{definition}[Schnitte, Vektorfelder]
  Sei $p\colon X\to B$ ein Vektorb\"undel.  Ein Schnitt ist eine
  stetige Abbildung $s:B\to X$ mit $p\circ s=\id$, \dh $s(x)\in
  p^{-1}(x)$ f\"ur alle $x\in B$. Die Schnitte des Tangentialb\"undels
  einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit hei\ss{}en
  Vektorfelder.\par $s_0(x):=0_x\in p^{-1}(x)$ hei\ss{}t Nullschnitt.
\end{definition}

\begin{remark}
  Sei $\dim E<\infty$.  $s_0$ ist eine (differenzierbare) Einbettung,
  \dh man kann $B$ mit $s_0(B)$
  identifizieren. \[\xymatrix{s_0(U)\ar[r]^-\Phi & U\times\{0\}\subset
    U\times E \ar[dl]^-{p_1}\\ U\ar[u]^-{s_0}.&}\] $\Phi\circ s_0$ ist
  die Abbildung $U\ni x\mapsto (x,0)\in U\times E$, eine
  Einbettung. Somit ist $s_0:B\to s_0(B)$ ein lokaler
  Hom\"oomorphismus \bzw Diffeomorphismus. $s_0$ ist eineindeutig, da
  $p\circ s_0=\id$ ist und $p|_{s_0(B)}$ ist eine stetige Inverse. Die
  Behauptung folgt.
\end{remark}

\begin{definition}[Abbildungen von Vektorb\"undeln]
  Seien $p_i\colon X_i\to B_i$, $i=0,\,1$, $E_i$-Vektorb\"undel mit
  $\dim E_i<\infty$. Eine stetige Abbildung $F:X_0\to X_1$ hei\ss{}t
  eine Vektorb\"undelmorphismus, wenn $F$ jede Faser von $X_0$ linear
  in eine Faser von $X_1$ abbildet, \dh wenn f\"ur jedes $x_0\in B_0$
  ein $x_1\in B_1$ existiert, so dass $F_{x_0}:=F|_{p_0^{-1}(x_0)}\to
  p_1^{-1}(x_1)$ linear ist.
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $s_0$ der Nullschnitt von $X_0$, so ist $f:=p_1\circ
    F\circ s_0$ stetig. Wir erhalten das folgende kommutative
    Diagramm \[\xymatrix{X_0\ar[d]_-{p_0} \ar[r]^-F
      \ar@{}[dr]|{/\!/\!/} & X_1 \ar[d]^-{p_1}\\ B_0\ar[r]_-f
      &B_1. }\]
  \item Ist $B_0=B_1$, $f=\id$ und $F_x$ ein Isomorphismus f\"ur jedes
    $x$, so hei\ss{}t $F$ Vektorb\"undelisomorphismus.
  \item Das Vektorb\"undel $p\colon X\to B$ hei\ss{}t trivial, wenn es
    zum Vektorb\"undel $B\times E$ isomorph ist. 
  \item Ein Vektorb\"undel mit $\dim E=n$ ist genau dann trivial, wenn
    es $n$ linear unabh\"angige Schnitte $s_1,\ldots,s_n$ besitzt, \dh
    $s_1(x),\ldots,s_n(x)$ sind f\"ur jedes $x$ linear unabh\"angig. 
    \begin{proof}[Beweis]
      \Rueckrichtung
      Seien $s_1,\ldots,s_n$ die linear unabh\"angigen
      Schnitte. Definiere $F\colon B\times\R^n\to X$ durch
      $F(y,(x^1,\ldots,x^n)):= \sum\limits_{j=1}^nx^js_j(y)$.\\
      \Hinrichtung Sei umgekehrt $F:B\times\R^n\to X$ ein
      Vektorb\"undelisomorphismus und sei $e_1,\ldots,e_n$ eine Basis
      des $\R^n$. Setze $s_j(x):=F(x,e_j)$. 
    \end{proof}
  \item Die Existenz einer Vektorb\"undelkarte $\Phi:p^{-1}(U)\to
    U\times E$ impliziert, dass $p^{-1}(U)$ trivial ist. 
  \item $T\S^n$ ist f\"ur gerades $n>0$ nichttrivial, da nach dem Satz
    vom Igel jedes stetige Tangentialfeld auf $\S^n$ eine Nullstelle
    besitzen muss. \par $T\S^n$ ist f\"ur $n=0,\,1,\,3,\,7$
    trivial. F\"ur alle anderen $n$ ist $T\S^n$ nichttrivial
    (nichttriviale algebraische Topologie, J. F. Adams).
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{definition}[Tensoren]
  Sei $E$ ein normierter Vektorraum, $\dim E<\infty$, und $E'$ der
  Dualraum von $E$, h\"aufig auch mit $E^*$ bezeichnet. Ein Tensor $T$
  der Stufe $(r,s)\in\N_0\times\N_0$ (manchmal wird $(r,s)=(0,0)$
  ausgeschlossen), auf $E$ ist eine Multilinearform auf $(E')^r\times
  E^s$. Die Menge aller Tensoren einer Stufe $(r,s)$ bilden einen
  endlich-dimensionalen Vektorraum $E^{(r,s)}$.  \par Ein
  $E^{(r,s)}$-Tensor hei\ss{}t $r$-fach kontravariant und $s$-fach
  kovariant. Ein $E^{(r,0)}$-Tensor hei\ss{}t kontravariant, ein
  $E^{(0,s)}$-Tensor hei\ss{}t kovariant.
\end{definition}
Wichtig wird sp\"ater bei Tensoren insbesondere der Nachweis, dass die
Auswertung nur von den Eintr\"agen in einem Punkt und insbesondere
nicht von den Ableitungen der Eintr\"age abh\"angt.

Gelte ab jetzt stets $\dim E<\infty$. 
\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Es gilt $E'=E^{(0,1)}$. 
  \item Ist $E$ normiert, so definiert $\Vert x'\Vert
    :=\sup\limits_{\Vert x\Vert\le 1}|x'\langle x\rangle|$ eine Norm
    auf $E'$.
  \item Auf $E^{(r,s)}$ definiert \[\Vert
    T\Vert:=\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{\Vert x'_j\Vert\le
        1}{\Vert x_k\Vert\le 1}} |T\langle
    x'_1,\ldots,x'_r;x_1,\ldots,x_s\rangle|\] eine Norm und damit
    auch eine Topologie auf $E^{(r,s)}$.
  \item $E$ ist kanonisch isomorph zu $E''=E^{(1,0)}$ verm\"oge
    $x\langle x'\rangle:=x'\langle x\rangle$ f\"ur $x\in E$, $x'\in
    E'$. Daher ist $E^{(1,r)}$ kanonisch isomorph zu $L^r(E,E)$, dem
    Raum der $r$-linearen Abbildungen $E^r\to E$: Seien $x_i\in
    E$. Dann ist n\"amlich $e\in E$ durch \[T\langle \phi;
    x_1,\ldots,x_r\rangle= e\langle \phi\rangle\quad\text{f\"ur
      alle }\phi\in E'\] definiert.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{definition}[Transformation von Tensoren]
  \label{def tensor trafo}
  Sei $\phi\colon E\to F$ ein linearer Vektorraumisomorphismus
  zwischen normierten endlichdimensionalen Vektorr\"aumen. Definiere
  $\phi':F'\to E'$ durch $\phi'(y'):=y'\circ\phi$. Definiere
  $\phi_\#\colon E^{(r,s)}\to F^{(r,s)}$ f\"ur $T\in E^{(r,s)}$ 
  durch \[\phi_\#(T)\langle f'_1,\ldots,f'_r; f_1,\ldots,f_s\rangle:=
  T\left\langle\phi'(f'_1),\ldots,\phi'(f'_r);
  \phi^{-1}(f_1),\ldots,\phi^{-1}(f_s)\right\rangle.\] 
  $\phi_\#(T)$ hei\ss{}t ``push-forward'' von $T$. 
\end{definition}

\begin{remark}\label{doppelkr bem}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dies ist (im sich aus der folgenden Rechnung erkl\"arenden
    Sinne) konsistent mit der Identifikation $E=E^{(1,0)}=E''$: F\"ur
    $x\in E$ ist $\phi_\#(x)\langle f'\rangle
    =x\langle\phi'(f')\rangle =x\langle f'\circ\phi\rangle
    =(f'\circ\phi)\langle x\rangle = f'\langle\phi\langle
    x\rangle\rangle =\phi(x)\langle f'\rangle.$
  \item $\phi_\#\colon E^{(r,s)}\to F^{(r,s)}$ ist linear.
  \item Sind $\phi\colon E\to F$ und $\psi\colon F\to G$
    Vektorraumisomorphismen, so gilt
    $(\psi\circ\phi)_{\#}=\psi_{\#}\circ\phi_{\#}$, da
    $(\psi\circ\phi)^{-1} =\phi^{-1}\circ\psi^{-1}$,
    $(\psi\circ\phi)' =\phi'\circ\psi'$ und aufgrund einer kleinen
    einfachen Rechnung. 
  \item 
    \label{diffbar doppelkr bem}
    \textbf{Differenzierbarkeit von $\phi\mapsto\phi_\#$:}
    Sei $T\in E^{(r,s)}$, $\phi_1,\ldots,\phi_r\in L(F',E')$,
    $\psi_1,\ldots,\psi_s\in L(F,E)$. Dann ist die
    Abbildung \[(T;\phi_1,\ldots,\phi_r;\psi_1,\ldots,\psi_s)\mapsto
    T(\phi_1(\cdot),\ldots,\phi_r(\cdot);
    \psi_1(\cdot),\ldots,\psi_s(\cdot))\in F^{(r,s)}\] multilinear von
    $E^{(r,s)}\times L(F',E')^r\times L(F,E)^s$ nach $F^{(r,s)}$ und
    daher von der Klasse $C^\infty$. \par $\phi\mapsto\phi^{-1}\in
    C^\infty(\underbrace{\Iso(E,F)}_{\subset L(E,F)},
    \underbrace{\Iso(F,E)}_{\subset L(F,E)})$. $\phi\mapsto\phi'$
    ist linear und daher in $C^\infty(L(E,F),L(F',E'))$. Aufgrund der
    Kettenregel ist $(T,\phi)\mapsto \phi_\#T$ von der Klasse
    $C^\infty\left(E^{(r,s)}\times\Iso(E,F), F^{(r,s)}\right)$. \par
    Somit ist $\phi\mapsto\phi_\#$ von der Klasse
    $C^\infty\left(\Iso(E,F),
      \Iso\left(E^{(r,s)},F^{(r,s)}\right)\right)$. \par Wegen
    $(\phi\circ\psi)_\#=\phi_\#\circ\psi_\#$ und $\id_\#=\id$ ist
    $\phi_\#$ stets ein Isomorphismus und es gilt $(\phi_\#)^{-1}
    =\left(\phi^{-1}\right)_\#$. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{definition}[Tensorb\"undel \"uber einem Vektorb\"undel]
  Sei $p:X\to B$ ein Vektorb\"undel mit allgemeiner Faser $E$, $\dim
  E<\infty$, und Vektorb\"undelkarten $(U,\Phi)$, $\Phi\colon
  p^{-1}(U)\to U\times E$. Sei $(r,s)\in \N_0\times\N_0$. (Erinnerung:
  F\"ur $x\in B$ ist $p^{-1}(x)$ ein Vektorraum.)
  Auf \[X^{(r,s)}:=\bigcup\limits_{x\in B}(p^{-1}(x))^{(r,s)}\]
  definieren wir eine Vektorb\"undelstruktur durch die Projektion
  \begin{align*}
    p^{(r,s)}:X^{(r,s)}\to&\,B,\\
    p^{(r,s)}\left(\left(p^{-1}(x)\right)^{(r,s)}\right):=x
  \end{align*}
  und den Vektorb\"undelatlas 
  \begin{align*}
    \Phi_\#\colon \left(p^{(r,s)}\right)^{-1}(U)\to& \,U\times
    E^{(r,s)},\\ 
    \Phi_\#(x,T)\equiv\Phi_\#(T):=&\,(x,\Phi_{x\#}(T)).
  \end{align*}
  (Erinnerung: F\"ur $v\in p^{-1}(x)$ ist $\Phi(v)=(x,\Phi_x(v))$,
  wobei $\Phi_x:p^{-1}(x)\to E$ ein Isomorphismus ist.)  
\end{definition}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item \textbf{Vertr\"aglichkeit der Karten:} Sei $(x,T)\in U\times
    E^{(r,s)}$. Es gilt
    \begin{align*} \Psi_\#\circ (\Phi_\#)^{-1}(x,T)
      =&\,\left(x,\Psi_{x\#}\circ(\Phi_{x\#})^{-1}(T)\right)
      =\left(x,\Psi_{x\#}\circ \left(\Phi_{x}^{-1}\right)_{\#}(T)
      \right)\\
      =&\,\left(x,\left(\Psi_x\circ
          \Phi_x^{-1}\right)_\#(T)\right).
    \end{align*} 
    Nach Definition eines Vektorb\"undels ist $x\mapsto
    \Psi_x\circ\Phi_x^{-1}$ stetig (\bzw $\in C^k$) von $U\cap V$ nach
    $\Iso(E)$. Nach Bemerkung \ref{doppelkr bem} \eqref{diffbar
      doppelkr bem} ist \[(\phi\mapsto\phi_\#)\in
    C^\infty\big(\Iso(E),\Iso\big(E^{(r,s)}\big)\big).\] Somit
    ist $x\mapsto\left(\Psi_x\circ\Phi_x^{-1}\right)_\#$ stetig (\bzw
    $C^k$) von $U\cap V$ nach $\Iso\left(E^{(r,s)}\right)$. Nach Lemma
    \ref{atlas liefert top lem} existiert daher genau eine Topologie
    auf $X^{(r,s)}$ zu dem festgelegten Atlas, so dass alle $\Phi_\#$
    Hom\"oomorphismen werden. Somit ist \[p^{(r,s)}\colon X^{(r,s)}\to
    B\] ein Vektorb\"undel von der Klasse $C^k$, falls $p\colon X\to
    B$ von der Klasse $C^k$ ist. 
  \item \textbf{Spezialfall Tangentialb\"undel:} Das
    Tangentialb\"undel ist $p:TM\to M$. Die Schnitte von
    $p^{(r,s)}\colon (TM)^{(r,s)}\to M$ hei\ss{}en Tensorfelder (oder
    kurz: Tensoren) auf $M$. \par
    Insbesondere hei\ss{}t das B\"undel $p^{(0,1)}\colon
    (TM)^{(0,1)}\to M$ Kotangentialb\"undel auf $M$. Es wird mit
    $T^*M$ bezeichnet. Die zugeh\"origen Schnitte hei\ss{}en
    $1$-Formen und werden h\"aufig mit $\omega$ bezeichnet.\par
    Weiterhin ist $p^{(1,0)}\colon(TM)^{(1,0)}\to M$ (bis auf
    Isomorphie) das Tangentialb\"undel.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\Section{Vektorfelder}
\begin{definition}[Derivation]
  Sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann ist
  $C^1(M)=C^1(M,\R)$ ein Vektorraum und ein kommutativer Ring mit
  $(f\cdot g)(x):=f(x)\cdot g(x)$. Sei $p\in M$, $v\in T_pM$ und $f\in
  C^1(M)$. Definiere $vf:=f_{*,p}(v)$. Entsprechend setzen wir f\"ur
  ein Vektorfeld $X$ auf $M$ \[(Xf)(p):=vf,\] falls $X(p)=(p,v)$ (was
  wir auch als \glqq$X(p)=v$\grqq{} schreiben werden). \par Die
  Operation $v\colon C^1(M)\to\R$ erf\"ullt
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $v(f+g)=v(f)+v(g)$,
  \item $v(fg)=(vf)g(p)+f(p)vg$,
  \item $v(\lambda f)=\lambda v(f)$ f\"ur alle $\lambda\in\R$.
  \end{enumerate}
  Eine Abbildung $\delta:C^1(M)\to\R$ mit diesen Eigenschaften
  hei\ss{}t Derivation in $p$.  
\end{definition}

\begin{remark}\label{Umgebung Null Bem}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $\delta$ eine Derivation in $p$, so ist $\delta f=0$ f\"ur
    alle $f$ mit $f\equiv0$ in einer Umgebung von $p$. 
    \begin{proof}[Beweis]
      Gelte $f\equiv 0$ in $U$. W\"ahle $g\in C^1(M)$ mit $g(p)=2$ und
      $g=1$ in $M\setminus U$. Dann gilt $f=fg$ und in $p$ folgt
      $\delta f=\delta(fg)=\delta f2+0$, also $\delta f=0$. 
    \end{proof}
  \item Jede Derivation in $p$ l\"a\ss{}t sich auf von $C^1(M)$ auf
    $C^1(U)$, $U$ eine beliebige Umgebung von $p$, einschr\"anken:
    W\"ahle (z.\,B.{} mit Hilfe einer Karte) Umgebungen $V,\,W$ von
    $p$ mit $\bar V\subset W\subset \bar W\subset U$ und $h\in C^1(M)$
    mit $h=1$ auf $V$ und $h=0$ auf $M\setminus\bar W$. Definiere
    f\"ur $f\in C^1(U)$
    \[\delta(f):=\delta\big(\tilde f\big)\quad\text{mit }\tilde f=
    \begin{cases}
      hf&\text{in }U,\\
      0&\text{sonst}. 
    \end{cases}
    \] Aufgrund des ersten Teiles der Bemerkung ist dies
    wohldefiniert. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{lemma}\label{f taylorartig Rn}
  Ist $f\in C^k(B_1(0))$, so gibt es Funktionen $f_i\in
  C^{k-1}(B_1(0))$ mit \[f(x)=f(0)+\sum\limits_{i=1}^nx^if_i(x).\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt $f(x)-f(0) =\int\limits_0^1\frac{d}{dt}f(tx)\,dt
  =\int\limits_0^1\sum\limits_{i=1}^n
  \fracp{f}{x^i}(tx)x^i\,dt$. Setze also
  $f_i(x):=\int\limits_0^1\fracp f{x^i}(tx)\,dt$.
\end{proof}

\begin{corollary}\label{f taylorartig Mf}
  Ist $(U,\phi)$ eine Karte von $M$ mit $p\in U$, $\phi(p)=0$ und
  $\phi(U)=B_1(0)$, so gibt es zu $f\in C^k(U)$ Funktionen $f_i\in
  C^{k-1}(U)$ mit $f-f(p)=\sum\limits_{i=1}^n\phi^if_i$. 
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir wenden Lemma \ref{f taylorartig Rn} auf $f\circ\phi^{-1}$ an und
  erhalten
  \[f\circ\phi^{-1}-f\circ\underbrace{\phi^{-1}(0)}_{=p}
  =\sum\limits_{i=1}^n x^i\tilde f_i.\] Wende nun
  \glqq$\circ\phi$\grqq{} an und setze $f_i:=\tilde f_i\circ\phi$. 
\end{proof}

Derivationen und Vektorfelder entsprechen einander:
\begin{theorem}\label{deriv vf thm}
  Zu jeder Derivation $\delta$ in $p\in M$ gibt es genau ein $v\in
  T_pM$ mit $\delta f=vf$ f\"ur alle $f\in C^2(M)$.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Zun\"achst einmal verschwindet $\delta(c)$ f\"ur jede Konstante
  $c\in\R$, da $\delta(1) =\delta(1\cdot 1) =\delta(1)\cdot
  1+1\cdot\delta(1) =2\delta(1)$ auch $\delta(1)=0$ impliziert. Daher
  folgt nach Korollar \ref{f taylorartig
    Mf} \[\delta(f)=\underbrace{\delta(f(p))}_{=0}
  +\sum\limits_{i=1}^m\Big(\delta\left(\phi^i\right)f_i(p)
  +\underbrace{\phi^i(p)}_{=0}\delta(f_i)\Big).\] Da $\phi_{*,p}\colon
  T_pM\to\R^m$ ein Isomorphismus ist, gibt es genau ein $v\in T_pM$
  mit $\phi_{*,p}(v)=\left(\delta\left(\phi^1\right),\ldots,
    \delta\left(\phi^m\right)\right)$. Dies ist nach Definition
  \"aquivalent zu $v\phi^i=\delta\phi^i$ f\"ur $i=1,\ldots,m$. Wir
  erhalten \[vf=v\left(\sum\limits_{i=1}^m\phi^if_i\right)
  =\sum\limits_{i=1}^m
  \underbrace{\left(v\phi^i\right)}_{=\delta\phi^i} f_i(p)
  +\sum\limits_{i=1}^m\underbrace{\phi^i(p)}_{=0}(vf_i) =\delta f.
  \qedhere\]
\end{proof}

\begin{definition}
  Ein $C^k$-Vektorfeld $V$, $0\le k\le\infty$, auf einer
  Mannigfaltigkeit der Klasse $C^{k+1}$ ist eine Abbildung $M\to TM$
  der Klasse $C^k$ mit $V(p)\in T_pM\subset TM$.
\end{definition}

\begin{definition}[Lie-Produkt von Vektorfeldern]
  Seien $X,\,Y$ Vektorfelder der Klasse $C^1$ auf $M$. Sei $f\in
  C^2(M)$. Definiere \[\sigma(f):=X(Yf)-Y(Xf).\] Wir werden gleich
  nachrechnen, dass $\sigma$ in jedem Punkt $p\in M$ eine Derivation
  (f\"ur $C^2$-Funktionen) definiert. Nach Theorem \ref{deriv vf thm}
  existiert genau ein Vektorfeld $Z$ mit $\sigma f=Zf$ f\"ur alle
  $f\in C^2(M)$. Wir definieren das Lieprodukt von $X$ und $Y$ durch
  $[X,Y]:=Z$.
\end{definition}

\begin{remark}\label{Lie in Kds}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\sigma$ ist eine Derivation: Die Linearit\"at ist klar. \par
    \textbf{Produktregel:}
    \begin{align*}
      \sigma(fg)=&\,X(fYg+gYf)-Y(fXg+gXf)\\
      =&\,XfYg+fXYg+XgYf+gXYf-YfXg-fYXg-YgXf-gYXf\\
      =&\,f\sigma(g)+g\sigma(f).
    \end{align*}
  \item \textbf{Koordinatendarstellung von $[X,Y]$:} 
    \label{koordinatendarstellung ii} Sei $(U,\phi)$
    eine Karte von $M$ und sei $(U,\Phi)$ die zugeh\"orige
    B\"undelkarte von $TM$, \dh gelte $\Phi(x,v)=(x,\phi_{*,x}(v))$
    f\"ur $v\in T_xM$. Sei $e_1,\ldots,e_n$ die Standardbasis des
    $\R^n$, $E_i(x)=(x,e_i)$, $i=1,\ldots,n$, seien die entsprechenden
    Schnitte in $U\times\R^n$. Setze $X_i:=\Phi^{-1}E_i$. Dann ist
    $X_i(x)=\left(x,(\phi_{*,x})^{-1}e_i\right)$,
    $i=1,\ldots,n$. $(X_1,\ldots,X_n)$ hei\ss{}en die zur Karte
    $(U,\phi)$ geh\"orenden Standardbasisvektorfelder. Jedes
    Vektorfeld $X$ besitzt dann in $U$ eine Darstellung
    $X=\sum\limits_i\lambda^iX_i$ mit Funktionen $\lambda^i$. F\"ur
    $f\in C^1(U)$ gilt
    \begin{align*}
      X_if|_p=&\,f_*X_i|_p =f_*(\phi_{*,p})^{-1}e_i
      =f_*\left(\phi^{-1}\right)_{*,\phi(p)}e_i
      =\left(f\circ\phi^{-1}\right)_{*,\phi(p)}e_i\\
      =&\,\left(\fracp{}{x^i}\left(f\circ\phi^{-1}
        \right)\right)\circ\phi(p).
    \end{align*}
    Wegen $X_if=\left(\fracp{}{x^i} \left(f\circ\phi^{-1}\right)
    \right)\circ\phi$ werden die $X_i$ oft auch als $\fracp{}{x^i}$
    bezeichnet. Es folgt f\"ur $f\in C^2(U)$
    \begin{align*}
      X_jX_if=&\,X_j\left(\left(\fracp{}{x^i}
          \left(f\circ\phi^{-1}\right) \right)\circ\phi\right)\\
      =&\,\left(\fracp{}{x^j}\left(\fracp{}{x^i}
          \left(f\circ\phi^{-1}\right)
        \right)\right)\circ\phi\quad\text{wegen
        $\phi\circ\phi^{-1}=\id$}\\
      =&\,\left(\fracp{}{x^i}\left(\fracp{}{x^j}
          \left(f\circ\phi^{-1}\right)
        \right)\right)\circ\phi\quad\begin{minipage}{3.9cm}da
        partielle Ableitungen im $\R^n$
        kommutieren\end{minipage}\\
      =&\,X_iX_jf.
    \end{align*}
    Somit ist $[X_i,X_j]=0$ f\"ur die Standardbasisvektorfelder. Seien
    $X,\,Y$ Vektorfelder, $f,\lambda\in C^2(M)$. Es folgt
    \begin{align*}
      [X,\lambda Y]f=&\,X(\lambda Yf)-\lambda YXf
      =X\lambda Yf+\lambda XYf-\lambda YXf\\
      =&\,(X\lambda)Yf+\lambda[X,Y]f,
      \intertext{\dh}
      [X,\lambda Y]=&\,(X\lambda)Y+\lambda[X,Y],\\
      [\lambda X,Y]=&\,-[Y,\lambda X] =-(Y\lambda)X+\lambda[X,Y].
    \end{align*}
    Seien jetzt $X,\,Y$ beliebige Vektorfelder der Klasse $C^l$ auf
    $U$, $1\le l\le k-1$, $M\in C^k$. Dann besitzen $X$ und $Y$
    Darstellungen \[X=\sum\limits_{i=1}^na^iX_i\quad\text{und} \quad
    Y=\sum\limits_{j=1}^nb^jX_j.\] Es folgt aufgrund der obigen
    Rechenregeln 
    \begin{align*}
      [X,Y]=&\,\left[X,\sum b^jX_j\right]
      =\sum\limits_j\left[X,b^jX_j\right]\\ 
      =&\,\sum\limits_j\Big(\!\left(Xb^j\right)X_j +b^j[X,X_j]\Big)
      =\sum\limits_jXb^jX_j +\sum\limits_{j,\,k} b^j
      \left[a^kX_k,X_j\right]\\
      =&\,\sum\limits_j Xb^jX_j +\sum\limits_{j,\,k}
      \Big(b^j\big(-X_ja^k\big)X_k
      +b^ja^k\underbrace{[X_k,X_j]}_{=0}\Big)\\
      =&\,\sum\limits_{j=1}^n\left(Xb^j-Ya^j\right)X_j.
    \end{align*}
  \item Hieraus folgt: Sind $X,\,Y\in C^l$, so ist $[X,Y]\in
    C^{l-1}$. 
  \item \textbf{Jacobi-Identit\"at:} Sind $X,\,Y,\,Z$ drei
    $C^2$-Vektorfelder auf $M$, dann gilt \[[X,[Y,Z]] +[Y,[Z,X]]
    +[Z,[X,Y]] =0.\]
    \begin{proof}[Beweis]
      \"Ubungsaufgabe. 
    \end{proof}
  \item Ist $M$ von der Klasse $C^\infty$, so wird der $\R$-Vektorraum
    der $C^\infty$-Vektorfelder auf $M$ zu einer reellen Lie-Algebra
    mit dem Produkt $(X,Y)\mapsto [X,Y]$. \par
    Allgemeiner ist eine Lie-Algebra ein Vektorraum $V$ \"uber einem
    K\"orper $K$ mit einer Verkn\"upfung $[\cdot,\cdot]\colon V\times V\to
    V$, die Lie-Klammer hei\ss{}t, und die folgenden Axiome erf\"ullt:
    \begin{enumerate}
    \item Die Lie-klammer ist in beiden Argumenten linear, \zB
      $[\lambda u+v,w]=\lambda[u,w]+[v,w]$ f\"ur alle $\lambda\in K$,
      $u,v,w\in V$,
    \item es gilt die Jacobi-Identit\"at $[u,[v,w]] +[v,[w,u]]
      +[w,[u,v]]=0$ f\"ur alle $u,v,w\in V$,
    \item $[u,u]=0$ f\"ur alle $u\in V$. 
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{remark}[Koordinatenschreibweise]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item F\"ur kovariante Tensoren, \zB f\"ur 1-Formen $\omega$,
    verwenden wir untere Indices: $\omega_i$. F\"ur kontravariante
    Tensoren, \zB f\"ur Vektorfelder $X$, verwenden wir obere Indices:
    $X^i$. F\"ur allgemeinere Tensoren in $TM^{(r,s)}$ benutzen wir
    $r$ obere (\glqq kontravariante\grqq) Indices und $s$ untere
    (\glqq kovariante\grqq) Indices.
  \item Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit und seien $(U,\phi)$ und
    $(V,\psi)$ verschiedene Karten f\"ur $M$ mit Koordinaten $x^i$
    \bzw $y^i$ und $U\cap V\neq\emptyset$; genauer: \ldots{} mit
    Koordinaten $(x^i)$ \ldots. Sei $X=X^i\fracp{}{x^i}$ ein
    Vektorfeld. Betrachte $y=y(x)=\psi\circ\phi^{-1}(x)$. Dann gilt
    nach Lemma \ref{TxM ist VR}
    \[X^i\fracp{}{x^i} =\fracp{y^j}{x^i} X^i\fracp{}{y^j},\]
    oder, mit etwas mehr Details,
    \begin{align*}
      \fracp{}{x^i}(p)=&\,\phi^{-1}_{*,p}\langle e_i\rangle
      =\psi^{-1}_{*,p}\circ \psi_{*,p} \circ\phi^{-1}_{*,p}\langle
      e_i\rangle\umbruch\\ \overset{\text{Lem. \ref{TxM ist
            VR}}}=&\,\psi^{-1}_{*,p}\left\langle d\left
      (\psi\circ\phi^{-1}\right)(\phi(p))\langle
      e_i\rangle\right\rangle\umbruch\\ 
      =&\,\psi^{-1}_{*,p}\left\langle\fracp{\left(\psi
        \circ\phi^{-1}\right)
        (\phi(p))}{x^i}\right\rangle\umbruch\\ =&\,\psi^{-1}_{*,p}
      \left\langle\fracp{\left( \psi\circ\phi^{-1}\right)^j
        (\phi(p))}{x^i}e_j\right\rangle\umbruch\\ 
      \overset{\text{def. }y}=&\,\fracp{y^j}{x^i}\psi^{-1}_{*,p}\langle
      e_j\rangle \overset{\text{def.}}=\fracp{y^j}{x^i}\fracp{}{y^j},
    \end{align*}
    wobei wir
    $\fracp{}{x^i}=\left(\phi^{-1}\right)_*e_i$ und
    $\fracp{}{y^j}=\left(\psi^{-1}\right)_*e_j$ f\"ur Basen $e_k$ des
    $\R^m$ im Bild der Karte $\phi$ \bzw $\psi$ benutzt haben.  Wir
    schreiben dies auch als \[\fracp{}{x^i} =\fracp{y^j}{x^i}
    \fracp{}{y^j}.\]
  \item Sei $X=X^i\fracp{}{x^i}$ in Koordinaten ein Vektorfeld auf $M$
    und $f\colon M\to N$ eine Abbildung. Wie in Bemerkung \ref{f*
      koord bem} seien $\phi$ und $\psi$ Karten f\"ur $M$ \bzw
    $N$. Definiere $\tilde f:=\psi\circ f\circ\phi^{-1}$, also $f$
    \glqq in Karten\grqq, und $y=\tilde f(x)$. Dann gilt
    \[f_*(X)= f_*\left(X^i\fracp{}{x^i}\right)
    =X^i\fracp{y^j}{x^i}\fracp{}{y^j}.\] Im Spezialfall $f=\id$ werden
    also aus den Koordinaten $X^i$ in der \glqq$\phi$-Karte\grqq{} die
    Koordinaten $X^i\fracp{y^j}{x^i}$ in der
    \glqq$\psi$-Karte\grqq{}. Wir erhalten dasselbe Ergebnis wie oben
    oder wie nach Definition \ref{def tensor trafo}, siehe auch weiter
    unten.
  \item Sei $X$ ein Vektor und $\omega$ eine $1$-Form. Seien
    $\phi,\,\psi$ Kartenabbildungen. Bezeichne mit $dx^1,\, \ldots,\,
    dx^m$ eine zu $\fracp{}{x^1},\,\ldots,\,\fracp{}{x^m}$ duale
    Basis, \dh gelte \[dx^i\left(\fracp{}{x^j}\right) =\delta^i_j.\]
    (Alternativ: Definiere die zu $\fracp{}{x^1},\ldots,\fracp{}{x^m}$
    duale Basis $d\phi^1\equiv dx^1,\ldots,d\phi^m\equiv dx^m$ durch
    $d\phi^i(X):=X\phi^i$. Hieraus folgt (mit Bemerkung \ref{Lie in
      Kds} \eqref{koordinatendarstellung ii} beim zweiten
    Gleichheitszeichen)
    \[\left.dx^i\left(\fracp{}{x^j}\right) =\fracp{}{x^j}\phi^i
      =\fracp{(\phi^i\circ\phi^{-1})}{x^j}\circ\phi
      =\fracp{x^i}{x^j}\circ\phi =\delta^i_j.\right)\] Entsprechend zu
      den Basen $dx^1,\ldots$ bez\"uglich der $\phi$-Karte definieren
      wir Basen $dy^1,\ldots$ bez\"uglich der $\psi$-Karte. Auch hier
      gilt wieder $dy^i\left(\fracp{}{y^j}\right)=\delta^i_j$. Mit
      Hilfe geeigneter Koeffizienten $a^i_j$ k\"onnen wir auch die
      dualen Basen ineinander Transformieren: $dx^i=a^i_kdy^k$.  Wir
      schreiben $y=\psi\circ\phi^{-1}(x)$,
      $d(\psi\circ\phi^{-1})=\left(\fracp yx\right)$ und bezeichnen
      die Inverse mit $\left(\fracp xy\right)$.  Die Wahl der
      Koeffizienten $a^i_k$ ergibt sich dabei aus
    \[\delta^i_j =dx^i\fracp{}{x^j} =a^i_k dy^k
    \fracp{y^l}{x^j}\fracp{}{y^l} =a^i_k\fracp{y^k}{x^j}.\]
    Somit ist $a^i_k=\fracp{x^i}{y^k}$ und es gilt die
    Transformationsregel $dx^i=\fracp{x^i}{y^j}dy^j$.  
  \item Der Ausdruck ist $\omega(X)$ invariant, \dh
    kartenunabh\"angig, definiert; in Karten gilt aufgrund der obigen
    Rechnung \[\omega (X)=\omega_idx^i X^j\fracp{}{x^j}
    =\omega_iX^j\delta^i_j =\omega_iX^i =\omega_i\fracp{x^i}{y^k}dy^k
    X^j\fracp{y^l}{x^j}\fracp{}{y^l}.\]
  \item Sei nun $T$ ein $(1,1)$-Tensorfeld. (F\"ur ein
    $(r,s)$-Tensorfeld verf\"ahrt man mit s\"amtlichen Eintr\"agen
    entsprechend.) Wir schreiben in Koordinaten 
    \[T_i^j:=T\left(\fracp{}{x^i},dx^j\right)\] und erhalten aufgrund
    der obigen \"Uberlegungen, die wir nach Definition \ref{def
      tensor trafo} auf jedes Argument separat anwenden, 
    \[T=T_i^j\,dx^i\fracp{}{x^j} =T^j_i\fracp{x^i}{y^k}dy^k
    \fracp{y^l}{x^j}\fracp{}{y^l}.\]
  \item Sei wieder $y=\psi\circ\phi^{-1}(x)$. Wir beschreiben die
    Wirkung eines $(1,1)$-Tensors $T$ auf einen Vektor $X$ und einen
    Kovektor $\omega$, \dh auf ein Element das punktweise im Dualraum
    zu $T_pM$ ist, in Koordinaten. Es gilt 
    \begin{align*}
      T^i_j:=&\,T\left(\fracp{}{x^i},dx^j\right),\umbruch\\ 
      \left(T^k_l\right)\left((\omega_i),\left(X^j\right)\right) 
      \equiv&\, T\left((\omega_i),\left(X^j\right)\right)
      =T\left\langle\omega_idx^i,
      X^j\fracp{}{x^j}\right\rangle\umbruch\\ =&\,T^k_l
      \fracp{}{x^k}\left\langle\omega_idx^i\right\rangle
      dx^l\left\langle
      X^j\fracp{}{x^j}\right\rangle\umbruch\\ =&\,T^k_l\omega_kX^l.
    \end{align*}
    Der Deutlichkeit halber f\"ugen wir nun Indices $x$ bzw.{} $y$ an
    um anzuzeigen bez\"uglich welcher Basen wir die Komponenten
    bestimmt haben. \par Wir transformieren nun nach Definition
    \ref{def tensor trafo} unter Verwendung von
    $\Phi=\phi_{\text{Def.{} \ref{def tensor
          trafo}}}=d(\psi\circ\phi^{-1})=\left(\fracp yx\right)$.
    Die Inverse ist durch $\left(\fracp xy\right)$ gegeben, die Matrix
    der dualen Abbildung durch $\left(\fracp yx\right)$.
    \begin{align*}
      \left(\Phi_\#{}^xT\right) \left\langle\left({}^y\omega_i\right),
      \left({}^yX^j\right)\right\rangle =&\,{}^xT
      \left\langle\left(\fracp{y^i}{x^k}\cdot{}^y\omega_i\right),
      \left(\fracp{x^l}{y^j}\cdot{}^yX^j\right)\right\rangle\\ 
      =&\,{}^xT^k_l \fracp{y^i}{x^k}\cdot{}^y\omega_i \fracp{x^l}{y^j}
      \cdot{}^yX^j\umbruch\\ =&\,{}^yT^i_j\cdot{}^y\omega_i\cdot{}^yX^j
      ={}^xT^k_l\cdot{}^x\omega_k\cdot{}^xX^l,
    \end{align*}
    wobei wir in der letzten Zeile auf zwei unterschiedliche Arten
    geklammert haben. \par Bei einem Koordinatenwechsel transformieren
    sich die Koordinaten also gerade gem\"a\ss{} der Regel aus
    Definition \ref{def tensor trafo}. 
  \item F\"ur die Lie-Klammer gilt in Koordinaten
    \[[X,Y]^j=X^i\fracp{}{x^i}Y^j -Y^i\fracp{}{x^i}X^j.\]
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{remark}[Fluss eines Vektorfeldes]
  Sei $X\in C^l$, $l\ge1$, ein Vektorfeld. Betrachte die gew\"ohnliche
  Differentialgleichung $\dot\alpha=X\circ\alpha$ mit
  \begin{equation}\label{alpha ode}
    \dot\alpha\langle 1\rangle\equiv\dot\alpha =\alpha_{*,t}\langle
    1\rangle,
  \end{equation} 
  wobei $\alpha\colon I\to M$ und $I\subset\R$ ein offenes Intervall
  ist. \par Ist $(U,\phi)$ eine Karte von $M$ mit $\alpha(I)\subset
  U$, so ist $\dot\alpha=X\circ\alpha$ \"aquivalent zu
  \begin{align*}
    \phi_{*,\alpha(t)}\alpha_{*,t}\langle 1\rangle 
    =&\,\phi_{*,\alpha(t)}X(\alpha(t)).  \intertext{Wir
      formen beide Seiten um} \phi_*\left(\left(X\circ\phi^{-1}\right)
      (\phi(\alpha(t)))\right) =&\,(\phi\circ\alpha)_{*,t}\langle
    1\rangle =(\phi(\alpha(t)),(\phi\circ\alpha)'(t)).
  \end{align*}
  $\phi_*(X\circ\phi^{-1})$ ist ein Vektorfeld auf $\phi(U)$ und daher
  von der Form $\phi_*X\circ\phi^{-1}(y) =(y,X_U(y))$. Daher ist
  \eqref{alpha ode} \"aquivalent zu $(\phi\circ\alpha)'(t)
  =X_U(\phi\circ\alpha(t))$. Nach dem Existenzsatz f\"ur gew\"ohnliche
  Differentialgleichungen gibt es daher lokal eine L\"osung: Zu jedem
  $p_0\in M$ existiert eine offene Umgebung $U_0$ von $p_0$ und eine
  offenes Intervall $I\subset\R$, $0\in I$, sowie eine Abbildung $F\in
  C^l(U_0\times I,M)$, so dass
  \begin{align*}
    F(p,0)=&\,p\quad\forall p\in U_0,\\
    \dot F=&\,X\circ F,\quad\text{wobei }\dot F(p,t) =F_{*,(p,t)}
    \langle(0,1)\rangle
  \end{align*}
  ist, \dh $t\mapsto F(p,t)$ ist eine Integralkurve von $X$ mit
  Anfangspunkt $p$ f\"ur $t=0$. $F$ hei\ss{}t lokaler Fluss von $X$. 
\end{remark}

\begin{lemma}[Eindeutigkeitssatz]
  Seien $\alpha_1,\alpha_2\colon(a,b)\to M$ Integralkurven von $X$ mit
  $\alpha_1(t_0)=\alpha_2(t_0)$ f\"ur ein $t_0\in(a,b)$. Dann gilt
  $\alpha_1=\alpha_2$. 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Setze $c_0:=\sup\{c\colon\alpha_1(t)=\alpha_2(t)\,\forall\,t_0\le
  t\le c\}$. Falls $c_0<b$ ist, folgt $\alpha_1(c_0)=\alpha_2(c_0)$,
  weil die Kurven $\alpha_i$ stetig sind und $M$ Hausdorffsch ist. Sei
  $(U,\phi)$ eine Karte von $M$ mit $\alpha_i(t)\in U$ f\"ur
  $c_0-\epsilon<t<c_0+\epsilon$ und $\epsilon>0$ f\"ur $i=1,\,2$. Dann
  gilt $(\phi\circ\alpha_i)'(t) =X_U(\phi\circ\alpha_i(t))$ f\"ur
  diese Werte von $t$ und $\phi\circ\alpha_1(c_0)
  =\phi\circ\alpha_2(c_0)$. Aufgrund des Eindeutigkeitssatzes f\"ur
  gew\"ohnliche Differentialgleichungen folgt
  $\phi\circ\alpha_1(t)=\phi\circ\alpha_2(t)$ f\"ur $t$ nahe $c_0$. 
  Widerspruch zur Definition von $c_0$. Die Behauptung folgt. 
\end{proof}

\begin{corollary}
  F\"ur jedes $p\in M$ gibt es ein eindeutig bestimmtes maximales
  offenes Intervall $I_p$ mit $0\in I_p$, auf welchem die
  Integralkurve $\alpha$ mit $\alpha(0)=p$ definiert ist, n\"amlich
  die Vereinigung aller offenen Intervalle $I$ mit $0\in I$, so dass
  $\alpha\colon I\to M$ eine Integralkurve mit $\alpha(0)=p$ ist. 
\end{corollary}

\begin{remark}[Erinnerung: Lebesguesche Zahl]
  Sei $K\subset\R^n$ kompakt, $K\subset\bigcup\limits_{i\in I} U_i$,
  $U_i$ offen. Dann existiert $\lambda>0$, so dass f\"ur alle
  Mengen $A\subset\R^n$ mit $A\cap K\neq\emptyset$ und $\diam
  A<\lambda$ ein $i\in I$ mit $A\subset U_i$ existiert. 
\end{remark}

\begin{theorem}[Existenzsatz f\"ur den maximalen Fluss] 
  Sei $W:=\bigcup\limits_{p\in M}\{p\}\times I_p\subset M\times\R$ und
  f\"ur $p\in M$ sei $F(p,\cdot)\colon I_p\to M$ die maximale
  Integralkurve von $X\in C^l$, $l\ge1$, mit $F(p,0)=p$. Dann ist $W$
  in $M\times\R$ offen und $F\in C^l(W,M)$. ($F$ hei\ss{}t maximaler
  Fluss von $X$.)
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $(\bar p,\bar t)\in W$, ohne Einschr\"ankung $\bar t>0$. Nach
  Definition und Eindeutigkeitssatz folgt
  \begin{equation}
    \label{F halbgr}
    F(F(p,s),t)=F(p,s+t),
  \end{equation}
  da f\"ur festes $(p,s)$ auf beiden Seiten die eindeutig bestimmte
  Integralkurve von $X$ mit Anfangspunkt $F(p,s)$ f\"ur $t=0$
  steht. Aufgrund des lokalen Existenzsatzes und aufgrund des Lemmas
  \"uber die Lebesguesche Zahl, angewandt auf $\big[0,\bar t\big]$,
  gibt es eine Zahl $N\in\N$ und offene Umgebungen $U_j$ von $F(\bar
  p,\frac jN\bar t)$, $j=0,\ldots,N$, so dass $F$ auf
  $U_j\times\left(\frac{-2}N\bar t,\frac{2}N\bar t\right)$ definiert
  und von der Klasse $C^l$ ist. Wir schreiben $F_t(p)=F(p,t)$ und
  erhalten aus \eqref{F halbgr} \[F_{\frac{\bar
      t}N}\left(F_{\frac{j-1}N\bar t}(\bar p)\right) =F_{\frac jN\bar
    t}(\bar p).\] W\"ahle nun induktiv (absteigend) Umgebungen
  $U'_j\subset U_j$
  von $F_{\frac jN\bar t}(\bar p)$ mit $U'_N:=U_N$, $F_{\frac{\bar
      t}N}(U_{j-1}')\subset U_j'$, \zB $U_{j-1}' =F_{-\frac{\bar
      t}N}(U_j')\cap U_{j-1}$. F\"ur $p\in U_0'$ wollen wir
  $\alpha(p,t):=F_t(p)$ f\"ur $0\le t\le\frac{N+1}N\bar t$
  definieren. Es gilt f\"ur $0\le t\le\frac{N+1}N\bar t$ und $0\le
  j\le N$ mit $\frac{j\bar t}N\le t<\frac{(j+1)\bar t}N$
  \[\alpha(p,t) =F_{t-\frac{j\bar t}N}\Big(
  \underbrace{F_{\frac{\bar t}N} \left(\ldots \left(F_{\frac{\bar
            t}N}(p)\right)\ldots\right) }_{\text{$j$-mal iteriert}}
  \Big).\] Aufgrund des Eindeutigkeitssatzes ist $\alpha(p,t)$ eine
  Integralkurve von $X$ mit $\alpha(p,0)=p$. Somit ist $F(t,p)$ f\"ur
  alle $p\in U_0'$ und $t\in\left[0,\frac{N+1}N\bar t\right]$
  wohldefiniert und es gilt \[F_t(p)=F_{t-\bar t}
  \Big(\underbrace{F_{\frac{\bar t}N} \left( \ldots\left(
        F_{\frac{\bar t}N}(p) \ldots\right) \right)
  }_{\text{$N$-mal}}\Big)\] f\"ur $|\bar t-t|\le\frac{\bar t}N$ und
  $p\in U_0'$. Daher ist $U_0'\times\left(\bar t-\frac{\bar t}N, \bar
    t+\frac{\bar t}N\right)\subset W$ und $F$ ist dort von der Klasse
  $C^l$.
\end{proof}

\Section{Zusammenh\"ange}
Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit der Klasse $C^k$, $k\ge2$. \par
Seien $V^l(M)$ die Vektorfelder der Klasse $C^l$, $0\le l\le k-1$ auf
$M$. Dann ist $V^l(M)$ ein $C^l(M)$-Modul. Es gilt n\"amlich f\"ur
$V,W\in V^l(M)$ und $f,g\in C^l(M)$. 
\begin{enumerate}[(i)]
\item $f(V+W)=fV+fW$,
\item $(f+g)V=fV+gV$,
\item $(fg)V=f(gV)$,
\item $1V=V$ 
\end{enumerate}
und $C^l(M)$ ist ein Ring. 

\begin{definition}[Zusammenhang]
  Ein Zusammenhang auf $M$ (der Klasse $C^l$) ist eine
  Abbildung 
  \begin{align*}
    \nabla:V^l(M)\times V^{l+1}(M)\to &\,V^l(M),\\
    (X,Y)\mapsto&\,\nabla_XY,
  \end{align*}
  mit
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\nabla_X(Y_1+Y_2)=\nabla_XY_1+\nabla_XY_2$,
  \item $\nabla_X(fY)=(Xf)Y+f\nabla_XY$,
  \item $\nabla_{X_1+X_2}Y=\nabla_{X_1}Y+\nabla_{X_2}Y$ und
  \item $\nabla_{gX}Y=g\nabla_XY$,   
  \end{enumerate}
  wobei $X,X_1,X_2\in V^l(M)$, $Y,Y_1,Y_2\in V^{l+1}(M)$, $f\in
  C^{l+1}(M)$ und $g\in C^l(M)$. 
\end{definition}

\begin{example}\label{proj zshg}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $TM$ trivial, dann existieren globale Basisfelder
    $X_1,\ldots,X_m\in C^{k-1}$. Schreibe $Y\in V^l(M)$, $l\le k-1$,
    als $Y=\lambda^jX_j$ mit $\lambda^j\in C^l$. Definiere
    $\nabla_XY:=(X\lambda^j)X_j$. Es gilt insbesondere
    $\nabla_XX_j=0$.
  \item Sei $M\subset\R^n$ eine Untermannigfaltigkeit der Klasse
    $C^k$. F\"ur $x\in M$ sei $P(x):\R^n\to T_xM$ die orthogonale
    Projektion auf den Tangentialraum
    $T_xM:=\{\alpha'(0)|\alpha\colon(-\epsilon,\epsilon)\to M,\,
    \alpha(0)=x\}\subset\R^n$. Dann ist $P:M\to L(\R^n)$ von der
    Klasse $C^{k-1}$: Sei $(U,\phi)$ eine Karte von $\R^n$ mit
    $\phi(U\cap M)=\phi(U)\cap\R^m$. Dann gibt es Basisfelder
    $X_1,\ldots,X_n\in C^{k-1}(U,\R^n)$, so dass $X_1,\ldots,X_m$
    tangential zu $M$ sind. Nach Orthonormalisierung d\"urfen wir ohne
    Einschr\"ankung annehmen, dass $X_1,\ldots,X_n$ eine
    Orthogonalbasis ist. Dann gilt \[P(x)Y=\sum\limits_{j=1}^m\langle
    Y,X_j(x)\rangle_{\R^n}X_j(x).\] Setze $\nabla_XY(z):=P(z)\langle
    dY(z)\langle X(z)\rangle\rangle$, wobei wir das Vektorfeld
    $Y\colon M\to\R^n$ in eine Umgebung von $M$ fortsetzen. Beachte,
    dass diese Definition nicht von der Fortsetzung abh\"angt (kleine
    \"Ubung).
  \end{enumerate}
\end{example}

\begin{remark}\label{Christoffel bestimmt Zshg bem}
  Sei $M\in C^k$.  Wir wollen die Zusammenhangsabbildung lokal in
  Karten darstellen.  Sei $\fracp{}{x^i}$ ein Standardbasisvektorfeld
  zu einer Karte $(U,\phi)$, \dh aufgrund bisheriger \"Uberlegungen
  gilt
  $\fracp{}{x^i}f=\fracp{\left(f\circ\phi^{-1}\right)}{x^i}\circ\phi$.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\nabla_XY|_p$ h\"angt nur vom Wert $X(p)$ ab, \dh $\nabla_XY$
    ist tensoriell in Bezug auf $X$: Dies ist \"aquivalent zu
    $\nabla_XY|_p=0$ falls $X(p)=0$ gilt. Gelte also $X(p)=0$. W\"ahle
    eine Karte $(U,\phi)$ um $p$ sowie eine Umgebung $V$ von $p$ mit
    $\bar V\subset U$, und $g\in C^k(M)$ mit $g(p)=1$ und $g=0$ auf
    $M\setminus V$. Schreibe $X=\lambda^i\fracp{}{x^i}$ auf $U$. Es
    gilt $g^2X=\sum(g\lambda^i)\left(g\tfracp{}{x^i}\right)$. Setze
    \[\tilde\lambda^i=
    \begin{cases}
      g\lambda^i&\text{auf }U,\\
      0&\text{sonst},
    \end{cases}
    \qquad\tilde X_i=
    \begin{cases}
      g\fracp{}{x^i}&\text{auf }U,\\
      0&\text{sonst}.
    \end{cases}
    \]
    Dann gilt $g^2X=\sum\tilde\lambda^i\tilde X_i$ auf $M$ und
    $\tilde\lambda^i(p) =g\lambda^i(p)=0$. Es folgt \[\nabla_XY|_p
    =g^2(p)\nabla_XY|_p =\nabla_{g^2X}Y|_p
    =\nabla_{\sum\tilde\lambda^i\tilde X_i}Y|_p
    =\sum\limits\underbrace{\tilde\lambda^i(p)}_{=0} \nabla_{\tilde
      X_i}Y|_p=0.\]
  \item Analog zu Bemerkung \ref{Umgebung Null Bem} verschwindet
    $\nabla_XY|_p$, falls $Y$ in einer Umgebung von $p$ verschwindet;
    somit h\"angt $\nabla_XY|_p$ nur von den Werten von $Y$ in einer
    beliebig kleinen Umgebung von $p$ ab.
  \item Sei $U\subset M$ offen und $p\in U$, so ist $\nabla_vY|_p$
    f\"ur $v\in T_pM$ und $Y\in V^{l+1}(U)$ wohldefiniert: W\"ahle
    n\"amlich Vektorfelder $\tilde X$ und $\tilde Y$ auf $M$ mit
    $\tilde X(p)=v$ und $\tilde Y=Y$ in einer Umgebung von $p$ und
    setze $\nabla_vY|_p:=\nabla_{\tilde X}\tilde Y|_p$.
  \item Seien jetzt $\tfracp{}{x^1},\ldots,\tfracp{}{x^m}$
    Standardbasisvektorfelder auf $U$. Dann gibt es eindeutig
    bestimmte Funktionen $\Gamma^k_{ij}$, die Christoffelsymbole des
    Zusammenhanges, so dass
    \[\nabla_{\fracp{}{x^i}} \tfracp{}{x^j} =\Gamma^k_{ij}\tfracp{}{x^k}\]
    in $U$ gilt. Seien $X=\lambda^i\fracp{}{x^i}$ und
    $Y=\mu^j\fracp{}{x^j}$. Dann folgt
    \begin{align*}
      \nabla_XY=&\,\nabla_{\lambda^i\fracp{}{x^i}}
      \left(\mu^j\tfracp{}{x^j}\right) =\sum\limits_i\lambda^i
      \sum\limits_j \nabla_{\fracp{}{x^i}}
      \left(\mu^j\tfracp{}{x^j}\right)\\
      =&\,\sum\limits_i\lambda^i \sum\limits_j
      \left\{\left(\tfracp{}{x^i}\mu^j\right)\tfracp{}{x^j}
        +\mu^j\nabla_{\fracp{}{x^i}}\tfracp{}{x^j}\right\}\\
      =&\,\sum\limits_{i,j}\lambda^i \left(\tfracp{}{x^i}\mu^j\right)
      \tfracp{}{x^j} +\sum\limits_{i,j,k} \lambda^i\mu^j\Gamma^k_{ij}
      \tfracp{}{x^k}\\
      =&\,\sum\limits_k\Big(\underbrace{X\mu^k}_{=d\mu^k\langle
        X\rangle} +\sum\limits_{i,j}\Gamma^k_{ij}\lambda^i\mu^j\Big)
      \tfracp{}{x^k}. 
    \end{align*}
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{remark}[Vektorfelder l\"angs Abbildungen]
  \label{VF laengs abb}
  Seien $M,\,N$ Mannigfaltigkeiten. Jede Abbildung $F:N\to TM$ ist von
  der Form $F(x)=(f(x),Y(x))$ mit $f=p\circ F$, $p:TM\to M$ und
  $Y(x)\in T_{f(x)}M$. $Y$ hei\ss{}t Vektorfeld l\"angs $f$. \par
  Ist $Y$ ein Vektorfeld auf $M$ und $f\colon N\to M$ eine Abbildung,
  so ist $Y\circ f$ ein Vektorfeld l\"angs $f$. \par Sei $X\in T_pN$,
  berechne $\nabla_{f_{*,p}\langle X\rangle}Y|_{f(p)}$. Da $f\colon
  N\to M$ ist, folgt $f_{*,p}\colon T_pN\to T_{f(p)}M$. Sei $(U,\phi)$
  eine Karte von $M$ mit $\phi=(\phi^1,\ldots,\phi^m)$. Setze
  $f^i=\phi^i\circ f$. Dann gilt
  \begin{align*}
    f_{*,p}\langle X\rangle =&\,\left(\phi^{-1}\circ\phi\circ
      f\right)_{*,p}\langle X\rangle
    =\left(\phi^{-1}\right)_{*,\phi(f(p))}\langle
    (\phi\circ f)_{*,p}\langle X\rangle\rangle\\
    =&\,\left(\phi^{-1}\right)_{*,\phi(f(p))}
    \left\langle\sum\limits_i\left(\phi^i\circ f\right)_{*,p}\langle
      X\rangle e_i\right\rangle\\ =&\,\sum\limits_i
    \underbrace{\left(f^i\right)_{*,p}\langle X\rangle}_{=Xf^i|_p}
    \underbrace{\left(\phi^{-1}\right)_{*,\phi(f(p))}
      e_i}_{=\left.\fracp{}{x^i}\right|_{f(p)}} \intertext{und somit
      folgt f\"ur ein Vektorfeld $Y=\mu^k\fracp{}{x^k}$ auf $M$ (nach
      \glqq Kettenregel\grqq)} \nabla_{f_{*,p}\langle
      X\rangle}Y|_{f(p)} =&\,\big(\underbrace{f_{*,p}\langle X\rangle
      \mu^k|_{f(p)}}_{=X\left(\mu^k\circ f\right)|_p}
    +\Gamma^k_{ij}\left(Xf^i\right)\mu^j\big) \fracp{}{x^k}.
  \end{align*}
  Dabei h\"angt insbesondere der Ableitungsterm nur von $Y\circ f$
  ab. \par Definiere daher f\"ur $f\colon N\to M$ und beliebige
  Vektorfelder $Y(x)\in T_{f(x)}M$ mit $Y=\mu^j\fracp{}{x^j}\circ f$
  mit Funktionen $\mu^j$ auf $N$ und f\"ur Vektorfelder $X$ auf $N$
  \[\nabla^f_XY:= \left(X\mu^k +\Gamma^k_{ij}\circ
    f\cdot\left(Xf^i\right)\mu^j\right)\fracp{}{x^k}\circ f.\] Im
    Spezialfall $f=\alpha\colon(a,b)\to M$, wenn $f$ also eine Kurve
    ist und $X=\dt$ ist, gilt \[\nabla^\alpha_{\dt}Y
    \equiv\nabla^\alpha Y =\left((\mu')^k +\Gamma^k_{ij}\circ\alpha\,
    (\alpha')^i\mu^j\right) \fracp{}{x^k}\circ\alpha.\] Man rechnet
    nach, dass dies die Eigenschaften eines Zusammenhanges erf\"ullt,
    wenn auch die Vektorfelder aus unterschiedlichen R\"aumen kommen.
\end{remark}

\begin{definition}
  Ein Vektorfeld $Y$ hei\ss{}t parallel l\"angs einer Kurve $\alpha$,
  wenn $\nabla^\alpha Y=0$ gilt. 
\end{definition}

\begin{remark}
  Schreiben wir $Y=\mu^k\fracp{}{x^k}$, so ist Parallelit\"at
  \"aquivalent zu dem linearen
  Gleichungssystem 
  \[\mu'+\Gamma\circ\alpha\langle\alpha',\mu\rangle=0.\] 
\end{remark}

\begin{theorem}\label{parallel VF exist}
  Sei $\alpha\colon(a,b)\to M$ eine differenzierbare Kurve. Dann
  bilden die parallelen Vektorfelder l\"angs $\alpha$ einen
  $m$-dimensionalen Vektorraum: Zu $t_0\in(a,b)$ und $v\in
  T_{\alpha(t_0)}M$ gibt es genau ein paralleles Vektorfeld $Y$
  l\"angs $\alpha$ mit $Y(t_0)=v$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Behauptung ist nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz f\"ur
  lineare Differentialgleichungssysteme innerhalb einer Kartenumgebung
  klar. Beachte, dass bei linearen Systemen Existenz und Eindeutigkeit
  folgt, sobald die Koeffizienten stetig sind. Ein
  Fortsetzungsargument liefert dann die Behauptung. 
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $\alpha\colon(a,b)\to M$ differenzierbar und seien
  $t_0,t\in(a,b)$. Definiere eine Abbildung $P_{t_0,t}\colon
  T_{\alpha(t_0)}M\to T_{\alpha(t)}M$ durch \[T_{\alpha(t_0)}M\ni
  v\mapsto Y(t)\in T_{\alpha(t)}M,\] wobei $Y$ das l\"angs $\alpha$
  parallele Vektorfeld mit $Y(t_0)=v$ ist. $P_{t_0,t}$ ist ein
  Vektor\-raum\-iso\-mor\-phis\-mus und es gilt $P_{t_0,t}^{-1}
  =P_{t,t_0}$.
\end{corollary}

\begin{lemma}
  Sei $Y$ ein Vektorfeld l\"angs $\alpha$. Dann gilt \[\nabla^\alpha
  Y(t_0) =\lim\limits_{t\to t_0}\frac1{t-t_0}
  (P_{t,t_0}Y(t)-Y(t_0)).\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Theorem \ref{parallel VF exist} existieren $m$ linear
  unabh\"angige parallele Vektorfelder $Y_1,\ldots,Y_m$ l\"angs
  $\alpha$. F\"ur diese gilt $P_{t,t_0}Y_j(t) =Y_j(t_0)$. Schreibe
  $Y(t)=\mu^j(t)Y_j(t)$. Es folgt $P_{t,t_0}Y(t) =\mu^j(t)Y_j(t_0)$
  und
  \begin{align*}
    \lim\limits_{t\to t_0}\frac1{t-t_0}(P_{t,t_0}Y(t)-Y(t_0))
    =&\,\lim\limits_{t\to
      t_0}\frac1{t-t_0}\left(\mu^j(t)-\mu^j(t_0)\right) Y_j(t_0)\\
    =&\,(\mu')^j(t_0)Y_j(t_0)
    \intertext{und andererseits}
    \nabla^\alpha Y=&\,\nabla^\alpha(\mu^jY_j)
    =(\mu')^jY_j+\mu^j\underbrace{\nabla^\alpha Y_j}_{=0},
  \end{align*}
  wobei die letzte Gleichheit aufgrund der Parallelit\"at der
  Vektorfelder $Y_j$ gilt. 
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Die Zusammenhangsabbildung -- ausgelassen -- S. 63 Tomi-Skript. 

\begin{definition}[Torsion und Kr\"ummung]
  Seien $X,\,Y,\,Z$ lokal definierte Vektorfelder. Definiere die
  Torsion $T$ und die Kr\"ummung $R$ durch 
  \begin{align*}
    T(X,Y):=&\,\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y] \intertext{und}
    R(X,Y)Z:=&\,\nabla_X\nabla_YZ -\nabla_Y\nabla_XZ
    -\nabla_{[X,Y]}Z. 
  \end{align*}
\end{definition}

\begin{remark}
  $T$ und $R$ sind Tensorfelder, \dh $T(X,Y)|_p$ und $R(X,Y)Z|_p$
  h\"angen f\"ur beliebiges $p\in M$ nur von den Werten $X(p),\,Y(p)$
  und $Z(p)$ ab. 
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gen\"ugt zu zeigen, dass \[T(fX,Y)=fT(X,Y),\quad
  R(fX,Y)Z=fR(X,Y)Z,\quad \ldots\] f\"ur eine beliebige Funktion $f$
  gilt. 
  \par Seien n\"amlich $X$ und $\tilde X$ zwei verschiedene
  Vektorfelder mit $X(p)=\tilde X(p)$. $T(X,Y)=T\big(\tilde X,Y\big)$
  in $p$ ist \"aquivalent zu $T\big(X-\tilde X,Y\big)=0$ oder
  $\sum\limits_{i=1}^nT\left(\lambda^i\di,Y\right)=0$ f\"ur Funktionen
  $\lambda^i$ mit $\lambda^i(p)=0$. \par
  Wegen $T(X,Y)=-T(Y,X)$ und $R(X,Y)Z=-R(Y,X)Z$ gen\"ugt es sogar,
  folgendes nachzuweisen:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $T(fX,Y) =fT(X,Y)$,
  \item $R(fX,Y)Z =fR(X,Y)Z$,
  \item $R(X,Y)fZ =fR(X,Y)Z$. 
  \end{enumerate}
  Dies gilt, denn es ist
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item 
    \begin{align*}
      T(fX,Y) =&\,\nabla_{fX}Y -\nabla_Y(fX) -[fX,Y]\\
      =&\,f\nabla_XY -(Yf)X -f\nabla_YX +(Yf)X-f[X,Y]\\
      &\,\qquad\text{(nach Bemerkung \ref{Lie in Kds})}\\
      =&\,fT(X,Y).
    \end{align*}
  \item 
    \begin{align*}
      R(fX,Y)Z=&\,\nabla_{fX}\nabla_YZ -\nabla_Y\nabla_{fX}Z
      -\nabla_{[fX,Y]}Z\\ =&\,f\nabla_X\nabla_YZ -\nabla_Y(f\nabla_XZ)
      -\nabla_{-(Yf)X+f[X,Y]}Z\\
      =&\,fR(X,Y)Z -(Yf)\nabla_XZ +(Yf)\nabla_XZ\\ =&\,fR(X,Y)Z. 
    \end{align*}
  \item
    \begin{align*}
      R(X,Y)fZ =&\,\nabla_X\nabla_Y(fZ) -\nabla_Y\nabla_X(fZ)
      -\nabla_{[X,Y]}(fZ)\\ =&\,\nabla_X((Yf)Z+f\nabla_YZ)
      -\nabla_Y((Xf)Y+f\nabla_XZ)\\ &\, -([X,Y]f)Z -f\nabla_{[X,Y]}Z\\
      =&\,(XYf)Z +(Yf)\nabla_XZ +(Xf)\nabla_YZ +f\nabla_X\nabla_YZ\\
      &\,-(YXf)Z -(Xf)\nabla_YZ -(Yf)\nabla_XZ -f\nabla_Y\nabla_XZ\\ &\,
      -([X,Y]f)Z -f\nabla_{[X,Y]}Z\\ =&\,fR(X,Y)Z.\qedhere
    \end{align*}
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  Es ist
  \begin{align*}
    T|_p:T_pM\times T_pM\to&\,T_pM,\\
    R|_p:(T_pM)^3\to T_pM\cong(T_pM)''.
  \end{align*}
  Aufgrund der Identifikation $T_pM\cong(T_pM)''$ k\"onnen wir die
  Torsion $T$ als $(1,2)$-Tensorfeld und den Kr\"ummungstensor $R$ als
  $(1,3)$-Tensorfeld auffassen: Sei $Z'\in (T_pM)'$. Dann ist
  $T(X,Y)\langle Z'\rangle =Z'\langle T(X,Y)\rangle$. 
\end{remark}

\begin{remark}[Koordinatendarstellung] 
  \label{T R in Koordinaten}\neueZeilealt
  Seien $\fracp{}{x^1},\ldots,\fracp{}{x^m}$ Standardbasisvektorfelder
  zu einer Karte $(U,\phi)$. Dann definieren wir die Komponenten
  $T^k_{ij}$ und $R_{ij}{}^l{}_k$ durch
  \begin{align*}
    T\left(\tfracp{}{x^i},\tfracp{}{x^j}\right)
    =&\,T^k_{ij}\tfracp{}{x^k} \intertext{und}
    R\left(\tfracp{}{x^i},\tfracp{}{x^j}\right)\tfracp{}{x^k}
    =&\,R_{ij}{}^l{}_k\tfracp{}{x^l}.
  \end{align*}
  Da $T$ und $R$ Tensoren sind, gilt f\"ur $X=X^i\fracp{}{x^i}$,
  $Y=Y^j\fracp{}{x^j}$ und $Z=Z^k\fracp{}{x^k}$
  \begin{align*}
    T(X,Y)=&\,T^k_{ij}X^iY^j\tfracp{}{x^k},\\
    R(X,Y)Z=&\,R_{ij}{}^l{}_kX^iY^jZ^k\tfracp{}{x^l}. 
  \end{align*}
  Wegen $\left[\fracp{}{x^i},\fracp{}{x^j}\right]=0$ folgt
  \begin{align*}
    T\left(\tfracp{}{x^i},\tfracp{}{x^j}\right)
    =&\,\nabla_{\tfracp{}{x^i}}\tfracp{}{x^j}
    -\nabla_{\tfracp{}{x^j}}\tfracp{}{x^i} =\left(\Gamma^k_{ij}
      -\Gamma^k_{ji}\right)\tfracp{}{x^k},\\
    R\left(\tfracp{}{x^i},\tfracp{}{x^j}\right)\tfracp{}{x^k}
    =&\,\nabla_{\tfracp{}{x^i}}\left(\Gamma^m_{jk}\tfracp{}{x^m}\right)
    -\nabla_{\tfracp{}{x^j}}\left(\Gamma^m_{ik}\tfracp{}{x^m}\right)\\
    =&\,\tfracp{}{x^i}\Gamma^m_{jk}\tfracp{}{x^m}
    +\Gamma^m_{jk}\Gamma^l_{im}\tfracp{}{x^l}
    -\tfracp{}{x^j}\Gamma^m_{ik}\tfracp{}{x^m}
    -\Gamma^m_{ik}\Gamma^l_{jm}\tfracp{}{x^l}. 
  \end{align*}
  Also gilt
  \[R_{ij}{}^l{}_k=\tfracp{}{x^i}\Gamma^l_{jk}
  -\tfracp{}{x^j}\Gamma^l_{ik} +\Gamma^l_{im}\Gamma^m_{jk}
  -\Gamma^l_{jm}\Gamma^m_{ik}.\] 
\end{remark}

% Erst einmal ausgelassen: Cartansche Strukturgleichungen und wie man
% den Riemannschen Kr\"ummungstensor durch Vertauschen von
% Parallelverschiebungen bekommm. S. 68-72 im Tomi-Skript. 

\Section{Metriken und Levi-Civita Zusammenh\"ange}

Der Einfachheit halber wollen wir ab jetzt unter einer
differenzierbaren Mannigfaltigkeit stets eine
$C^\infty$-Mannigfaltigkeit verstehen. 

\begin{definition}
  Sei $M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine
  pseudo-Rie\-mann\-sche Metrik auf $M$ ist ein $(0,2)$-Tensorfeld $g$ mit
  folgenden Eigenschaften
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $g|_x\equiv g_x$ ist f\"ur alle $x\in M$ symmetrisch,
  \item $g_x$ ist f\"ur alle $x\in M$ nicht entartet, \dh aus
    $g_x(v,w)=0$ f\"ur alle $w\in T_xM$ folgt $v=0$. 
  \end{enumerate}
  $g$ hei\ss{}t Riemannsche Metrik, wenn zus\"atzlich $g_x(v,v)\ge0$
  f\"ur alle $v\in T_xM$ gilt. Damit werden alle Tangentialr\"aume
  $T_xM$ zu Euklidischen Vektorr\"aumen. \par Ist klar, welche Metrik
  wir betrachten, so schreiben wir \[\langle v,w\rangle_x\equiv
  \langle v,w\rangle\equiv g_x(v,w)\] f\"ur $v,w\in T_xM$.  \par Eine
  Mannigfaltigkeit $M$ mit einer pseudo-Riemannschen Metrik $g$
  hei\ss{}t pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit $(M,g)$. \par Ist die
  Metrik sogar Riemannsch, so hei\ss{}t $(M,g)$ Riemannsche
  Mannigfaltigkeit.
\end{definition}

\begin{remark}
  Sei $\fracp{}{x^i}$ die Standardbasis zu
  $(U,\phi)$. Setze \[g_{ij}:=
  \left\langle\tfracp{}{x^i},\tfracp{}{x^j}\right\rangle.\]  
  F\"ur $X=X^i\fracp{}{x^i}$, $Y=Y^j\fracp{}{x^j}$ folgt \[\langle
  X,Y\rangle =g_{ij}X^iY^j.\] 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Symmetrie ist \"aquivalent zu $g_{ij}=g_{ji}$.
  \item $g$ ist genau dann nicht entartet, wenn $\rang(g_{ij})=m$
    gilt.
    \item $g$ ist genau dann Riemannsch, wenn $(g_{ij})>0$. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{beispiele}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item F\"ur $\R^m$ mit dem Standardskalarprodukt gilt $\langle
    X,Y\rangle =X^iY^j\delta_{ij}$. Daher ist $M$ mit Metrik
    $g_{ij}=\delta_{ij}$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit.
  \item Sei $M$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Sei $N$ eine
    Untermannigfaltigkeit. Dann wird $N$ mit der auf $TN$
    eingeschr\"ankten Metrik eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. \par
    Dies gilt i.\,a.{} nicht f\"ur pseudo-Riemannsche
    Mannigfaltigkeiten. 
  \item Minkowski-Raum: $\R^{m+1}$ mit $\langle X,Y\rangle =-X^0Y^0
    +\sum\limits_{k=1}^mX^kY^K$, wobei $X=(X^0,X^1,\ldots,X^m)$ und
    $Y=(Y^0,Y^1,\ldots,Y^m)$. Es ist \[g=(g_{ij})=
    \begin{pmatrix}
      -1 & 0 & \cdots & 0\\
      0 & 1 & \cdots & 0\\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
      0 & 0 & \cdots & 1
    \end{pmatrix}
    \] Man schreibt h\"aufiger
    $\mathbb L^{m,1}$. \par Der Lichtkegel (ohne Ursprung) ist
    durch \[K:=\left\{X:\left(X^0\right)^2
      =\sum\limits_{k=1}^m(X^k)^2,X^0\neq0\right\}\] definiert; Den
    Ursprung haben wir herausgenommen um eine Untermannigfaltigkeit zu
    erhalten. Dann ist die Einschr\"ankung der Metrik auf $K$
    ausgeartet: Sei speziell $p=(1,1,0,\ldots,0)$. Es ist
    (differenziere $\langle\alpha(t),\alpha(t)\rangle=0$)
    \[T_pK=\left\{X\in\R^{m+1}\colon\langle p,X\rangle
      =p^0X^0-\sum\limits_{k=1}^mp^kX^k=0\right\}.\] Seien also
    $X,Y\in T_pK$, also mit $X^0=X^1$ und $Y^0=Y^1$. Dann
    ist \[\langle X,Y\rangle =\sum\limits_{k=2}^mX^kY^k.\] Dies ist
    f\"ur $m\ge1$ ausgeartet.
  \item Ist $g$ pseudoriemannsch, so definieren wir 
    \begin{align*}
      \ind g_x:=\max\{\dim V\colon &\,V\subset T_xM\text{ ist ein
        Unterraum und }\\&\, g_x|_{V\times V}\text{ ist negativ
        definit}\}.
    \end{align*}
    $\ind g_x$ ist lokal konstant, da $x\mapsto\ind g_x$
    oberhalbstetig ist, und daher auf jeder Zusammenhangskomponente
    konstant. Ist $\ind g=1$, so hei\ss{}t $g$ Lorentz-Metrik.
  \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{theorem}\label{exist g thm}
  Sei $M$ eine $C^k$-Mannigfaltigkeit, deren Topologie eine
  abz\"ahlbare Basis besitzt. Dann besitzt $M$ eine Riemannsche Metrik
  der Klasse $C^{k-1}$.
\end{theorem}

\begin{remark}
  Eine Mannigfaltigkeit mit abz\"ahlbarer Topologie ist parakompakt,
  \dh jede offene \"Uberdeckung von $M$ besitzt eine lokal endliche
  Verfeinerung, die $M$ ebenfalls \"uberdeckt. Zu dieser Verfeinerung
  gibt es eine untergeordnete Zerlegung der Eins. \par
  Verfeinerung: Seien $\mathcal A$ und $\mathcal B$
  \"Uberdeckungen. Dann hei\ss{}t $\mathcal A$ Verfeinerung von
  $\mathcal B$, wenn f\"ur jedes $A\in\mathcal A$ ein $B\in\mathcal B$
  mit $A\subset B$ existiert. \par
  Lokal endlich: Eine \"Uberdeckung $\mathcal A$ von $M$ hei\ss{}t lokal
  endlich, wenn f\"ur jedes $x\in M$ eine Umgebung $U\in\mathcal U(x)$
  existiert, so dass $U\cap A\neq\emptyset$ h\"ochstens f\"ur endlich
  viele $A\in\mathcal A$ gilt. \par
  Untergeordnete Zerlegung der Eins: Sei $\mathcal A$ eine
  \"Uberdeckung von $M$. Dann hei\ss{}t $(\lambda_A)_{A\in\mathcal A}$
  eine der \"Uberdeckung $\mathcal A$ untergeordnete Zerlegung der
  Eins, falls folgendes gilt:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $\lambda_A\in C^k$ auf einer $C^k$-Mannigfaltigkeit, 
  \item $0\le\lambda_A\le1$,
  \item $\supp\lambda_A\subset A$,
  \item $\sum\limits_{A\in\mathcal A}\lambda_A=1$. 
  \end{enumerate}
  Beachte, dass die Summe lokal endlich ist, da die \"Uberdeckung
  lokal endlich ist. 
\end{remark}

\begin{lemma}\label{pull-back metrik lem}
  Seien $M$ und $N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und $f\colon
  M\to N$ eine Immersion. Sei $g$ eine Riemannsche Metrik auf
  $N$. Dann ist $f^*g$, die zur\"uckgezogene (``pull-back'') Metrik,
  definiert durch
  \[f^*g(X,Y):=g(f_*X,f_*Y)\quad\text{oder}\quad
  f^*g(X,Y)(p)=g(f_{*,p}X|_p,f_{*,p}Y|_p)\] f\"ur Vektorfelder $X,Y$
  auf $M$ eine Riemannsche Metrik auf $M$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{exist g thm}]
  Sei $\{(U_\alpha,\phi_\alpha)\}$ eine Familie von Karten, die $M$
  \"uberdecken. Betrachte (ohne Wechsel der Bezeichnung) eine
  Verfeinerung der \"Uberdeckung durch die Mengen $U_\alpha$, die eine
  lokal endliche \"Uberdeckung ist. Sei $\lambda_\alpha$ eine der
  \"Uberdeckung $U_\alpha$ untergeordnete Zerlegung der Eins. \par
  Bezeichne $\delta$ die Standardmetrik auf $\R^m$. Dann ist
  $g_\alpha:=\phi_\alpha^*\delta$ nach Lemma \ref{pull-back metrik
    lem} eine Metrik auf $U_\alpha$. Man rechnet nun leicht nach,
  dass \[g:=\sum\limits_\alpha \lambda_\alpha\cdot g_\alpha\quad
  \text{oder}\quad g(p)\langle X(p),Y(p)\rangle =\sum\limits_\alpha
  \lambda_\alpha(p)\cdot \delta\left((\phi_\alpha)_{*,p}X(p),
  (\phi_\alpha)_{*,p}Y(p)\right)\] eine Riemannsche Metrik auf $M$
  definiert.
\end{proof}

\begin{remark}
  Sei $M\subset\R^n$ eine Untermannigfaltigkeit. Sei $P_x\colon\R^n\to
  T_xM$ die orthogonale Projektion. (Erinnerung: Orthogonale
  Projektoren sind selbstadjungiert, \dh es gilt $P^*_x=P_x$.)
  Definiere (siehe auch \ref{proj zshg})
  \[(\nabla_vX)(x)=P_x(dX(x)\langle v\rangle).\] Dies ist ein
  Zusammenhang auf $M$ (\"Ubungsaufgabe). Sei
  $\langle\cdot,\cdot\rangle$ das Standardskalarprodukt auf
  $\R^n$. Seien $X,Y$ (tangentiale) Vektorfelder auf $M$, die wir
  lokal in eine Umgebung von $M$ fortsetzen. Dann gilt
  \begin{align*}
    v\langle X,Y\rangle =&\,\langle dX\langle
    v\rangle,\underbrace{Y}_{=PY}\rangle
    +\langle \underbrace{X}_{=PX},dY\langle v\rangle\rangle\\
    =&\,\langle\nabla_vX,Y\rangle +\langle X,\nabla_vY\rangle,
  \end{align*}
  \dh f\"ur $\langle\cdot,\cdot\rangle$ und $\nabla$ gilt die
  Produktregel. 
\end{remark}

\begin{definition}
  Ein Zusammenhang $\nabla$ auf einer pseudo-Riemannschen
  Mannigfaltigkeit $(M,g)$ hei\ss{}t pseudo-Riemannscher Zusammenhang
  oder metrischer Zusammenhang, wenn die Ricci-Identit\"at \[Z\langle
  X,Y\rangle =\langle\nabla_ZX,Y\rangle +\langle X,\nabla_ZY\rangle\]
  f\"ur alle Vektorfelder $X,Y,Z$ gilt.
\end{definition}

\begin{remark}\label{Ricci laengs Abb}
  Die Ricci-Identit\"at auf der Zielmannigfaltigkeit \"ubertr\"agt
  sich auf Vektorfelder l\"angs Abbildungen.
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $f\colon N\to M$ eine Abbildung und $X,Y$ Vektorfelder l\"angs
  $f$, $Z$ ein Vektorfeld auf $N$. Sei $\fracp{}{x^i}$ die
  Standardbasis bez\"uglich einer Karte $(V,\psi)$ von $M$. Wir
  schreiben $X=\lambda^i\fracp{}{x^i}\circ f$ und
  $Y=\mu^j\fracp{}{x^j}\circ f$ und erhalten nach Bemerkung \ref{VF
    laengs
    abb} \[\nabla^f_ZX=\left(Z\lambda^i\right)\tfracp{}{x^i}\circ f
  +\lambda^i\left(\nabla_{f_*\langle
    Z\rangle}\tfracp{}{x^i}\right)\circ f,\] da $f_*\langle
  Z\rangle=Z^j\fracp{f^i}{y^j}\fracp{}{x^i}$ bzw.{} $f_{*,p}\langle
  Z(p)\rangle =Z^j|_p\left.\fracp{f^l}{y^j}\right|_p
  \left.\fracp{}{x^l}\right|_{f(p)}$ ist und nach Definition der
  Christoffelsymbole. F\"ur $Y$ erhalten wir eine analoge Formel. Es
  folgt
  \begin{align*}
    Z\langle X,Y\rangle =&\,Z\left(\lambda^i\mu^j
      \left\langle\tfracp{}{x^i}, \tfracp{}{x^j}\right\rangle\circ
      f\right)\\ =&\,\left(Z\lambda^i\right)\mu^j
    \left\langle\tfracp{}{x^i}, \tfracp{}{x^j}\right\rangle\circ f
    +\lambda^i\left(Z\mu^j\right) \left\langle\tfracp{}{x^i},
      \tfracp{}{x^j}\right\rangle\circ f\\
    &\,+\lambda^i\mu^j\left(f_*\langle Z\rangle
      \left\langle\tfracp{}{x^i},
        \tfracp{}{x^j}\right\rangle\right)\circ f \intertext{(nach
      Kettenregel und Definition von $f_*\langle Z\rangle$)}
    =&\,\ldots+\ldots +\lambda^i\mu^j\left\langle\nabla_{f_*\langle
        Z\rangle} \tfracp{}{x^i},\tfracp{}{x^j}\right\rangle \circ f
    +\lambda^i\mu^j \left\langle\tfracp{}{x^i},\nabla_{f_*\langle
        Z\rangle} \tfracp{}{x^j}\right\rangle\circ f\\
    =&\,\left\langle\nabla^f_ZX,Y\right\rangle +\left\langle
      X,\nabla^f_ZY\right\rangle.
  \end{align*}
\end{proof}
Hiermit werden wir sp\"ater sehen, dass $\alpha'$ f\"ur Geod\"atische
konstante L\"ange hat. 

\begin{definition}\label{levi civita def}
  Sei $(M,g)$ eine pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit. Ein
  torsionsfreier Zusammenhang der die Ricci-Identit\"at erf\"ullt
  hei\ss{}t Levi-Civita Zusammenhang. Es gilt folglich
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{lci} $\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]$,
  \item\label{lcii} $Z\langle X,Y\rangle=\langle\nabla_ZX,Y\rangle
    +\langle X,\nabla_ZY\rangle$
  \end{enumerate}
  f\"ur alle Vektorfelder $X,Y,Z$ auf $M$. \par
  Der mit Hilfe eines Levi-Civita Zusammenhanges definierte
  Kr\"ummungstensor hei\ss{}t Riemannscher Kr\"ummungstensor.
\end{definition}

\begin{remark}
  Der Projektionszusammenhang ist ein Levi-Civita Zusammenhang.
\end{remark}
\begin{proof}[Beweisidee]
  Es fehlt noch der Nachweis, dass der Projektionszusammenhang
  torsionsfrei ist: $\Gamma^k_{ij}=0$. Dazu stellen wir die
  Untermannigfaltigkeit lokal als $\graph u$ dar, so dass im Ursprung
  $Du=0$ gilt. Nimmt man als Karte die orthogonale Projektion auf die
  entsprechenden Komponenten und benutzt $\fracp{}{x^i}=(e_i,u_i)$,
  konstant in der \glqq H\"ohe\grqq{} fortgesetzt, so erh\"alt man im
  Ursprung $\nabla_YX=P(dX\langle Y\rangle)=0$ f\"ur diese
  Standardbasisvektorfelder. Somit folgt dort $\Gamma^k_{ij}=0$ und,
  da die Torsion ein Tensor ist, \"uberall $T=0$. 
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei $(M,g)$ eine pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann gibt es
  auf $M$ einen eindeutig bestimmten Levi-Civita Zusammenhang.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \textbf{Eindeutigkeit:} Sei $\nabla$ ein Zusammenhang mit
  \eqref{lci} und \eqref{lcii} aus Definition \ref{levi civita
    def}. Dann folgt
  \begin{align}
    \label{lca}
    Z\langle X,Y\rangle \overset{\eqref{lcii}}=&\,
    \langle\nabla_ZX,Y\rangle +\langle
    X,\nabla_ZY\rangle,\\
    \label{lcb}
    X\langle Y,Z\rangle \overset{\eqref{lcii}}{=}&\,
    \langle\nabla_XY,Z\rangle +\langle Y,\nabla_XZ\rangle\\
    \nonumber \overset{\eqref{lci}}=&\,\langle \nabla_XY,Z\rangle
    +\langle Y,\nabla_ZX\rangle +\langle Y,[X,Z]\rangle,\\
    \label{lcc} Y\langle Z,X\rangle \overset{\eqref{lcii}}=&\,
    \langle\nabla_YZ,X\rangle
    +\langle Z,\nabla_YX\rangle\\
    \nonumber \overset{\eqref{lci}}=&\,\langle\nabla_ZY,X\rangle
    +\langle Z,\nabla_XY\rangle +\langle[Y,Z],X\rangle +\langle
    Z,[Y,X]\rangle.  \intertext{Als \eqref{lca} $+$ \eqref{lcb} $-$
      \eqref{lcc} erhalten wir} \nonumber &\, Z\langle X,Y\rangle
    +X\langle Y,Z\rangle -Y\langle Z,X\rangle\\ \nonumber
    =&\,2\langle\nabla_ZX,Y\rangle +\langle Y,[X,Z]\rangle -\langle
    X,[Y,Z]\rangle -\langle Z,[Y,X]\rangle,\\
    \label{def lc zshg}
    \langle\nabla_ZX,Y\rangle =&\,\tfrac12\{Z\langle X,Y\rangle
    +X\langle Y,Z\rangle -Y\langle Z,X\rangle\}\\
    \nonumber &\,+\tfrac12\{ -\langle Y,[X,Z]\rangle +\langle
    X,[Y,Z]\rangle +\langle Z,[Y,X]\rangle\}.
  \end{align}
  Da $\langle\cdot,\cdot\rangle$ nicht ausgeartet ist, erhalten wir
  die Eindeutigkeit von $\nabla$. 
  \par
  \textbf{Existenz:} Es gen\"ugt, $\nabla$ mit \eqref{lci} und
  \eqref{lcii} auf einer Kartenumgebung $U$ zu konstruieren. Seien
  n\"amlich $\nabla^U$ und $\nabla^V$ Zusammenh\"ange auf $U$ bzw.{}
  $V$ mit \eqref{lci} und \eqref{lcii}, so gilt aufgrund des
  Eindeutigkeitsteiles $\nabla^U=\nabla^V$ auf $U\cap V$. \par Sei
  $(U,\phi)$ eine Karte mit Standardbasis $\tfracp{}{x^i}$. Auf $U$
  ist $\nabla$ nach Bemerkung \ref{Christoffel bestimmt Zshg bem}
  durch die Christoffelsymbole $\Gamma^k_{ij}$ festgelegt. Diese waren
  \"uber \[\nabla_{\fracp{}{x^i}}\tfracp{}{x^j}
  =\Gamma^k_{ij}\tfracp{}{x^k}\] definiert. Aus 
  \begin{align*}
    g_{ij}:=\left\langle\tfracp{}{x^i}, \tfracp{}{x^j}\right\rangle
    \intertext{erhalten wir}
    \Gamma^k_{ij}g_{kl}=&\,\left\langle\nabla_{\fracp{}{x^i}}
      \tfracp{}{x^j}, \tfracp{}{x^l}\right\rangle.      
  \end{align*}
  Aus \eqref{def lc zshg} folgt mit $Z=\fracp{}{x^i}$,
  $X=\fracp{}{x^j}$ und $Y=\fracp{}{x^l}$
  \begin{align*}
    \left\langle \nabla_{\fracp{}{x^i}}\tfracp{}{x^j},
      \tfracp{}{x^l}\right\rangle =&\,\tfrac12
    \left(\tfracp{}{x^i}g_{jl} +\tfracp{}{x^j}g_{il}
      -\tfracp{}{x^l}g_{ij}\right)=g_{kl}\Gamma^k_{ij}. 
  \end{align*}
  Hieraus ist $\Gamma^k_{ij}$ eindeutig berechenbar, da $g_{kl}$
  vollen Rang besitzt. \par
  Definiere daher den Zusammenhang $\nabla$ auf $U$ wie folgt: F\"ur
  Vektorfelder $X=\lambda^i\fracp{}{x^i}$ und $Y=\mu^j\fracp{}{x^j}$
  setzen wir 
  \begin{equation}\label{def nabla}
    \nabla_XY =\left(X\mu^k +\Gamma^k_{ij}
      \lambda^i\mu^j\right) \tfracp{}{x^k},
  \end{equation}
  wobei $g_{kl}\Gamma^k_{ij}=\frac12\left(\fracp{}{x^i}g_{jl}
    +\fracp{}{x^j}g_{il} -\fracp{}{x^l}g_{ij}\right)$ und
  $g_{ij}=\left\langle \fracp{}{x^i},\fracp{}{x^j}\right\rangle$.
  Nach Definition ist klar, dass $\Gamma^k_{ij}=\Gamma^k_{ji}$
  gilt. Somit ist nach Bemerkung \ref{T R in Koordinaten} $\nabla$ ein
  torsionsfreier Zusammenhang und \eqref{lci} folgt. \par Nach
  \eqref{def nabla} gen\"ugt es nun, noch die Ricci-Identit\"at
  \eqref{lcii} f\"ur Basisvektorfelder $\fracp{}{x^i}$
  nachzurechnen. Es gilt
  \begin{align*}
    &\,\left\langle\nabla_{\fracp{}{x^i}}\tfracp{}{x^j},
      \tfracp{}{x^l}\right\rangle +\left\langle\tfracp{}{x^j},
      \nabla_{\fracp{}{x^i}}\tfracp{}{x^l}\right\rangle\\ 
    =&\,\tfrac12\left(\tfracp{}{x^i}g_{jl} +\tfracp{}{x^j}g_{il}
      -\tfracp{}{x^l}g_{ij}\right) +\tfrac12\left(\tfracp{}{x^i}g_{jl}
      +\tfracp{}{x^l}g_{ij} -\tfracp{}{x^j}g_{il}\right)\\
    =&\,\tfracp{}{x^i}g_{jl}
    =\tfracp{}{x^i}\left\langle\tfracp{}{x^j},
      \tfracp{}{x^l}\right\rangle.
  \end{align*}
\end{proof}

\Section{Kr\"ummung}

\begin{lemma}[Symmetrieeigenschaften des (Riemannschen)
  Kr\"ummungstensors]\label{riem symm}\rule{0mm}{1mm}\\
  Der (Riemannsche) Kr\"ummungstensor erf\"ullt \eqref{r sym i} f\"ur
  alle Zusammenh\"ange, Gleichung \eqref{r sym ii} f\"ur torsionsfreie
  Zusammenh\"ange und \eqref{r sym iii} und \eqref{r sym iv} f\"ur
  Levi-Civita Zu\-sam\-men\-h\"an\-ge:
  \begin{align}
    \label{r sym i} R(X,Y)Z =&\,-R(Y,X)Z,\\
    \label{r sym ii} R(X,Y)Z +R(Y,Z)X +R(Z,X)Y=&\,0,\quad
    \text{(1. Bianchi-Identit\"at)}\\
    \label{r sym iii} \langle R(X,Y)Z,U\rangle =&\,-\langle
    R(X,Y)U,Z\rangle,\\ 
    \label{r sym iv} \langle R(X,Y)Z,U\rangle =&\,\langle
    R(Z,U)X,Y\rangle. 
  \end{align}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \eqref{r sym i} folgt direkt aus der Definition des Riemannschen
  Kr\"ummungstensors. \par Da $R$ ein Tensor ist, gen\"ugt es,
  \eqref{r sym ii} (wie alle Identit\"aten hier) f\"ur
  Basisvektorfelder $\fracp{}{x^i}$ nachzuweisen. F\"ur diese
  verschwindet insbesondere die Lieklammer. Es gilt
  \begin{align*}
    0\overset!=&\,R\left(\di,\dj\right)\dk +R\left(\dj,\dk\right)\di
    +R\left(\dk,\di\right)\dj\\
    =&\,\nablai\nablaj\dk-\nablaj\nablai\dk
    +\nablaj\nablak\di-\nablak\nablaj\di\\ 
    &\,+\nablak\nablai\dj-\nablai\nablak\dj=0,
  \end{align*}
  da wir aufgrund der Torsionsfreiheit, $\nablai\dj=\nablaj\di$, vertauschen
  d\"urfen. \par
  Statt der Antisymmetrie in \eqref{r sym iii} k\"onnen wir auch
  nachweisen, dass \[\langle R(X,Y)Z,Z\rangle=0\] f\"ur alle
  Vektorfelder $X,Y,Z$ gilt.
  Aus der Ricci-Identit\"at erhalten wir
  \begin{align*}
    Y\langle Z,Z\rangle =&\,2\langle\nabla_YZ,Z\rangle,\\
    XY\langle Z,Z\rangle =&\,2(\langle\nabla_X\nabla_YZ,Z\rangle
    +\langle\nabla_YZ,\nabla_XZ\rangle),\\
    \langle\nabla_X\nabla_YZ -\nabla_Y\nabla_XZ,Z\rangle
    =&\,\tfrac12(XY\langle Z,Z\rangle -YX\langle Z,Z\rangle)\\
    =&\,\tfrac12[X,Y]\langle Z,Z\rangle
    =\langle\nabla_{[X,Y]}Z,Z\rangle. 
  \end{align*}
  Dies war aber gerade die Behauptung. \par Zu \eqref{r sym iv}: Es
  gilt
  \begin{align*}
    \langle R(X,Y)Z,U\rangle \overset{\eqref{r sym i}}=&\,-\langle
    R(Y,X)Z,U\rangle \overset{\eqref{r sym ii}} =\langle
    R(X,Z)Y,U\rangle +\langle R(Z,Y)X,U\rangle,\\
    \langle R(X,Y)Z,U\rangle \overset{\eqref{r sym iii}}=&\, -\langle
    R(X,Y)U,Z\rangle \overset{\eqref{r sym ii}} =\langle
    R(Y,U)X,Z\rangle +\langle R(U,X)Y,Z\rangle.
    \intertext{Aufsummieren liefert}
    2\langle R(X,Y)Z,U\rangle =&\,\langle R(X,Z)Y,U\rangle +\langle
    R(Z,Y)X,U\rangle\\ &\,+\langle R(Y,U)X,Z\rangle +\langle
    R(U,X)Y,Z\rangle.
    \intertext{Durch Umbenennen erhalten wir}
    2\langle R(Z,U)X,Y\rangle =&\,\langle R(Z,X)U,Y\rangle +\langle
    R(X,U)Z,Y\rangle\\ &\,+\langle R(U,Y)Z,X\rangle +\langle
    R(Y,Z)U,X\rangle.
  \end{align*}
  Wie man durch Anwenden von \eqref{r sym i} und \eqref{r sym iii}
  sieht, stimmen in beiden Gleichungen die Terme rechts \"uberein. Die
  Behauptung folgt. 
\end{proof}

Ab jetzt sei $(M,g)$ stets eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit
zugeh\"origem Levi-Civita Zusammenhang. 

Definiere \[k(X,Y):=\langle R(X,Y)Y,X\rangle =\langle R(Y,X)X,Y\rangle
=k(Y,X).\]  
Wir m\"ochten $R$ mit Hilfe von $k$ alleine ausdr\"ucken. Es ist
\begin{align*}
  R(X,Y+Z)(Y+Z)=&\,R(X,Y)Y+R(X,Y)Z+\underline{R(X,Z)Y}+R(X,Z)Z,\\
  R(X+Z,Y)(X+Z)=&\,R(X,Y)X+R(X,Y)Z+\underline{R(Z,Y)X}+R(Z,Y)Z,\\
  0=&\,R(X,Y)Z+\underline{R(Y,X)Z}.
\end{align*}
Nach Addition erhalten wir, da sich die unterstrichenen Terme aufgrund
der 1. Bianchi-Identit\"at gegenseitig aufheben
\begin{align}
  \nonumber &\,R(X,Y+Z)(Y+Z) -R(Y,X+Z)(X+Z)\\
  \nonumber =&\,R(X,Y)Y -R(Y,X)X +3R(X,Y)Z +R(X,Z)Z
  -R(Y,Z)Z,\\
  \nonumber 3R(X,Y)Z=&\,R(X,Y+Z)(Y+Z) -R(Y,X+Z)(X+Z) -R(X,Y)Y\\
  &\,+R(Y,X)X -R(X,Z)Z +R(Y,Z)Z.\label{3R eq}
\end{align}
Beachte, dass das zweite und das dritte Argument auf der rechten Seite
jeweils \"ubereinstimmen.\par
Definiere
\begin{align*}
  q_Z(X,Y):=&\,\langle R(X,Z)Z,Y\rangle \overset{\eqref{r sym
      iv}}=\langle R(Z,Y)X,Z\rangle
  \overset{\eqref{r sym i},\,\eqref{r sym iii}}= \langle
  R(Y,Z)Z,X\rangle\\ =&\,q_Z(Y,X),
\end{align*}
wobei sich die Referenzen auf die Symmetrieen in Lemma \ref{riem symm}
beziehen. Somit ist $q_Z(\cdot,\cdot)$ symmetrisch. Es gilt $q_Z(X,X)
=k(X,Z)$. Aufgrund der Polarisationsformel ist
\begin{align*}
  q_Z(X,Y)=&\,\tfrac12(q_Z((X+Y),(X+Y)) -q_Z(X,X) -q_Z(Y,Y))\\
  =&\,\tfrac12(k(X+Y,Z) -k(X,Z) -k(Y,Z)).
\end{align*}
Nach \eqref{3R eq} folgt
\begin{align*}
  3\langle R(X,Y)Z,U\rangle =&\,q_{Y+Z}(X,U) -q_{X+Z}(Y,U) -q_Y(X,U)\\
  &\,+q_X(Y,U) -q_Z(X,U) +q_Z(Y,U).
\end{align*}
Wir k\"onnen also $\langle R(\cdot,\cdot)\cdot,\cdot\rangle$ mit Hilfe
von $k(\cdot,\cdot)$ schreiben und erhalten insbesondere
\begin{lemma}\label{R k lem}
  Ist $R$ ein $(1,3)$-Tensor mit den Symmetrien aus Lemma \ref{riem
    symm} und ist $k(X,Y):=\langle R(X,Y)Y,X\rangle$, so ist $R$ durch
  $k$ eindeutig festgelegt. Insbesondere sind $R\equiv0$ und
  $k\equiv0$ \"aquivalent. 
\end{lemma}

Um das Verhalten von $k(X_1,X_2)$ unter linearen Transformationen zu
bestimmen setzen wir $Y_i=\sum\limits_{j=1,2}c_{ij}X_j$ und erhalten
\begin{align*}
  k(Y_1,Y_2) =&\,\langle R(Y_1,Y_2)Y_2,Y_1\rangle\\
  =&\,\langle R(c_{11}X_1+c_{12}X_2, c_{21}X_1+c_{22}X_2)
  c_{21}X_1+c_{22}X_2, c_{11}X_1+c_{12}X_2\rangle\\
  =&\,c_{11}^2c_{22}^2\langle R(X_1,X_2)X_2,X_1\rangle
  +c_{11}c_{22}c_{21}c_{12}\langle R(X_1,X_2)X_1,X_2\rangle\\
  &\,+c_{12}c_{21}c_{21}c_{12}\langle R(X_2,X_1)X_1,X_2\rangle
  +c_{12}c_{21}c_{22}c_{11}\langle R(X_2,X_1)X_2,X_1\rangle\\
  =&\,(c_{11}^2c_{22}^2+c_{12}^2c_{21}^2-2c_{11}c_{22}c_{12}c_{21})
  \langle R(X_1,X_2)X_2,X_1\rangle\\
  =&\,\det(c_{ij})^2\langle R(X_1,X_2)X_2,X_1\rangle. 
\end{align*}

Betrachte $R_1$ und $k_1$ mit
\begin{align*}
  \langle R_1(X,Y)Z,U\rangle =&\,\det
  \begin{pmatrix}
    \langle X,U\rangle & \langle X,Z\rangle\\
    \langle Y,U\rangle & \langle Y,Z\rangle
  \end{pmatrix}\\
  =&\,\langle X,U\rangle\langle Y,Z\rangle -\langle X,Z\rangle \langle
  Y,U\rangle\\
  =&\,\langle \underbrace{\langle Y,Z\rangle X-\langle X,Z\rangle
    Y}_{=:R_1(X,Y)Z},U\rangle,\\
  k_1(X,Y):=&\,\langle R_1(X,Y)Y,X\rangle =\det
  \begin{pmatrix}
    \langle X,X\rangle &\langle X,Y\rangle\\
    \langle Y,X\rangle &\langle Y,Y\rangle
  \end{pmatrix}\\
  =&\,\Vert X\Vert^2\Vert Y\Vert^2-\langle X,Y\rangle^2.
\end{align*}
Symmetrieeigenschaften von $R_1$: Nach Definition folgt direkt
\[R_1(X,Y)Z=-R_1(Y,X)Z,\quad \langle R_1(X,Y)Z,U\rangle =-\langle
R_1(X,Y)U,Z\rangle\] und aus der ausmultiplizierten Form $\langle
R_1(X,Y)Z,U\rangle =\langle
R_1(Z,U)X,Y\rangle$. Aus \[R_1(X,Y)Z=\langle Y,Z\rangle X -\langle
X,Z\rangle Y\] erhalten wir direkt die 1. Bianchi-Identit\"at:
\begin{align*}
  R_1(X,Y)Z+R_1(Y,Z)X+R_1(Z,X)Y =&\,\langle Y,Z\rangle X-\langle
  X,Z\rangle Y\\ &\,+\langle X,Z\rangle Y -\langle X,Y\rangle Z\\ &\,
  +\langle X,Y\rangle Z -\langle Y,Z\rangle X=0.
\end{align*}
Somit erf\"ullt $R_1$ die Symmetrieeigenschaften aus Lemma \ref{riem
  symm}. Weiterhin gilt nach der Schwarzschen Ungleichung
\[k_1(X,Y)=\Vert X\Vert^2\Vert Y\Vert^2-\langle X,Y\rangle^2\ge0\] mit
Gleichheit genau dann, wenn $X$ und $Y$ linear abh\"angig sind. 
\begin{definition}[Schnittkr\"ummung]
  Sei $(M,g)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Definiere die
  Schnittkr\"ummung der von den linear unabh\"angigen Vektoren $X,\,Y$
  aufgespannten Ebene durch \[K(X,Y):=\frac{k(X,Y)}{k_1(X,Y)}
  =\frac{\langle R(X,Y)Y,X\rangle}{\Vert X\Vert^2\Vert
    Y\Vert^2-\langle X,Y\rangle^2}.\]
\end{definition}
Da sich $k_1$ und $k$ unter linearen Transformationen gleich
transformieren ist die Schnittkr\"ummung wohldefiniert und h\"angt nur
vom von $X$ und $Y$ erzeugten zweidimensionalen Teilraum ab. 

\begin{lemma}\label{Schnittkr Pkt}
  H\"angt die Schnittkr\"ummung $K$ in $p\in M$ nur von $p$ und nicht vom
  durch $X$ und $Y$ bestimmten zweidimensionalen Vektorraum in $T_pM$
  ab, so gilt \[R(X,Y)Z=K\cdot R_1(X,Y)Z=K\cdot(\langle Y,Z\rangle X
  -\langle X,Z\rangle Y).\]
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Setze \[R_2(X,Y)Z:=R(X,Y)Z-K\cdot R_1(X,Y)Z.\]
  Dann erf\"ullt $R_2$ die Symmetriebedingungen aus Lemma \ref{riem
    symm}. F\"ur das zugeh\"orige $k_2$ gilt \[k_2(X,Y)=\langle
  R_2(X,Y)Y,X\rangle =\langle R(X,Y)Y,X\rangle
  -K\cdot\underbrace{\langle R_1(X,Y)Y,X\rangle}_{=k_1(X,Y)} \equiv
  0.\] Die Behauptung folgt nun aus Lemma \ref{R k lem}. 
\end{proof}

\begin{lemma}
  F\"ur eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit $M$ des $\R^3$
  stimmen die Schnittkr\"ummung $K$ und die Gau\ss{}sche Kr\"ummung
  $K=\lambda_1\cdot\lambda_2$ \"uberein.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. 
\end{proof}

Wir wollen die Symmetrien aus Lemma \ref{riem symm} auch noch in
Koordinaten aufschreiben.
\begin{remark}
  Wir hatten 
  \[R_{ij}{}^k{}_l\dk:=R\left(\di,\dj\right)\dl\] 
  definiert. Setze
  \[R_{ijkl}:=g_{ka}R_{ij}{}^a{}_l.\]
  Dann erhalten wir
  \begin{align*}
    R_{ijkl}=&\,-R_{jikl}=-R_{ijlk}=R_{klij},\\
    0=&\,R_{ijkl}+R_{jlki}+R_{likj},
  \end{align*}
  da wir in der ersten Zeile f\"ur die letzte Gleichheit noch in jedem
  P\"archen die Reihenfolge ge\"andert haben. Die Bianchi-Identit\"at
  gilt aufgrund der obigen Symmetrieeigenschaften auch f\"ur zyklische
  Permutationen von drei beliebigen Indices.
\end{remark}

\begin{definition}[Ricci- und Skalarkr\"ummung]\neueZeilealt
  Sei $p\in M$. Dann ist $X\mapsto R(X,U)V$ f\"ur feste $U,V\in T_pM$
  ein Endomorphismus von $T_pM$. Wir definieren die Riccikr\"ummung
  $\Ric$ als Spur dieses Endomorphismusses \[\Ric(U,V):=\tr(X\mapsto
  R(X,U)V).\] Zur Darstellung in lokalen Koordinaten: Sei
  $X_1,\ldots,X_m$ eine Basis von $T_pM$. Sei $T:T_pM\to T_pM$ ein
  Endomorphismus. Dann gibt es eine Matrix $T^j_i$, so dass
  $TX_i=T^j_iX_j$ gilt. Nach Definition ist $\tr T=T^i_i$. Um dies auf
  den Riemannschen Kr\"ummungstensor anwenden zu k\"onnen, bilden wir
  das Skalarprodukt der $T^j_i$ definierenden Gleichung mit $X_k$ und
  erhalten
  \[\langle TX_i,X_k\rangle =T^j_i\langle X_j,X_k\rangle =T^j_i
  g_{jk}.\] Auch hier wollen wir wieder die Inverse der Metrik mit
  $(g^{ij})$ bezeichnen. Wir multiplizieren mit $g^{ki}$ und erhalten
  \[\langle TX_i,X_k\rangle g^{ik} =T^j_ig_{jk}g^{ki} =T^j_i\delta_j^i
  =T^i_i =\tr T.\]
  Wir erhalten somit f\"ur den Riccitensor
  \begin{align*}
    \Ric(U,V)=&\,g^{ik}\langle R(X_i,U)V,X_k\rangle =g^{ik}\langle
    R(U,X_i)X_k,V\rangle\\ =&\,g^{ik}\langle R(X_k,V)U,X_i\rangle
    =\Ric(V,U). 
  \end{align*}
  Somit ist $\Ric$ symmetrisch und es gilt
  \begin{align*}
    R_{ij}:=&\,\Ric\left(\di,\dj\right) =\left\langle
      R(\dk,\di)\dj,\dl\right\rangle g^{kl}\\
    =&\,\left\langle R_{ki}{}^m{}_j\tfracp{}{x^m},\dl\right\rangle
    g^{kl} =R_{ki}{}^m{}_jg_{ml}g^{kl}\\ =&\,R_{ki}{}^k{}_j
    =R_{kilj}g^{kl} =R_{ikjl}g^{kl}.
  \end{align*}
  Wir definieren die Skalarkr\"ummung $R$ als
  \[R:=R_{ij}g^{ij}.\]
\end{definition}

\begin{remark}
  Multipliziert man einen Tensor mit einem anderen, \zB mit der Metrik
  oder ihrer Inversen, und verringert sich so nach Anwendung der
  Einsteinschen Summenkonvention die Anzahl der \glqq freien\grqq{}
  Indices, \dh der Indices, \"uber die nicht summiert wird, so
  bezeichet man dies als Verj\"ungen oder Zusammenziehen.\par Den
  \"Ubergang von $R_{ijkl}$ zu $R_{ij}{}^k{}_l$ bezeichnet man als
  Heben eines Indexes und die umgekehrte Operation als Senken eines
  Indexes.
\end{remark}

\begin{remark}
  Die allgemeine Relativit\"atstheorie beschreibt das Universum als
  vierdimensionale Mannigfaltigkeit mit pseudo-Riemannscher
  Metrik. Nach Diagonalisieren von $g_{ij}$ sind drei Eintr\"age der
  Form $g_{ii}$ positiv und einer negativ. \par
  Die Einsteinschen Feldgleichungen verkn\"upfen den (symmetrischen)
  physikalisch gegebenen Energie-Impuls Tensor $T_{ij}$ mit der
  Geometrie der Mannigfaltigkeit
  \[R_{ij}-\tfrac12Rg_{ij}=T_{ij}.\]
  Eine L\"osung der Einsteinschen Feldgleichungen ist eine
  Mannigfaltigkeit, die diese Gleichungen erf\"ullt. 
\end{remark}

\begin{remark}
  Mit Hilfe des Ricciflusses
  \[\frac{\partial}{\partial t}g_{ij}=-2R_{ij}\] hat Grigori Perelman
  2002/03 u.\,a.{} die Poincar\'evermutung bewiesen: \par Eine
  geschlossene zusammenh\"angende dreidimensionale Mannigfaltigkeit
  $M$ mit trivialer Fundamentalgruppe $\pi_1(M)$ ist hom\"oomorph zu
  $\S^3$.
  \par Entsprechende Aussagen f\"ur $n\ge5$ wurden von Stephen Smale
  1960 und f\"ur $n=4$ von Michael Freedman 1982 mit anderen Methoden
  gezeigt. 
\end{remark}


Nach weiterer Vorbereitung wollen wir den folgenden Satz zeigen
\begin{theorem}[Schur]\label{Schur thm}
  Ist $\dim M\ge3$ und h\"angt die Schnittkr\"ummung $K$ nur vom
  Fu\ss{}punkt ab, so ist sie lokal konstant. 
\end{theorem}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir wollen einen gegebenen Zusammenhang auf beliebige
    Tensorfelder ausdehnen. Sei zun\"achst $\omega$ eine
    $1$-Form. Dann soll die folgende Form der Produktregel gelten
    \[X(\omega(Y))\overset!=(\nabla_X\omega)(Y) +\omega(\nabla_XY).\]
    Daher definieren wir
    \[(\nabla_X\omega)(Y):=X(\omega(Y)) -\omega(\nabla_XY).\] An der
    rechten Seite dieser Formel sieht man, dass $\nabla_X\omega$
    (falls es ein Tensor ist) wieder eine $1$-Form ist. Wir behaupten,
    dass $\nabla_X\omega$ dann selbst wieder ein Tensor ist:
    $(\nabla_X\omega)(Y+Z) =(\nabla_X\omega)(Y) +(\nabla_X\omega)(Z)$
    ist klar.  Direkt aus der Definition von $\nabla_X\omega$ erhalten
    wir, dass $\nabla_X\omega$ bez\"uglich $X$ tensoriell ist, \dh es
    gilt \[\nabla_{fX}\omega =f\nabla_X\omega,\] und dass
    $\nabla_X\omega$ bez\"uglich $\omega$ derivativ ist, \dh es
    gilt \[\nabla_X(f\omega) =(Xf)\omega +f\nabla_X\omega,\] f\"ur
    jeweils alle Funktionen $f$. \par
    Daher gen\"ugt es, f\"ur alle (glatten) Funktionen
    $f$ \[(\nabla_X\omega)(fY) =f\nabla_X\omega(Y)\] zu zeigen. Dies
    gilt, da
    \begin{align*}
      (\nabla_X\omega)(fY) =&\,X(\omega(fY)) -\omega(\nabla_X(fY))
      =X(f\omega(Y))-\omega(\nabla_X(fY))\\
      =&\,(Xf)\omega(Y) +fX(\omega(Y)) -\omega((Xf)Y +f\nabla_XY)\\
      =&\,fX(\omega(Y) -f\omega(\nabla_XY)) =f(\nabla_X\omega)(Y).
    \end{align*}
    Allgemeiner seien $Y_1,\ldots,Y_p$ Vektorfelder,
    $\omega_1,\ldots,\omega_q$ $1$-Formen und $S$ ein
    $(q,p)$-Tensor. Dann definieren wir $\nabla_X S$ durch die
    Relation
    \begin{align*}
      &\,X(S(Y_1,\ldots,Y_p,\omega_1,\ldots,\omega_q))\\
      =&\,\nabla_XS(Y_1,\ldots,Y_p,\omega_1,\ldots,\omega_q)\\
      &\,+\sum\limits_{i=1}^pS(Y_1,\ldots,Y_{i-1},\nabla_XY_i,Y_{i+1},
      \ldots,Y_p,\omega_1,\ldots,\omega_q)\\
      &\,+\sum\limits_{j=1}^qS(Y_1,\ldots,Y_p,\omega_1,\ldots,\omega_{j-1},
      \nabla_X\omega_j,\omega_{j+1},\ldots,\omega_q).
    \end{align*}
    Analog zu oben rechnet man nach, dass sich $\nabla_XS$ tensoriell
    bez\"uglich $X$ und derivativ bez\"uglich $S$ verh\"alt.
  \item F\"ur den Levi-Civita Zusammenhang einer pseudo-Riemannschen
    Mannigfaltigkeit $(M,g)$ gilt $\nabla g=0$, denn es
    ist \[(\nabla_Zg)(X,Y) =Z(g(X,Y)) -g(\nabla_ZX,Y)
    -g(X,\nabla_ZY)=0\] aufgrund der Ricci-Identit\"at.
  \item Zur Koordinatendarstellung: Sei $\omega=\omega_i dx^i$ eine
    $1$-Form auf $U$. Da sich $\nabla_X\omega$ in $\omega$ derivativ
    verh\"alt, gilt \[\nabla_X\omega =(X\omega_i)dx^i
    +\omega_i\nabla_Xdx^i.\] Somit gen\"ugt es, $\nabla_{\dj}dx^i$
    auszurechnen. Nach Definition ist
    \[(\nabla_X\omega)(Y)=X(\omega(Y)) -\omega(\nabla_XY).\] Wir
    wenden dies mit $\omega=dx^i$, $X=\dj$ und $Y=\dk$ an und
    erhalten
    \begin{align*}
      \left(\nabla_\dj dx^i\right)\left(\dk\right)
      =&\,\dj\left(dx^i\left(\dk\right)\right)
      -dx^i\left(\nablaj\dk\right)\\
      =&\,\dj(\delta^i_k) -dx^i\left(\Gamma^l_{jk}\dl\right)\\
      =&\,-\Gamma^l_{jk}\delta^i_l=-\Gamma^i_{jk}.
    \end{align*}
    Dies sind die Koeffizienten in einer Darstellung bez\"uglich der
    Basis $dx^k$. Somit erhalten wir
    \[\nabla_\dj dx^i= \left(\nabla_{\dj}dx^i\right)
    \left(\dk\right)dx^k =-\Gamma^i_{jk}dx^k.\] Also
    ist 
    \begin{align*}
      \nabla_X\omega\equiv \nabla_{X^j\dj}\left(\omega_idx^i\right)
      =&\,X^j\left(\dj\omega_i\right)dx^i -X^j\omega_i\Gamma^i_{jk}dx^k\\
      =&\,X^j\left(\dj\omega_k-\omega_i\Gamma^i_{jk}\right)dx^k.
    \end{align*}
    Da wir stets fordern, dass eine Produktregel gilt, erhalten wir
    Ableitungsregeln f\"ur allgemeine Tensoren, \zB f\"ur $T=T^i_j\di
    dx^j$
    \begin{align*}
      \nabla_\dk\left(T^i_j\di dx^j\right) =&\,\left(\dk
        T^i_j\right)\di dx^j +T^i_j\nablak\di dx^j +T^i_j\di\nablak
      dx^j\\ =&\,\left(\dk T^i_j\right)\di dx^j +T^i_j\Gamma^l_{ki}\dl
      dx^j -T^i_j\di\cdot\Gamma^j_{kl}dx^l.
    \end{align*}
    Wir benutzen auch die Schreibweise $\nablai X=\nabla_iX$. Ist
    klar, dass es sich bei einer Gr\"o\ss{}e wie $T$ um einen Tensor
    handelt, so schreiben wir auch in Kurzform \[\nabla_kT^i_j \equiv
    T^i_{j;k} =\dk T^i_j +T^l_j\Gamma^i_{lk} -T^i_l\Gamma^l_{kj}
    \equiv T^i_{j,k} +T^l_j\Gamma^i_{lk} -T^i_l\Gamma^l_{kj}.\] Komma
    und Strichpunkt haben hier dieselbe Bedeutung wie in $X_{,ij}$ und
    $X_{;ij}$ ganz am Anfang des Kurses. Mit Komma abgetrennte Indices
    bezeichnen partielle Ableitungen, mit Strichpunkt abgetrennte
    Indices bezeichnen kovariante Ableitungen, also unter Verwendung
    eines Zusammenhanges definierte Ableitungen.\par
    Sei $\omega$ eine $1$-Form. $\nabla_k\omega=\omega_{i;k}dx^i$ hat
    die Koordinaten $\omega_{i;k}$. Der Ausdruck ist tensoriell in $k$
    wenn wir ein Vektorfeld $X=X^k\dk$ auf $\omega_{i;k}X^kdx^i$
    abbilden. In diesem Sinne erhalten wir durch kovariantes Ableiten
    aus einem $(0,1)$-Tensor einen $(0,2)$-Tensor und entsprechend aus
    einem $(r,s)$-Tensor einen $(r,s+1)$-Tensor.
  \item In einem Koordinatensystem, in dem in einem Punkt $p$ die
    Christoffelsymbole verschwinden, \dh $\Gamma^k_{ij}(p)=0$ gilt,
    stimmen kovariante und partielle Ableitungen \"uberein,
    $T^i_{j;k}=T^i_{j,k}$. (Achtung: Dies gilt nur in einem Punkt. Ein
    nochmaliges Ableiten f\"uhrt gerne zu Fehlern.)
  \item F\"ur eine Funktion $u:M\to\R^k$ schreiben wir $\nabla_iu
    =\nabla_\di u =\di u$.
  \end{enumerate}
\end{remark}

Das folgende Lemma charakterisiert, wann es genau Karten gibt, so dass
die Christoffelsymbole in einem Punkt verschwinden. Wir werden es
nicht beweisen, sondern sp\"ater (Proposition \ref{Gamma null}) auf
Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit Hilfe von Geod\"atischen
Koordinatensysteme konstruieren, in denen die Christoffelsymbole
verschwinden. Das folgende Lemma funktioniert insbesondere auch f\"ur
nicht metrische (= nicht Levi-Civita) Zusammenh\"ange. 
\begin{lemma}
  Auf einer Mannigfaltigkeit mit einem Zusammenhang verschwindet die
  Torsion in einem Punkt $p$ genau dann, wenn es ein Koordinatensystem
  um $p$ gibt, in dem die Christoffelsymbole in $p$ verschwinden. 
\end{lemma}
% Beweis: Z. B. Tomi-Skript S. 107. 

\begin{lemma}[2. Bianchi-Identit\"at]
  F\"ur einen torsionsfreien Zusammenhang gilt \[\nabla_XR(Y,Z)U
  +\nabla_YR(Z,X)U +\nabla_ZR(X,Y)U=0.\]
  (Wir schreiben $\nabla_XR(Y,Z)U\equiv(\nabla_XR)(Y,Z)U$.)
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  $\nabla R$ ist ein Tensor. Daher gen\"ugt es, die Behauptung f\"ur
  $X=\di$, $Y=\dj$, $Z=\dk$ und $U=\dl$ zu zeigen. Wir benutzen
  bereits, dass wir ein Koodinatensystem w\"ahlen k\"onnen, in dem die
  Christoffelsymbole in einem festen Punkt verschwinden (Lemma
  \ref{Gamma null}). Weiterhin benutzen wir, dass in diesem Punkt
  kovariante und partielle Ableitungen \"ubereinstimmen. Terme, die
  quadratisch in den Christoffelsymbolen sind, verschwinden dabei.
  Wir benutzen die Koordinatendarstellung des Riemannschen
  Kr\"ummungstensors aus Bemerkung \ref{T R in Koordinaten}. 
  \begin{align*}
    0\overset!= &\,\di R_{jk}{}^n{}_l +\dj R_{ki}{}^n{}_l +\dk
    R_{ij}{}^n{}_l\\
    =&\,\di\big(\underbrace{\dj\Gamma^n_{kl}}_{\fbox 1}
    -\underbrace{\dk\Gamma^n_{jl}}_{\fbox 2}\big)
    +\dj\big(\underbrace{\dk\Gamma^n_{il}}_{\fbox 3}
    -\underbrace{\di\Gamma^n_{kl}}_{\fbox 1}\big)
    +\dk\big(\underbrace{\di\Gamma^n_{jl}}_{\fbox 2}
    -\underbrace{\dj\Gamma^n_{il}}_{\fbox 3}\big)=0. 
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{Schur thm}]
  Sei $K$ die Schnittkr\"ummung. Nach Lemma \ref{Schnittkr Pkt}
  gilt \[R(Y,Z)U =K\cdot(\langle Z,U\rangle Y -\langle Y,U\rangle
  Z).\] Es folgt
  \begin{align*}
    (\nabla_XR)(Y,Z)U =&\,\nabla_X(R(Y,Z)U) -R(\nabla_XY,Z)U
    -R(Y,\nabla_XZ)U
    -R(Y,Z)\nabla_XU\\
    =&\,(XK)(\langle Z,U\rangle Y-\langle Y,U\rangle Z)
    +K(\underbrace{X\langle Z,U\rangle Y}_{\fbox 1}
    -\underbrace{X\langle
      Y,U\rangle Z}_{\fbox 2})\\
    &\,+K(\underbrace{\langle Z,U\rangle\nabla_XY}_{\fbox 3}
    -\underbrace{\langle Y,U\rangle\nabla_XZ}_{\fbox 4})\\
    &\,-\underbrace{K(\langle Z,U\rangle\nabla_XY}_{\fbox 3}
    -\underbrace{\langle\nabla_XY,U\rangle
      Z}_{\fbox 2})\\
    &\,-K(\underbrace{\langle\nabla_XZ,U\rangle Y}_{\fbox 1}
    -\underbrace{\langle Y,U\rangle\nabla_XZ}_{\fbox 4})\\
    &\,-K(\underbrace{\langle Z,\nabla_XU\rangle Y}_{\fbox 1}
    -\underbrace{\langle Y,\nabla_XU\rangle Z}_{\fbox 2}). 
  \end{align*}
  Dabei heben sich die Terme $\fbox 1$ und $\fbox 2$ aufgrund der
  Ricci-Identit\"at gegenseitig auf. Also gilt 
  \[(\nabla_XR)(Y,Z)U =(XK)(\langle Z,U\rangle Y -\langle Y,U\rangle
  Z).\] 
  Die 2. Bianchi-Identit\"at liefert nun
  \begin{align*}
    0=&\,\nabla_XR(Y,Z)U +\nabla_YR(Z,X)U +\nabla_ZR(X,Y)U\\
    =&\,(XK)(\langle Z,U\rangle Y-\langle Y,U\rangle Z)\\
    &\,+(YK)(\langle X,U\rangle Z-\langle Z,U\rangle X)\\
    &\,+(ZK)(\langle Y,U\rangle X-\langle X,U\rangle Y).
  \end{align*}
  Da wir $\dim M\ge3$ angenommen haben, k\"onnen wir $X,Y,Z$ in einem
  beliebigen Punkt als Orthonormalsystem w\"ahlen. Setze $U:=Z$. Es
  folgt \[0=(XK)Y-(YK)X.\] Da $X$ und $Y$ linear unabh\"angig sind,
  folgt bereits $XK=0=YK$. Somit ist $K$ wie behauptet lokal konstant.  
\end{proof}

Das folgende Lemma taucht h\"aufig in geometrischen Rechnungen wie \zB
bei Flussgleichungen auf. 
\begin{remark}[Vertauschen kovarianter Ableitungen]
  Sei $T$ ein $(1,1)$-Tensor. (F\"ur allgemeinere Tensoren ist auf
  jeden einzelnen oberen \bzw unteren Index die hier hergeleitete
  Formel anzuwenden.) Sei $T=\left(T^i_j\right)$. Wir wollen wieder
  benutzen, dass wir ein Koordinatensystem w\"ahlen k\"onnen, in dem
  $\Gamma^i_{jk}$ in einem festen Punkt verschwindet. Daf\"ur wollen
  wir in dieser Bemerkung die ad hoc Notation $\overset p=$
  verwenden. Es gilt
  \begin{align*}
    \nabla_kT^i_j \equiv&\, T^i_{j;k} =T^i_{j,k}
    +T^m_j\Gamma^i_{km}-T^i_m\Gamma^m_{kj},\\
    \nabla_l\nabla_kT^i_j = &\,\left(T^i_{j;k}\right)_{,l}
    +T^m_{j;k}\Gamma^i_{lm} -T^i_{m;k}\Gamma^m_{jl}
    -T^i_{j;m}\Gamma^m_{kl}\\ \overset p=&\,T^i_{j,kl}
    +T^m_j\Gamma^i_{km,l} -T^i_m\Gamma^m_{kj,l},\\
    \nabla_k\nabla_lT^i_j \overset p= &\,T^i_{j,lk}
    +T^m_j\Gamma^i_{lm,k}
    -T^i_m\Gamma^m_{lj,k},\\
    \nabla_k\nabla_lT^i_j -\nabla_l\nabla_kT^i_j \overset p=&\,
    T^m_j\left(\Gamma^i_{lm,k}-\Gamma^i_{km,l}\right)
    -T^i_m\left(\Gamma^m_{lj,k}-\Gamma^m_{kj,l}\right)\\
    \overset p=&\,T^m_jR_{kl}{}^i{}_m -T^i_mR_{kl}{}^m{}_j,\\
    \nabla_k\nabla_lT^i_j -\nabla_l\nabla_kT^i_j \equiv&\,
    T^i_{j;lk}-T^i_{j;kl} =T^m_jR_{kl}{}^i{}_m -T^i_mR_{kl}{}^m{}_j. 
  \end{align*}
  Die letzte Zeile gilt wieder allgemein, \dh in jedem
  Koordinatensystem, da nun beide Seiten wieder tensoriell sind. (Das
  Produkt zweier Tensoren ist wieder ein Tensor, algebraisch das
  Tensorprodukt $S\otimes T$.)
\end{remark}

\Section{Geod\"atische}
Wir orientieren uns an \cite{UrbasDG}.\par
Sei $(M^m,g)$ stets eine Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension
$m$ mit Metrik $g$ und Riemannschem Zusammenhang $\nabla$. F\"ur
Definition und erste Eigenschaften ben\"otigt man die Riemannsche
Metrik noch nicht. 

\begin{definition}
  Eine Geod\"atische in $M$ ist eine Kurve $\gamma$, so dass
  \begin{equation}\label{geod equ}
    \nabla^\gamma\left(\gamma_*\left\langle\tfrac{d}{dt}
      \right\rangle\right)\equiv 
    \nabla^\gamma\dot\gamma\equiv\frac{D\dot\gamma(t)}{dt}=0
  \end{equation}
  f\"ur $t$ im Definitionsbereich, einem Intervall, gilt.
\end{definition}

\begin{remark}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Es gilt $$\dt\Vert\dot\gamma\Vert^2\equiv
    \dt\langle\dot\gamma,\dot\gamma\rangle
    =2\left\langle\dot\gamma,\frac{D\dot\gamma}{dt}\right\rangle=0$$
    f\"ur eine Geod\"atische $\gamma$. Daher ist
    $\Vert\dot\gamma\Vert$ lokal konstant. Die Bogenl\"ange einer
    Kurve ist durch
    $$s(t)=\int\limits_0^t\Vert\dot\gamma(\tau)\Vert\,d\tau$$
    gegeben. Somit ist $s=at+b$ f\"ur Konstanten $a,b\in\R$.  Manchmal
    ist es n\"utzlich, $\dot\gamma\neq0$ vorauszusetzen.
  \item Seien $(U,\phi)$ Koordinaten nahe $p\in M$. Dann lautet
    \eqref{geod equ} in Koordinaten
    $$\frac{d^2\gamma^k}{dt^2}+\Gamma^k_{ij}(\gamma^1,\ldots,\gamma^m)
    \frac{d\gamma^i}{dt}\frac{d\gamma^j}{dt}=0\quad\text{f\"ur
    }k=1,\ldots,m$$ mit $\gamma=(\gamma^i(t))$.
  \item Ist $M\subset\R^n$ eine eingebettete Untermannigfaltigkeit, so
    besagt \eqref{geod equ}, dass $\frac{D\dot\gamma}{dt}
    =(\ddot\gamma)^T=0$ ist, \dh dass der tangentiale Anteil der
    zweiten partiellen Ableitung verschwindet oder dass die zweite
    partielle Ableitung orthogonal zu $M$ ist.
  \item\label{lok ex} Zu $p\in M$ gibt es eine Umgebung $p\in U\subset
    M$ und Konstanten $\delta,\epsilon>0$, so dass f\"ur alle $q\in U$
    und alle $X\in T_qM$ mit $\Vert X\Vert<\epsilon$ eine eindeutige
    Geod\"atische $\gamma:(-\delta,\delta)\to M$ mit $\gamma(0)=q$ und
    $\dot\gamma(0)=X$ existiert.
    \begin{proof}[Beweis]
      Da \eqref{geod equ} ein System gew\"ohnlicher
      Differentialgleichungen ist, besitzt es lokal eine eindeutige
      L\"osung.
    \end{proof}
  \item Sei $\gamma(t)=(\gamma^1(t),\ldots,\gamma^m(t))$ eine
    Geod\"atische. Dann ist auch $\alpha(t)=\gamma(\mu t)$ f\"ur
    $\mu>0$ eine Geod\"atische. Daher k\"onnen wir durch Verkleinern
    von $\epsilon>0$ in \eqref{lok ex} (auf $\frac12\epsilon\delta$)
    auch annehmen, dass alle Geod\"atischen auf dem Intervall $(-2,2)$
    definiert sind.
  \item Die Eigenschaft, Geod\"atische zu sein, ist eine lokale
    Eigenschaft.
  \item Die Eigenschaft, Geod\"atische zu sein, ist unter lokalen
    Isometrien erhalten, da \eqref{geod equ} nur vom induzierten
    Zusammenhang abh\"angt.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{example}\neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Im $\R^n$ vereinfacht sich \eqref{geod equ} zu
    $\frac{d^2\gamma^k}{dt^2}=0$. Daher sind affine Geraden
    $\gamma=at+b$ Geod\"atische und affine Geraden, die proportional
    zur Bogenl\"ange parametrisiert sind, sind Geod\"atische.
  \item Sei $M=\S^1\times\R$. Dann ist $M$ lokal isometrisch zu
    $\R^2$. Zwischen zwei verschiedenen Punkten auf $M$ gibt es
    unendlich viele Geod\"atische, sie \glqq winden sich\grqq{}
    unterschiedlich oft um den Zylinder herum.
  \item Eventuell: Wie bestimmt man den Abstand von zwei Punkten auf
    einer W\"ur\-fel\-ober\-fl\"a\-che? Antwort: Man vergleiche alle
    Geraden, die sich durch geeignetes Abrollen des W\"urfels auf
    $\R^2$ ergeben, die alle durch Abrollen entstandenen Bilder dieser
    beiden Punkte verbinden.
  \item Sei $M=\S^m\subset\R^{m+1}$. Dann sind die Geod\"atischen
    gerade die Gro\ss{}kreise: Gro\ss{}kreise sind (nach einer
    Rotation der Sph\"are) durch $$\gamma:t\mapsto
    (\cos(at),\sin(at),0,\ldots,0)\in\R^{m+1},\quad a>0,$$ gegeben. Es
    gilt $\ddot\gamma(t)=-a^2\gamma(t)$.  Daher sind die zweiten
    partiellen Ableitungen normal und diese Kurven sind
    Geod\"atische. Da es aber zu jedem Anfangspunkt und zu jeder
    Anfangsrichtung eine solche Kurve gibt, sind dies (aufgrund des
    lokalen Eindeutigkeitssatzes f\"ur gew\"ohnliche
    Differentialgleichungen) bereits alle Geod\"atischen (die nicht
    mehr erweitert werden k\"onnen).
  \item Sei $M=\T^2=\S^1\times\S^1=\R^2/\Z^2$. Dann sind die
    Geod\"atischen gerade die Bilder von Geraden in $\R^2$. Bei
    rationaler Steigung erhalten wir periodische Geod\"atische, bei
    irrationaler Steigung ist das Bild der Geod\"atischen dicht in
    $\R^2$.
  \end{enumerate}
\end{example}

\begin{definition}
  Sei $M$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, $p\in M$ und $X\in T_pM$.
  Sei $\gamma:[0,1]\to M$ eine Geod\"atische mit $\gamma(0)=p$ und
  $\dot\gamma(0)=X$. (Ist $\Vert X\Vert$ klein genug, so existiert
  solch eine Geod\"atische aufgrund des lokalen Existenzsatzes.) Wir
  definieren $\exp_p(X):=\gamma(1)\in M$.
\end{definition}

\begin{remark}
\neueZeile
\begin{enumerate}[(i)]
\item Sei $\gamma:[0,1]\to M$ eine Geod\"atische mit $\gamma(0)=p$ und
  $\dot\gamma(0)=X$. Dann ist $\gamma(t)=\exp_p(tX)$: Betrachte
  $\tilde\gamma(t)=\gamma(\alpha t)$. Dann ist $\tilde\gamma$ eine
  Geod\"atische. Es gilt $\tilde\gamma(0)=\gamma(0)=p$ und
  $\dot{\tilde\gamma}(0)=\alpha\dot\gamma(0)=\alpha X$. Somit ist
  $\exp_p(\alpha X)=\tilde\gamma(1)=\gamma(\alpha)$. Wir setzen
  $t:=\alpha$ und erhalten die Behauptung.
\item Die L\"ange der Geod\"atischen $\gamma(t)=\exp_p(tX)$ von $p$
  nach $\exp_p(X)$ ist \[\int\limits_0^1\Vert\dot\gamma(t)\Vert\,dt
  =\Vert\dot\gamma(0)\Vert=\Vert X\Vert,\] da $\Vert\dot\gamma\Vert$
  konstant ist.
\end{enumerate}
\end{remark}

\begin{proposition}\label{exp diff prop}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item F\"ur jeden Punkt $p\in M$ gibt es ein $\epsilon>0$, so dass
    $\exp_p:T_pM\to M$, eingeschr\"ankt auf $\{X\in T_pM:\Vert
    X\Vert<\epsilon\}$, glatt ist.
  \item F\"ur jeden Punkt $p\in M$ ist die Abbildung $\Phi:\Omega\to
    M$, $\Omega\subset TM$ geeignet, definiert
    durch $$\Phi(q,X)=(q,\exp_qX),$$ ein Diffeomorphismus von einer
    Umgebung $W$ von $(p,0)\in TM$ auf eine Umgebung von $(p,p)\in
    M\times M$.
  \end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dies folgt direkt aus dem lokalen Existenzsatz.
  \item Zu einer Karte $(U,\phi)$ f\"ur $M$ gibt es eine Karte
    $(T_UM,\phi_*)$ f\"ur $TM$ mit
    \begin{align*}
      \phi_*\colon T_UM\to&\,\phi(U)\times\R^m,\\
      \phi_{*,q}\left(\sum\limits_{i=1}^ma^i(q)
        \left.\frac{\partial}{\partial x^i} \right|_q\right)=&\,
      (\phi(q),a^1(q),\ldots,a^m(q)).
    \end{align*}
    Daher besitzt $\Phi$ in lokalen Koordinaten die
    Darstellung $$\Phi\left(q^1,\ldots,q^m,X^1,\ldots,X^m\right)
    =\left(q^1,\ldots,q^m,\exp_q^1(X),\ldots,\exp_q^m(X)\right).$$ Wir
    wollen nun nachweisen, dass $\Phi_{*,(p,0)}$ regul\"ar ist. Dann
    folgt die Behauptung aus dem Satz \"uber implizite
    Funktionen. Zun\"achst halten wir dazu $X=0$ fest und variieren
    $q$. Da $\exp_q(0)=q$ f\"ur alle $q$ gilt,
    folgt $$\left(\frac{\partial\Phi^j} {\partial
        q^i}(p,0)\right)_{\genfrac{}{}{0pt}{}{1\le i\le m}{1\le j\le
        2m}} =\begin{pmatrix}\id\\\id\end{pmatrix}.$$ Wir betrachten
    nun $q=p$ und $X=te_i=(0,\ldots,0,t,0,\ldots,0)$, da
    $T_pM\cong\R^m$. Dann gilt $$\left.\dt\exp_p(te_i)\right|_{t=0}
    =\left.\dt\gamma(t)\right|_{t=0} =e_i,$$ da $\exp_p(te_i)$ eine
    Geod\"atische $\gamma$ mit $\gamma(0)=p$ und $\dot\gamma(0)=e_i$
    ist. Folglich erhalten wir $$\left(\frac{\partial\Phi^j}{\partial
        X^i}(p,0)\right)_{\genfrac{}{}{0pt}{}{1\le i\le m}{1\le j\le
        2m}} = \begin{pmatrix} 0\\\id \end{pmatrix}.$$
    Zusammengenommen erhalten wir also
    $$\Phi_{*,(p,0)}=\begin{pmatrix} \id&0\\
      \id&\id\end{pmatrix}$$ und die Behauptung folgt.
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}\label{lok eind geod}
  Zu $p\in M$ gibt es eine Umgebung $U$ von $p$ und $\epsilon>0$, so
  dass folgendes gilt:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{i eind geod} F\"ur je zwei Punkte $q,q'\in U$ gibt es
    eine eindeutig bestimmte Geod\"atische von $q$ nach $q'$ mit einer
    L\"ange kleiner als $\epsilon$.
  \item Diese Geod\"atische ist durch $t\mapsto\exp_q(tX)$, $0\le t\le
    1$, f\"ur ein $X\in T_qM$ mit $\Vert X\Vert<\epsilon$ gegeben und
    h\"angt in glatter Weise von $q$ und $q'$ ab.
  \item F\"ur jedes $q\in U$ ist $$\exp_q:\{X\in T_qM:\Vert
    X\Vert<\epsilon\}\to \exp_q\left(\{X\in T_qM:\Vert
      X\Vert<\epsilon\}\right)\subset M$$ ein Diffeomorphismus.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $(V,\psi)$ eine Karte um $p$. Sei $W$ die Umgebung aus
    Proposition \ref{exp diff prop} von $(p,0)\in TM$. Sei $\pi\colon
    TM\to M$ die Projektionsabbildung des
    Tan\-gen\-tial\-b\"un\-dels. Indem wir gegebenenfalls $W$
    verkleinern, d\"urfen wir annehmen, dass $\ol{\pi(W)}\subset V$
    gilt. Da die Metrik $g$ stetig ist, gibt es ein $\epsilon>0$ und
    eine offene Umgebung $U'\subset M$ von $p$, so
    dass $$W':=\bigcup\limits_{u\in U'} \{(u,X):X\in T_uM,\,\Vert
    X\Vert<\epsilon\}\subset W$$ gilt. Die Abbildung $\Phi$ von
    Proposition \ref{exp diff prop} ist ein Diffeomorphismus von $W'$
    auf $\Phi(W')$. $\Phi(W')$ ist eine offene Umgebung von $(p,p)$ in
    $M\times M$. Somit enth\"alt $\Phi(W')$ insbesondere auch eine
    Menge $U\times U$, wobei $U$ eine geeignete offene Umgebung von
    $p$ ist. Daher gibt es zu $(q,q')\in U\times U$ einen eindeutig
    bestimmten Punkt $(q,X)=\Phi^{-1}(q,q')\in W'$. Somit gilt
    $q'=\exp_qX$ f\"ur ein $X\in T_qM$ mit $\Vert
    X\Vert<\epsilon$. Die Eindeutigkeit folgt nach Konstruktion, da
    $\Phi$ ein Diffeomorphismus ist.
  \item Dies folgt direkt aus dem Beweis von Proposition \ref{exp diff
      prop}.
  \item Da $\Phi$ ein Diffeomorphismus von $W'$ auf das Bild in
    $M\times M$ und in der ersten Komponente die Identit\"at ist, ist
    auch $\exp_q(\cdot)$, die zweite Komponente von $\Phi(q,\cdot)$,
    ein Diffeomorphismus von $\{X\in T_qM:\Vert X\Vert<\epsilon\}$ auf
    das Bild in $M$.
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  Man kann $U$ sogar \emph{geod\"atisch konvex} w\"ahlen, \dh jede
  Geod\"atische aus \eqref{i eind geod}, die $q$ und $q'$ verbindet,
  liegt auch in $U$. Vergleiche dies mit Kugeln im $\R^m$. 
\end{remark}

\begin{remark}
  Mit Hilfe der Exponentialabbildung wollen wir besonders gute
  Koordinatensysteme konstruieren: Sei $p\in M$. Fixiere $\epsilon>0$
  klein genug, so dass $\exp_p$ ein Diffeomorphismus von $\{X\in
  T_pM:\Vert X\Vert<\epsilon\}$ auf das Bild $U$ ist. Sei
  $e_1,\ldots,e_m$ eine Orthonormalbasis von $T_pM$. Dann gilt f\"ur
  $X=X^ie_i\in T_pM$, dass $\Vert
  X\Vert^2=\sum\limits_{i=1}^m\left(X^i\right)^2$ ist. Wir definieren
  eine Karte $\phi$ durch $$\phi:\exp_p\left(X^ie_i\right) \mapsto
  \left(X^1,\ldots,X^m\right).$$ Wir erhalten eine surjektive
  Abbildung $\phi:U\to B_\epsilon^m(0)\subset\R^m$.\par Die so
  definierten Koordinaten hei\ss{}en Normalkoordinaten.
\end{remark}

\begin{proposition}\label{Gamma null}
  In Normalkoordinaten um $p\in M$ gilt:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Geod\"atische durch $p$ sind gerade Linien der Form
    $\gamma^i=b^it$ mit $b^i\in\R$, $i=1,\ldots,m$.
  \item $g_{ij}(0)=\delta_{ij}$.
  \item $\Gamma^k_{ij}(0)=0$ und $\fracp{g_{ij}}{x^k}(0)=0$ f\"ur alle
    $i,j,k=1,\ldots,m$.
  \end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Geod\"atische durch $p$ sind durch $t\mapsto\exp_p(tX)$
    gegeben. 
  \item Dies folgt aus den Rechnungen in Proposition \ref{exp diff
      prop}, da rechts unten in der Matrix die Identit\"at steht.
  \item F\"ur $a\in\R^m$ ist $t\mapsto ta$ eine Geod\"atische in
    Koordinaten. Die Gleichung $$\frac{d^2\gamma^k}{dt^2}
    +\Gamma^k_{ij}\frac{d\gamma^i}{dt}\frac{d\gamma^j}{dt}=0$$ liefert
    dann $\Gamma^k_{ij}(0)a^ia^j=0$. Da $\Gamma^k_{ij}$ in $i$ und $j$
    symmetrisch ist, folgt daraus
    $\Gamma^k_{ij}(0)=0$. Schlie\ss{}lich gilt im Ursprung
    \begin{align*}
      0=&\,\Gamma^l_{ki}g_{lj}+\Gamma^l_{kj}g_{il}\\\umbruch
      =&\,\frac12\left(\fracp{g_{kj}}{x^i}+\fracp{g_{ij}}{x^k}
        -\fracp{g_{ki}}{x^j}\right)
      +\frac12\left(\fracp{g_{ki}}{x^j}+\fracp{g_{ji}}{x^k}
        -\fracp{g_{kj}}{x^i}\right) =\fracp{g_{ij}}{x^k}.
    \end{align*}
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  Proposition \ref{Gamma null} und der Satz von Taylor liefern, dass
  in einem
  Normalkoordinatensystem $$g_{ij}=\delta_{ij}+O\left(|x|^2\right)$$
  gilt. Damit ist die Metrik bis zur ersten Ordnung euklidisch. Dies
  l\"a\ss{}t sich auch im allgemeinen nicht auf zweite Ordnung
  verbessern, da sonst der Riemannsche Kr\"ummungstensor im Ursprung
  verschwinden w\"urde.
\end{remark}

\begin{lemma}
  Sei $(M,g)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann ist $M$ ein
  metrischer Raum verm\"oge \[d(p,q):=\inf\limits_\gamma L(\gamma),\]
  wobei $p,q\in M$ sind und das Infimum \"uber alle st\"uckweisen
  $C^1$-Kurven mit $\gamma(0)=p$ und $\gamma(1)=q$ gebildet
  wird. $L(\gamma)$ bezeichnet dabei die L\"ange der Kurve
  $\gamma$: \[L(\gamma) =\int\limits_0^1\Vert\gamma'\Vert
  =\int\limits_0^1\sqrt{g_{ij}(\gamma(t))
    (\gamma^i)'(t)(\gamma^j)'(t)}\,dt\] und $\gamma'\equiv\dot\gamma$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $d(p,q)=d(q,p)$ ist klar.
  \item $d(p,q)\ge0$. F\"ur $p\neq q$ verl\"a\ss{}t eine beliebige
    Kurve $\gamma$, die $p$ mit $q$ verbindet in einer Karte
    $(U,\phi)$ eine Kugel $B_\epsilon(0)=B_\epsilon(\phi(p))$. In
    $B_\epsilon(0)$ gilt $g_{ij}\ge\delta\cdot\delta_{ij}$ f\"ur ein
    $\delta>0$. Also folgt wie im $\R^m$, dass
    $L(\gamma)\ge\epsilon\cdot\sqrt\delta$ ist. 
  \item Dreiecksungleichung: Seien $p,q,r\in M$ und sei
    $\epsilon>0$. Zeige, dass \[d(p,q)\le d(p,r) +d(r,q)\] gilt: Sei
    $\gamma_1$ eine Kurve von $p$ nach $r$ mit $L(\gamma_1)\le d(p,r)
    +\epsilon$ und sei $\gamma_2$ eine Kurve von $r$ nach $q$ mit
    $L(\gamma_2)\le d(r,q)+\epsilon$. Dann ist 
    \[\gamma(t):=
    \begin{cases}
      \gamma_1(2t),&0\le t\le\tfrac12,\\
      \gamma_2(2t-1),&\tfrac12\le t\le 1
    \end{cases}
    \]
    eine st\"uckweise $C^1$-Kurve von $p$ \"uber $r$ nach $q$ und es
    gilt \[L(\gamma)=L(\gamma_1)+L(\gamma_2) \le d(p,r)+\epsilon
    +d(r,q)+\epsilon.\] Wir betrachten nun das Infimum \"uber alle
    Kurven $\gamma$, die $p$ mit $q$ (nicht notwendigerweise \"uber
    $r$) verbinden. Es folgt \[d(p,q)\le d(p,r) +d(r,q) +2\epsilon.\]
    Da $\epsilon>0$ beliebig war, folgt die Behauptung.
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}\label{geod min}
  Sei $p\in M$. Dann gibt es eine Umgebung $U$ von $p$ und ein
  $\epsilon>0$, so dass zu je zwei Punkten $q,q'\in U$ eine eindeutige
  Geod\"atische $\gamma$ von $q$ nach $q'$ existiert, deren L\"ange
  kleiner als $\epsilon$ ist. Es gilt $L(\gamma)=d(q,q')$, wobei $L$
  die L\"ange bezeichnet und $d$ die von der Riemannschen Metrik
  induzierte Distanzfunktion ist. \par Sei $\omega$ eine weitere
  st\"uckweise glatte Kurve, die $q$ und $q'$ verbindet. Dann gilt
  $L(\omega)\ge L(\gamma)$ und die Ungleichung ist strikt ausser wenn
  $\omega$ eine Umparametrisierung von $\gamma$ ist.
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis, Anfang]
  Aus Theorem \ref{lok eind geod} folgen die Existenz- und
  Eindeutigkeitsaussage. F\"ur den Rest des Beweises ben\"otigen wir
  noch einige Lemmata.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{part abl vert}
  Sei $W$ eine offene Umgebung von $(u_0,v_0)\in\R^2$ und $F:W\to M$
  eine glatte Abbildung. Dann sind $\fracp Fu\equiv F_*\fracp{}{u}$
  und $\fracp Fv$ Tangentialvektoren an die Kurven $v=$ konstant und
  $u=$ konstant (dies ist nur im regul\"aren Falle eine sinnvolle
  Aussage). Wenn wir mit $\frac D{\partial u}$ und $\frac D{\partial
    v}$ die kovarianten Ableitungen entlang dieser Kurven bezeichnen,
  gilt $$\frac D{\partial v}\fracp Fu =\frac D{\partial u}\fracp Fv.$$
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $X$ ein Vektorfeld entlang $F(W)$ und gelte $$X(u,v)=X^i(u,v)
  \fracp{}{x^i} =\left.X^i(u,v)\fracp{}{x^i}\right|_{F(u,v)}$$ in
  Koordinaten. Dann ist nach Bemerkung \ref{VF laengs
    abb} $$\frac{DX}{dv} =\left(\fracp{X^k}{v}
    +\Gamma^k_{ij}X^i\fracp{F^j}{v}\right)\fracp{}{x^k}.$$
  Insbesondere folgt also $$\frac D{\partial v}\fracp Fu
  =\left(\fracp{^2F^k}{u\partial
      v}+\Gamma^k_{ij}\fracp{F^i}u\fracp{F^j}v\right)\fracp{}{x^k}
  =\frac D{\partial u}\fracp Fv.$$
\end{proof}

\begin{lemma}
  Unter denselben Voraussetzungen wie eben gilt $$\left[\fracp
    Fu,\fracp Fv\right]=0.$$
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Dies folgt aus einer \"Ubungsaufgabe, da \[\left[\tfracp Fu,\tfracp
    Fv\right] =\left[F_*\tfracp{}u,F_*\tfracp{}v\right]
  =F_*\left[\tfracp{}u,\tfracp{}v\right]=0\] gilt. \par
  Alternativ: Sind $\fracp Fu$ und $\fracp Fv$ linear lokal
  unabh\"angig, so sind es Koordinatenvektorfelder in einem geeigneten
  Koordinatensystem, f\"ur die die Lieklammer verschwindet. Im
  allgemeinen Fall folgt dies direkt hieraus durch Approximation.
\end{proof}

\begin{lemma}[Gau\ss{}lemma]\label{gauss lemma}
  Sei $p\in M$ und $\exp_p$ in $B_\epsilon(0)$ ein
  Diffeomorphismus. Dann sind die Geod\"atischen durch $p$ der L\"ange
  $<\epsilon$ orthogonal zu den geod\"atischen
  Sph\"aren $$S_r(p):=\{\exp_pX:\Vert X\Vert=r\},$$ falls
  $0<r<\epsilon$.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Als diffeomorphes Bild von $\partial B_r(0)\subset T_pM\cong\R^m$
  ist $S_r(p)$ eine $(m-1)$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von
  $M$. Jede Kurve in $S_r(p)$ l\"a\ss{}t sich in der Form
  $t\mapsto\exp_p(rX(t))$ darstellen, wobei $t\mapsto X(t)$ eine Kurve
  in $\{X\in T_pM:\Vert X\Vert=1\}$ ist. Wir haben gesehen, dass jede
  Geod\"atische (ggf.{} nach Reparametrisierung) durch $p$ von der
  Form $r\mapsto\exp_p(rX)$ f\"ur ein $X\in T_pM$ mit $\Vert X\Vert=1$
  ist. \par Betrachte nun die Abbildung $F(r,t):=\exp_p(rX(t))$, wobei
  $t\mapsto X(t)$ eine Kurve in $\{X\in T_pM:\Vert X\Vert=1\}$
  ist. Dann ist $\fracp Ft$ ein Tangentialvektor an $S_r(p)$ und
  $\fracp Fr$ ist ein Tangentialvektor an eine Geod\"atische durch
  $p$. Somit gen\"ugt es, $\left\langle\fracp Fr,\fracp
    Ft\right\rangle=0$ nachzuweisen: Zun\"achst einmal gilt $F(0,t)=p$
  f\"ur alle $t$. Also ist $\left.\fracp Ft\right|_{(0,t)}=0$ und
  daher gilt auch $\left.\left\langle\fracp Fr,\fracp
      Ft\right\rangle\right|_{(0,t)}=0$. Nach Bemerkung \ref{Ricci
    laengs Abb}
  $$\fracp{}r\left\langle\fracp
    Fr,\fracp Ft\right\rangle =\left\langle\frac D{\partial r}\fracp
    Fr, \fracp Ft\right\rangle +\left\langle\fracp Fr,\frac D{\partial
      r}\fracp Ft\right\rangle.$$ Auf der rechten Seite verschwindet
  der erste Term, denn $r\mapsto F(r,t)$ ist eine Geod\"atische. Nach
  Lemma \ref{part abl vert} erhalten wir f\"ur den zweiten
  Term $$\left\langle\fracp Fr,\frac D{\partial r}\fracp
    Ft\right\rangle =\left\langle\fracp Fr,\frac D{\partial t}\fracp
    Fr\right\rangle =\frac12\fracp{}t\left\langle\fracp Fr,\fracp
    Fr\right\rangle=0,$$ da $\fracp Fr$ der Tangentialvektor der
  Geod\"atischen $r\mapsto F(r,t)$ ist und damit eine konstante Norm
  hat. Somit ist $\fracp{}r\left\langle\fracp Fr,\fracp
    Ft\right\rangle =0$. Also ist $\left\langle\fracp Fr,\fracp
    Ft\right\rangle$ konstant und da diese Funktion im Punkte $(0,t)$
  verschwindet, verschwindet sie \"uberall. Das Lemma folgt.
\end{proof}

\begin{lemma}\label{laeng est lem}
  Seien $p,\epsilon$ und $U$ wie in Theorem \ref{lok eind geod}.  Sei
  $\omega:[a,b]\to U\setminus\{p\}$ eine st\"uckweise
  $C^1$-Kurve. Dann l\"a\ss{}t sich $\omega$ eindeutig in der
  Form $$\omega(t)=\exp_p(r(t)X(t))$$ mit $0<r(t)<\epsilon$, $X(t)\in
  T_pM$ und $\Vert X(t)\Vert=1$ schreiben. Es
  gilt $$L(\omega)=\int\limits_a^b\Vert\dot\omega(t)
  \Vert\,dt\ge|r(b)-r(a)|$$ und Gleichheit gilt genau dann, wenn $X$
  konstant und $r$ monoton ist. \par Insbesondere ist daher der
  k\"urzeste Weg zwischen zwei konzentrischen geod\"atischen Sph\"aren
  um $q$ eine radiale Geod\"atische.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Da $\exp_p$ ein Diffeomorphismus ist, ist die eindeutige
  Darstellbarkeit klar. \par Definiere $F(r,t):=\exp_p(rX(t))$. Dann
  gilt $\omega(t)=F(r(t),t)$ und wir erhalten $$\dot\omega(t)=\fracp
  Fr\dot r(t) +\fracp Ft.$$ Nach Lemma \ref{gauss lemma} sind $\fracp
  Fr$ und $\fracp Ft$ orthogonal zueinander. Weiterhin ist
  $\left\Vert\fracp Fr\right\Vert=1$, da dies f\"ur $r=0$ gilt und da
  $\left\Vert\fracp Fr\right\Vert$ f\"ur Geod\"atische konstant
  ist. Somit gilt $$\left\Vert\dot\omega(t)\right\Vert^2 =\left|\dot
    r(t)\right|^2 +\left\Vert\fracp Ft\right\Vert^2\ge \left|\dot
    r(t)\right|^2$$ und Gleichheit gilt genau dann, wenn $\fracp Ft=0$
  und damit also $\fracp Xt=0$ ist. Hieraus
  folgt $$\int\limits_a^b\left\Vert\dot\omega(t)\right\Vert\,dt\ge
  \int\limits_a^b|\dot r(t)|\,dt\ge |r(b)-r(a)|$$ und Gleichheit gilt
  genau dann, wenn $r$ monoton und $X$ konstant ist.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{geod min}, Ende]
  Sei $\omega$ ein st\"uckweise glatter Weg von $q$ nach
  $q'=\exp_q(rX)$ mit $0<r<\epsilon$, $X\in T_qM$ and $\Vert
  X\Vert=1$. Dann gibt es zu jedem $\delta\in(0,r)$ eine
  Einschr\"ankung der Kurve, die die geod\"atische Sph\"are
  $S_\delta(q)$ mit der geod\"atischen Sph\"are $S_r(q)$
  verbindet. Wir betrachten eine solche Einschr\"ankung, bei der sich
  die Kurve ausschlie\ss{}lich zwischen diesen beiden Sph\"aren
  befindet. Nach Lemma \ref{laeng est lem} hat dieser Teil mindestens
  die L\"ange $r-\delta$. Mit $\delta\searrow0$ erhalten wir
  $L(\omega)\ge r=L(\gamma)$. Falls $\omega$ nicht bis auf
  Umparametrisierung mit der verbindenden Geod\"atischen $\gamma$
  \"ubereinstimmt, erhalten wir eine strikte Ungleichung.
\end{proof}

\begin{corollary}\label{min imp geod}
  Sei $\gamma:[0,T]\to M$ eine nach der Bogenl\"ange parametrisierte
  Kurve und nehme an, dass f\"ur jede andere Kurve $\omega$, die
  $\gamma(0)$ mit $\gamma(T)$ verbindet, $L(\gamma)\le L(\omega)$
  gilt. Dann ist $\gamma$ eine Geod\"atische.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  W\"ahle einen beliebigen Punkte $p$ im Bild von $\gamma$. In der
  N\"ahe von $p$ minimiert $\gamma$ die L\"ange. Da $\gamma$
  proportional zur Bogenl\"ange parametrisiert ist, liefert Theorem
  \ref{geod min}, dass $\gamma$ in einer Umgebung von $p$ eine
  Geod\"atische ist. Da $p$ ein beliebiger Punkt auf dem Bild von
  $\gamma$ ist, ist $\gamma$ eine Geod\"atische.
\end{proof}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir haben in Korollar \ref{min imp geod} gesehen, dass eine
    l\"angenminimierende Kurve zwischen zwei Punkten eine
    Geod\"atische ist. Im allgemeinen gibt es in einer Riemannschen
    Mannigfaltigkeit zwischen zwei Punkten keine l\"angenminimierende
    Kurve. Sei $M=\R^2\setminus\{(0,0)\}$. Seien $p=(-1,0)$ und
    $q=(1,0)$. Dann ist $d(p,q)=2$, aber jede Kurve in $M$, die $p$
    mit $q$ verbindet hat eine L\"ange strikt gr\"o\ss{}er als $2$, da
    sie den Ursprung nicht im Bild enthalten kann.\par Die negative
    $x^1$-Achse ist eine Geod\"atische, die sich aber nicht fortsetzen
    l\"a\ss{}t.
  \item Im allgemeinen minimieren Geod\"atische die L\"ange nicht
    global, beispielsweise auf der Sph\"are oder auf einem Zylinder.
  \end{enumerate}
\end{remark}

Wir wollen uns damit besch\"aftigen, wann es zwischen zwei Punkten auf
einer Mannigfaltigkeit stets eine k\"urzeste Geod\"atische gibt und
wann eine Geod\"atische sich fortsetzen l\"a\ss{}t.

\begin{definition}
  Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit hei\ss{}t \emph{geod\"atisch
    voll\-st\"an\-dig}, wenn jede Geod\"atische $\gamma:[0,T]\to M$ sich
  zu einer auf ganz $\R$ definierten Geod\"atischen fortsetzen
  l\"a\ss{}t. 
\end{definition}

\begin{theorem}[Hopf-Rinow]\label{hopf rinow thm}
  Sei $M$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann sind die folgenden
  Aussagen \"aquivalent:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item\label{eins} $M$ ist geod\"atisch vollst\"andig.
  \item\label{zwei} F\"ur alle $p\in M$ ist $\exp_p$ auf ganz $T_pM$
    definiert.
  \item\label{drei} $M$ mit induzierter Metrik $d$ ist ein
    vollst\"andiger metrischer Raum.\\[1ex]
    \hspace*{-\leftmargin}Ist $M$ zusammenh\"angend, so impliziert
    jede dieser Aussagen\\[-1.5ex] 
    \rule{1mm}{0mm}
  \item\label{vier} Zwei beliebige Punkte $p,q\in M$ lassen sich durch
    eine Geod\"atische $\gamma$ verbinden, so dass $L(\gamma)=d(p,q)$
    gilt.
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeilealt \eqref{eins}\impliziert\eqref{vier}: Seien $p,q\in
  M$. Setze $r:=d(p,q)$. Nach Theorem \ref{geod min} gibt es ein
  $\delta>0$, so dass jeder Punkt von $\partial B_\delta(p):=\{x\in
  M:d(p,x)=\delta\}$ mit $p$ durch eine eindeutig bestimmte
  minimierende Geod\"atische verbunden werden kann. (Falls
  $r\le\delta$ ist, liefert dieses Theorem bereits die Behauptung und
  wir sind fertig.) Die Funktion $d(q,\cdot)$ ist stetig. Da $\partial
  B_\delta(p)$ kompakt ist, gibt es einen Punkt $p_0\in\partial
  B_\delta(p)$, so dass sie, eingeschr\"ankt auf $\partial
  B_\delta(p)$, dort ihr Minimum annimmt. Sei
  $\gamma:t\mapsto\exp_p(tX)$, $\Vert X\Vert=1$, $0\le t\le\delta$,
  die Geod\"atische von $p$ nach $p_0$. \par Wir behaupten nun, dass
  \begin{equation}
    \label{gam min eq}
    d(\gamma(t),q)=r-t\quad\text{f\"ur}\quad 
    \delta\le t\le r\quad \text{gilt.}
  \end{equation}
  Dies zeigt dann, dass $p$ und $q$ sich durch eine k\"urzeste
  Geod\"atische verbinden lassen. Also folgt aus \eqref{gam min eq},
  dass \eqref{eins}\impliziert\eqref{vier}. Die Behauptung \eqref{gam
    min eq} ist f\"ur $t=\delta$ wahr. (\glqq$\ge$\grqq{} gilt nach
  Dreiecksungleichung, f\"ur \glqq$\le$\grqq{} betrachte man eine
  Folge von Kurven, die zeigen, dass $d(p,q)=r$ gilt und benutzt, dass
  diese $\partial B_\delta(p)$ schneiden m\"ussen.) Aufgrund der
  Stetigkeit ist sie auch f\"ur das Supremum $t_0$ aller der $t$'s
  wahr, f\"ur die sie wahr ist. Nehme daher an, dass $t_0<r$
  gilt. \"Ahnlich wie oben finden wir ein $\delta'>0$, so dass es von
  $\gamma(t_0)$ eine eindeutig bestimmte minimierende Geod\"atische zu
  einem beliebigen Punkt in $\partial B_{\delta'}(\gamma(t_0))$
  gibt. (Analog zu oben nehmen wir an, dass $t_0+\delta'\le r$ ist.)
  Sei $p_0'\in\partial B_{\delta'}(\gamma(t_0))$ ein Punkt, so dass
  $d(q,\cdot)$ das Minimum \"uber $\partial B_{\delta'}(\gamma(t_0))$
  in $p_0'$ annimmt. Dann folgt (wie
  oben) $$d(\gamma(t_0),q)=\delta'+d(p_0',q).$$ Dies impliziert wegen
  \eqref{gam min eq} und der Definition von
  $t_0$ $$d(p'_0,q)=d(\gamma(t_0),q)-\delta'=(r-t_0)-\delta'.$$
  Aufgrund der Dreiecksungleichung erhalten wir also $$d(p,p_0')\ge
  d(p,q)-d(p_0',q)=r-[(r-t_0)-\delta']=t_0+\delta'.$$ Betrachte nun
  die \glqq gebrochene\grqq{} Geod\"atische, die aus der
  Geod\"atischen von $p$ nach $\gamma(t_0)$ und der
  l\"angenminimierenden Geod\"atischen von $\gamma(t_0)$ nach $p_0'$
  besteht. Deren L\"ange ist gerade $t_0+\delta'$. Somit ist sie eine
  l\"angenminimierende Verbindung von $p$ nach $p_0'$ und daher
  aufgrund von Korollar \ref{min imp geod} nicht nur eine gebrochene,
  sondern sogar eine (richtige) Geod\"atische. Sie stimmt also mit der
  oben definierten Geod\"atischen $\gamma$ \"uberein, also ist
  $\gamma(t_0+\delta')=p_0'$. Somit erhalten wir einen Widerspruch zur
  Definition von $t_0<r$. Die Behauptung folgt.\par
  \eqref{eins}\aequivalent\eqref{zwei} ist offensichtlich.\par
  \eqref{eins}\impliziert\eqref{drei}: Sei $(x_n)_{n\in\N}$ eine
  Cauchyfolge in $M$. Dann ist $x_n$ beschr\"ankt, also gibt es
  $\Lambda>0$, so dass $d(x_n,x_0)\le\Lambda$ ist. Aufgrund des obigen
  Beweises ist f\"ur alle $n\in\N$ $$x_n\in A:=\exp_{x_0}\{X\in
  T_{x_0}M:\Vert X\Vert\le\Lambda\}.$$ Die Menge $A$ ist das Bild
  einer kompakten Menge unter einer stetigen Abbildung und daher
  selber wieder kompakt. Also besitzt die Folge $(x_n)$ einen
  H\"aufungspunkt in $A$ und dieser Punkt geh\"ort ebenfalls zu
  $A$. Also ist $M$ als metrischer Raum vollst\"andig. \par
  \eqref{drei}\impliziert\eqref{eins}: Sei $\gamma:[0,t_0)\to M$,
  $0<t_0<\infty$, eine nach der Bogenl\"ange parametrisierte
  Geod\"atische, die sich nicht \"uber $t_0$ hinaus fortsetzen
  l\"a\ss{}t. W\"ahle $t_n\in[0,t_0)$ mit $t_n\uparrow t_0$, $n\in\N$,
  und setze $p_n:=\gamma(t_n)$. Da $d(p_m,p_n)\le|t_m-t_n|$ gilt, ist
  $(p_n)_{n\in\N}$ eine Cauchyfolge in $M$. Aufgrund der metrischen
  Vollst\"andigkeit von $M$ gibt es daher ein $q\in M$, so dass
  $p_n\to q$. Wir m\"ochten nun nachweisen, dass sich $\gamma$ so
  fortsetzen l\"a\ss{}t, dass es $q$ erreicht. Nach Theorem \ref{geod
    min} gibt es $\epsilon,\delta>0$, so dass sich zwei beliebige
  Punkte in $B_\delta(q)$ mit einer eindeutig bestimmten
  Geod\"atischen der L\"ange kleiner als $\epsilon$ verbinden
  lassen. Auf $p_m$ und $p_n$ angewandt hei\ss{}t das, dass es ein $N$
  gibt, so dass f\"ur alle $m,n\ge N$ auch $d(p_m,p_n)=|t_m-t_n|$
  gilt. Wir fixieren nun $n$ und lassen $m\to\infty$. Aufgrund der
  Stetigkeit von $d$ erhalten wir $d(q,p_n)=t_0-t_n$. F\"ur $m>n\ge N$
  gilt also $$d(q,p_n)=t_0-t_n =(t_0-t_m)+(t_m-t_n)
  =d(q,p_m)+d(p_m,p_n).$$ Damit ist die gebrochene Geod\"atische von
  $p_n$ nach $p_m$ und weiter nach $q$ l\"angenminimierend und daher
  nach Korollar \ref{min imp geod} eine glatte Geod\"atische. Man kann
  sie also verwenden um die Geod\"atische $\gamma$ bis $t_0$
  fortzusetzen. Der lokale Existenzsatz erlaubt uns nun, die
  Geod\"atische \"uber $t_0$ hinaus fortzusetzen.
\end{proof}

\begin{corollary}
  Jede geschlossene Riemannsche Mannigfaltigkeit ist geod\"atisch
  voll\-st\"an\-dig.
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Ein kompakter metrischer Raum ist voll\-st\"an\-dig. 
\end{proof}

\begin{remark}
  Aussage \eqref{vier} in Theorem \ref{hopf rinow thm} ist zu den
  anderen Aussagen nicht \"aquivalent. $B_1(0)\subset\R^m$ ist ein
  Gegenbeispiel.
\end{remark}

% \Section{Strukturideen}
% \begin{itemize}
% \item Unterschiedliche Richtungen: K\"ahlermannigfaltigkeiten,
%   Finslermannigfaltigkeiten, Konforme Geometrie, Liegruppen,
%   Konvexgeometrie, Untermannigfaltigkeiten, Kontaktmannigfaltigkeiten, 
% \item Hyperfl\"achen im $\R^{n+1}$, zun\"achst Kurven. 
% \item Vielleicht kann man dies in den \"Ubungsaufgaben dann so
%   fortf\"uhren, dass die Leute am Ende Evolutionsgleichungen f\"ur
%   eingebettete Mannigfaltigkeiten berechnen k\"onnen.
% \item Allgemeine Mannigfaltigkeiten, Metriken, Geod\"atische,
%   Zusammenh\"ange, Lie-Klammern, B\"undel und Vererbung von
%   Zusammenh\"angen. Strukturgleichungen f\"ur
%   Untermannigfaltigkeiten. 
% \item Am Ende sollten die Leute in der Lage sein, zumindest recht
%   schnell auch Evolutionsgleichungen f\"ur den Riccifluss zu
%   berechnen.
% \item Fortsetzung: Seminar: Riccifluss (vor Perelman: Hamilton's
%   3-Mannig\-fal\-tig\-kei\-ten und Shi's Arbeiten) und sp\"ater
%   Riccifluss (nach Perelman: Peter Toppings Buch). Dies soll es dann
%   auch erlauben, eine Bachelorarbeit \"uber den Riccifluss zu
%   verfassen. Vorstellungen: Nehmen wir erst einmal an, dass eine
%   L\"osung existiert (zitiere z.\,B.{} ein geeignetes Resultat aus den
%   partiellen Differentialgleichungen und lerne noch \"uber den
%   DeTurck-Trick). Rechne dann die entsprechenden Evolutionsgleichungen
%   nach. Die analytischen Probleme sollen dabei erst einmal soweit wie
%   m\"oglich ausgeklammert werden.
% \item Masterarbeit vielleicht \"uber eine Flussgleichung mit
%   eingebetteten Mannigfaltigkeiten. Dann w\"aren am Ende beide
%   Bereiche bekannt. 
% \end{itemize}

% \Section{Weitere Quellen}

% Gau\ss{}-Bonnet: \cite[4F]{KuehnelDG}

\renewcommand{\refname}{Literatur}
\def\emph#1{\textit{#1}}
\bibliographystyle{amsplain}
%\bibliography{/Users/os/uni/math/bib/biblio}

\def\weg#1{} \def\unterstrich{\underline{\rule{1ex}{0ex}}} \def\cprime{$'$}
  \def\cprime{$'$} \def\cprime{$'$} \def\cprime{$'$}
\providecommand{\bysame}{\leavevmode\hbox to3em{\hrulefill}\thinspace}
\providecommand{\MR}{\relax\ifhmode\unskip\space\fi MR }
% \MRhref is called by the amsart/book/proc definition of \MR.
\providecommand{\MRhref}[2]{%
  \href{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=#1}{#2}
}
\providecommand{\href}[2]{#2}
\begin{thebibliography}{1}

\bibitem{Dieudonne} 
Jean Dieudonn{\'e}, \emph{Foundations of modern
  analysis}, Academic Press, New York, 1969, Enlarged and corrected
  printing, Pure and Applied Mathematics, Vol. 10-I.

\bibitem{doCarmoDifferentialgeometrie}
Manfredo~P. do~Carmo, \emph{Differentialgeometrie von {K}urven und
  {F}l\"achen}, Vieweg Studium: Aufbaukurs Mathematik [Vieweg Studies:
  Mathematics Course], vol.~55, Friedr. Vieweg \& Sohn, Braunschweig, 1983,
  Translated from the English by Michael Gr{\"u}ter.

\bibitem{CGNotes}
Claus Gerhardt, \emph{Lecture notes}.

\bibitem{GudmundssonGaussian}
Sigmundur\weg{GudmundssonGaussian} Gudmundsson, \emph{{An introduction to
  Gaussian geometry}}, 2010, Lecture Notes,\\
  \texttt{http://www.matematik.lu.se/matematiklu/personal/sigma/index.html}.

\bibitem{GudmundssonRiemannian}
Sigmundur\weg{GudmundssonRiemannian} Gudmundsson, \emph{{An introduction to
  Riemannian geometry}}, 2009, Lecture Notes,
  \texttt{http://www.matematik.lu.se/matematiklu/personal/sigma/index.html}.

\bibitem{KuehnelDG}
Wolfgang\weg{KuehnelDG} K{\"u}hnel, \emph{Differentialgeometrie}, fourth ed.,
  Vieweg Studium: Aufbaukurs Mathematik. [Vieweg Studies: Mathematics Course],
  Vieweg, Wiesbaden, 2008, Kurven---Fl{\"a}chen---Mannigfaltigkeiten.
  [Curves---surfaces---manifolds].

\bibitem{OSTopo}
Oliver Schn\"urer\weg{OSTopoSkript}, \emph{{Topologie}}, 2007, Skript zur
  Vorlesung.

\bibitem{TomiDG1}
Friedrich\weg{TomiDG1} Tomi, \emph{{Differentialgeometrie I}}, 1997, Lecture
  Notes.

\bibitem{UrbasDG}
John Urbas, \emph{{Introduction to Differential Geometry}}, 2004, Lecture
  Notes.

\end{thebibliography}

\end{document}
