% 
% Graphischer Mittlerer Kr\"ummungsfluss
% Oliver Schn\"urer
%
% Konstanz, Winter 2014/15, Sommer 2018, Winter 2023/24
%
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\def\Rueckrichtung{\glqq\ensuremath{\Leftarrow}\grqq:\text{ }}
% War urspr\"unglich wie bei impliziert und folgt aus mit langen
% Pfeilen definiert, aber das klappt nicht als itemize-[Argument];
% \"Uberl\"ange nach links.
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% Hier ggf. vor der Veroeffentlichung noch etwas aendern.
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\newtheorem{beispiel}[theorem]{Beispiel}
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\hyphenation{Du-al-raum Nor-men Gleich-heit Di-ri-chlet-rand-wer-ten
   Ei-gen-funk-ti-on-en Kom-pakt-heits-satz Viel-fach-heit
   Funk-tion Funk-tion-en}

\setcounter{tocdepth}{2}

\begin{document}
\title{Graphischer Mittlerer Kr\"ummungsfluss}

% Information for first author
\author{Oliver C. Schn\"urer}
% Address of record for the research reported here
\address{Oliver C. Schn\"urer, Universit\"at Konstanz, Germany}
% Current address
\curraddr{} \def\amSeeHome{@uni-konstanz.de}
\email{Oliver.Schnuerer\amSeeHome}
% \thanks will become a 1st page footnote.
\thanks{Benutzt: Wintersemester 2014/15, Sommersemester 2018 und
  Wintersemester 2023/24 in Konstanz. Dank f\"ur Korrekturen an
  Maximilian Simon und weitere H\"orer dieser Veranstaltung.}

% General info
\subjclass[2020]{53E10}
% 53E10 Flows related to mean curvature

\date{\today.}

\dedicatory{}

\keywords{}

\begin{abstract}
  Bei diesem Manuskript handelt es sich um Notizen zu einer Vorlesung
  Graphischer Mittlerer Kr\"ummungsfluss. 
\end{abstract}

\maketitle

\setcounter{tocdepth}{2}
\tableofcontents

% Spezielle Kopfzeilen          
\long\def\Section#1{\section{#1} \def\abschnitt{#1}}
\long\def\Subsection#1{\subsection{#1} \def\unterabschnitt{#1}}
\markboth{\scriptsize{\textsc{\thesection.{}
      \MakeUppercase{\abschnitt}}}}
{\scriptsize{\textsc{\thesubsection.{}
      \MakeUppercase{\unterabschnitt{}}}}}


% \mainmatter

In der Vorlesung folgen wir insbesondere
\cite{HuiskenBdry,EckerHuiskenInvent,OSMarielMCFwithoutSing}.

\Section{Dirichletrandwerte}
\Subsection{Kurzzeitexistenz}
Wir benutzen hier eine Methode, die einen Existenzsatz f\"ur lineare
parabolische Gleichungen und den Satz \"uber inverse Funktionen
benutzt. Wir verweisen auf \cite{CGCPBook}, siehe auch
\cite{MarquardtPhD,FriedmanParabolic}.

Bei unserem Ansatz werden wir Kompatibilit\"atsbedingungen
voraussetzen m\"us\-sen und folgen f\"ur die lineare Theorie
\cite{LadySoloUral}. Will man dies nicht, so erh\"alt man L\"osungen,
die in $\partial\Omega\times\{0\}$ weniger regul\"ar sind, siehe
\cite{FriedmanParabolic}.

Wir folgen nun \cite{LadySoloUral}.
\begin{definition}
  \label{allg ann def}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Eine offene Menge $\Omega\subset\R^n$ besitzt eine lokal
    gleichm\"a\ss{}ige Lipschitzdarstellung, falls es $r>0$ und
    $K<\infty$ gibt, so dass zu jedem Punkt $x\in\partial\Omega$ die
    Menge $B_r(x)\cap\partial\Omega$ als Graph einer Funktion $\omega$
    mit $\Vert\omega\Vert_{C^{0,1}}\le K$ geschrieben werden kann.
  \item Sei $\Omega\subset\R^n$ offen, erlaube eine lokal
    gleichm\"a\ss{}ige Lipschitzdarstellung, sei aber nicht
    notwendigerweise beschr\"ankt. Sei $0<T\le\infty$. Dann betrachten
    wir die Menge $Q_T:=\Omega\times[0,T)$.
  \item Erinnerung: Seien $k\in\N$ und $\alpha\in(0,1)$ fixiert. Sei
    $u\colon\Omega\to\R$
    beliebig. Definiere \[[u]_{C^{0,\alpha}(\Omega)}
    :=\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{x,y\in\Omega}{x\neq y}}
    \frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y|^\alpha}.\] Definiere damit den \"ublichen
    Banachraum $C^{k,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$ aller
    $C^k(\Omega)$-Funktionen $u$, die sich samt ihren Ableitungen bis
    zur Ordnung $k$ stetig bis zum Rand fortsetzen lassen, und $\Vert
    u\Vert_{C^{k,\alpha}(\Omega)} <\infty$ erf\"ullen, wobei diese
    Norm durch \[\Vert u\Vert_{C^{k,\alpha}(\Omega)}
    :=\sum\limits_{|\beta|\le k} \left\Vert D^\beta
      u\right\Vert_{C^0(\Omega)} +\sum\limits_{|\beta|=k}
    \left[D^\beta u\right]_{C^{0,\alpha}(\Omega)}\] definiert ist. Wir
    schreiben auch $C^{k+\alpha}$ statt $C^{k,\alpha}$.
  \item Definiere $C^{k+\alpha;\frac{k+\alpha}2}\left(\ol Q_T\right)$
    als den Banachraum aller Funktionen, die sich samt ihren
    Ableitungen der Form $\left(\dt\right)^rD^\beta u\equiv D^r_tD^s_x
    u$ mit $r,s\in\N$, $\beta\in\N^n$ und $2r+s\equiv 2r+|\beta|\le k$
    stetig auf $\ol Q_T$ fortsetzen lassen und deren nachfolgend
    definierte $\Vert u\Vert_{C^{k+\alpha;\frac{k+\alpha}2}(Q_T)}$-Norm
    endlich ist. (Ist $k$ gerade, so schreiben wir auch
    $C^{k,\alpha;\frac k2,\frac\alpha2}(Q_T)$ f\"ur
    $C^{k+\alpha;\frac{k+\alpha}2}(Q_T)$.)
    \begin{align*}
      \Vert u\Vert_{C^{k+\alpha;\frac{k+\alpha}2}(Q_T)}:=&\,
      [u]_{C^{k+\alpha;\frac{k+\alpha}2}(Q_T)}
      +\sum\limits_{2r+|\beta|\le k} \left\Vert
        D^r_tD^\beta_xu\right\Vert_{C^0(Q_T)}, \intertext{wobei}
      [u]_{C^{k+\alpha;\frac{k+\alpha}2}(Q_T)}=&\,
      \sum\limits_{2r+s=k}\sup\limits_{t\in[0,T]} [D^r_tD^s_x
      u(\cdot,t)]_{C^{0,\alpha}(\Omega)}\\
      &\,+\sum\limits_{0<k+\alpha-2r-s\equiv\gamma<2}
      \sup\limits_{x\in\Omega}
      [D^r_tD^s_xu(x,\cdot)]_{C^{0,\gamma/2}((0,T))} 
    \end{align*}
    ist und $D^s_xu$ f\"ur eine beliebige r\"aumliche Ableitung der
    Ordnung $s$ steht. 
  \item $O^l\left(\ol\Omega\right)$, $l\in\N_{>0}$, bezeichnet den
    Raum aller stetigen Funktionen $u\colon\Omega\to\R$ deren
    Ableitungen mit Ordnung $<l$ sich stetig auf $\ol\Omega$
    fortsetzen lassen und deren Ableitungen der Ordnung $l$ in
    $\Omega$ beschr\"ankt sind. 
  \item $O^{2,1}\left(\ol Q_T\right)$ bezeichnet den Raum aller
    Funktionen $u\colon Q_T\to\R$, bei denen sich $u,u_i$, $1\le i\le
    n$, stetig auf $\ol Q_T$ fortsetzen l\"asst und $\dot u,u_{ij}$,
    $1\le i,j\le n$ in $Q_T$ beschr\"ankt sind.
  \item Vektorwertige Funktionenr\"aume sind analog definiert. 
  \item Die Normen von auf $\partial\Omega\times[0,T]$ definierten
    Funktionen definieren wir bei mindestens gleicher Regularit\"at
    des Randes als das Infimum \"uber die entsprechenden Fortsetzungen
    nach $\Omega\times[0,T]$. (Ist $k+\alpha>1$, so besitzt ein Rand
    $\partial\Omega$, der eine $C^{k+\alpha}$-Untermannigfaltigkeit
    ist, eine lokale Graphendarstellung und die obige Definition ist
    zu einer Definition \"uber eine lokale Darstellung des Randes
    \"aquivalent.)
  \end{enumerate}
\end{definition}

Als Corollar zum Satz von Arzel\`a-Ascoli erhalten wir
\begin{lemma}
  \label{C k alpha beta komp}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt und sei $T>0$. Seien
  $0\le\beta<\alpha\le 1$ und $k,l\in\N$ mit $k\ge l$ sowie
  $k+\alpha>l+\beta$. Dann sind die folgenden Einbettungen kompakt:
  \begin{align*}
    C^\alpha\left(\ol\Omega\right)\hookrightarrow&\,
    C^\beta\left(\ol\Omega\right),\umbruch\\
    C^{k,\alpha}\left(\ol\Omega\right)\hookrightarrow&\,
    C^{l,\beta}\left(\ol\Omega\right),\umbruch\\
    C^{k+\alpha;\frac{k+\alpha}2}\left(\ol\Omega\times[0,T]\right)
    \hookrightarrow&\,
    C^{l+\beta;\frac{l+\beta}2}\left(\ol\Omega\times[0,T]\right).
  \end{align*}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Der Fall $k>l$ ist einfach. Obwohl die Behauptung in allen F\"allen
  aus der Behauptung f\"ur die dritte Einbettung folgt, behandeln wir
  aus didaktischen Gr\"unden nur die erste Einbettung und lassen den
  Rest als \"Ubungsaufgabe.\par
  Sei $(u_k)_k\subset C^\alpha\left(\ol\Omega\right)$
  beschr\"ankt. Dann konvergiert nach dem Satz von Arzel\`a-Ascoli
  eine Teilfolge davon in $C^0$. Wir nehmen ohne Einschr\"ankung an,
  dass die gesamte Folge konvergiert: $u_k\to u$ in $C^0$. Es gilt
  \begin{align*}
    &\,\frac{|(u_k-u)(x)-(u_k-u)(y)|}{|x-y|^\beta}\umbruch\\
    =&\,\left(\frac{|(u_k-u)(x)-(u_k-u)(y)|}{|x-y|^\alpha} \cdot
      |(u_k-u)(x)-(u_k-u)(y)|^{\frac{\alpha-\beta}\beta}
    \right)^{\frac\beta\alpha}.
  \end{align*}
  Der erste Faktor auf der rechten Seite ist aufgrund der
  Beschr\"anktheit der Folge in $C^\alpha$ beschr\"ankt und der zweite
  Faktor konvergiert wegen der $C^0$-Konvergenz gegen Null. Wir
  erhalten somit $u_k\to u$ in $C^\beta$. 
\end{proof}

\begin{definition}
  Der lineare Differentialoperator \[Lu=\dot u-a^{ij}u_{ij} +b^iu_i
  +du\] hei\ss{}t gleichm\"a\ss{}ig parabolisch, falls es $\nu,\mu>0$
  mit \[\nu|\xi|^2\le a^{ij}(x,t)\xi_i\xi_j\le\mu|\xi|^2\] f\"ur alle
  $\xi\in\R^n$ und alle $(x,t)\in Q_T$ gibt.
\end{definition}

\begin{remark}[Kompatibilit\"atsbedingungen]
  Wir wollen das Anfangs- und Randwertproblem
  \[
  \begin{cases}
    Lu=f&\text{in }Q_T,\\
    u(\cdot,0)=\phi&\text{in }\Omega,\\
    u=\Phi&\text{in }\partial\Omega\times[0,T]
  \end{cases}
  \]
  in $C^{k+\alpha;\frac{k+\alpha}2}\left(\ol Q_T\right)$ l\"osen. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $u\in C^0\left(\ol Q_T\right)$, so folgt
    $\phi=\Phi(\cdot,0)$ auf $\partial\Omega$, da diese Funktionen auf
    $\Omega\times\{0\}$ bzw.{} $\partial\Omega\times[0,T]$ mit $u$
    \"ubereinstimmen. Die Bedingung $\phi=\Phi(\cdot,0)$ hei\ss{}t
    $0$-te Kompatibilit\"atsbedingung. 
  \item Ist $u\in C^{2;1}\left(\ol Q_T\right)$, so folgt $\phi\in C^2$
    sowie $\Phi(x,\cdot)\in C^1$. Sind die Koeffizienten von $L$ in
    $C^0\left(\ol Q_T\right)$, so lassen sich alle Summanden von $Lu$
    stetig auf $\ol Q_T$ fortsetzen. In $\partial\Omega\times\{0\}$
    k\"onnen wir $Lu$ aber auch mit $\phi$ und $\Phi$ berechnen: Es
    gilt daher 
    \[\dot\Phi=\dot u=a^{ij}u_{ij}-b^iu_i-du+f =a^{ij}\phi_{ij}
    -b^i\phi_i-d\phi+f.\] Die erste Gleichheit gilt in
    $\partial\Omega\times[0,T]$, die zweite aufgrund der Stetigkeit in
    ganz $\ol Q_T$ und die dritte f\"ur $t=0$. Die \"Ubereinstimmung
    der \"au\ss{}eren beiden Ausdr\"ucke auf
    $\partial\Omega\times\{0\}$ hei\ss{}t Kompatibilit\"atsbedingung
    der Ordnung eins.
  \item Gelten $u\in C^{4;2}\left(\ol Q_T\right)$, $a^{ij},b^i,d,f\in
    C^{2;1}$, so erhalten wir die Kompatibilit\"atsbedingung der
    Ordnung zwei wie folgt:
    \begin{align*}
      \ddot\Phi=&\,\ddot u =\dt\left(a^{ij}u_{ij} -b^iu_i -du
        +f\right)\umbruch\\
      =&\,\dot a^{ij}u_{ij} +a^{ij}\dot u_{ij} -\dot b^iu_i -b^i\dot
      u_i -\dot du -d\dot u+\dot f\umbruch\\
      =&\,\dot a^{ij}u_{ij} +a^{kl}
      \left(a^{ij}u_{ij}-b^iu_i-du+f\right)_{kl}\\ &\,-\dot b^iu_i
      -b^k \left(a^{ij}u_{ij}-b^iu_i-du+f\right)_k\\ &\,-\dot du -d
      \left(a^{ij}u_{ij}-b^iu_i-du+f\right) +\dot f\umbruch\\
      =&\,\dot a^{ij}\phi_{ij} +a^{kl}
      \left(a^{ij}\phi_{ij}-b^i\phi_i-d\phi+f\right)_{kl}\\ &\,-\dot
      b^i\phi_i -b^k
      \left(a^{ij}\phi_{ij}-b^i\phi_i-d\phi+f\right)_k\\ &\,-\dot
      d\phi -d
      \left(a^{ij}\phi_{ij}-b^i\phi_i-d\phi+f\right) +\dot f.
    \end{align*}
  \item Man erh\"alt Kompatibilit\"atsbedingungen der Ordnung $k$,
    indem man in \[\left(\dt\right)^k\Phi=\left(\dt\right)^ku\] die
    Zeitableitungen von $u$ sukzessive mit Hilfe der
    Differentialgleichung $Lu=f$ durch r\"aumliche Ableitungen
    ersetzt, dann diese durch die entsprechenden Ableitungen von
    $\phi$ ersetzt und damit schlie\ss{}lich eine Bedingung in
    $\partial\Omega\times\{0\}$ bekommt. Diese Bedingung hei\ss{}t
    $k$-te Kompatibilit\"atsbedingung.
  \item Wir werden im Existenzsatz genauso viele
    Kompatibilit\"atsbedingungen fordern, wie bei der behaupteten
    Regularit\"at ohnehin gelten m\"ussen. 
  \item F\"ur positive Zeiten gelten den Kompatibilit\"atsbedingungen
    entsprechende Bedingungen wegen der Glattheit bzw.{} Regularit\"at
    der L\"osung automatisch bis zu der der Glattheit entsprechenden
    Ordnung.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{theorem}[{\cite[Theorem IV.5.2, S. 320]{LadySoloUral}}]
  \label{lin parab op bij thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und $T>0$. Definiere
  $Q_T:=\Omega\times(0,T)$.  Seien $k\in\N$, $\alpha\in(0,1)$. Seien
  die Koeffizienten des gleichm\"a\ss{}ig parabolischen
  Operators \[L\colon u\mapsto \dot u -a^{ij}u_{ij}+b^iu_i+du\] in
  $C^{k+\alpha;\frac{k+\alpha}2}\left(\ol Q_T\right)$. Sei
  $\partial\Omega\in C^{k+2,\alpha}$ (im unbeschr\"ankten Fall mit einer
  lokal gleich\-m\"a\-\ss{}i\-gen $C^{k+2,a}$-Darstellung des Randes).
  Dann gibt es f\"ur beliebige Funktionen
  $f\in C^{k+\alpha;\frac{k+\alpha}2}\left(\ol Q_T\right)$, beliebige
  $\phi\in C^{k+2+\alpha}\left(\ol\Omega\right)$ und beliebige
  $\Phi\in C^{k+2+\alpha;\frac{k+2+\alpha}2}\left(\ol Q_T\right)$, die
  die Kompatibilit\"atsbedingungen bis zur Ordnung
  $\left[\frac{k+\alpha}2\right]+1 =\left[\frac k2\right]+1$
  erf\"ullen, eine L\"osung
  $u\in C^{k+2+\alpha;\frac{k+2+\alpha}2}\left(\ol Q_T\right)$ des
  Randwertproblems
  \begin{equation}
    \label{lin parab awp}
    \begin{cases}
      Lu=f&\text{in }Q_T,\\
      u(\cdot,0)=\phi&\text{auf }\Omega,\\
      u=\Phi&\text{auf }\partial\Omega\times[0,T].
    \end{cases}
  \end{equation}
  Ist $\Omega$ beschr\"ankt, so ist $u$ unter allen
  $C^{2;1}(Q_T)\cap C^0\left(\ol Q_T\right)$-L\"osungen eindeutig
  bestimmt. Es gilt die Absch\"atzung
  \begin{align}
    \label{u lin parab awp a priori}
    &\, \Vert u\Vert_{C^{k+2+\alpha;\frac{k+2+\alpha}2}\left(\ol
        Q_T\right)}\le\\ \le&\,c \cdot \left( \Vert
      f\Vert_{C^{k+\alpha;\frac{k+\alpha}2}\left(\ol Q_T\right)}
      +\Vert\phi\Vert_{C^{k+2+\alpha}\left(\ol\Omega\right)}
      +\Vert\Phi\Vert_{C^{k+2+\alpha;\frac{k+2+\alpha}2}\left(\ol
          Q_T\right)}\right)\nonumber
  \end{align} 
  mit $c=c(\Omega,k,\alpha,L)$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweisidee]
  Ein m\"ogliches Vorgehen ist: Man zeigt zun\"achst die a priori
  Ab\-sch\"atz\-ung f\"ur $u$, benutzt dann, dass das entsprechende
  Resultat f\"ur die W\"armeleitungsgleichung richtig ist und zeigt
  danach die Existenz mit Hilfe der Stetigkeitsmethode.\par
  Die Eindeutigkeitsaussage ist klar. 
\end{proof}

Wir interpretieren dieses Theorem nun funktionalanalytisch. 
\begin{remark}
  \label{fa interpret rem}
  Ab der Injektivit\"at von $\mathcal L$ weiter unten ben\"otigen wir
  die Beschr\"anktheit von $\Omega$. Wir wollen diese daher
  annehmen. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Menge aller \[(f,\phi,\Phi)\in
    C^{k+\alpha;\frac{k+\alpha}2}\left(\ol Q_T\right)\times
    C^{k+2+\alpha}\left(\ol\Omega\right)\times
    C^{k+2+\alpha;\frac{k+2+\alpha}2}
    \left(\partial\Omega\times[0,T]\right),\] so dass sich s\"amtliche
    Terme mit $f$ in den Kompatibilit\"atsbedingungen gegenseitig
    aufheben und die die daher linearen Kompatibilit\"atsbedingungen
    bis zur Ordnung $[k/2]+1$ erf\"ullen sind als endlicher Schnitt
    von Urbildern der Nullfunktion unter stetigen linearen Funktionen
    abgeschlossen und daher ein Banachraum. Wir bezeichnen ihn
    kurzfristig mit $CBR$ (= Banachraum mit
    Kompatibilit\"atsbedingungen) ohne dass die Abh\"angigkeit von $k$
    in der Notation auftaucht.
  \item Der Operator
    \begin{align*}
      \mathcal L\colon C^{k+2+\alpha;\frac{k+2+\alpha}2}\left(\ol
        Q_T\right)\to&\, CBR,\\
      u\mapsto&\,(Lu, u|_{\Omega\times\{0\}},
      u|_{\partial\Omega\times[0,T]})
    \end{align*}
    ist linear, stetig, injektiv, wenn wir als Zielraum den Raum
    $C^{k+\alpha;\frac{k+\alpha}2}\times C^{k+2+\alpha}\times
    C^{k+2+\alpha;\frac{k+2+\alpha}2}$ w\"ahlen. Ab jetzt w\"ahlen wir
    als Zielraum $CBR$. Die Definitionsmenge brauchen wir nicht zu
    modifizieren, da $(f,\phi,\Phi)=\mathcal Lu$ aufgrund der
    Regularit\"at von $u$ automatisch die Kompatibilit\"atsbedingungen
    erf\"ullt: $\im\mathcal L\subset CBR$. Nach Theorem \ref{lin parab
      op bij thm} ist $\mathcal L$ surjektiv und besitzt eine stetige
    Inverse. Somit ist $\mathcal L$ ein Banachraumisomorphismus.
  \item Sei $k=0$. Es gilt $(f,0,0)\in CBR$ (mit
    Kompatibilit\"atsbedingungen bis zur Ordnung $1$), genau dann wenn
    $f|_{\partial\Omega\times\{0\}}=0$ gilt. Wir wollen $\mathcal L$
    auf das Urbild von \[W\times\{0\}\times\{0\}\equiv\left\{f\in
      C^{\alpha;\frac{\alpha}2}\left(\ol Q_T\right)\colon
      f|_{\partial\Omega\times\{0\}}
      =0\right\}\times\{0\}\times\{0\}\] einschr\"anken.  Dieses ist
    durch \[\left\{u\in C^{2+\alpha;\frac{2+\alpha}2}\left(\ol
        Q_T\right)\colon u|_{\Omega\times\{0\}}=0,\,
      u|_{\partial\Omega\times[0,T]}=0\text{ und
      }Lu|_{\partial\Omega\times\{0\}}=0\right\}=:V\] gegeben. Somit
    erhalten wir, dass auch der Operator
    \begin{align*}
      L\colon V \to&\, W,\\
      u\mapsto&\,Lu
    \end{align*}
    ein Banachraumisomorphismus ist.
  \item Auch f\"ur den Satz von Arzel\`a-Ascoli und daraus abgeleitete
    Normkonvergenz ben\"otigen wir die Beschr\"anktheit von $\Omega$.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{theorem}\emph{(Kurzzeitexistenz f\"ur den graphischen mittleren
    Kr\"ummungs\-fluss).}
  \label{kurzzeit ex thm}
  Sei $\alpha\in(0,1)$.  Seien $\Omega\subset\R^n$ offen und
  beschr\"ankt mit $\partial\Omega\in C^{2,\alpha}$, $u_0\in
  C^{2+\alpha}\left(\ol\Omega\right)$ und $\phi\in
  C^{2+\alpha}\left(\partial\Omega\times[0,1]\right)$.  Erf\"ullen
  $u_0,\phi$ die Kompatibilit\"atsbedingungen (die man im
  nichtlinearen Fall analog zum linearen Fall erh\"alt) f\"ur die
  folgende Gleichung, dann gibt es zu jedem $\beta\in(0,\alpha)$ ein
  $T\in(0,1)$ und ein eindeutig bestimmtes \[u\in C^{2+\beta;
    \frac{2+\beta}2} \left(\ol\Omega\times[0,T]\right),\] das das
  Rand- und Anfangswertproblem
  \[
  \begin{cases}
    \dot u=\sqrt{1+|Du|^2}\cdot\divergenz
    \left(\dfrac{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right)
    &\text{in }\Omega\times(0,T),\\
    u(\cdot,0)=u_0&\text{auf}~\,\Omega,\\
    u=\phi&\text{auf}~\partial\Omega\times[0,T]
  \end{cases}
  \]
  l\"ost und die $C^{2+\beta;\frac{2+\beta}2}
  \left(\ol\Omega\times[0,T]\right)$-Norm ist durch $\beta$ und die
  Daten kontrolliert.
\end{theorem}
Wir behaupten hier nicht, $T$ nach unten durch eine positive Konstante
kontrollieren zu k\"onnen.  \def\abschn{\rho}
\begin{proof}[Beweis]
  Beim Beweis der Existenzaussage folgen wir \cite{CGDirichlet}, siehe
  auch \cite[Theorem 2.5.7]{CGCPBook}.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir definieren 
    \begin{align*}
      F\left(D^2u,Du\right):=&\,\sqrt{1+|Du|^2}\cdot\divergenz
      \left(\dfrac{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right)\\
      =&\,\Delta u-\frac{u^iu^ju_{ij}}{1+|Du|^2}, \intertext{also}
      F(r,p):=&\,\left(\delta^{ij}-\frac{p^ip^j}{1+|p|^2}\right)r_{ij}.
    \end{align*}
  \item Die Eindeutigkeit folgt aus dem Maximumprinzip und gilt
    bereits f\"ur $C^{2;1}(\Omega\times(0,T))\cap
    C^0\left(\ol\Omega\times[0,T)\right)$-Funktionen: Seien $u_1,u_2$
    zwei L\"osungen, so gilt f\"ur $w:=u_1-u_2$ die Rand- und
    Anfangsbedingung $w=0$ und die Differentialgleichung
    \begin{align*}
      \dot w=&\,\dot u_1-\dot u_2\umbruch\\
      =&\,F\left(D^2u_1,Du_1\right)-F\left(D^2u_2,Du_2\right)\umbruch\\
      =&\,\int\limits_0^1\frac d{d\tau} F\left(\tau
        D^2u_1+(1-\tau)D^2u_2,
        \tau Du_1+(1-\tau)Du_2\right)\,d\tau\umbruch\\
      =&\,\int\limits_0^1F^{ij}(\ldots)\,d\tau\cdot (u_1-u_2)_{ij}
      +\int\limits_0^1F_{p_i}(\ldots)\,d\tau\cdot (u_1-u_2)_i\umbruch\\
      \equiv&\,a^{ij}w_{ij}+b^iw_i.
    \end{align*}
    Es gilt $a^{ij}\succ0$.  Somit liefert das Maximumprinzip die
    Behauptung.
  \item Wir kommen nun zum Existenzbeweis: Betrachte das lineare
    parabolische Problem 
    \[
    \begin{cases}
      \dot{\tilde u}-\Delta\tilde u=F\left(D^2u_0,Du_0\right)-\Delta
      u_0
      &\text{in }\Omega\times(0,T),\\
      \tilde u(\cdot,0)=u_0&\text{auf }\Omega,\\
      \tilde u=\phi&\text{auf}~\partial\Omega\times[0,T].
    \end{cases}
    \]
    Da $u_0$ und $\phi$ die Kompatibilit\"atsbedingungen nullter und
    erster Ordnung f\"ur den mittleren Kr\"ummungsfluss erf\"ullen,
    also $u_0=\phi$ und $F\left(D^2u_0,Du_0\right)=\dot\phi$ auf
    $\partial\Omega\times\{0\}$, sind sie auch hier erf\"ullt.  Somit
    besitzt dieses lineare Anfangswertproblem eine L\"osung $\tilde
    u\in C^{2+\alpha;\frac{2+\alpha}2}\left(\ol
      Q_1\right)$. Definiere \[\tilde f:=\dot{\tilde
      u}-F\left(D^2\tilde u,D\tilde u\right).\] Diese Definition ist
    so gemacht, dass $\tilde u$ eine L\"osung der
    Differentialgleichung mit entsprechend definierter rechter Seite
    $\tilde f$, also $\dot{\tilde u}-F\left(D^2\tilde u,D\tilde
      u\right)=\tilde f$, ist.  An dieser Stelle kann man das
    betrachtete Zeitintervall einschr\"anken, so dass $\tilde u$ dort
    nahe bei $u_0$ bleibt (was bei einem allgemeineren $F$ n\"otig
    ist) oder man nimmt gr\"o\ss{}ere Gradienten in Kauf (was wir
    machen). Es gelten $\tilde f\in C^{\alpha;\frac\alpha2}\left(\ol
      Q_1\right)$ und $\tilde f(\cdot,0)=0$ auf $\Omega$.
  \item Sei nun $\beta\in(0,\alpha)$ beliebig. Wir betrachten hier
    einen etwas kleineren H\"olderexponenten um sp\"ater die
    Kompaktheit $C^\alpha\Subset C^\beta$ ausnutzen zu
    k\"onnen. \par
    Definiere \[V:=\left\{\eta\in C^{2+\beta;\frac{2+\beta}2}\left(\ol
        Q_1\right)\colon \eta|_{\Omega\times\{0\}}=0 \text{ und }
      \eta|_{\partial\Omega\times[0,1]}=0\right\}\] mit der
    $C^{2+\beta;\frac{2+\beta}2}$-Norm. Da die Randbedingungen
    abgeschlossene Teilmengen definieren, ist $V$ ein
    Banachraum. Definiere weiterhin den Operator $\Phi$ durch
    \begin{align*}
      \Phi\colon V\to&\,
      \left\{f\in C^{\beta;\frac\beta2}\left(\ol Q_1\right)\colon
        f|_{\partial\Omega\times\{0\}}=0\right\}=:W,\\ 
      \eta\mapsto&\,\dt(\tilde u+\eta)-F\left(D^2(\tilde
        u+\eta),D(\tilde u+\eta)\right).
    \end{align*}
    Nach Definition von $V$ gilt $\Phi(\eta)\in W$ f\"ur alle
    $\eta\in V$, \dh insbesondere ist die Bedingung
    $\Phi(\eta)|_{\partial\Omega \times\{0\}}=0$ erf\"ullt.  (Bei
    allgemeineren Funktionen $F$ m\"usste man hier $u$ auf eine
    Umgebung von $0$ einschr\"anken, so dass $F$ wie oben
    wohldefiniert ist.) Wir wollen den Satz von der inversen Funktion
    anwenden. Nach Lemma \ref{abl verk lem} ist $\Phi\in C^1$ und es
    gilt
    \[ D\Phi(0)\langle\eta\rangle
    =\dt\eta-\underbrace{\left(\delta^{ij}-\frac{\tilde u^i\tilde
          u^j}{1+|D\tilde u|^2}\right)}_{=F_{r_{ij}}\left(D^2\tilde
        u,D\tilde u\right)}\eta_{ij} -F_{p_i}\left(D^2\tilde u,D\tilde
      u\right)\eta_i.
    \] Beachte, dass Lemma \ref{abl verk lem} auch f\"ur die
    Einschr\"ankungen auf $V$ bzw.{} $W$ gilt. Nach Bemerkung \ref{fa
      interpret rem} ist $D\Phi(0)\colon V\to W$ ein
    Banachraumisomorphismus. Somit ist $\Phi$ lokal um $0$ ein
    Diffeomorphismus. Insbesondere gibt es also zu $f\in W$ mit
    hinreichend kleinem $\big\Vert f-\tilde f\big\Vert_W \equiv\Vert
    f-\Phi(0)\Vert_W$ ein $\eta\in V$ mit $\Phi(\eta)=f$.\par
    Sei $\abschn\colon\R\to\R$ glatt mit $0\le\abschn\le1$,
    $\abschn(t)\equiv0$ f\"ur $t\le1$ und $\abschn(t)=1$ f\"ur
    $t\ge2$. Setze $\abschn_\epsilon(t):=\abschn(t/\epsilon)$ und
    $f_\epsilon(x,t):=\tilde f(x,t)\cdot\abschn_\epsilon(t)$. Dann
    gilt $\left\Vert \tilde f-f_\epsilon\right\Vert_W\to0$ f\"ur
    $\epsilon\searrow0$: Nach Lemma \ref{feps to f konv} sind die
    $C^{\alpha;\frac\alpha2}$-Normen gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt,
    es gilt $\tilde f-f_\epsilon=\tilde f(1-\abschn_\epsilon)\to0$ in
    $C^0$, da $\tilde f(\cdot,0)=0$ ist, und somit folgt die
    Behauptung, da die Einbettungen
    $C^{\alpha;\frac\alpha2}\hookrightarrow
    C^{\beta;\frac\beta2}\hookrightarrow C^0$ nach Arzel\`a-Ascoli
    kompakt sind, aus der Absch\"atzung
    \[\left\Vert \tilde
      f-f_\epsilon\right\Vert_{C^{\beta;\frac\beta2}}
    \le\delta\cdot\underbrace{\left\Vert \tilde
        f-f_\epsilon\right\Vert_{C^{\alpha;\frac\alpha2}}}_{\le c}
    +c(\delta)\cdot\underbrace{\left\Vert \tilde
        f-f_\epsilon\right\Vert_{C^0}}_{\to0}.\] Fixiere $\epsilon>0$
    klein genug, so dass ein $\eta\in V$ mit $\Phi(\eta)=f_\epsilon$
    existiert. Definiere $u:=(\tilde
    u+\eta)|_{\ol\Omega\times[0,\epsilon]}$. Dann gilt $u\in
    C^{2+\beta;\frac{2+\beta}2}
    \left(\ol\Omega\times[0,\epsilon]\right)$ und $u$ l\"ost
    \[
    \begin{cases}
      \dot u-F(D^2u,Du)=0&\text{in }\Omega\times(0,\epsilon),\\
      u(\cdot,0)=u_0&\text{auf }\Omega,\\
      u(x,t)=\phi(x)&\text{f\"ur
      }(x,t)\in\partial\Omega\times[0,\epsilon]. 
    \end{cases}
    \]
    Dies beweist Theorem \ref{kurzzeit ex thm} mit
    $T=\epsilon$. \qedhere 
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{lemma}
  \label{abl verk lem}
  Seien $\alpha,\beta\in(0,1)$. Sei
  $F\in C^{2;\beta}\left(\R^{n\times n}\times\R^n\right)$ (mehr
  Argumente sind mit einem nahezu identischen Beweis ebenfalls
  m\"oglich; weiterhin sind $\beta=1$ sowie $F\in C^3$ ebenfalls
  zugelassen). Definiere
  \begin{align*}
    \Phi\colon C^{2+\alpha;\frac{2+\alpha}2}\left(\ol Q_1\right) \to&\,
    C^{\alpha\beta;\frac{\alpha\beta}2}\left(\ol Q_1\right),\\ 
    u\mapsto&\,-\dot u+F\left(D^2u,Du\right).
  \end{align*}
  Dann ist $\Phi\in C^1$ und es gilt \[D\Phi(u)\langle\eta\rangle
  =-\dot\eta +F_{r_{ij}}\left(D^2u,Du\right)\eta_{ij}
  +F_{p_i}\left(D^2u,Du\right)\eta_i.\] 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt f\"ur festes $(x,t)$
  \begin{align*}
    \left.\frac d{d\epsilon}\Phi(u+\epsilon\eta)\right|_{\epsilon=0}
    =&\,\left.\frac d{d\epsilon}\left(-\dt\left(u +\epsilon\eta\right)
        +F\left(D^2(u+\epsilon\eta), D(u+\epsilon\eta)
        \right)\right)\right|_{\epsilon=0}\umbruch\\
    =&\,-\dt\eta+F_{r_{ij}}\left(D^2 u,Du\right)\eta_{ij}
    +F_{p_i}\left(D^2u,D u\right)\eta_i.
  \end{align*}
  Mit dieser Rechnung erhalten wir, falls diese existiert, die
  Richtungsableitung von $\Phi$. Daher kommt nur der angegebenen
  Ausdruck als Ableitung von $\Phi$ in Frage.  Aufgrund der
  Linearit\"at ist die Aussage \"uber die Zeitableitung klar. Da bis
  zu zweimaliges Ableiten als Abbildung
  $C^{2+\alpha;\frac{2+\alpha}2}\to C^{\alpha;\frac{\alpha}2}$ linear
  und stetig ist, d\"urfen wir annehmen, dass $\Phi$ die Form
  \begin{align*}
    \Phi\colon C^{\alpha;\frac{\alpha}2}\left(\ol Q_1\right)
    &\to C^{\alpha;\frac{\alpha}2}\left(\ol Q_1\right),\\
    u
    &\mapsto\Phi(u)=((x,t)\mapsto F(u(x,t)))
  \end{align*}
  hat, wobei $u$
  vektorwertig ist, was wir aber in der Notation unterdr\"ucken; das
  neue $u$ entspricht also $\left(D^2u,Du\right)$. Formal bekommen wir
  dies, indem wir $\Phi$ als Verkn\"upfung mit dem Operator
  \begin{align*}
    \mathcal D:C^{2+\alpha;\frac{2+\alpha}2}
    &\to C^{\alpha;\frac{\alpha}2},\umbruch\\
    u
    &\mapsto (u,Du,D^2u,\dot u)
  \end{align*}
  schreiben:
  $\Phi(u)(x,t)=F(\pi_3(\mathcal D(u))(x,t),\pi_2(\mathcal
  D(u))(x,t))$. \par
  Wir wollen zun\"achst zeigen, dass
  \[\Phi(u)=\Phi(v)+DF(v)\langle u-v\rangle +o(\Vert
    u-v\Vert_{C^{\alpha;\frac{\alpha}2}})\] in
  $C^{\alpha\beta;\frac{\alpha\beta}2}$ gilt.  Wir
  setzen
  \[L(x,t):=F(u(x,t))-F(v(x,t))-DF(v(x,t))\langle
    u(x,t)-v(x,t)\rangle\] und wollen also
  \begin{align}
    \label{zeigt diffbarkeit eq}
    \sup\limits_{x,y,t} \frac{|L(x,t)-L(y,t)|}{|x-y|^{\alpha\beta}} 
    &=o(\Vert 
    u-v\Vert_{C^{\alpha;\frac{\alpha}2}}),\umbruch\\
    \label{zeigt diffbarkeit zwei eq}
    \sup\limits_{x,t_1,t_2}
    \frac{|L(x,t_1)-L(x,t_2)|}{|t_1-t_2|^{\frac{\alpha\beta}2}} 
    &=o(\Vert u-v\Vert_{C^{\alpha;\frac{\alpha}2}})
      \intertext{und}
      \label{zeigt diffbarkeit bound eq}
      \sup\limits_{x,t}|L(x,t)|
    &=o(\Vert
      u-v\Vert_{C^{\alpha;\frac{\alpha}2}})
  \end{align}
  zeigen. Dabei d\"urfen und werden wir stets
  $\Vert u\Vert_{C^{\alpha\beta;\frac{\alpha\beta}2}} + \Vert
  v\Vert_{C^{\alpha\beta;\frac{\alpha\beta}2}} \le C$ annehmen. \par
  \textbf{Zun\"achst zu \eqref{zeigt diffbarkeit eq}:} Da $F$ zweimal
  stetig differenzierbar ist, liefert die Taylorapproximation mit
  Restglied in ausgew\"ahlter Form
  \begin{align*}
    F(u(x,t))
    &=F(v(x,t)) +DF(v(x,t))\langle u(x,t)-v(x,t)\rangle\\
    &\equad+\int\limits_0^1(1-\zeta)D^2F(v(x,t)+\zeta(u(x,t)-v(x,t)))\,
      d\zeta\\
    &\equad\quad\cdot\langle u(x,t)-v(x,t),u(x,t)-v(x,t)\rangle.
  \end{align*}
  Der Vollst\"andigkeit halber hier ein paar Zeilen Beweis dazu; am
  Ende ersetze man $x$ durch $u(x,t)$ und $y$ durch $v(x,t)$:
  \begin{align*}
    &\equad\int\limits_0^1(1-\zeta)D^2F(y+\zeta(x-y))\,d\zeta\langle
      x-y,x-y\rangle\umbruch\\
    &=\int\limits_0^1(1-\zeta)\frac{d}{d\zeta}
      DF(y+\zeta(x-y))\,d\zeta \langle x-y\rangle\umbruch\\
    &=-\int\limits_0^1\frac
      d{d\zeta}(1-\zeta)DF(y+\zeta(x-y))\,d\zeta\langle x-y\rangle\\
    &\equad +(1-\zeta) DF(y+\zeta(x-y))\,d\zeta\langle
      x-y\rangle\big|^1_0\umbruch\\
    &=\int\limits_0^1 DF(y+\zeta(x-y))\,d\zeta \langle x-y\rangle
      \quad-1\cdot DF(y)\langle x-y\rangle\umbruch\\
    &=\int\limits_0^1 \frac d{d\zeta} F(y+\zeta(x-y))\,d\zeta
      -DF(y)\langle x-y\rangle\umbruch\\
    &=F(x)-F(y) -DF(y)\langle x-y\rangle.
  \end{align*}
  Weiterhin folgt wegen $F\in
  C^{2,\beta}$ \[\left|D^2F(a)-D^2F(b)\right|\le C\cdot |a-b|^\beta.\]
  Wir definieren die symmetrische Bilinearform
  \[B(x,t):=D^2F(v(x,t)+\zeta(u(x,t)-v(x,t)))
    \langle\cdot,\cdot\rangle\] und erhalten f\"ur $\zeta\in[0,1]$ in
  Abh\"angigkeit von den H\"oldernormen von $u$ und $v$
  \begin{align*}
    \left|B(x,t)-B(y,t) \right|
    &\le C\cdot|\zeta(u(x,t)-u(y,t))
      +(1-\zeta)(v(x,t)-v(y,t))|^\beta\umbruch\\
    &\le C\cdot|u(x,t)-u(y,t)|^\beta
      +C\cdot|v(x,t)-v(y,t)|^\beta\umbruch\\ 
    &\le C\cdot|x-y|^{\alpha\beta}.
  \end{align*}
  Es gilt
  \begin{align*}
    &\equad|L(x,t)-L(y,t)|\umbruch\\
    &=\left|\int\limits_0^1
      \left.(1-\zeta)D^2F(v+\zeta(u-v))\,d\zeta\,\langle
      u-v,u-v\rangle\right|_{(x,t)}\right.\\
    &\equad\quad\left.-\int\limits_0^1
      \left.(1-\zeta)D^2F(v+\zeta(u-v))\,d\zeta\,\langle
      u-v,u-v\rangle\right|_{(y,t)}
      \right|\umbruch\\
    &=\left|\int\limits_0^1 (1-\zeta)B(x,t)\left.\langle
      u-v,u-v\rangle\right|_{(x,t)}
      -(1-\zeta)B(y,t)\left.\langle u-v,u-v\rangle\right|_{(y,t)}\,d\zeta
      \right|\umbruch\\
    &\le\sup\limits_{\zeta\in[0,1]}
      |B(x,t)\left.\langle u-v,u-v\rangle\right|_{(x,t)}
      -B(y,t)\left.\langle u-v,u-v\rangle\right|_{(y,t)}|\umbruch\\ 
    &\le\sup\limits_{\zeta\in[0,1]}
      |B(x,t)\left.\langle u-v,u-v\rangle\right|_{(x,t)}
      -B(x,t)\left.\langle u-v,u-v\rangle\right|_{(y,t)}|\umbruch\\
    &\equad+\sup\limits_{\zeta\in[0,1]}
      |B(x,t)\left.\langle u-v,u-v\rangle\right|_{(y,t)}
      -B(y,t)\left.\langle u-v,u-v\rangle\right|_{(y,t)}|\umbruch\\ 
    &\le\sup\limits_{\zeta\in[0,1]} \left|B(x,t)\langle u-v,u-v\rangle|_{(x,t)}
      -B(x,t)\langle u-v,u-v\rangle|_{(y,t)}\right|\\
    &\equad +c\cdot|x-y|^{\alpha\beta}\cdot
      |u(y,t)-v(y,t)|^2 \umbruch\\
    &\equiv I_1+I_2.
  \end{align*}
  Wir erhalten
  \[I_2\le c\cdot|x-y|^\alpha\cdot\Vert u-v\Vert_{C^0}^2 \le
    c\cdot|x-y|^{\alpha\beta}\cdot\Vert
    u-v\Vert_{C^{\alpha;\frac\alpha2}}^2\] und damit f\"ur diesen Teil
  eine Absch\"atzung wie wir sie f\"ur \eqref{zeigt diffbarkeit eq}
  ben\"otigen.  Weiterhin gilt aufgrund der Symmetrie von $B$ wegen
  der dritten binomischen Formel
  \begin{align*}
    I_1
    &= |B(x,t)\langle (u-v)(x,t)+(u-v)(y,t),
      (u-v)(x,t)-(u-v)(y,t)\rangle|\umbruch\\
    &\le c\cdot(|(u-v)(x,t)|+|(u-v)(y,t)|)
      \cdot|(u-v)(x,t)-(u-v)(y,t)|\umbruch\\
    &\le c\cdot\Vert u-v\Vert_{C^0}\cdot\Vert
      u-v\Vert_{C^{\alpha;\frac{\alpha}2}}\cdot|x-y|^\alpha\umbruch\\ 
    &\le c\cdot\Vert u-v\Vert_{C^0}\cdot\Vert
      u-v\Vert_{C^{\alpha;\frac{\alpha}2}}\cdot|x-y|^{\alpha\beta}, 
  \end{align*}
  da $\beta\le1$ und $|x-y|\le2$ gelten. Somit erhalten wir die
  gew\"unschte Absch\"atzung f\"ur \eqref{zeigt diffbarkeit eq}.\par
  \textbf{Zur Absch\"atzung f\"ur \eqref{zeigt diffbarkeit zwei eq}:}
  Als Vorbereitung erhalten wir analog zu oben, wieder unter Benutzung
  der H\"olderstetigkeit von $u$ und $v$, f\"ur die Differenz
  $B(x,t_1)-B(x,t_2)$
  \begin{align*}
    |B(x,t_1)-B(x,t_2)|
    &\le
      C\cdot|\zeta(u(x,t_1)-u(x,t_2))
      +(1-\zeta)(v(x,t_1)-v(x,t_2))|^\beta\umbruch\\
    &\le C\cdot |u(x,t_1)-u(x,t_2)|^\beta +C\cdot
      |v(x,t_1)-v(x,t_2)|^\beta\umbruch\\ 
    &\le C\cdot |t_1-t_2|^{\frac{\alpha\beta}2}.
  \end{align*}
  Damit ergibt sich \"ahnlich wie oben 
  \begin{align*}
    &\equad|L(x,t_1)-L(x,t_2)|\umbruch\\
    &=\left|\int\limits_0^1 (1-\zeta)B(x,t_1) \left.\langle
      u-v,u-v\rangle\right|_{(x,t_1)} -\int\limits_0^1
      (1-\zeta)B(x,t_2) \left.\langle 
      u-v,u-v\rangle\right|_{(x,t_2)}\right|\umbruch\\
    &\le\sup\limits_{\zeta\in[0,1]} \left|B(x,t_1)\left.\langle
      u-v,u-v\rangle\right|_{(x,t_1)} -B(x,t_1)\left.\langle
      u-v,u-v\rangle\right|_{(x,t_2)}\right|\\
    &\equad+\sup\limits_{\zeta\in[0,1]} \left|B(x,t_1)\left.\langle
      u-v,u-v\rangle\right|_{(x,t_2)} -B(x,t_2)\left.\langle
      u-v,u-v\rangle\right|_{(x,t_2)}\right|\umbruch\\
    &\le C\cdot\left|(u-v)^2(x,t_1)-(u-v)^2(x,t_2)\right|
      +C\cdot|t_1-t_2|^{\frac{\alpha\beta}2}\cdot|u-v|^2(x,t_2)\umbruch\\
    &\le C\cdot|(u-v)(x,t_1)-(u-v)(x,t_2)|
      \cdot|(u-v)(x,t_1)+(u-v)(x,t_2)|\\ 
    &\equad +C\cdot|t_1-t_2|^{\frac{\alpha\beta}2}\cdot
      \Vert  u-v\Vert^2_{C^{\alpha;\frac{\alpha}2}}\umbruch\\
    &\le C\cdot|t_1-t_2|^{\frac{\alpha}2} \cdot \Vert
      u-v\Vert_{C^{\alpha;\frac{\alpha}2}} 
      \cdot\Vert u-v\Vert_{C^0}
      +C\cdot|t_1-t_2|^{\frac{\alpha\beta}2}\cdot
      \Vert  u-v\Vert^2_{C^{\alpha;\frac{\alpha}2}}\umbruch\\
    &\le C\cdot|t_1-t_2|^{\frac{\alpha\beta}2} \cdot \Vert
      u-v\Vert^2_{C^{\alpha;\frac{\alpha}2}}
  \end{align*}
  wie behauptet. \par
  \textbf{Zur Absch\"atzung f\"ur \eqref{zeigt diffbarkeit bound eq}:}
  Hier gilt
  \begin{align*}
    |L(x,t)|
    &=\left|\int\limits_0^1 (1-\zeta)
      D^2F(v(x,t)+\zeta(u(x,t)-v(x,t))) \,d\zeta\left.\langle
      u-v,u-v\rangle\right|_{(x,t)}\right|\umbruch\\
    &\le C\cdot \Vert u-v\Vert^2_{C^0}
  \end{align*}
  und die Behauptung folgt. \par
  Damit hat die Ableitung von $\Phi$ die angegebene Form. Wir haben
  also die Fr\'echet-Differenzierbarkeit von $\Phi$ gezeigt.
  \par
  \textbf{Stetigkeit der Ableitung:} Es fehlt noch der Nachweis, dass
  die Ableitung $D\Phi(x)\langle\cdot\rangle$ stetig von $u$
  abh\"angt. Da dies f\"ur den Term mit der Zeitableitung
  offensichtlich ist, betrachten wir wieder $\Phi$ wie oben. Wir
  wollen also
  \[\Vert D\Phi(u)-D\Phi(v)\Vert_{L\left(C^{\alpha;\frac{\alpha}2};
        C^{\alpha\beta;\frac{\alpha\beta}2}\right)}\to0
    \quad\text{f\"ur }(u-v)\to0 \text{ in }C^{\alpha;\frac{\alpha}2}\]
  zeigen. Wir w\"ahlen dazu $\eta\in C^{\alpha;\frac{\alpha}2}$ und
  beweisen daf\"ur
  \[\Vert
    D\Phi(u)\langle\eta\rangle -D\Phi(v)\langle\eta\rangle
    \Vert_{C^{\alpha\beta;\frac{\alpha\beta}2}} \le C\cdot \Vert
    u-v\Vert_{C^{\alpha;\frac{\alpha}2}}\cdot
    \Vert\eta\Vert_{C^{\alpha;\frac{\alpha}2}},\]
  wobei
  \[(D\Phi(u)\langle\eta\rangle)(x,t)
    =DF(u(x,t))\langle\eta(x,t)\rangle\] ist.  Wiederum sind die drei
  Bestandteile der Norm auf der linken Seite abzusch\"atzen. \par
  \textbf{R\"aumliche H\"olderhalbnorm:} F\"ur diese Rechnungen
  unterdr\"ucken wir das ohnehin nur konstante Argument $t$ und nutzen
  die Notation wie f\"ur rein r\"aumliche H\"olderr\"aume. Damit
  ergibt sich
  \begin{align*}
    &\equad[D\Phi(u)\langle\eta\rangle
      -D\Phi(v)\langle\eta\rangle]_{C^{\alpha\beta}}\umbruch\\
    &=[(DF(u)-DF(v))\langle\eta\rangle]_{C^{\alpha\beta}}\umbruch\\
    &\le[DF(u)-DF(v)]_{C^{\alpha\beta}}\cdot\Vert\eta\Vert_{C^0}
      +\Vert DF(u)-DF(v)\Vert_{C^0}\cdot[\eta]_{C^{\alpha\beta}}.
  \end{align*}
  Bei der ersten H\"olderhalbnorm auf der rechten Seite erhalten wir
  \begin{align*}
    &\equad|(DF(u)-DF(v))(x)-(DF(u)-DF(v))(y)|\umbruch\\
    &=\left|\int\limits_0^1 \frac d{d\zeta} DF(\zeta
      u(x)+(1-\zeta)v(x))\,d\zeta -\int\limits_0^1 \frac d{d\zeta}
      DF(\zeta u(y)+(1-\zeta)v(y))\,d\zeta\right|\umbruch\\
    &=\left|\int\limits_0^1 D^2F(\zeta u(x)+(1-\zeta)v(x))\,d\zeta\langle
      u(x)-v(x),\cdot\rangle\right.\\
    &\equad\left.-\int\limits_0^1 D^2F(\zeta
      u(y)+(1-\zeta)v(y))\,d\zeta\langle
      u(y)-v(y),\cdot\rangle\right|\umbruch\\
    &=\left|\int\limits_0^1 B(x)\,d\zeta\langle u(x)-v(x),\cdot\rangle
      -\int\limits_0^1 B(y)\,d\zeta\langle
      u(y)-v(y),\cdot\rangle\right|\umbruch\\
    &\le\sup\limits_{\zeta\in[0,1]} |B(x)\langle u(x)-v(x),\cdot\rangle
      -B(x)\langle u(y)-v(y),\cdot\rangle|\\
    &\equad+\sup\limits_{\zeta\in[0,1]}|B(x)\langle
      u(y)-v(y),\cdot\rangle -B(y)\langle
      u(y)-v(y),\cdot\rangle|\umbruch\\
    &\le C\cdot|(u-v)(x)-(u-v)(y)|
      +C\cdot|x-y|^{\alpha\beta}\cdot|(u-v)(y)|\umbruch\\
    &\le C\cdot\Vert u-v\Vert_{C^\alpha}\cdot|x-y|^\alpha
      +C\cdot|x-y|^{\alpha\beta}\cdot\Vert u-v\Vert_{C^0}\umbruch\\
    &\le C\cdot\Vert u-v\Vert_{C^\alpha}\cdot|x-y|^{\alpha\beta},
  \end{align*}
  da $\beta\le1$ und $|x-y|\le2$ gelten. Nun behandeln wir die
  Supremumsnorm auf der rechten Seite. Es gilt
  \begin{align*}
    &\equad|DF(u)(x)-DF(v)(x)|\umbruch\\
    &=\left|\int\limits_0^1 \frac d{d\zeta} DF(\zeta u(x)
      +(1-\zeta)v(x))\,d\zeta\right|\umbruch\\
    &=\left|\int\limits_0^1 D^2F(\zeta u(x)+(1-\zeta)v(x))\,d\zeta\langle
      u(x)-v(x),\cdot\rangle\right|\umbruch\\
    &\le C\cdot\Vert u-v\Vert_{C^0}\umbruch\\
    &\le C\cdot\Vert u-v\Vert_{C^\alpha}. 
  \end{align*}
  \par 
  \textbf{Zeitliche H\"olderhalbnorm:} Hier unterdr\"ucken wir das
  konstante Argument $x$ und nutzen die Notation f\"ur H\"olderr\"aume
  in einer Variablen. Analog zur r\"aumlichen H\"olderhalbnorm
  erhalten wir zun\"achst
  \begin{align*}
    &\equad[D\Phi(u)\langle\eta\rangle
      -D\Phi(v)\langle
      \eta\rangle]_{C^{\frac{\alpha\beta}2}}\umbruch\\  
    &=[(DF(u)-DF(v))\langle\eta
      \rangle]_{C^{\frac{\alpha\beta}2}}\umbruch\\ 
    &\le[DF(u)-DF(v)]_{C^{\frac{\alpha\beta}2}}
      \cdot\Vert\eta\Vert_{C^0} 
      +\Vert DF(u)-DF(v)\Vert_{C^0}
      \cdot[\eta]_{C^{\frac{\alpha\beta}2}}.
  \end{align*}
  Die Rechnungen f\"ur den ersten zeitlichen H\"olderquotienten sind
  anfangs fast identisch zu denen f\"ur den ersten r\"aumlichen
  H\"olderquotienten oben. Daher k\"urzen wir die Rechnung etwas ab
  und erhalten 
  \begin{align*}
    &\equad|(DF(u)-DF(v))(t_1)-(DF(u)-DF(v))(t_2)|\umbruch\\
    &\le \ldots \le C\cdot|(u-v)(t_1)-(u-v)(t_2)|
      +C\cdot|t_1-t_2|^{\frac{\alpha\beta}2}\cdot|(u-v)(t_2)|\umbruch\\
    &\le C\cdot \Vert u-v\Vert_{C^{\frac{\alpha}2}}\cdot
      |t_1-t_2|^{\frac{\alpha}2}
      +C\cdot|t_1-t_2|^{\frac{\alpha\beta}2}\cdot\Vert
      u-v\Vert_{C^0}.
  \end{align*}
  Noch weniger unterscheiden sich die Absch\"atzungen f\"ur $\Vert
  DF(u)-DF(v)\Vert_{C^0}$, n\"amlich nur beim letzten
  \glqq$\le$\grqq{}. Daher verzichten wir hier vollst\"andig auf
  Details. \par 
  \textbf{Supremumsnorm:}
  Diesen Normbestandteil k\"onnen wir nun auch noch leicht
  beschr\"anken. Es gilt 
  \begin{align*}
    &\equad|D\Phi(u)\langle\eta\rangle
      -D\Phi(v)\langle\eta\rangle|\umbruch\\
    &\le \sup\limits_{(x,t)\in Q_1}|D\Phi(u)-D\Phi(v)|\cdot
      \Vert\eta\Vert_{C^0}\umbruch\\
    &\le \sup\limits_{(x,t)} \left|\int\limits_0^1 \frac d{dt} F(\tau
      u(x,t) +(1-\tau)v(x,t))\,d\tau\right| \cdot
      \Vert\eta\Vert_{C^0}\umbruch\\
    &\le \sup\limits_{(x,t)} \sup\limits_\zeta \left|D^2 F\right|\cdot
      \sup\limits_{(x,t)}|u(x,t)-v(x,t)| \cdot
      \Vert\eta\Vert_{C^0}\umbruch\\
    &\le C\cdot\Vert u-v\Vert_{C^0} \cdot
      \Vert\eta\Vert_{C^0}\umbruch\\
    &\le C\cdot\Vert u-v\Vert_{C^{\alpha;\frac{\alpha}2}} \cdot
      \Vert\eta\Vert_{C^{\alpha;\frac{\alpha}2}}.
  \end{align*}
  Somit folgt die behauptete Stetigkeit und damit insgesamt $\Phi\in
  C^1$. 
\end{proof}

% \fbox{Nur zur Sicherung!}
% \begin{lemma}
%   \label{abl verk lem}
%   Sei $\alpha\in(0,1)$.  Sei $F\in C^3\left(\R^{n\times
%       n}\times\R^n\right)$ (mehr Argumente sind ebenfalls
%   m\"oglich). Definiere
%   \begin{align*}
%     \Phi\colon C^{2+\alpha;\frac{2+\alpha}2}\left(\ol Q_1\right) \to&\,
%     C^{\alpha;\frac\alpha2}\left(\ol Q_1\right),\\ 
%     u\mapsto&\,-\dot u+F\left(D^2u,Du\right).
%   \end{align*}
%   Dann ist $\Phi\in C^1$ und es gilt \[D\Phi(u)\langle\eta\rangle
%   =-\dot\eta +F_{r_{ij}}\left(D^2u,Du\right)\eta_{ij}
%   +F_{p_i}\left(D^2u,Du\right)\eta_i.\] 
% \end{lemma}
% \begin{proof}[Beweis]
%   Es gilt f\"ur festes $(x,t)$
%   \begin{align*}
%     \left.\frac d{d\epsilon}\Phi(u+\epsilon\eta)\right|_{\epsilon=0}
%     =&\,\left.\frac d{d\epsilon}\left(-\dt\left(u +\epsilon\eta\right)
%         +F\left(D^2(u+\epsilon\eta), D(u+\epsilon\eta)
%         \right)\right)\right|_{\epsilon=0}\umbruch\\
%     =&\,-\dt\eta+F_{r_{ij}}\left(D^2 u,Du\right)\eta_{ij}
%     +F_{p_i}\left(D^2u,D u\right)\eta_i.
%   \end{align*}
%   Daher kommt nur der angegebenen Ausdruck als Ableitung in Frage.
%   Aufgrund der Linearit\"at ist die Aussage \"uber die Zeitableitung
%   klar. Wir betrachten daher ab jetzt den zeitunabh\"angigen Fall.  Da
%   bis zu zweimaliges Ableiten als Abbildung $C^{2+\alpha}\to
%   C^{\alpha}$ linear und stetig ist, d\"urfen wir annehmen, dass
%   $\Phi$ die Form $\Phi\colon C^\alpha\to C^\alpha$ mit
%   $u\mapsto\Phi(u)=(x\mapsto F(u(x)))$ hat, wobei $u$ vektorwertig
%   ist, was wir aber in der Notation unterdr\"ucken. \par Wir wollen
%   zun\"achst zeigen, dass
%   \[\Phi(u)=\Phi(v)+D\Phi(v)\langle u-v\rangle +o(\Vert
%   u-v\Vert_{C^{0,\alpha}})\] in $C^{0,\alpha}$ gilt.  Wir
%   setzen \[L(x):=F(u(x))-F(v(x))-DF(v(x))\langle u(x)-v(x)\rangle\]
%   und wollen also
%   \begin{equation}
%     \label{zeigt diffbarkeit eq}
%     \sup\limits_{x,y} \frac{|L(x)-L(y)|}{|x-y|^\alpha}=o(\Vert 
%     u-v\Vert_{C^{0,\alpha}})
%   \end{equation}
%   und \[\sup\limits_x|L(x)|=o(\Vert u-v\Vert_{C^{0,\alpha}})\]
%   zeigen. Die zweite Aussage ist einfacher zu zeigen. Wir lassen ihren
%   Beweis als \"Ubung. Da $F$ zweimal stetig differenzierbar ist,
%   liefert die Taylorapproximation mit Restglied
%   \begin{align*}
%     F(u(x))=&\,F(v(x)) +DF(v(x))\langle u(x)-v(x)\rangle\\
%     &\,+\int\limits_0^1(1-\zeta)D^2F(v(x)+\zeta(u(x)-v(x)))\,
%     d\zeta\,\langle u(x)-v(x),u(x)-v(x)\rangle.
%   \end{align*}
%   Der Vollst\"andigkeit halber hier ein paar Zeilen Beweis dazu; am
%   Ende ersetze man $x$ durch $u(x)$ und $y$ durch $v(x)$:
%   \begin{align*}
%     &\equad\int\limits_0^1(1-\zeta)D^2F(y+\zeta(x-y))\,d\zeta\langle
%       x-y,x-y\rangle\umbruch\\
%     &=\int\limits_0^1(1-\zeta)\frac{d}{d\zeta}
%       DF(y+\zeta(x-y))\,d\zeta \langle x-y\rangle\umbruch\\
%     &=-\int\limits_0^1\frac
%       d{d\zeta}(1-\zeta)DF(y+\zeta(x-y))\,d\zeta\langle x-y\rangle\\
%     &\equad +(1-\zeta) DF(y+\zeta(x-y))\,d\zeta\langle
%       x-y\rangle\big|^1_0\umbruch\\
%     &=\int\limits_0^1 DF(y+\zeta(x-y))\,d\zeta \langle x-y\rangle
%       \quad-1\cdot DF(y)\langle x-y\rangle\umbruch\\
%     &=\int\limits_0^1 \frac d{d\zeta} F(y+\zeta(x-y))\,d\zeta
%       -DF(y)\langle x-y\rangle\umbruch\\
%     &=F(x)-F(y) -DF(y)\langle x-y\rangle.
%   \end{align*}
%   Weiterhin folgt wegen $F\in C^3$ \[\left|D^2F(a)-D^2F(b)\right|\le
%   C|a-b|.\] Wir definieren die symmetrische
%   Bilinearform \[B(x):=D^2F(v(x)+\zeta(u(x)-v(x)))
%   \langle\cdot,\cdot\rangle\] und erhalten f\"ur $\zeta\in[0,1]$ in
%   Abh\"angigkeit von den H\"oldernormen von $u$ und $v$
%   \begin{align*}
%     \left|B(y)-B(x) \right| \le&\,
%     C\cdot|\zeta(u(x)-u(y))+(1-\zeta)(v(x)-v(y))|\umbruch\\
%     \le&\,c\cdot|x-y|^\alpha.
%   \end{align*}
%   Es gilt
%   \begin{align*}
%     &\,|L(x)-L(y)|\umbruch\\
%     =&\,\left|\int\limits_0^1
%       \left.(1-\zeta)D^2F(v+\zeta(u-v))\,d\zeta\,\langle
%         u-v,u-v\rangle\right|_x\right.\\
%     &\,\quad\left.-\int\limits_0^1
%       \left.(1-\zeta)D^2F(v+\zeta(u-v))\,d\zeta\,\langle
%         u-v,u-v\rangle\right|_y
%     \right|\umbruch\\
%     \le&\,\left|B(x)\langle u-v,u-v\rangle|_x -B(x)\langle
%       u-v,u-v\rangle|_y\right| +c\cdot|x-y|^\alpha\cdot |u(y)-v(y)|^2
%     \umbruch\\
%     \equiv&\,I_1+I_2.
%   \end{align*}
%   Wir erhalten
%   \[I_2\le c\cdot|x-y|^\alpha\cdot\Vert u-v\Vert_{C^0}^2 \le
%   c\cdot|x-y|^\alpha\cdot\Vert u-v\Vert_{C^{0,\alpha}}^2\] und damit
%   f\"ur diesen Teil eine Absch\"atzung wie wir sie f\"ur \eqref{zeigt
%     diffbarkeit eq} ben\"otigen.
%   Weiterhin gilt
%   \begin{align*}
%     I_1=&\,|B(x)\langle u(x)-v(x)+u(y)-v(y),
%     u(x)-v(x)-(u(y)-v(y))\rangle|\umbruch\\
%     \le&\,c\cdot(|u(x)-v(x)|+|u(y)-v(y)|)
%     \cdot|(u-v)(x)-(u-v)(y)|\umbruch\\
%     \le&\,c\cdot\Vert u-v\Vert_{C^0}\cdot\Vert
%     u-v\Vert_{C^{0,\alpha}}\cdot|x-y|^\alpha. 
%   \end{align*}
%   Somit erhalten wir auch hier die gew\"unschte Absch\"atzung. Damit
%   hat die Ableitung von $\Phi$ die angegebene Form. Wir haben also die
%   Fr\'echet-Differenzierbarkeit von $\Phi$ gezeigt.
%   \par Es fehlt noch der Nachweis, dass die Ableitung
%   $D\Phi(x)\langle\cdot\rangle$ stetig von $u$
%   abh\"angt. Da dies f\"ur den Term mit der Zeitableitung
%   offensichtlich ist, definieren wir nun $\Phi$ neu durch
%   \begin{align*}
%     \Phi\colon C^{2+\alpha}\left(\ol\Omega\right)\to&\,
%     C^\alpha\left(\ol\Omega\right),\umbruch\\
%     u\mapsto&\,F\left(D^2u,Du\right).
%   \end{align*}
%   und wollen zeigen, dass \[C^{2+\alpha}\ni u\mapsto
%   D\Phi(u)\langle\cdot\rangle\in L\left(C^{2+\alpha},C^\alpha\right)\]
%   stetig ist.  (Die Argumente in den n\"achsten Rechnungen sind dabei
%   wie folgt: $u,v$ sind aus dem Raum $C^{2,\alpha}$ auf der linken
%   Seite, $\eta$ ist in dem Raum $C^{2,\alpha}$ auf der rechten Seite
%   und $C^\alpha$ ist die Norm des Zielraumes, die f\"ur kleine $\Vert
%   u-v\Vert_{C^{2,\alpha}}$ klein werden muss um die Stetigkeit zu
%   zeigen.)  Sei dazu $\eta\in C^{2+\alpha}$ beliebig. Wir sch\"atzen
%   wie folgt ab:
%   \begin{align*}
%     &\,\left\Vert(D\Phi(u)-D\Phi(v))
%       \langle\eta\rangle\right\Vert_{C^{0,\alpha}}\umbruch\\
%     =&\,\left\Vert \left(F_{r_{ij}}\left(D^2u,Du\right)
%         -F_{r_{ij}}\left(D^2v,Dv\right)\right)\eta_{ij}\right.\\
%     &\,\quad\left.+\left(F_{p_i}\left(D^2u,Du\right)
%         -F_{p_i}\left(D^2v,Dv\right)\right)
%       \eta_i\right\Vert_{C^{0,\alpha}}\umbruch\\
%     \le&\,\left\Vert\int\limits_0^1\frac d{d\tau} F_{r_{ij}}
%       \left(\tau D^2u+(1-\tau)D^2v,\tau Du+(1-\tau)Dv\right)
%       d\tau\cdot\eta_{ij}\right\Vert_{C^{0,\alpha}}\\
%     &\,\quad+\left\Vert\int\limits_0^1\frac d{d\tau} F_{p_i}
%       \left(\tau D^2u+(1-\tau)D^2v,\tau Du+(1-\tau)Dv\right)
%       d\tau\cdot\eta_i\right\Vert_{C^{0,\alpha}}\umbruch\\
%     \le&\,c\cdot\left\Vert\int\limits_0^1\frac d{d\tau}F_{r_{ij}}
%       \left(\tau D^2u+(1-\tau)D^2v,\tau
%         Du+(1-\tau)Dv\right)\,d\tau\right\Vert_{C^0} \cdot\left\Vert
%       D^2\eta\right\Vert_{C^{0,\alpha}}\\
%     &\,\quad+c\cdot\left\Vert\int\limits_0^1\frac
%       d{d\tau}F_{r_{ij}}\left(\tau D^2u+(1-\tau)D^2v,\tau
%         Du+(1-\tau)Dv\right)\,d\tau\right\Vert_{C^{0,\alpha}}
%     \cdot\left\Vert D^2\eta\right\Vert_{C^0}\\
%     &\,\quad+c\cdot\left\Vert\int\limits_0^1\frac d{d\tau}
%       F_{p_i}\left(\tau D^2u+(1-\tau)D^2v,\tau
%         Du+(1-\tau)Dv\right)\,d\tau \right\Vert_{C^0}\cdot \Vert
%     D\eta\Vert_{C^{0,\alpha}}\\
%     &\,\quad+c\cdot\left\Vert\int\limits_0^1\frac d{d\tau} F_{p_i}
%       \left(\tau D^2u+(1-\tau)D^2v,\tau
%         Du+(1-\tau)Dv\right)\,d\tau\right\Vert_{C^{0,\alpha}}
%     \cdot\Vert Du\Vert_{C^0}.  \intertext{Nun sch\"atzen wir}
%     &\,\left\Vert \int\limits_0^1\frac d{d\tau} F_{r_{ij}} \left(\tau
%         D^2u+(1-\tau)D^2v,\tau
%         Du+(1-\tau)Dv\right)\,d\tau\right\Vert_{C^{0,\alpha}}
%     \intertext{ab und erhalten zun\"achst f\"ur den Supremums-Anteil}
%     &\,\sup\limits_x\left|\int\limits_0^1 \frac d{d\tau}
%       F_{r_{ij}}(\ldots)\,d\tau\right|\umbruch\\
%     \le&\,\sup\limits_x\left| \left.\int\limits_0^1
%         F_{r_{ij}r_{kl}}(\ldots)\,d\tau\cdot (u-v)_{kl}\right|_x
%       +\left.\int\limits_0^1 F_{r_{ij}p_k}(\ldots)\,d\tau\cdot
%         (u-v)_k\right|_x \right|\umbruch\\
%     \le&\,c\cdot\Vert u-v\Vert_{C^2}.  \intertext{F\"ur die
%       Absch\"atzung der H\"olderhalbnorm setzen wir $w=\tau
%       u+(1-\tau)v$ und erhalten} &\,\left|\int\limits_0^1\frac
%       d{d\tau}\left( F_{r_{ij}}\left(D^2w(x),Dw(x)\right)
%         -F_{r_{ij}}\left(D^2w(y),Dw(y)\right)
%       \right)\,d\tau\right|\umbruch\\
%     \le&\,\left|\int\limits_0^1 F_{r_{ij}r_{kl}}
%       \left(D^2w(x),Dw(x)\right)\,d\tau\cdot(u-v)_{kl}(x)\right.\\
%     &\,\qquad\left.  -\int\limits_0^1 F_{r_{ij}r_{kl}}
%       \left(D^2w(y),Dw(y)\right)\,d\tau\cdot(u-v)_{kl}(y)
%     \right|\\
%     &\,+\text{\"ahnliche Terme mit }F_{r_{ij}p_k}\text{ statt
%     }F_{r_{ij}r_{kl}}\text{ und }D(u-v)\text{ statt }
%     D^2(u-v)\umbruch\\
%     \le&\,\left|\int\limits_0^1 F_{r_{ij}r_{kl}}
%       \left(D^2w(x),Dw(x)\right)\,d\tau
%       \cdot((u-v)_{kl}(x)-(u-v)_{kl}(y))\right|\\
%     &\,+\left|\int\limits_0^1 F_{r_{ij}r_{kl}}
%       \left(D^2w(x),Dw(x)\right)
%       -F_{r_{ij}r_{kl}}\left(D^2w(x),Dw(y)\right)\,d\tau
%       \cdot(u-v)_{kl}(y)\right|\\
%     &\,+\left|\int\limits_0^1 F_{r_{ij}r_{kl}}
%       \left(D^2w(x),Dw(y)\right)
%       -F_{r_{ij}r_{kl}}\left(D^2w(y),Dw(y)\right)\,d\tau
%       \cdot(u-v)_{kl}(y)\right|\\
%     &\,+\text{\"ahnliche Terme}\umbruch\\
%     \le&\,c\cdot\left\Vert D^2(u-v)\right\Vert_{C^\alpha}\cdot
%     |x-y|^\alpha\\
%     &\,+c\cdot\left|\int\limits_0^1 \int\limits_0^1 \frac d{d\sigma}
%       F_{r_{ij}r_{kl}} \left(D^2w(x),\sigma
%         Dw(x)+(1-\sigma)Dw(y)\right)\,d\sigma\,d\tau \right|\cdot\Vert
%     u-v\Vert_{C^2}\\
%     &\,+c\cdot\left|\int\limits_0^1 \int\limits_0^1 \frac d{d\sigma}
%       F_{r_{ij}r_{kl}} \left(\sigma D^2w(x)+(1-\sigma)D^2w(y),
%         Dw(y)\right)\,d\sigma\,d\tau \right|\cdot\Vert
%     u-v\Vert_{C^2}\\
%     &\,+\text{\"ahnliche Terme}\umbruch\\
%     \le&\,c\cdot\Vert u-v\Vert_{C^{2,\alpha}}\cdot|x-y|^\alpha
%     +c\cdot\sup\limits_\tau|Dw(x)-Dw(y)|\cdot\Vert u-v\Vert_{C^2}\\
%     &\,\qquad+c\cdot\sup\limits_\tau\left|D^2u(x)-D^2u(y)\right|
%     \cdot\Vert u-v\Vert_{C^2}
%     +\text{\"ahnliche Terme}\umbruch\\
%     \le&\,c(\Vert u-v\Vert_{C^2})\cdot \Vert u-v\Vert_{C^{2,\alpha}}
%     \cdot|x-y|^\alpha.
%   \end{align*}
%   Nun dividieren wir durch $|x-y|^\alpha$, betrachten das Supremum
%   \"uber $x\neq y$ und k\"onnen daher die H\"olderhalbnorm durch
%   $c\cdot\Vert u-v\Vert_{C^{2,\alpha}}$ nach oben absch\"atzen.
%   Insgesamt erhalten wir nach entsprechenden \"ahnlichen Rechnungen
%   daher \[\Vert(D\Phi(u)-D\Phi(v))\langle
%   \eta\rangle\Vert_{C^{0,\alpha}}\le c\cdot
%   \Vert\eta\Vert_{C^{2,\alpha}}\cdot \Vert u-v\Vert_{C^{2,\alpha}}.\]
%   Wegen des Faktors $\Vert \eta\Vert_{C^{2,\alpha}}$ haben die
%   Operatornorm des linearen Operators $\eta\mapsto
%   (D\Phi(u)-D\Phi(v))\langle\eta\rangle$ abgesch\"atzt. \par
%   Somit folgt die behauptete Stetigkeit und damit insgesamt $\Phi\in
%   C^1$.
% \end{proof}

\begin{lemma}
  \label{feps to f konv}
  Seien $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt, $T>0$ und
  $Q_T:=\Omega\times(0,T)$.  Sei $f\in C^{\alpha;\frac\alpha2}
  \left(\ol Q_T\right)$ mit $f(\cdot,0)\equiv0$. Sei
  $\abschn\colon\R\to\R$ glatt mit $0\le\abschn\le 1$,
  $\abschn(t)\equiv0$ f\"ur $t\le 1$ und $\abschn(t)=1$ f\"ur
  $t\ge2$. Setze $\abschn_\epsilon(t):=\abschn(t/\epsilon)$ und
  $f_\epsilon(x,t):=f(x,t)\cdot\abschn_\epsilon(t)$ f\"ur
  $0<\epsilon\le1$. Dann ist $f_\epsilon\in
  C^{\alpha;\frac\alpha2}\left(\ol Q_T\right)$ mit gleichm\"a\ss{}igen
  Normabsch\"atzungen.
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir folgen \cite[Lemma 2.5.8]{CGCPBook}. Es gen\"ugt, die
  H\"olderhalbnorm bez\"uglich $t$ zu beschr\"anken. Sei
  $\gamma=\frac\alpha2$. Wir wollen also
  \[|f_\epsilon(t_1)-f_\epsilon(t_2)|\le c\cdot|t_1-t_2|^\gamma\] mit einer
  gleichm\"a\ss{}igen Konstanten $c$ zeigen, wobei wir die
  $x$-Abh\"angigkeit unterdr\"uckt haben. Gelte ohne
  Einschr\"ankung $0\le t_1<t_2\le T$. Wir schreiben die Differenz
  als \[f_\epsilon(t_1)-f_\epsilon(t_2)
  =(f(t_1)-f(t_2))\abschn_\epsilon(t_2)
  +f(t_1)(\abschn_\epsilon(t_1)-\abschn_\epsilon(t_2)).\] Aufgrund der
  H\"olderstetigkeit von $f$ ist der erste Term unproblematisch. F\"ur
  den zweiten Term nehmen wir ohne Einschr\"ankung an, dass $t_1\le
  2\epsilon$ gilt, da dieser Term sonst verschwindet. Wir betrachten
  nun zwei F\"alle:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $t_2\le 3\epsilon$: Wir benutzen $f(0)=0$, die
    H\"olderstetigkeit von $f$, die Lipschitzstetigkeit von $\abschn$
    bzw.{} $\abschn_\epsilon$ und erhalten
    \begin{align*}
      |f(t_1)(\abschn_\epsilon(t_1)-\abschn_\epsilon(t_2))| =&\,
      |f(t_1)-f(0)|\cdot
      |\abschn_\epsilon(t_1)-\abschn_\epsilon(t_2)|\umbruch\\ \le&\,
      c\cdot
      t_1^\gamma \cdot\epsilon^{-1}\cdot|t_1-t_2|\umbruch\\
      \le&\,c\cdot t_2^\gamma\cdot\epsilon^{-1}\cdot
      |t_1-t_2|^{1-\gamma}\cdot
      |t_1-t_2|^\gamma\umbruch\\
      \le&\,c\cdot t_2^\gamma\cdot\epsilon^{-1}\cdot
      t_2^{1-\gamma}\cdot |t_1-t_2|^\gamma\umbruch\\
      \le&\, c\cdot|t_1-t_2|^\gamma.
    \end{align*}
  \item $t_2\ge3\epsilon$: Es folgt $t_2-t_1\ge\epsilon$. Nun gelten
    $t_1\le2\epsilon$, $\epsilon\le t_2-t_1$ sowie
    $|\abschn_\epsilon(t_1)-\abschn_\epsilon(t_2)|\le1$ und wir
    erhalten \[|f(t_1)(\abschn_\epsilon(t_1)-\abschn_\epsilon(t_2))|
    \le|f(t_1)-f(0)|\cdot 1 \le c \cdot t_1^\gamma\le
    c\cdot|t_1-t_2|^\gamma. \qedhere\]
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{theorem}[H\"ohere Regularit\"at]
  \label{hoehere reg mcf thm}
  Es gelten die Voraussetzungen von Theorem \ref{kurzzeit ex thm} und
  sei auch $T$ wie dort. Sind \[u_0\in
  C^{k+2+\alpha}\left(\ol\Omega\right),\quad\phi\in
  C^{k+2+\alpha;\frac{k+2+\alpha}2}
  \left(\partial\Omega\times[0,T]\right),\] $\partial\Omega\in
  C^{k+2+\alpha}$ und erf\"ullen $u_0,\,\phi$ die
  Kompatibilit\"atsbedingungen bis zur Ordnung $\left[\frac
    k2\right]+1$, so gilt f\"ur die L\"osung $u$ aus Theorem
  \ref{kurzzeit ex thm} \[u\in
  C^{k+2+\beta;\frac{k+2+\beta}2}\left(\ol\Omega\times[0,T]\right)\]
  mit $\beta\in(0,\alpha)$ f\"ur $k=0$ und $\beta\in(0,\alpha]$ f\"ur
  $k\ge1$. Die $C^{k+2+\beta;\frac{k+2+\beta}2}
  \left(\ol\Omega\times[0,T]\right)$-Norm von $u$ ist (in
  nichtlinearer Weise) durch $\beta$ und die angegebenen Daten
  abgesch\"atzt.
\end{theorem}
Der folgende Beweis funktioniert spezifisch f\"ur den mittleren
Kr\"ummungsfluss und ist dadurch besonders kurz. Eine gute Referenz
f\"ur h\"ohere Regularit\"at allgemeiner nichtlinearer Gleichungen in
der \glqq Ecke\grqq{} $\partial\Omega\times\{0\}$ habe ich derzeit
nicht. Im allgemeinen Fall braucht man $k\ge2$ f\"ur die letzte
Aussage. In diesem Fall empfehle ich folgendes Vorgehen (ohne die
Details gepr\"uft zu haben):
\begin{itemize}
\item Biege den Rand gerade und f\"uhre das Problem durch Subtraktion
  der Randwerte auf \glqq Nullrandwerte\grqq{} zur\"uck.
\item Spiegle und benutze Kompatibilit\"atsbedingungen f\"ur den
  Nachweis der Regularit\"at der Spiegelung.
\item Lokalisiere mit Hilfe einer Abschneidefunktion und betrachte
  Differenzenquotienten wie im inneren Fall \cite[Theorem
  2.5.9]{CGCPBook}.
\end{itemize}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Den Fall $k=0$ haben wir bereits in Theorem \ref{kurzzeit ex
      thm} behandelt.
  \item Wir betrachten den graphischen mittleren Kr\"ummungsfluss als
    Gleichung der Form \[\dot u=a^{ij}u_{ij} \quad\text{in
    }\Omega\times(0,T)\] mit $a^{ij}=\delta^{ij}
    -\frac{u^iu^j}{1+|Du|^2}$.
  \item Ist $u\in C^{2+\beta;\frac{2+\beta}2}
    \left(\ol\Omega\times[0,T]\right)$, so folgt direkt aus der
    Definition der Normen $Du\in C^{1+\beta;\frac{1+\beta}2}
    \left(\ol\Omega\times[0,T]\right)$. Dies ist auch bei
    Multiplikation, Summe und Inversenbildung wie in $a^{ij}$ von
    solchen Funktionen erhalten. Somit ist \[a^{ij}\in
    C^{1+\beta;\frac{1+\beta}2} \left(\ol\Omega\times[0,T]\right).\]
    Da $\dot u=a^{ij}u_{ij}$ eine lineare Differentialgleichung ist,
    k\"onnen wir die lineare Regularit\"atstheorie f\"ur Anfangs- und
    Dirichlet Randwertprobleme mit Kompatibilit\"atsbedingungen, die
    erhalten bleiben, auch wenn wir $a^{ij}$ schreiben, aus Theorem
    \ref{lin parab op bij thm} anwenden und erhalten eine
    $C^{3+\beta;\frac{3+\beta}2}
    \left(\ol\Omega\times[0,T]\right)$-L\"osung, die aufgrund der
    Eindeutigkeit mit $u$ \"ubereinstimmt. Da
    $C^{3+\beta;\frac{3+\beta}2} \left(\ol\Omega\times[0,T]\right)$
    stetig nach     $C^{2+\alpha;\frac{2+\alpha}2}
    \left(\ol\Omega\times[0,T]\right)$ einbettet, ist ab jetzt auch
    $\beta=\alpha$ erlaubt. 
  \item Der letzte Schritt nochmals mit $\alpha=\beta$ angewandt
    liefert nun \[u\in C^{3+\alpha;\frac{3+\alpha}2}
    \left(\ol\Omega\times[0,T]\right).\]
  \item Nun erhalten wir $a^{ij}\in C^{2+\alpha;\frac{2+\alpha}2}$
    (oder mit $\beta$) und mit Theorem \ref{lin parab op bij thm}
    $u\in C^{4+\alpha;\frac{4+\alpha}2}$.
  \item Analog folgen $a^{ij}\in C^{3+\alpha;\frac{3+\alpha}2}$ und
    $u\in C^{5+\alpha;\frac{5+\alpha}2}$. Dies k\"onnen wir solange
    fortsetzen, wie es aufgrund der angenommenen Regularit\"at von
    $u_0$, $\phi$ und $\Omega$ und aufgrund der angenommenen
    Kompatibilit\"atsbedingungen m\"oglich ist.
  \item Dieses Vorgehen wird auch als ``bootstrapping argument''
    bezeichnet, auf Deutsch aber nicht als Schuhbinde- oder
    M\"unchhausenargument. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{corollary}
  \label{glatte kurzzeit ex cor}
  Seien $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt $\partial\Omega\in
  C^\infty$, $u_0\in C^\infty\left(\ol\Omega\right)$, $\phi\in
  C^\infty(\partial\Omega\times[0,1])$. Erf\"ullen $u_0$ und $\phi$
  Kompatibilit\"atsbedingungen beliebiger Ordnung, so gibt es ein
  $T\in(0,1]$, so dass das Anfangs- und Randwertproblem
  \[
  \begin{cases}
    \dot u=\sqrt{1+|Du|^2}\cdot\divergenz
    \left(\dfrac{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right)
    &\text{in }\Omega\times(0,T),\\
    u(\cdot,0)=u_0&\text{auf }\Omega,\\
    u(x,t)=\phi(x,t)&\text{f\"ur }(x,t)\in\partial\Omega\times[0,T]
  \end{cases}
  \]
  eine eindeutig bestimmte L\"osung $u\in C^\infty
  \left(\ol\Omega\times[0,T]\right)$ besitzt. Dabei sind die
  $C^k$-Normen von $u$ durch die Daten kontrolliert.
\end{corollary}
Hier bezeichnet $C^\infty\left(\ol\Omega\right)$ keinen Banachraum,
sondern $\bigcap\limits_{k\in\N} C^k\left(\ol\Omega\right)$. 
\begin{proof}[Beweis]
  Benutze Theorem \ref{hoehere reg mcf thm}. Beachte dabei, dass sich
  das Zeitintervall f\"ur L\"osungen mit h\"oherer Regularit\"at nicht
  verringert. 
\end{proof}

\Subsection{Supremums- und Gradientenschranken}

Wir leiten nun a priori Schranken her, mit deren Hilfe wir
Langzeitexistenz zeigen. Dabei besch\"anken wir uns auf den Fall von
zeitunabh\"angigen Randwerten $\phi$. 

\begin{lemma}[$C^0$-Absch\"atzungen]
  Sei $u\in C^{2+\alpha;\frac{2+\alpha}2}
  \left(\ol\Omega\times[0,T]\right)$ eine L\"osung von 
  \[
  \begin{cases}
    \dot u=\sqrt{1+|Du|^2}\cdot\divergenz
    \left(\dfrac{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right)
    &\text{in }\Omega\times(0,T),\\
    u(\cdot,0)=u_0&\text{auf }\Omega,\\
    u(x,t)=\phi(x)&\text{f\"ur }(x,t)\in\partial\Omega\times[0,T].
  \end{cases}
  \]
  Dann gilt \[\Vert u\Vert_{L^\infty(\Omega\times(0,T))} \le
    \Vert u_0\Vert_{L^\infty(\Omega)}.\] 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir vergleichen $u$ mit konstanten L\"osungen $\pm\Vert
  u_0\Vert_{L^\infty(\Omega)}$. Das Maximumprinzip liefert dann die
  Behauptung.
\end{proof}

\begin{theorem}[$C^1$-Absch\"atzungen am Rand]
  Sei $\partial\Omega\in C^{2+\alpha}$ und sei weiterhin $u\in
  C^{2+\alpha;\frac{2+\alpha}2} \left(\ol\Omega\times[0,T]\right)$
  eine L\"osung von
  \[
  \begin{cases}
    \dot u=\sqrt{1+|Du|^2}\cdot\divergenz
    \left(\dfrac{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right)
    &\text{in }\Omega\times(0,T),\\
    u(\cdot,0)=u_0&\text{auf }\Omega,\\
    u(x,t)=\phi(x)&\text{f\"ur }(x,t)\in\partial\Omega\times[0,T].
  \end{cases}
  \]
  Sei die mittlere Kr\"ummung des Randes nichtnegativ.  Dann
  gilt \[|Du|\le c \quad\text{auf }\partial\Omega\times[0,T]\]
  mit einer nur von den Daten abh\"angigen Konstanten $c$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir konstruieren mit Hilfe der Distanzfunktion Barrieren.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $d\colon\Omega\to\R$ die in $\Omega$ positive
    Distanzfunktion zu $\partial\Omega$. Wir haben in der
    Differentialgeometrie Vorlesung, siehe auch \cite[Korollar
    3.27]{OSVari}, gesehen, dass es bei nichtnegativer mittlerer
    Kr\"ummung des Randes ein $\epsilon>0$ gibt, so dass
    in \[\Omega_\epsilon:=\{x\in\Omega\colon d(x)<\epsilon\}\] $d\in
    C^2$ ist und dort $-\Delta d\ge0$ gilt. \par Weiterhin sei daran
    erinnert, dass aus $|Dd|=1$ auch $d_{ij}d^j=0$ folgt.
  \item F\"ur alle die \cite{OSVari} nicht kennen, geben wir hier
    einen davon unabh\"angigen Beweis im Falle $\Omega=B_R(0)$, dem
    in dieser Vorlesung wichtigsten Fall. Hier gilt
    \begin{align*}
      d=&\,R-|x|,\umbruch\\
      d_i=&\,-\frac{x_i}{|x|},\umbruch\\
      d_{ij}=&\,-\frac1{|x|}\left(\delta_{ij}
        -\frac{x_ix_j}{|x|^2}\right),\umbruch\\
      \Delta d=&\,-\frac{n-1}{|x|}.
    \end{align*}
  \item Betrachte eine
    $C^{2,\alpha}\left(\ol\Omega\right)$-Fortsetzung von $\phi\in
    C^{2,\alpha}(\partial\Omega)$ mit kontrollierter Norm, die wir
    wieder mit $\phi$ bezeichnen.\par
    Wir wollen nun zeigen, dass es ein $\epsilon>0$ und eine Barriere
    der Form \[w^\pm(x)=\phi(x)\pm\psi(d(x))\] in $\Omega_\epsilon$
    gibt, so dass $\psi(0)=0$, $\psi'\ge\Vert Du_0\Vert_{L^\infty}
    +\Vert D\phi\Vert_{L^\infty}$ in $[0,\epsilon]$,
    $\psi(\epsilon)\ge 2(\Vert u_0\Vert_{L^\infty(\Omega)}
    +\Vert\phi\Vert_{L^\infty(\Omega)})$ und f\"ur $w\equiv
    w^+$ \[\dot w- \sqrt{1+|Dw|^2}\cdot \divergenz \left(\dfrac{Dw}
      {\sqrt{1+|Dw|^2}}\right)\ge0\quad\text{in }\Omega_\epsilon\]
    sowie die umgekehrte Ungleichung f\"ur $w^-$ gelten. Dies sind
    statische Barrieren und dieselbe Konstruktion wie f\"ur
    Minimalfl\"achen in der Variationsrechnung. Dann wirken $w^{\pm}$
    zusammen mit den Barrieren aus den $C^0$-Absch\"atzungen als
    Barrieren und wir erhalten \[w^-(x)\le u(x,t)\le
    w^+(x)\quad\text{f\"ur }(x,t)\in\ol\Omega_\epsilon\times[0,T]\]
    mit Gleichheit f\"ur $x\in\partial\Omega$. Somit folgt \[\Vert
    Du\Vert_{L^\infty(\partial\Omega)} \le\Vert
    D\phi\Vert_{L^\infty(\partial\Omega)} +\psi'(0).\] Daher gen\"ugt
    es, die Existenz von solchen Barrieren zu zeigen.
  \item Wir machen den Ansatz \[\psi(d)=\delta\log(1+\sigma d)\] mit
    noch zu w\"ahlenden Konstanten $\sigma\gg1$ sowie $1\ge\delta>0$.
    Es gelten
    \begin{align*}
      w=&\,\phi+\psi(d),\umbruch\\
      w_i=&\,\phi_i+\psi'd_i,\umbruch\\
      w_{ij}=&\,\phi_{ij}+\psi'd_{ij} +\psi''d_id_j,\umbruch\\
      0\overset!\le&\,-\left(\delta^{ij}
        -\frac{w^iw^j}{1+|Dw|^2}\right) w_{ij}\umbruch\\
      =&\,-\Delta\phi\underbrace{-\psi'\Delta d}_{\ge0} -\psi''
      +\frac{w^iw^j}{1+|Dw|^2}\phi_{ij}
      +\psi'\frac{w^iw^j}{1+|Dw|^2}d_{ij} +\psi''\frac{\langle
        Dw,Dd\rangle^2} {1+|Dw|^2}\umbruch\\
      \intertext{und wegen $d_{ij}d^i=0$}
      \ge&\,-c\left(D^2\phi\right)-\psi''
      +\underbrace{\psi'\frac{\phi^i\phi^j}
        {1+|Dw|^2}d_{ij}}_{\to0\quad\text{f\"ur }|Dw|\to\infty}
      +\psi'' \frac{(\langle D\phi,Dd\rangle+\psi')^2} {1+|Dw|^2}.
      \intertext{Wir betrachten die relevanten Terme mit $\psi''$
        separat und benutzen $\psi'>0$ sowie $\psi''<0$}
      &\,-\psi''\left(1-\frac{(\langle D\phi,Dd\rangle +\psi')^2}
        {1+|Dw|^2}\right)\umbruch\\
      =&\,\frac{-\psi''}{1+|Dw|^2} \left(1+|D\phi|^2 +2\psi'\langle
        D\phi,Dd\rangle +(\psi')^2\cdot1\right.\\
      &\qquad\qquad\qquad\left.-\langle D\phi,Dd\rangle^2
        -2\psi'\langle D\phi,Dd\rangle -\psi'^2\right)\umbruch\\
      =&\,\frac{-\psi''}{1+|Dw|^2} \left(1+|D\phi|^2-\langle
        D\phi,Dd\rangle^2\right)\umbruch\\
      \ge&\,\frac{-\psi''}{1+|Dw|^2}.
    \end{align*}
    Nun gilt in $\Omega_\epsilon$ mit $\epsilon =\frac1
    {\sqrt\sigma}$
    \begin{align*}
      \psi(d)=&\,\delta\log(1+\sigma d),\umbruch\\
      \psi'(d)=&\,\delta\frac\sigma{1+\sigma d}
      \ge\delta\frac{\sigma}{1+\sqrt\sigma},\umbruch\\
      \psi''(d)=&\,-\delta\frac{\sigma^2}{(1+\sigma d)^2}
       =-\frac1\delta(\psi'(d))^2.\umbruch\\
      \intertext{Weiterhin gilt f\"ur $\eta>0$ und
        $\sigma\ge\sigma_0(\delta,D\phi,\eta)$} 1+|Dw|^2=&\,1+\langle
      D\phi+\psi'Dd,D\phi+\psi'Dd\rangle\umbruch\\
      =&\,1+|D\phi|^2 +2\psi'\langle D\phi,Dd\rangle
      +\psi'^2\umbruch\\
      \le&\,c(\eta,D\phi)+(1+\eta)\psi'^2\umbruch\\
      \le&\,(1+2\eta)\psi'^2.
    \end{align*}
    Somit erhalten wir f\"ur $\eta=\frac12$ 
    \[\frac{-\psi''}{1+|Dw|^2}
    \ge\frac1\delta\psi'^2 \frac1{2\psi'^2} =\frac1{2\delta}.\]
    Fixieren wir also $\delta>0$ hinreichend klein und dann $\sigma$
    hinreichend gro\ss{}, so erhalten wir die Differentialungleichung
    und die behaupteten Ungleichungen f\"ur $\psi$. Genauer
    funktioniert dies wie folgt:
    \begin{itemize}
    \item $\psi(0)=0$ ist klar.
    \item $\psi'\gg1$: Wir nutzen insbesondere
      $\phi'(d)\ge\delta\frac{\sigma}{1+\sqrt\sigma}$. 
    \item $\psi(\epsilon)$: Wir integrieren die Absch\"atzung f\"ur
      $\psi'$. Gegebenenfalls muss man $\delta$ und $\sigma$ vorher
      geeignet anpassen. 
    \item Differentialungleichung: Da $\phi'\gg1$ und somit $|Dw|\gg1$
      gilt, m\"ussen wir lediglich $\frac{-\psi''}{1+|Dw|^2}\ge c$
      erreichen. Es gilt wegen $\psi'\gg1$
      \[\frac{-\psi''}{1+|Dw|^2}\ge
        \frac{\frac1\delta(\psi')^2}{2(\psi')^2}
        =\frac1{2\delta}.\]
    \end{itemize}
    Somit bekommen wir Barrieren und die Behauptung folgt. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  Man \"uberlege sich, dass man auch im Falle $|\dot\phi|\le c$
  Absch\"atzungen in $C^0$ und $C^1$ bekommt. 
\end{remark}

Nach der Definition von $v$ erhalten wir aus der zugeh\"origen
Evolutionsgleichung einen einfacheren und nicht so technischen Beweis
des folgenden Satzes. 
\begin{theorem}[$C^1$-Absch\"atzungen im Inneren]
  Sei $T>0$ und sei die Funktion $u\in C^{3+\alpha;\frac{3+\alpha}2} 
  \left(\ol\Omega\times[0,T]\right)$ eine L\"osung von
  \[
  \begin{cases}
    \dot u=\sqrt{1+|Du|^2}\cdot\divergenz
    \left(\dfrac{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right)
    &\text{in }\Omega\times(0,T),\\
    u(\cdot,0)=u_0&\text{auf }\Omega,\\
    u(x,t)=\phi(x)&\text{f\"ur }(x,t)\in\partial\Omega\times[0,T].
  \end{cases}
  \]
  Dann gilt \[\sup\limits_{\Omega\times[0,T]} |Du|\le
  \sup\limits_{\Omega} |Du_0|
  +\max\limits_{\partial\Omega\times[0,T]}|Du|.\]
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Wir differenzieren die Evolutionsgleichung und erhalten aus
  \begin{align*}
    \dot u=&\,\left(\delta^{ij}-\frac{u^iu^j}{1+|Du|^2}\right) u_{ij}
    \intertext{zun\"achst} \dot
    u_k=&\,\left(\delta^{ij}-\frac{u^iu^j}{1+|Du|^2}\right) u_{ijk}
    -2\frac{u^i_ku^ju_{ij}}{1+|Du|^2}
    +\frac{u^iu^j}{\left(1+|Du|^2\right)^2}u_{ij}2u^lu_{lk}
    \intertext{sowie} &\,\dt\left(\frac12|Du|^2\right)
    -\left(\delta^{ij}-\frac{u^iu^j}{1+|Du|^2}\right)
    \left(\frac12|Du|^2\right)_{ij}\umbruch\\
    =&\,u^k\dot u_k -\left(\delta^{ij} -\frac{u^iu^j}{1+|Du|^2}\right)
    \left(u^ku_{kij} +u^k_iu_{kj}\right)\umbruch\\
    =&\,\underline{\left(\delta^{ij}-\frac{u^iu^j} {1+|Du|^2}\right)
      u^ku_{ijk}} -2\frac{u^ku^i_ku^ju_{ij}}{1+|Du|^2}
    +2\frac{u^iu^ju_{ij}}{\left(1+|Du|^2\right)^2} u^lu^ku_{lk}\\
    &\,-\underline{\left(\delta^{ij} -\frac{u^iu^j}{1+|Du|^2}\right)
      u^ku_{kij}} -\left(\delta^{ij} -\frac{u^iu^j}{1+|Du|^2}\right)
    u^k_iu_{kj}\umbruch\\
    =&\,-\frac{u^ku_k^iu^ju_{ij}}{1+|Du|^2}
    +2\left(\frac{u^iu^ju_{ij}}{1+|Du|^2}\right)^2 -u^k_iu^i_k\le0. 
  \end{align*}
  Die letzte Ungleichung sieht man wie folgt ein: Wir setzen
  $\xi_k:=\frac{u_k}{\sqrt{1+|Du|^2}}$ und d\"urfen ohne
  Einschr\"ankung nach einer Rotation des Koordinatensystems
  $\xi=he_1$ mit $|h|<1$ annehmen. Somit ist f\"ur die behauptete
  Ungleichung zu zeigen, dass
  \[2h^4u_{11}^2\le h^2u_1^iu_{i1}+u^k_iu_k^i\] gilt. Dies ist
  offensichtlicherweise richtig. Somit folgt die Behauptung direkt aus
  der Evolutionsgleichung von $|Du|^2$ und dem Maximumprinzip.
\end{proof}

Das folgende Theorem (de Giorgi-Nash-Moser Absch\"atzung) geben wir
nur in einem Spezialfall an, den wir ben\"otigen, um die
H\"olderstetigkeit von $a^{ij}$ in der Gleichung \[\dot
u=\sqrt{1+|Du|^2}\cdot\divergenz\left(\dfrac{Du}
  {\sqrt{1+|Du|^2}}\right)
=\left(\delta^{ij}-\frac{u^iu^j}{1+|Du|^2}\right) u_{ij}\equiv
a^{ij}u_{ij}\] zu erhalten.
\begin{theorem}[{\cite[Theorem IV.3.2.3, S. 533]{LadySoloUral}}] Seien
  $T>0$, $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt und
  $\partial\Omega\in C^2$. Sei $u\in C^{2;1}\left(\ol Q_T\right)$ mit
  $Q_T=\Omega\times(0,T)$ eine L\"osung von
  \[
  \begin{cases}
    \dot u=\sqrt{1+|Du|^2}\cdot\divergenz\left(\dfrac{Du}
      {\sqrt{1+|Du|^2}}\right) &\text{in }Q_T,\\
    u=\phi&\text{auf }\mathcal P(\Omega\times(0,T)).
  \end{cases}
  \]
  Dann gilt \[\Vert Du\Vert_{C^{\alpha;\alpha/2}\left(\ol Q_T\right)}
  \le c,\] wobei $\alpha\in(0,1)$ und $c<\infty$ nur von $\Vert
  Du\Vert_{L^\infty(Q_T)}$, der $C^2$-Norm von $\Omega$ und der
  $C^{2;1}$-Norm von $\phi$ auf $\mathcal P(\Omega\times(0,T))$
  abh\"angen.    
\end{theorem}

\Subsection{Langzeitexistenz}

\begin{theorem}[Langzeitexistenz]
  \label{glatte langzeit ex thm}
  Sei $\Omega\subset\R^n$ offen und beschr\"ankt mit
  $\partial\Omega\in C^\infty$ und $\partial\Omega$ habe
  nichtnegative mittlere Kr\"ummung. Seien $u_0\in
  C^\infty\left(\ol\Omega\right)$ und $\phi\in
  C^\infty(\partial\Omega)$. Erf\"ullen $u_0$ und $\phi$
  Kompatibilit\"atsbedingungen beliebiger Ordnung, so gibt es eine
  eindeutig bestimmte L\"osung $u\in C^\infty \left(\ol\Omega\times
    [0,\infty)\right)$ des Anfangs- und Randwertproblemes
  \[
  \begin{cases}
    \dot u=\sqrt{1+|Du|^2}\cdot\divergenz
    \left(\dfrac{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right)
    &\text{in }\Omega\times(0,\infty),\\
    u(\cdot,0)=u_0&\text{auf }\Omega,\\
    u(x,t)=\phi(x)&\text{f\"ur }(x,t)\in\partial\Omega\times[0,\infty).
  \end{cases}
  \]
\end{theorem}
\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Da die Resultate aus \cite{LadySoloUral} nicht von $T$
    abh\"angen, erhalten wir gleichm\"a\ss{}ige $C^k$-Absch\"atzungen
    f\"ur alle $k$.
  \item Langzeitexistenz gilt auch im Falle $|\dot\phi|\le c$.
  \end{enumerate}
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{glatte langzeit ex thm}]
  Nach Korollar \ref{glatte kurzzeit ex cor} gibt es diese L\"osung
  $u$ auf einem Zeitintervall $[0,T]$ mit $T>0$. Sei $T>0$ mit dieser
  Eigenschaft maximal, wobei wir ggf.{} ein Intervall der Form $[0,T)$
  betrachten. Angenommen es gilt $T<\infty$.  Aufgrund der obigen
  $C^1$-Absch\"atzungen inklusive der H\"olderabsch\"atzungen f\"ur
  den Gradienten ist dann \[\dot u=a^{ij}u_{ij}\] mit
  $a^{ij}=\delta^{ij}-\frac{u^iu^j}{1+|Du|^2}$ eine gleichm\"a\ss{}ig
  parabolische Gleichung mit gleichm\"a\ss{}ig h\"olderstetigem
  $a^{ij}$. Aufgrund der linearen Theorie aus Theorem \ref{lin parab
    op bij thm} ist dann \[u\in C^{2+\alpha;\frac{2+\alpha}2}
  \left(\ol\Omega\times[0,\tau]\right)\] f\"ur alle $0<\tau<T$ mit von
  $\tau$ unabh\"angigen Schranken. Wie beim Beweis der h\"oheren
  Regularit\"at in Theorem \ref{hoehere reg mcf thm} erhalten wir
  sukzessive eine glatte L\"osung mit a priori Schranken. \par Wir
  k\"onnen also die Grenzfunktion $u(\cdot,T):=\lim\limits_{t\nearrow
    T}u(\cdot,t)$ definieren, denn nach Arzel\`a-Ascoli existiert eine
  konvergente Teilfolge $u(\cdot,t_i)$ mit $t_i\nearrow T$ und dieser
  Grenzwert ist aufgrund der $\dot u$-Schranken eindeutig, f\"ur
  festes $x$ ist n\"amlich $u(x,t)$ in $t$ eine Cauchyfolge, denn es
  gilt
  \[|u(x,t)-u(x,\tau)| =\left|\int\limits_\tau^t\dot u(x,s)\,ds\right|
    \le|t-\tau|\cdot\sup|\dot u|.\]
  F\"ur
  $0<t<T$ erf\"ullen glatte L\"osungen automatisch Bedingungen, die
  den Kompatibilit\"atsbedingungen bis auf die Tatsache, dass wir
  nicht mehr $t=0$ betrachten, entsprechen. Aus Stetigkeitsgr\"unden
  gelten diese auch im Grenzwert, also f\"ur den glatten Grenzwert
  $u(\cdot,T)$. \par Nach Korollar \ref{glatte kurzzeit ex cor} gibt
  es also eine glatte L\"osung $\tilde u$ auf einem Zeitintervall
  $[T,T+\epsilon]$ mit $\epsilon>0$. Da $u(\cdot,T)=\tilde u(\cdot,T)$
  gilt, stimmen aufgrund der Differentialgleichung auf
  $\Omega\times\{T\}$ s\"amtliche (r\"aumlichen und zeitlichen)
  Ableitungen (bzw.{} deren einseitige Grenzwerte) \"uberein und somit
  ist
  \[U(x,t):=
  \begin{cases}
    u(x,t)&\text{f\"ur }0\le t\le T,\\
    \tilde u(x,t)&\text{f\"ur }T\le t\le T+\epsilon
  \end{cases}
  \]
  auf $[0,T+\epsilon]$ eine glatte L\"osung. Dies widerspricht der
  Maximalit\"at von $T$. Somit ist $T=\infty$ und wir erhalten glatte
  Langzeitexistenz. \par
  Die Eindeutigkeit folgt aus dem Maximumprinzip.
\end{proof}

\Subsection{Konvergenz}

\begin{theorem}
  \label{min fl konv thm}
  Unter den Voraussetzungen von Theorem \ref{glatte langzeit ex thm}
  konvergiert $u(\cdot,t)$ f\"ur $t\to\infty$ gegen eine glatte
  Funktion $U\colon\Omega\to\R$ mit Randwerten $\phi$ und
  \[H[U]:=\divergenz\left(\dfrac{DU}{\sqrt{1+|DU|^2}}\right)=0.\] 
\end{theorem}
Eine Funktion $U$ mit $H[U]=0$ hei\ss{}t Minimalfl\"ache oder minimale
Hyperfl\"ache.
\begin{proof}[Beweis]
  Mit partieller Integration erhalten wir wegen $H[u]=0$ auf
  $\partial\Omega\times[0,\infty)$ 
  \begin{align*}
    \dt\int\limits_\Omega\sqrt{1+|Du|^2} =&\,\int\limits_\Omega
    \frac{u^k\dot u_k}{\sqrt{1+|Du|^2}}\umbruch\\
    =&\,\int\limits_\Omega\frac{u^k}{\sqrt{1+|Du|^2}}
    \fracp{}{x^k}\left(\sqrt{1+|Du|^2}\cdot H[u]\right)\umbruch\\
    =&\,-\int\limits_\Omega\fracp{}{x^k}
    \left(\frac{u^k}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right)
    \cdot\sqrt{1+|Du|^2}\cdot H[u]\umbruch\\
    =&\,-\int\limits_\Omega\sqrt{1+|Du|^2}\cdot H^2[u]. 
  \end{align*}
  Wir multiplizieren mit $-1$ und integrieren. Es folgt
  \begin{align*}
    \int\limits_0^T\int\limits_\Omega\sqrt{1+|Du|^2}\cdot H^2[u]
    =&\,\left.\int\limits_\Omega\sqrt{1+|Du|^2}\right|_{t=0}
    \underbrace{-\left.\int\limits_\Omega
        \sqrt{1+|Du|^2}\right|_{t=T}}_{\le0} \intertext{und somit
      erhalten wir} \int\limits_0^\infty\int\limits_\Omega
    H^2[u]\le&\,\left.\int\limits_\Omega\sqrt{1+|Du|^2}
    \right|_{t=0}<\infty.
  \end{align*}
  Aufgrund der in $x$ und $t$ gleichm\"a\ss{}igen Gradientenschranken
  f\"ur $H[u]$ folgt daraus $H[u]\to0$ und $\dot u\to0$ f\"ur
  $t\to\infty$. \par
  Aufgrund der Absch\"atzungen erhalten wir zu jeder Folge
  $t_i\to\infty$ eine (nicht umbenannte) Teilfolge, so dass
  $u(\cdot,t_i)$ gegen eine Funktion $U$ mit $H[U]=0$ konvergiert. Nun
  liefert das Maximumprinzip, dass dieser Grenzwert $U$ mit $H[U]=0$
  stets dieselbe Funktion sein muss. Somit konvergiert die gesamte
  Folge.
\end{proof}

\begin{aufgabe}
  Seien wiederum die Voraussetzungen von Theorem \ref{glatte langzeit
    ex thm} gegeben. Sei weiterhin eine glatte L\"osung
  $U\colon\Omega\to\R$ des Randwertproblems
  \[
    \begin{cases}
      H[u] =\divergenz\left(\dfrac{\nabla U}{\sqrt{1+|\nabla
            U|^2}}\right) & \text{in }\Omega,\\
      u=\phi & \text{auf }\partial\Omega
    \end{cases}
  \]
  gegeben. Zeige Theorem \ref{min fl konv thm} erneut, diesmal jedoch
  mit Hilfe des (strikten) parabolischen Maximumprinzips. 
\end{aufgabe}

\Section{Differentialgeometrie von Untermannigfaltigkeiten}
\Subsection{Hyperfl\"achen}
\label{hyper sec}
Wir wiederholen nur die Differentialgeometrie von Hyperfl\"achen im
Euklidischen und sind teilweise etwas allgemeiner als f\"ur die
Vorlesung n\"otig. 

Bezeichne $X=X(x,\,t)=\left(X^\alpha\right)_{1\le\alpha\le n+1}$ den
zeitabh\"angigen Einbettungsvektor einer Mannigfaltigkeit $M^n$ nach
$\R^{n+1}$ und $\dt X=\dot X $ die totale Zeitableitung. Definiere
$M_t:=X(M,\,t)\subset\R^{n+1}$. Wir identifizieren h\"aufig eine
Mannigfaltigkeit mit ihrem Bild. Sei $X$ glatt (genug). Sei $M^n$
glatt, orientierbar und vollst\"andig oder mit Rand $\partial
M^n$. Sei $\nu=\nu(x)=\left(\nu^\alpha\right)_{1\le\alpha\le n+1}$ der
nach unten weisende (oder \"au\ss{}ere) Normalenvektor an $M_t$ im
Punkt $x\in M_t$.  Die Einbettung $X(\cdot,\,t)$ induziert in jedem
Punkt aus $M_t$ eine Metrik $(g_{ij})_{1\le i,\,j\le n}$ und eine
zweite Fundamentalform $(h_{ij})_{1\le i,\,j\le n}$. Mit $(g^{ij})$
bezeichnen wir die Inverse von $(g_{ij})$. Diese Tensoren sind
symmetrisch. Wir definieren die Hauptkr\"ummungen $(\lambda_i)_{1\le
  i\le n}$ als Eigenwerte der zweiten Fundamentalform bez\"uglich
dieser Metrik. Dies hei\ss{}t, dass es in $p\in M$ zu jeder
Hauptkr\"ummung $\lambda_i$ ein $0\neq\xi\in T_pM\cong\R^n$ mit
\[\lambda_i\sum\limits_{l=1}^n g_{kl}\xi^l=\sum\limits_{l=1}^n
h_{kl}\xi^l\text{ oder, \"aquivalent dazu, }
\lambda_i\xi^l=\sum\limits_{k,r=1}^n g^{lk}h_{kr}\xi^r\] gibt. Wir
f\"uhren Eigenwerte entsprechend ihrer H\"aufigkeit gegebenenfalls
mehrfach auf. Sind s\"amtliche Hauptkr\"ummungen strikt positiv, so
hei\ss{}t eine Hyperfl\"ache strikt konvex. Dies ist f\"ur eine
Sph\"are oder den Graphen einer strikt konvexen Funktion der Fall. Mit
$\big(\tilde h^{ij}\big)_{1\le i,\,j\le n}$ bezeichnen wir die Inverse
der zweiten Fundamentalform.

Lateinische Indices laufen von $1$ bis $n$ und beziehen sich auf
Gr\"o\ss{}en auf der Hyperfl\"ache. Griechische Indices bezeichnen
Komponenten im umgebenden Raum $\R^{n+1}$ und laufen von $1$ bis
$n+1$. (Beim mittleren Kr\"ummungsfluss ohne Singularit\"aten werden
wir um eins erh\"ohte Dimensionen verwenden.) Wir verwenden die
Einsteinsche Summenkonvention.  In $\R^{n+1}$ betrachten wir stets
Euklidische Koordinatensysteme mit h\"ochstens parallel verschobener
$n+1$-Achse. Wir heben oder senken lateinische Indices mit Hilfe der
Metrik oder ihrer Inversen $\left(g^{ij}\right)$, f\"ur griechische
Indices benutzen wir die flache Metrik $(\ol
g_{\alpha\beta})_{1\le\alpha,\beta\le n+1}
=(\delta_{\alpha\beta})_{1\le\alpha,\beta\le n+1}$ des
$\R^{n+1}$. Somit bekommt die definierende Gleichung f\"ur die
Hauptkr\"ummungen die Gestalt $\lambda_i g_{kl}\xi^l =h_{kl}\xi^l$.

Bezeichnet $\langle\cdot,\,\cdot\rangle$ das Euklidische Skalarprodukt
des $\R^{n+1}$, so gilt $$g_{ij}=\left\langle X_{,\,i},
  \,X_{,\,j}\right\rangle =X^\alpha_{,\,i}
\delta_{\alpha\beta}X^\beta_{,\,j},$$ wobei wir mit den $,i$-Indices
partielle Ableitungen bezeichnen. F\"ur kovariante Ableitungen
bez\"uglich der induzierten Metrik benutzen wir Strichpunkte, also
z.\,B.{} $h_{ij;\,k}$ oder $v_{;k}$. Sind keine Missverst\"andnisse zu
bef\"urchten, lassen wir Kommata und Strichpunkte auch wieder weg.
Definiere $X^\alpha_{;i}\equiv X^\alpha_{,i}$ und
\begin{equation}
  \label{eq:Xij}
  X^\alpha_{;\,ij}=X^\alpha_{,\,ij}-\Gamma^k_{ij}X^\alpha_{,\,k},
\end{equation}
wobei $$\Gamma^k_{ij}=\tfrac12g^{kl}(g_{il,\,j}
+g_{jl,\,i}-g_{ij,\,l})$$  die Christoffelsymbole der Metrik
$(g_{ij})$ bezeichnen. Damit wird
$X^\alpha_{;ij}$ ein Tensor.

Die Gau\ss{}formel lautet
\begin{equation}\label{Gauss formula}
  X^\alpha_{;\,ij}=-h_{ij}\nu^\alpha.
\end{equation}

Die Weingartengleichung ist
\begin{equation}\label{Weingarten equation}
  \nu^\alpha_{;\,i}=h^k_iX^\alpha_{;\,k}.
\end{equation}

Mit der Gau\ss{}formel \eqref{Gauss formula} oder
der Weingartengleichung \eqref{Weingarten equation} k\"onnen wir die
zweite Fundamentalform bestimmen. 

Symmetrische Funktionen der Hauptkr\"ummungen sind wohldefiniert. Wir
nennen $H=\lambda_1+\ldots+\lambda_n$ die mittlere Kr\"ummung,
$|A|^2=\lambda_1^2+\ldots+\lambda_n^2$ das Quadrat der Norm der
zweiten Fundamentalform, $K=\lambda_1 \cdot \ldots \cdot \lambda_n$
die Gau\ss{}kr\"ummung und schreiben $\tr A^k= \lambda_1^k
+\ldots+\lambda_n^k$. Es ist h\"aufig praktisch, Koordinatensysteme zu
w\"ahlen, so dass in einem festen Punkt $g_{ij}=\delta_{ij}$ gilt und
$(h_{ij})$ diagonal ist, also $(h_{ij})
=\diag(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$. Dann ist
$$\sum\lambda_k h_{ij;k}^2=\sum\limits_{i,\,j,\,k=1}^n \lambda_k h_{ij;k}^2
=h^{kl}h^i_{j;\,k}h^j_{i;\,l}
=h_{rs}h_{ij;\,k}h_{ab;\,l}g^{ia}g^{jb}g^{rk}g^{sl}.$$ Wir benutzen
diese Notation nur wenn wir (zumindest implizit) angenommen haben,
dass wir in solch einem Koordinatensystem sind.

Wir betrachten Normalengeschwindigkeiten $F$ die als Funktion von
$(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ oder $(h_{ij},\,g_{ij})$ aufgefasst
werden k\"onnen.  Ist $F(\lambda_i)$ symmetrisch und glatt, so ist
$F(h_{ij},g_{ij})$ ebenfalls glatt, siehe \cite[Theorem
2.1.20]{CGCPBook}. Definiere $F^{ij}=\fracp{F}{h_{ij}}$,
$F^{ij,\,kl}=\fracp{^2F}{h_{ij}\partial h_{kl}}$.  In einem
Koordinatensystem mit diagonaler zweiter Fundamentalform $h_{ij}$ und
$g_{ij}=\delta_{ij}$ ist $F^{ij}$ diagonal.  F\"ur $F=H$ gilt
$F^{ij}=g^{ij}$, f\"ur $F=|A|^2$ gilt $F^{ij}=2h^{ij}=2\lambda_i
g^{ij}$ und f\"ur $F=K^{\alpha}$, $\alpha\neq0$, gilt $F^{ij}=\alpha
K^{\alpha}\tilde h^{ij}= \alpha K^{\alpha}\lambda_i^{-1}g^{ij}$.

Mit der Gau\ss{}gleichung kann man den Riemannschen Kr\"ummungstensor
aus der zweiten Fundamentalform bestimmen. 
\begin{equation}\label{Riem}
  R_{ijkl}=h_{ik}h_{jl}-h_{il}h_{jk}.
\end{equation}

In Euklidischen Koordinatensystemen in $\R^{n+1}$ ist 
$h_{ij;\,k}$ aufgrund der Codazzigleichungen in allen drei Indices
symmetrisch. 

Mit der Ricciidentit\"at k\"onnen wir zweite Ableitungen
vertauschen. F\"ur die zweite Fundamentalform gilt
\begin{equation}\label{Ricci}
  h_{ik;\,lj}=h_{ik;\,jl}+h^a_kR_{ailj}+h^a_iR_{aklj}.
\end{equation}

Sind $A$ und $B$ Tensoren, so schreiben wir $A_{ij}\succcurlyeq
B_{ij}$ falls $(A_{ij}-B_{ij})$ positiv semidefinit ist.

Mit $c$ bezeichnen wir universelle und abgesch\"atzte Konstanten. 

\begin{remark}
  $\left(F^{ij}\right)_{ij}$ ist ein Tensor.
\end{remark}
\begin{proof}
  Eine Kr\"ummungsfunktion h\"ange nur von den Hauptkr\"ummungen ab,
  unabh\"angig vom Koordinatensystem.  Somit folgt in suggestiver
  Notation in Koordinaten $x$ bzw.{} $y$ wegen
  \begin{align*}
    h^y_{ij}
    &=\fracp{x^k}{y^i}h^x_{kl}\fracp{x^l}{y^j}\umbruch
      \intertext{auch}
      F
    &=F\left(\left(h^x_{ij}\right),
      \left(g^x_{ij}\right)\right)\umbruch\\
    &=F\left(\left(\fracp{x^k}{y^i}h^x_{kl}\fracp{x^l}{y^j}\right),
      \left(\fracp{x^k}{y^i}g^x_{kl}\fracp{x^l}{y^j}\right)\right),
      \umbruch\\
    \intertext{und mit Kettenregel}
    F^{kl}_x
    &=\fracp{F}{h^x_{kl}}
      =F^{ij}_y\fracp{h^y_{ij}}{h^x_{kl}}
      =F^{ij}_y\fracp{\fracp{x^r}{y^i}h^x_{rs}\fracp{x^s}{y^j}}{h^x_{kl}}
      =F^{ij}_y\fracp{x^r}{y^i}\delta_r^k\delta_s^l\fracp{x^s}{y^j}
      =F^{ij}_y\fracp{x^k}{y^i}\fracp{x^l}{y^j}.
  \end{align*}
  Diese Transformationsregel zeigt, dass $F^{ij}$ ein Tensor ist. 
\end{proof}

\Subsection{Graphische Untermannigfaltigkeiten}
\begin{lemma}\label{graph geom lem}
  Sei $u:\R^n\to\R$ glatt. Dann ist $\graph u$ eine
  Untermannigfaltigkeit des $\R^{n+1}$. Metrik $g_{ij}$, die nach
  unten weisende Normale $\nu$, die zweite Fundamentalform $h_{ij}$,
  die mittlere Kr\"ummung $H$ und die Gau\ss{}kr\"ummung $K$ sind
  durch die folgenden Ausdr\"ucke gegeben
  \begin{align*}
    g_{ij}=&\,\delta_{ij}+u_iu_j,\\
    g^{ij}=&\,\delta^{ij}-\frac{u^iu^j}{1+|Du|^2},\\
    \nu=&\,\frac{((u_i),-1)}{\sqrt{1+|Du|^2}}\equiv\frac{(Du,-1)}v,\\
    h_{ij}=&\,\frac{u_{ij}}{\sqrt{1+|Du|^2}}\equiv\frac{u_{ij}}v,\\
    H=&\,\divergenz\left(\frac{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right),\\
    \intertext{sowie}\\
    K=&\,\frac{\det D^2u}{\left(1+|Du|^2\right)^{\frac{n+2}2}},
  \end{align*}
  wobei wir $u_i\equiv\fracp u{x^i}$ und $u_{ij}=\fracp{^2u}{x^i\partial
    x^j}$ benutzen. 
\end{lemma}
Beachte, dass wir im Euklidischen nicht zwischen $Du$ und $\nabla u$
zu unterscheiden brauchen.
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $X(x):=(x,u(x))$, $X:\R^n\to\R^{n+1}$ der
    Einbettungsvektor. Dann ist die Euklidische Metrik die
    zur\"uckgezogene euklidische Metrik des $\R^{n+1}$, also
    $g:=X^*g_{\R^{n+1}_{\text{Eucl.}}}$. Es gilt $X_{,i}=(e_i,u_i)$.
    Somit folgt \[g_{ij}=X_{,i}^\alpha\delta_{\alpha\beta}X^\beta_{,j}
    =\langle X_{,i},X_{,j}\rangle =\langle(e_i,u_i),(e_j,u_j)\rangle
    =\delta_{ij}+u_iu_j.\]
  \item Man rechnet direkt nach, dass $g^{ij}$ wie angegeben die
    Inverse von $g_{ij}$ ist. Wir erinnern an
    $u^i:=\delta^{ij}u_j$. Die Rechnung vereinfacht sich, wenn wir ein
    Koordinatensystem mit $u_i=0$ f\"ur $i<n$ w\"ahlen. 
  \item Die Vektoren $X_{,i}=(e_i,u_i)$ sind tangential an $\graph
    u$. Der Vektor $((-u_i),1)\equiv(-Du,1)$ ist dazu orthogonal und
    daher bis auf Normierung ein Einheitsnormalenvektor.
  \item Kombiniere \eqref{eq:Xij} und \eqref{Gauss formula}. Wir
    bilden das Skalarprodukt mit $\nu$ und erhalten
    \begin{align*}
      h_{ij} =&\,-\langle X_{;ij},\nu\rangle =-\left\langle
        X_{,ij}-\Gamma^k_{ij}X_{,k},\nu\right\rangle =-\langle
      X_{,ij},\nu\rangle\\
      =&\,-\left\langle(0,u_{ij}),\frac{((u_i),-1)}v\right\rangle
      =\frac{u_{ij}}v.
    \end{align*}
  \item Es gilt 
    \begin{align*}
      H =&\,\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i=g^{ij}h_{ij}
      =\left(\delta^{ij}-\frac{u^iu^j}{1+|Du|^2}\right)
      \frac{u_{ij}}{\sqrt{1+|Du|^2}}\\
      =&\,\frac{\delta^{ij}u_{ij}}{\sqrt{1+|Du|^2}}
      -\frac{u^iu^ju_{ij}}{\left(1+|Du|^2\right)^{3/2}}\\
      =&\,\frac{\Delta u}{\sqrt{1+|Du|^2}}
      -\frac{u^iu^ju_{ij}}{\left(1+|Du|^2\right)^{3/2}}
      \intertext{und andererseits ist}
      \divergenz\left(\frac{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right)
      =&\,\sum\limits_{i=1}^n\fracp{}{x^i}\frac{u_i}{\sqrt{1+|Du|^2}}\\
      =&\,\sum\limits_{i=1}^n\frac{u_{ii}}{\sqrt{1+|Du|^2}}
      -\sum\limits_{i,j=1}^n
      \frac{u_iu_ju_{ji}}{\left(1+|Du|^2\right)^{3/2}}\\ 
      =&\,H.
    \end{align*}
  \item Wir benutzen die definierende Gleichung der Hauptkr\"ummungen
    und erhalten
    \begin{align*}
      K=&\,\prod\limits_{i=1}^n\lambda_i
      =\det\,\left(g^{ij}h_{jk}\right) =\det g^{ij}\cdot\det h_{ij}
      =\frac{\det h_{ij}}{\det g_{ij}}\\
      =&\,\frac{v^{-n}\det u_{ij}}{v^2} =\frac{\det
        D^2u}{\left(1+|Du|^2\right)^{\frac{n+2}2}}.
    \end{align*}
  \end{enumerate}
\end{proof}

\Subsection{Zeitabh\"angige Hyperfl\"achen}
Wir betrachten hier nur nach $\R^{n+1}$ eingebettete $n$-dimensionale
Mannigfaltigkeiten, also die Evolution von Hyperfl\"achen im
Euklidischen (und sp\"ater $n+1$-dimensionale Untermannigfaltigkeiten
des $\R^{n+2}$). H\"ohere Kodimensionen oder Flussgleichungen in
Riemannschen Mannigfaltigkeiten oder in Lorentzmannigfaltigkeiten
betrachten wir hier nicht.
\begin{definition}
  Sei $M^n$ eine orientierbare $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit. Sei
  $X(\cdot,t):M^n\to\R^{n+1}$, $0\le t\le T\le\infty$, eine glatte
  Familie von Einbettungen. Sei weiterhin $\nu$ eine stetige Wahl des
  Einheitsnormalenvektors entlang $X(\cdot,t)$, die auch in $t$ stetig
  ist. Dann sagen wir, dass sich $M_t:=X(M^n,t)$ mit
  Normalengeschwindigkeit $F$ bewegt, falls
  \[\dt X=-F\nu\quad\text{in }M^n\times[0,T)\] gilt. 
\end{definition}

\Subsection{Evolution von Graphen}

Es gelten auch lokale Varianten der folgenden beiden Resultate. 
\begin{lemma}
  Sei $u:\R^n\times[0,\infty)\to\R$ eine glatte Funktion, so dass sich
  $\graph u(\cdot,t)$ gem\"a\ss{} $\dt X=-F\nu$ bewegt. Dann gilt
  \[\dot u=\sqrt{1+|Du|^2}\cdot F.\]
\end{lemma}
Es ist im Allgemeinen nicht richtig, dass die $(n+1)$-ste Komponente
in der Evolutionsgleichung $\dt X=-F\nu$ gerade $\dot u$ liefert, da
die Normalengeschwindigkeit im Allgemeinen neben der vertikalen noch
eine horizontale Komponente besitzt. 
\begin{proof}[Beweis]
  Sei $p$ ein Punkt auf der abstrakten verm\"oge $X$ nach $\R^{n+1}$
  eingebetteten Mannigfaltigkeit. Da wir graphische Einbettungen
  betrachten, folgt
  \[X(p,t)=(x(p,t),u(x(p,t),t)).\] Wir betrachten nun das
  Skalarprodukt beider Seiten der Evolutionsgleichung mit $\nu$ und
  erhalten \[F=\langle F\nu,\nu\rangle=\left\langle-\dt
    X,\nu\right\rangle =-\left\langle\left(\left(\dot
        x^k\right),u_i\dot x^i+\dot
      u\right),\frac{((u_i),-1)}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right\rangle
  =\frac{\dot u}{\sqrt{1+|Du|^2}}.\]
\end{proof}

\begin{corollary}
  Sei $u:\R^n\times[0,\infty)\to\R$ eine glatte Funktion, so dass
  $\graph u(\cdot,t)$ den mittleren Kr\"ummungsfluss $\dt X=-H\nu$
  l\"ost. Dann gilt
  \[\dot u=\sqrt{1+|Du|^2}\cdot
  \divergenz\left(\frac{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right).\]
\end{corollary}

\Section{Evolutionsgleichungen}
\Subsection{Allgemeine Evolutionsgleichungen}
\label{sec:evol-equat-subm}
In diesem Kapitel leiten wir Evolutionsgleichungen geometrischer
Gr\"o\ss{}en her. Vergleiche beispielsweise
\cite{HuiskenPolden,HuiskenRoundSphere,OSA2}. Wir leiten ein paar
einfache Evolutionsgleichungen mehr als f\"ur den Rest der Vorlesung
n\"otig her. 

Sei die Familie $(M_t)_t$ von Hyperfl\"achen eine (lokale) L\"osung
der Evolutionsgleichung 
\begin{equation}\label{X dot}
  \dt X=-F\nu,
\end{equation}
wobei $F=F(\lambda_i)$ eine glatte symmetrische Funktion ist. Dann
gelten die folgenden Evolutionsgleichungen. 

\begin{lemma}
  F\"ur die Metrik $g_{ij}$ gilt
  \begin{equation}
    \label{g evol}
    \dt g_{ij}=-2Fh_{ij}.
  \end{equation}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Definition ist $g_{ij}=\langle X_{,i}, X_{,j}\rangle
  =X^\alpha_{,i} \delta_{\alpha\beta}X^\beta_{,j}$. Wir differenzieren
  diese Identit\"at nach der Zeit. Ableitungen von
  $\delta_{\alpha\beta}$ verschwinden. Im Term $X^\alpha_{,i}$ sind
  alle Ableitungen partielle Ableitungen. Somit erhalten wir
  \begin{align*}
    \dt g_{ij}=&\,\left(\dot X^\alpha\right)_{,i}
    \delta_{\alpha\beta}X^\beta_{,j}
    +X^\alpha_{,i}\delta_{\alpha\beta} \left(\dot X^\beta\right)_{,j}
    \intertext{(nach Vertauschen von r\"aumlichen und zeitlichen
      partiellen Ableitungen)}
    =&\,\left(-F\nu^\alpha\right)_{,i}\delta_{\alpha\beta}X^\beta_{,j}
    +X^\alpha_{,i}\delta_{\alpha\beta}\left(-F\nu^\beta\right)_{,j}
    \intertext{(aufgrund der Evolutionsgleichung $\dt X=-F\nu$)}
    =&\,-F\nu^\alpha_{;i}\delta_{\alpha\beta}X^\beta_{,j}
    -X^\alpha_{,i}\delta_{\alpha\beta}F\nu_{;j} \intertext{(Terme mit
      Ableitungen $F$ verschwinden, da $\nu$ und $X^\alpha_{,i}$
      orthogonal aufeinander stehen; da die Hintergrundmetrik $\ol
      g_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta}$ flach ist, stimmen
      kovariante und partielle Ableitungen von $\nu$ \"uberein)}
    =&\,-Fh_i^kX^\alpha_{,k}\delta_{\alpha\beta}X^\beta_{,j}
    -FX^\alpha_{,i}\delta_{\alpha\beta}h_j^kX^\beta_{,k}
    \intertext{(aufgrund der Weingartengleichung \eqref{Weingarten
        equation})} =&\,-Fh_i^kg_{kj}-Fg_{ik}h_j^k \intertext{(nach
      Definition der Metrik)} =&\,-2Fh_{ij} \intertext{(nach
      Definition von $h^i_j:=h_{jk}g^{ki}$).}
  \end{align*}
  Somit folgt das Lemma.
\end{proof}

\begin{corollary}
  Die Evolutionsgleichung des Volumenelementes $d\mu:=\sqrt{\det
    g_{ij}}\,dx$ lautet
  \begin{equation}
    \label{eq:dmu.evol}
    \dt d\mu=-FH\,d\mu.
  \end{equation}
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  \"Ubung. Dies benutzt die Formeln f\"ur die Ableitung der
  Determinante einer Matrix.
\end{proof}

\begin{lemma}
  Die (Einheits-)normale $\nu$ erf\"ullt
  \begin{equation}
    \label{nu evol}
    \dt\nu^\alpha=g^{ij}F_{;\,i}X^\alpha_{;\,j}.
  \end{equation}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Nach Definition hat die Einheitsnormale $\nu$ die L\"ange Eins,
  $\langle\nu,\nu\rangle=1=\nu^\alpha\delta_{\alpha\beta}\nu^\beta$.
  Wir differenzieren dies und erhalten
  \[0=\dot\nu^\alpha \delta_{\alpha\beta} \nu^\beta.\] Daher gen\"ugt
  der Nachweis, dass die behauptete Gleichung gilt, wenn wir auf
  beiden Seiten das Skalarprodukt mit einem beliebigen aber demselben
  Tangentialvektor bilden. Die Vektoren $X_{,i}$ (die wir ab jetzt mit
  $X_i$ bezeichnen wollen, da keine Verwechslungsgefahr besteht; dies
  machen wir auch f\"ur andere Gr\"o\ss{}en, falls partielle und
  kovariante Ableitungen \"ubereinstimmen) bilden eine Basis des
  Tangentialraumes $T_\cdot M$ in einem festen Punkt. Wir
  differenzieren die Gleichung
  \[0=\langle\nu,X_i\rangle=\nu^\alpha\delta_{\alpha\beta}X^\beta_i\]
  und erhalten
  \begin{align*}
    0=&\,\dt\nu^\alpha\delta_{\alpha\beta}X^\beta_i
    +\nu^\alpha\delta_{\alpha\beta}\dt X^\beta_i\\
    =&\,\dt\nu^\alpha\delta_{\alpha\beta}X^\beta_i
    +\nu^\alpha\delta_{\alpha\beta}\left(\dt X^\beta\right)_i\\
    =&\,\dt\nu^\alpha\delta_{\alpha\beta}X^\beta_i
    -\nu^\alpha\delta_{\alpha\beta}\left(F\nu^\beta\right)_i.
  \end{align*}
  Somit gilt
  \begin{align*}
    \dt\nu^\alpha\delta_{\alpha\beta}X^\beta_i
    =&\,\nu^\alpha\delta_{\alpha\beta}\nu^\beta F_i
    +F\nu^\alpha\delta_{\alpha\beta}\nu^\beta_i\\ 
    =&\,F_i+F\tfrac12\langle\nu,\nu\rangle_i=F_i
  \end{align*}
  und das Lemma folgt, denn wenn wir nun auf beiden Seiten das
  Skalarprodukt der behaupteten Evolutionsgleichung mit $X_k$ bilden,
  \dh diese mit $\delta_{\alpha\beta}X^\beta_k$ multiplizieren,
  erhalten wir
  \[\dt\nu^\alpha\delta_{\alpha\beta}X^\beta_k
  =g^{ij}F_iX^\alpha_j\delta_{\alpha\beta}X^\beta_k =g^{ij}F_ig_{jk}
  =\delta^i_kF_i=F_k.\qedhere\]
\end{proof}

\begin{lemma}
  F\"ur die zweite Fundamentalform $h_{ij}$ gilt
  \begin{equation}
    \label{h evol}
    \dt h_{ij}=F_{;\,ij}-Fh_i^kh_{kj}.
  \end{equation}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Aufgrund der Gau\ss{}schen Formel \eqref{Gauss formula} gilt
  $h_{ij}=-X^\alpha_{;ij}\nu_\alpha$. Wir differenzieren dies und
  erhalten
  \begin{align*}
    \dt h_{ij}=&\,-\dt\langle X_{;ij},\nu\rangle\umbruch\\
    =&\,-\left\langle\dt X_{;ij},\nu\right\rangle
    -\left\langle-h_{ij}\nu,\dt\nu\right\rangle\umbruch\\
    =&\,-\left\langle\dt X_{;ij},\nu\right\rangle
    +h_{ij}\left\langle\nu,\dt\nu\right\rangle\umbruch\\
    =&\,-\left\langle\dt X_{;ij},\nu\right\rangle\umbruch\\
    =&\,-\dt\left(X^\alpha_{,ij}-\Gamma^k_{ij}X^\alpha_k\right)
    \nu_\alpha\umbruch\\
    =&\,-\left(\dt X^\alpha\right)_{,ij}\nu_\alpha
    +\Gamma^k_{ij}\left(\dt X^\alpha\right)_{,k}\nu_\alpha
    \intertext{(wobei wegen $X^\alpha_i\nu_\alpha=0$ keine
      Zeitableitungen von $\Gamma^k_{ij}$ auftauchen)}
    =&\,(F\nu^\alpha)_{,ij}\nu_\alpha
    -\Gamma^k_{ij}(F\nu^\alpha)_{,k}\nu_\alpha \intertext{(aufgrund
      der Evolutionsgleichung)}
    =&\,F_{,ij}\nu^\alpha\nu_\alpha +F_{,i}\nu^\alpha_{,j}\nu_\alpha
    +F_{,j}\nu^\alpha_{,i}\nu_\alpha +F\nu_{,ij}^\alpha\nu_\alpha
    -\Gamma^k_{ij}F_{,k}\nu^\alpha\nu_\alpha
    -\Gamma^k_{ij}F\nu^\alpha_{,k}\nu_\alpha\umbruch\\
    =&\,F_{;ij}+F\nu^\alpha_{,ij}\nu_\alpha,
  \end{align*}
  da $F_{;ij}=F_{,ij}-\Gamma^k_{ij}F_{,k}$ und
  $\nu^\alpha_{,j}\nu_\alpha =\frac12(\nu^\alpha\nu_\alpha)_j=0$
  gelten. Wir m\"ussen also noch zeigen, dass 
  $\nu^\alpha_{,ij}\nu_\alpha=-h_i^kh_{kj}$ gilt. Es gilt 
  \begin{align*}
    \nu^\alpha_{,ij}\nu_\alpha=&\,\nu^\alpha_{;i,j}\nu_\alpha
    \intertext{(da $\nu^\alpha_i=\nu^\alpha_{;i}$)}
    =&\,\nu^a_{;ij}\nu_\alpha
    \intertext{($\nu^\alpha_{;ij}=(\nu^\alpha_{;i})_{,j}
      -\Gamma^k_{ij}\nu^\alpha_k$ und $0=\nu^\alpha_k\nu_\alpha$)}
    =&\,\left(h^k_iX^\alpha_k\right)_{;j}\nu_\alpha
    \intertext{(aufgrund der Weingartengleichung \eqref{Weingarten
        equation})}
    =&\,h^k_i(-h_{kj}\nu^\alpha)\nu_\alpha \intertext{(aufgrund der
      Gau\ss{}gleichung \eqref{Gauss formula} und der Orthogonalit\"at
      $X^\alpha_k\nu_\alpha=0$)}
    =&\,-h^k_ih_{kj}
  \end{align*}
  wie behauptet. Das Lemma folgt. 
\end{proof}

\begin{lemma}
  Die Normalengeschwindigkeit $F$ erf\"ullt
  \begin{equation}
    \label{F evol}
    \dt F-F^{ij}F_{;ij}=FF^{ij}h_i^kh_{kj}.
  \end{equation}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt, vergleiche beispielsweise \cite[Lemma 5.4]{OSMathZ}, den
  Beweis von \cite[Theorem 2.1.20]{CGCPBook}, oder leite dies explizit
  f\"ur die betrachtete Normalengeschwindigkeit her,
  $$\fracp{F}{g_{kl}}=-F^{il}h^k_i.$$
  Somit erhalten wir unter Verwendung von \eqref{g evol} und \eqref{h
    evol}
  \begin{align*}
    \dt F-F^{ij}F_{;ij}=&-F^{il}h^k_i\dt g_{kl}
                          +F^{ij}\dt h_{ij}-F^{ij}F_{;\,ij}\umbruch\\
    =&-F^{il}h^k_i(-2Fh_{ij}) +F^{ij}\left(F_{;ij}-Fh^k_ih_{kj}\right)
       -F^{ij}F_{;ij}\umbruch\\ 
    =&FF^{ij}h^k_ih_{kj}.\qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

Wir ben\"otigen noch explizitere Evolutionsgleichungen f\"ur
geometrische Gr\"o\ss{}en $\boxplus$, in denen
$\dt\boxplus-F^{ij}\boxplus_{;ij}$ vorkommt.
\begin{lemma}
  F\"ur die zweite Fundamentalform $h_{ij}$ gilt
  \begin{equation}
    \label{2ff evol}
    \begin{split}
      \dt h_{ij}-F^{kl}h_{ij;\,kl}=&\,F^{kl}h^a_kh_{al}\cdot h_{ij}
      -F^{kl}h_{kl}\cdot h^a_ih_{aj}\\
      &\,-Fh^k_ih_{kj}+F^{kl,\,rs}h_{kl;\,i}h_{rs;\,j}.
    \end{split}
  \end{equation}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Direkte Rechnungen liefern
  \begin{align*}
    \dt h_{ij}-F^{kl}h_{ij;\,kl}
    =&\,F_{;ij}-Fh^k_ih_{kj}-F^{kl}h_{ij;kl}&&
    \text{wegen \eqref{h evol}}\umbruch\\
    =&\,F^{kl}h_{kl;\,ij}
    +F^{kl,\,rs}h_{kl;\,i}h_{rs;\,j}&&\\
    &\,-Fh^k_ih_{kj}-F^{kl}h_{ij;\,kl}&&\umbruch\\
    =&\,F^{kl}h_{ik;\,lj}
    +F^{kl,\,rs}h_{kl;\,i}h_{rs;\,j}&&\\
    &\,-Fh^k_ih_{kj}-F^{kl}h_{ik;\,jl}&&\text{nach Codazzi}\umbruch\\
    =&\,F^{kl}\left(h^a_kR_{ailj}+h^a_iR_{aklj}\right)
    -Fh^k_ih_{kj}\\
    &\,+F^{kl,\,rs}h_{kl;\,i}h_{rs;\,j}
    &&\text{wegen \eqref{Ricci}}\umbruch\\
    =&\,F^{kl}h^a_kh_{al}h_{ij}-\underline{F^{kl}h^a_kh_{aj}h_{il}}\\
    &\,+\underline{F^{kl}h^a_ih_{al}h_{kj}}-F^{kl}h^a_ih_{aj}h_{kl}\\
    &\,-Fh^k_ih_{kj}+F^{kl,\,rs}h_{kl;\,i}h_{rs;\,j}&&
    \text{wegen \eqref{Riem}}\umbruch\\
    =&\,F^{kl}h^a_kh_{al}h_{ij}-F^{kl}h^a_ih_{aj}h_{kl}\\
    &\,-Fh^k_ih_{kj}+F^{kl,\,rs}h_{kl;\,i}h_{rs;\,j}.&&
  \end{align*}
  Um zu sehen, dass sich die beiden unterstrichenen Terme gegenseitig
  aufheben, k\"onnen wir nutzen, dass $F^{ij}$ in einem
  Koordinatensystem, in dem $h_{ij}$ diagonal ist und
  $g_{ij}=\delta_{ij}$ gilt, auch $F^{ij}$ diagonal ist, siehe
  Abschnitt \ref{hyper sec}. Alternativ nutzt man die Symmetrie
  $h_{ij} =\frac12h_{ij} +\frac12h_{ji}$ und addiert die
  entsprechenden Evolutionsgleichungen. Somit fallen die potentiell
  nicht symmetrischen Anteile ebenfalls weg. 
\end{proof}

\begin{remark}
  Im Beweis der Evolutionsgleichung der zweiten Fundamentalform
  $(h_{ij})$ haben wir Indices vertauscht. Spezialisiert man hier auf
  den Fall $F^{ij}=g^{ij}$, was f\"ur den mittleren Kr\"ummungsfluss
  gilt, so erhalten wir \[H_{;ij}-\Delta h_{ij} =|A|^2h_{ij}
  -Hh_i^kh_{kj}.\] Dieses Identit\"at hei\ss{}t auf Englisch ``Simons'
  identity'' nach James Simon. 
\end{remark}

\begin{remark}
  Als direkte Folgerung aus \eqref{X dot} und \eqref{Gauss formula}
  erhalten wir
  \begin{align}
    \dt X^\alpha-F^{ij}X^\alpha_{;\,ij}
    =&\left(F^{ij}h_{ij}-F\right)\nu^\alpha.\umbruch
    \label{X evol}\\
    \intertext{Somit gilt}
    \dt\abs{X}^2-F^{ij}\left(\abs{X}^2\right)_{;ij}
    =&2\left(F^{ij}h_{ij}-F\right)\langle X,\,\nu\rangle
    -2F^{ij}g_{ij},\nonumber\umbruch
  \end{align}
\end{remark}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt
  \begin{align*}
    \dt|X|^2-F^{ij}\left(|X|^2\right)_{;ij}=&\, 2\left\langle X,\dt
      X\right\rangle-2F^{ij}\langle X_i,X_j\rangle
    -2F^{ij}\langle X,X_{;ij}\rangle\\
    =&\,2\langle X,-F\nu\rangle-2F^{ij}g_{ij} -2F^{ij}\langle
    X,-h_{ij}\nu\rangle.\qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{lemma}
  Die Evolutionsgleichung f\"ur die Normale $\nu$ lautet
  \begin{equation}\label{nu evol ganz}
    \dt\nu^\alpha-F^{ij}\nu^\alpha_{;ij}
    =F^{ij}h^k_ih_{kj}\cdot\nu^\alpha. 
  \end{equation}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt 
  \begin{align*}
    \dt\nu^\alpha-F^{ij}\nu^\alpha_{;ij}
    =&\,g^{ij}F_{;\,i}X^\alpha_{;\,j}
    -F^{ij}\left(h^k_iX^\alpha_{;\,k}\right)_{;\,j} \intertext{wegen
      \eqref{nu evol} und \eqref{Weingarten equation}}
    =&\,g^{ij}F^{kl}h_{kl;\,i}X^\alpha_{;\,j}
    -F^{ij}h^k_{i;\,j}X^\alpha_{;\,k}
    -F^{ij}h^k_iX^\alpha_{;\,kj}&&\umbruch\\
    =&\,F^{ij}h^k_ih_{kj}\nu^\alpha&&\text{wegen \eqref{Gauss
        formula}.}  \qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{lemma}
  Die Evolutionsgleichung des Skalarproduktes $\langle X,\nu\rangle$
  lautet 
  \begin{equation}\label{X nu evol ganz}
    \dt\langle X,\nu\rangle-F^{ij}\langle X,\nu\rangle_{;ij}
    =-F^{ij}h_{ij}-F+F^{ij}h^k_ih_{kj}
    \langle X,\,\nu\rangle.
  \end{equation}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt
  \begin{align*}
    \dt\langle X,\,\nu\rangle-F^{ij}\langle X,\,\nu\rangle_{;ij}=&\,
    X^\alpha\delta_{\alpha\beta}
    \left(\dt\nu^\beta-F^{ij}\nu^\beta_{;ij}\right)\\
    &\,\quad+\left(\dt
      X^\alpha-F^{ij}X^\alpha_{;\,ij}\right)\delta_{\alpha\beta}
    \nu^\beta\\
    &\,\quad-2F^{ij}X^\alpha_{;\,i}\delta_{\alpha\beta}
    \nu^{\beta}_{;\,j}\umbruch\\
    =&\,F^{ij}h^k_ih_{kj}\langle X,\,\nu\rangle
    +\left(F^{ij}h_{ij}-F\right)\langle\nu,\,\nu\rangle\\
    &\,\quad-2F^{ij}X^\alpha_{;\,i}\delta_{\alpha\beta}h^k_jX^\beta_{;\,k}
    \intertext{unter Benutzung von \eqref{Weingarten equation},
      \eqref{X evol},
      und \eqref{nu evol ganz}}
    =&\,F^{ij}h^k_ih_{kj}\langle X,\,\nu\rangle-F^{ij}h_{ij}-F.
    \qedhere
  \end{align*}
\end{proof}

\begin{lemma}
  Sei $(\eta_\alpha)=-e_{n+1}=(0,\ldots,0,-1)$. Dann erf\"ullt
  $\tilde v:=\langle\eta,\nu\rangle\equiv\eta_\alpha\nu^\alpha$
  \begin{align}
    \dt\tilde v-F^{ij}\tilde v_{;ij}=&\,F^{ij}h^k_ih_{kj}\tilde v
    \label{v tilde evol}
    \intertext{und $v:=\tilde v^{-1}$ erf\"ullt} \dt
    v-F^{ij}v_{;ij}=&\,-vF^{ij}h^k_ih_{kj}-2\frac1vF^{ij}v_iv_j.
    \label{v evol}
  \end{align}
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Evolutionsgleichung von $\tilde v$ folgt direkt aus \eqref{nu
    evol ganz}. F\"ur die Herleitung der Evolutionsgleichung von $v$
  benutzen wir
  \begin{align*}
    \dot v
    =&\,-\tilde v^{-2}\dot{\tilde v}=-v^2\dot{\tilde v},\umbruch\\
    v_i=&\,-\tilde v^{-2}\tilde v_i=-v^2\tilde v_i\\
    \intertext{und} v_{;ij}=&\,-\tilde v^{-2}\tilde v_{;ij}+2\tilde
    v^{-3}\tilde v_i\tilde v_j=-v^2\tilde v_{;ij} +2v^{-1}v_iv_j.
  \end{align*}
  Damit folgt
  \begin{align*}
    \dt v -F^{ij}v_{;ij}
    &=-v^2\left(\dt\tilde v-F^{ij}\tilde
      v_{ij}\right)-2\frac1vF^{ij}v_iv_j\umbruch\\
    &=-v^2\left(F^{ij}h^k_ih_{kj}\tilde
      v\right)-2\frac1vF^{ij}v_iv_j. 
  \end{align*}
  Somit ergibt sich auch die Evolutionsgleichung f\"ur $v$. 
\end{proof}

\Subsection{Evolutionsgleichungen f\"ur den mittleren
  Kr\"ummungsfluss} 

Im Zusammenhang mit einer Familie von Hyperfl\"achen $(M_t)_t$
bezeichnet $\Delta$ den Laplace-Beltrami Operator bez\"uglich der
induzierten Metrik. Es gilt $\Delta w=g^{ij}w_{;ij}$. 

\begin{theorem}
  \label{evol gl thm}
  F\"ur L\"osungen des mittleren Kr\"ummungsflusses gelten die
  Evolutionsgleichungen
  \begin{align*}
    \dt X=&\,-H\nu,\umbruch\\
    \dt X-\Delta X=&\,0,\umbruch\\
    \dt |X|^2-\Delta|X|^2=&\,-2n,\umbruch\\
    \dt g_{ij}=&\,-2Hh_{ij},\umbruch\\
    \dt d\mu=&\,-H^2\,d\mu,\umbruch\\
    \dt H-\Delta H=&\,H|A|^2,\umbruch\\
    \dt h_{ij}-\Delta h_{ij}=&\,|A|^2h_{ij} -2Hh_i^kh_{kj},\umbruch\\
    \dt \nu-\Delta\nu=&\,|A|^2\nu,\umbruch\\
    \dt\langle X,\nu\rangle -\Delta\langle X,\nu\rangle
    =&\,-2H+|A|^2\langle X,\nu\rangle,\umbruch\\
    \dt\tilde v-\Delta\tilde v=&\,|A|^2\tilde v,\umbruch\\
    \dt v-\Delta v=&\,-v|A|^2-\frac2v|\nabla v|^2,\umbruch\\
    \dt|A|^2-\Delta|A|^2 =&\,-2|\nabla A|^2+2|A|^4,\umbruch\\
    \dt\left|\nabla^mA\right|^2 -\Delta\left|\nabla^mA\right|^2
    \le&\,-2\left|\nabla^{m+1}A\right|^2\\
    &\,+C(m,n)\sum\limits_{i+j+k=m} \left|\nabla^m A\right|\cdot
    \left|\nabla^i A\right|\cdot \left|\nabla^j A\right|\cdot
    \left|\nabla^k A\right|,
  \end{align*}
  wobei $\nabla^mA$ die $m$-fache Ableitung von $A$ bezeichnet. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  Bis auf die Evolutionsgleichungen f\"ur $|A|^2$ und
  $\left|\nabla^mA\right|^2$ folgt dies direkt aus den allgemeinen
  Evolutionsgleichungen des letzten Kapitels.
  \begin{enumerate}[(i)]
  % \item Wir schreiben $|X|^2 =\langle X,X\rangle$ und erhalten
  %   \begin{align*}
  %     \dt\langle X,X\rangle -\Delta\langle X,X\rangle =&\,
  %     2\left\langle\dt X,X\right\rangle -2\langle\Delta X,X\rangle
  %     -2g^{ij}\langle X_i,X_j\rangle\umbruch\\
  %     =&\,-2g^{ij}g_{ij} =-2n. 
  %   \end{align*}
  \item Mit Hilfe der Evolutionsgleichungen von $g_{ij}$ und $h_{ij}$
    erhalten wir
    \begin{align*}
      \dt|A|^2-\Delta|A|^2=&\,\dt\left(h_{ij}g^{jk}h_{kl}g^{li}\right)
      -\Delta \left(h_{ij}g^{jk}h_{kl}g^{li}\right)\umbruch\\
      =&\,2\left(\dt h_{ij}-\Delta h_{ij}\right)g^{jk}h_{kl}g^{li}\\
      &\,-2h_{ij}g^{ja}g^{bk}h_{kl}g^{li}\dt g_{ab}
      -2g^{rs}h_{ij;r}g^{jk}h_{kl;s} g^{li}\umbruch\\
      =&\,2|A|^4-4Hh_i^kh_k^jh_j^i +4Hh_i^kh_k^jh_j^i -2|\nabla A|^2,
    \end{align*}
    wobei wir im letzten Schritt die Codazzigleichung benutzt haben.  
  \item Wir gehen wie bei \cite{HuiskenRoundSphere,HamiltonThree}
    vor. Da dies nicht direkt aus den obigen \"Uberlegungen folgt,
    verlagern wir den Beweis in Lemmata im Rest des
    Abschnittes. \qedhere 
  \end{enumerate}
\end{proof}

Wir schreiben $S*T$ f\"ur Linearkombinationen von Kontraktionen von
$S$ und $T$, der Metrik $g$ und ihrer Inversen. 

\begin{lemma}
  Unter dem mittleren Kr\"ummungsfluss gilt f\"ur die
  Christoffelsymbole 
  \[\dt\Gamma^k_{ij}=A*\nabla A.\] 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Die Differenz zweier Christoffelsymbole ist ein Tensor \cite[Kapitel
  3.5 (4.15) S. 75]{LovelockRund}. Somit gilt dies auch f\"ur die
  Zeitableitung als Grenzwert von Differenzenquotienten.  Nach
  Definition ist \[\Gamma^k_{ij} =\frac12 g^{kl}
  \left(\fracp{}{x^i}g_{lj} +\fracp{}{x^j}g_{il}
    -\fracp{}{x^l}g_{ij}\right).\] Wir differenzieren dies nach der
  Zeit und d\"urfen dabei die Zeitableitung mit den partiellen
  r\"aumlichen Ableitungen vertauschen.
  \begin{align*}
    \dt\Gamma^k_{ij} =&\,-\frac12 g^{ka}\left(\dt g_{ab}\right)g^{bl}
    \left(\fracp{}{x^i}g_{lj} +\fracp{}{x^j}g_{il}
      -\fracp{}{x^l}g_{ij}\right)\\
    &\,+\frac12 g^{kl} \left(\fracp{}{x^i}\dt g_{lj} +\fracp{}{x^j}\dt
      g_{il} -\fracp{}{x^l}\dt g_{ij}\right)\umbruch\\
    =&\,-g^{ka}\dot g_{ab}\Gamma^b_{ij} +\frac12 g^{kl}
    \left(\fracp{}{x^i}(-2Hh_{lj}) +\fracp{}{x^j}(-2Hh_{il})
      -\fracp{}{x^l}(-2Hh_{ij})\right)\umbruch\\
    \overset{\Gamma=0}=&\,-g^{kl}
    \left(\nabla_i(Hh_{lj}) +\nabla_j(Hh_{il})
      -\nabla_l(Hh_{ij})\right).
  \end{align*}
  Die linke Seite ist ein Tensor. In der letzten Gleichheit haben wir
  daher ein spezielles Koordinatensystem mit $\Gamma^k_{ij}=0$ f\"ur
  alle $i,j,k$ w\"ahlen d\"urfen. Das Ergebnis rechts ist nun auch ein
  Tensor und die angegebene Gleichheit gilt wieder in allgemeinen
  Koordinatensystemen. Die Behauptung k\"onnen wir nun direkt aus der
  Formel ablesen.
\end{proof}

\begin{lemma}
  \label{evolgl der abl lem}
  Sei $B$ ein Tensor auf $M_t$, \dh mit \glqq lateinischen
  Indices\grqq, der unter dem mittleren Kr\"ummungsfluss \[\dt
  B-\Delta B=C\] erf\"ullt. Dann gilt
  \[\dt\nabla B-\Delta\nabla B=\nabla C+A*\nabla A*B +A*A*\nabla B.\] 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Es gilt, wobei beim ersten $*$ keine zus\"atzlichen $g$ oder
  $g^{-1}$-Terme auftreten, die man noch ableiten m\"usste, 
  \begin{align*}
    \dt\nabla_iB =&\,\dt\left(B_{,i}
      +\Gamma^\cdot_{i\cdot}*B\right)\umbruch\\
    =&\,\left(\dt B\right)_{,i} +\Gamma^\cdot_{i\cdot}*\dt B
    +\dt\Gamma^\cdot_{i\cdot}*B\umbruch\\
    =&\,\nabla_i\dt B+A*\nabla A*B,
  \end{align*}
  wobei wir im letzten Schritt die beiden ersten Terme wieder zu
  einer kovarianten Ableitung kombinieren durften, da sie aus einer
  solchen entstanden sind. \par
  Aufgrund der Vertauschungsregeln f\"ur kovariante Ableitungen aus
  der Differentialgeometrie gilt allgemein
  \begin{align*}
    \Delta\nabla_kB=&\,g^{ij}\nabla_i\nabla_j\nabla_kB\umbruch\\
    =&\,g^{ij}\nabla_i(\nabla_k\nabla_j B+B*\Rm)\umbruch\\
    =&\,g^{ij}\nabla_k\nabla_i\nabla_j B+\nabla B*\Rm +B*\nabla
    \Rm\umbruch\\ 
    =&\,\nabla_k\Delta B+\nabla B*\Rm +B*\nabla \Rm.
  \end{align*}
  F\"ur Hyperfl\"achen im $\R^{n+1}$ gilt $\Rm=A*A$. Somit erhalten wir 
  \[\Delta\nabla B=\nabla\Delta B +\nabla B*A*A +B*\nabla A*A.\] 
  Somit folgt
  \begin{align*}
    \dt\nabla B-\Delta\nabla B=&\,\nabla\left(\dt B-\Delta B\right)
    +A*\nabla A*B+A*A*\nabla B\umbruch\\
    =&\,\nabla C+A*\nabla A*B +A*A*\nabla B
  \end{align*}
  wie behauptet.
\end{proof}

\begin{corollary}
  \label{A evol gl cor}
  F\"ur den mittleren Kr\"ummungsfluss gilt 
  \[\dt\nabla^mA-\Delta\nabla^mA=\sum\limits_{i+j+k=m} \nabla^iA
  *\nabla^jA *\nabla^kA.\]
\end{corollary}
\begin{proof}[Beweis]
  Benutze die Evolutionsgleichung $\dt A-\Delta A=A*A*A$, Induktion
  und Lemma \ref{evolgl der abl lem}. 
\end{proof}

\begin{lemma}
  F\"ur den mittleren Kr\"ummungsfluss gilt
  \[\dt\left|\nabla^mA\right|^2-\Delta\left|\nabla^mA\right|^2
  =-2\left|\nabla^{m+1}A\right|^2 +\sum\limits_{i+j+k=m} \nabla^iA
  *\nabla^jA *\nabla^kA *\nabla^mA.\] 
\end{lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Benutze die Produktregel und Korollar \ref{A evol gl cor}. 
\end{proof}

\Section{Ganze Graphen}
\Subsection{\"Uberblick und Gradientenschranken}

F\"ur ganze Graphen haben K. Ecker und G. Huisken
den folgenden Existenzsatz bewiesen \cite[Theorem
5.1]{EckerHuiskenInvent}
\begin{theorem}\label{thm:entire-mcf}
  Sei $u_0:\R^n\to\R$ lokal Lipschitz stetig. Dann gibt es eine
  Funktion $u\in C^\infty_{loc}\left(\R^n\times(0,\infty)\right)\cap
  C^0_{loc}\left(\R^n\times[0,\infty)\right)$, die
  \[\begin{cases}
    \dot u=\sqrt{1+|Du|^2}\cdot\divergenz
    \left(\dfrac{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right) &\text{in
    }\R^n\times(0,\infty),\\
    u(\cdot,t)\to u_0 &\text{f\"ur }t\searrow0 \text{ in
    }C^0_{loc}\left(\R^n\right)
  \end{cases}\]
  l\"ost. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweisstrategie]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Approximiere $u_0$ durch glatte Funktionen. Daher werden wir
    nachfolgend annehmen, dass $u_0$ glatt ist.
  \item Sei $R>0$. Wir betrachten eine Folge von Dirichletproblemen
    \[\begin{cases}
      \dot u=\sqrt{1+|Du|^2}\cdot\divergenz
      \left(\dfrac{Du}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right) &\text{in
      }B_{3R}(0)\times(0,\infty),\\
      u(\cdot,0)=u_R &\text{in }B_{3R}(0),\\
      u(\cdot,t)=0&\text{auf }\partial B_{3R}(0) \text{ f\"ur alle
      }t\ge0,
    \end{cases}\] wobei $u_R$ glatt ist, $u_R=u_0$ in $B_R(0)$ und
    $u_R=0$ in $B_{3R}(0)\setminus B_{2R}(0)$ erf\"ullt.  Nach Theorem
    \ref{glatte langzeit ex thm} besitzt dieses Dirichletproblem eine
    glatte L\"osung $u^R$ f\"ur alle $t\ge0$.  Am Ende wollen wir den
    Grenzwert $R\to\infty$ betrachten um eine L\"osung zu erhalten.
  \item Um im Grenzwert $R\to\infty$ eine Teilfolge zu erhalten, die
    gegen eine L\"osung konvergiert, ben\"otigen wir lokale a priori
    Absch\"atzungen. 
  \item Sph\"aren liefern lokale $C^0$-Schranken. 
  \item Die Gradientenabsch\"atzung daf\"ur zeigen wir in Theorem
    \ref{mcf gradient bound ball thm}. 
  \item Weiterhin gelten f\"ur Ableitungen der zweiten Fundamentalform
    $A$ innere Ab\-sch\"atz\-un\-gen der Form
    \[\sup\limits_{B_{\frac12r}(x_0)}|\nabla^mA|^2(\cdot,t)\le
      c\left(m,n,\sup\limits_{B_r(x_0)\times[0,t]}|Du|\right)
      \cdot\left(\frac1{r^2}+\frac1t\right)^{m+1},\] falls sich eine
    L\"osung des mittleren Kr\"ummungsflusses \"uber $B_r(x_0)$ als
    Graph schreiben l\"asst, siehe \cite[Corollary
    3.5]{EckerHuiskenInvent}. Auch die sp\"ater behandelte Form, die
    sich einfacher zeigen l\"asst, ist ausreichend.
  \item Nach Arzel\`a-Ascoli gibt es nun eine Teilfolge von
    $\left(u^R\right)_R$, die f\"ur $R\to\infty$ wie gew\"unscht gegen
    eine L\"osung $u\in C^\infty_{\text{loc}}(\R^n\times(0,\infty))$
    konvergiert. Wir erhalten die gew\"unschte Differentialgleichung.
    Die a priori-Schranken bleiben auch f\"ur den Grenzwert g\"ultig.
    Nachfolgend k\"ummern wir uns um die Anfangswerte.
  \item Wegen $|H|\le \sqrt n|A|\le\frac c{\sqrt t}$ nahe $t=0$ werden die
    Anfangswerte f\"ur $t=0$ angenommen. Im Detail: Es gilt
    \[|u(x,t_1)-u(x,t_2)|\le c\cdot
    \left|\sqrt{t_2}-\sqrt{t_1}\right|.\] Somit erhalten wir f\"ur
    festes $x\in\R^n$ eine Cauchyfolge f\"ur $t\searrow0$. Daher
    k\"onnen wir $u^0(x):=\lim\limits_{t\searrow0} u(x,t)$ definieren
    und erhalten $|u^0(x)-u(x,t_2)|\le c\cdot\sqrt{t_2}$. Wir wollen
    nun noch $u^0=u_0$ zeigen. Es gilt 
    \begin{align*}
      &\,\left|u^0(x)-u_0(x)\right|\umbruch\\
    \le&\,\left|u^0(x)-u(x,t)\right| +\left|u(x,t)-u^R(x,t)\right|
    +\left|u^R(x,t)-u_0(x)\right|\umbruch\\
    \le&\,c\cdot\sqrt t+\left|u(x,t)-u^R(x,t)\right| +c\cdot\sqrt t.     
    \end{align*}
    Sei $\epsilon>0$. Wir fixieren $t>0$ hinreichend klein und
    erhalten, dass der erste und analog der dritte Term auf der
    rechten Seite kleiner als $\epsilon$ sind. Aufgrund der aus
    Arzel\`a-Ascoli gefolgerten Konvergenz erhalten wir nun, dass der
    mittlere Term f\"ur ein gro\ss{}es $R$ durch $\epsilon$
    beschr\"ankt ist. Somit folgt $u^0=u_0$. Wir erhalten die
    Absch\"atzung \[|u_0(x)-u(x,t)|\le c\cdot\sqrt t\] f\"ur glatte
    Anfangsdaten $u_0$. Diese gilt bei lokal gleichm\"a\ss{}igen
    Lipschitzschranken mit einer von $u$ unabh\"angigen Konstanten
    $c$. 
  \item Wir haben zun\"achst angenommen, dass $u_0$ glatt ist. Ist
    dies nicht der Fall, so starten wir mit Anfangswerten
    $u^\epsilon_0(x)\to u_0(x)$ f\"ur $\epsilon\searrow0$.
    Konstruieren wir $u^\epsilon_0$ durch Faltung, so sind die
    Funktionen gleichm\"a\ss{}ig in $0<\epsilon\le1$ lokal Lipschitz.
    Diese glatten Anfangsdaten werden aufgrund der obigen \"Uberlegung
    angenommen und es gilt
    $\left|u^\epsilon(x,t)- u^\epsilon_0(x) \right|\le c\cdot\sqrt t$,
    mit f\"ur $(x,t)$ aus einer kompakten Menge unabh\"angig von
    $\epsilon>0$ gleichm\"a\ss{}ig beschr\"anktem $c$. Weiterhin wird
    der Grenzwert $u$ mit Arzel\`a-Ascoli definiert, es gilt also ohne
    Einschr\"ankung $u^\epsilon(x,t)\to u(x,t)$ f\"ur
    $\epsilon\searrow0$. Wir sehen, dass $u$ ebenfalls die
    Differentialgleichung erf\"ullt. Die a priori-Schranken bleiben
    auch hier beim Grenz\"ubergang $\epsilon\searrow0$ erhalten.
    Wir erhalten weiterhin
    \begin{align*}
      &\,|u_0(x)-u(x,t)|\umbruch\\
      \le&\,\left|u_0(x)-u^\epsilon_0(x)\right|
      +\left|u_0^\epsilon(x)-u^\epsilon(x,t)\right|
      +\left|u^\epsilon(x,t)-u(x,t)\right|.
    \end{align*}
    Der mittlere Term ist aufgrund der obigen \"Uberlegungen f\"ur
    glatte Anfangsdaten durch $c\cdot\sqrt t$ abgesch\"atzt, die
    beiden \"au\ss{}eren Terme werden f\"ur $\epsilon\searrow0$ wie
    oben beschrieben klein. Daher folgt \[|u_0(x,t)-u(x,t)|\le
    c\cdot\sqrt t\] und die Anfangswerte werden auch f\"ur
    Lipschitzstartwerte angenommen.  \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

F\"ur die folgenden a priori Schranken nehmen wir stets an, dass
$(M_t)_t$ eine glatte Familie von Hyperfl\"achen ist, die den
graphischen mittleren Kr\"ummungsfluss (zumindest in) $B_{R+1}(\hat
x_0)\times[0,\infty)$ mit $x_0=\left(\hat x_0,x^{n+1}_0\right)$
l\"ost.

Wir erhalten die folgenden Gradientenschranken.
\begin{theorem}[{\cite[Theorem 2.1]{EckerHuiskenInvent}}]
  \label{mcf gradient bound ball thm} 
  Seien $R>0$ und $x_0\in\R^{n+1}$ beliebig. Definiere
  \[\phi(x,t):=R^2-|x-x_0|^2-2nt.\] Bezeichne $\phi_+:=\max\{\phi,0\}$
  den positiven Teil von $\phi$.  Dann gilt f\"ur L\"osungen
  $u\in C^\infty(B_R(\hat x_0)\times(0,T))\cap C^1(B_R(\hat
  x_0)\times[0,T])$ des graphischen mittleren Kr\"ummungsflusses
  \[v\phi_+\le\sup_{M_0}v\phi_+.\]
\end{theorem}
Wir geben einen technisch etwas einfacheren Beweis als in der
Originalarbeit.
\begin{proof}[Beweis]
  Definiere $w:=v\phi_+$, genauer:
  \[w(p,t)=v(p,t)\cdot\phi_+(X(p,t),t).\]  
  Wir betrachten stets nur die Menge
  \[\{(p,t)\colon\phi(X(p,t),t)>0\}.\] Am r\"aumlichen Rand dieser
  Menge gilt $w=0$. (Genaugenommen m\"ussen wir zun\"achst mit etwas
  verkleinerten Radien $R>0$ arbeiten um sicherzustellen, dass dies
  auch f\"ur $t=0$ richtig ist und dann wieder den urspr\"unglichen
  Radius approximieren.) Sei ohne Einschr\"ankung $x_0=0$. \par
  Zun\"achst leiten wir die Evolutionsgleichung von $\phi$ her. Es
  gilt
  \begin{align*}
    \dt\phi-\Delta\phi=&\,\underline{-2\big\langle X,\dot
      X\big\rangle} -2n -g^{ij}\left(\underline{-2\langle
        X,X_{ij}\rangle} -2\langle X_i,X_j\rangle\right)\umbruch\\ 
    =&\,-2n+2n=0.
  \end{align*}
  In einem positiven r\"aumlichen Maximum von $w$ gilt
  \[0=\nabla w=\nabla v\cdot\phi+v\nabla\phi,\quad\text{also}\quad
  \nabla\phi =-\phi\frac1v\nabla v.\] 
  Somit erhalten wir dort
  \begin{align*}
    \dt w-\Delta w=&\,\left(\dt v-\Delta v\right)\phi
    +v\left(\dt\phi-\Delta\phi\right) -2\langle\nabla
    v,\nabla\phi\rangle\umbruch\\
    =&\,\phi\left(-v|A|^2-\underline{\frac2v|\nabla v|^2}\right)
    +v\cdot0 +\underline{2\frac\phi v|\nabla v|^2}\le0.
  \end{align*}
  Daher folgt die Behauptung aus dem Maximumprinzip. 
\end{proof}

Im folgenden Theorem erhalten wir eine Gradientenabsch\"atzung, die
auch f\"ur gro\ss{}e Zeiten gilt.
\begin{theorem}[{\cite[Theorem 2.3]{EckerHuiskenInvent}}]
  \label{EH C1 thm}
  Sei
  $u\in C^\infty(B_R(z_0)\times(0,T))\cap C^1(B_R(z_0)\times[0,T])$
  eine L\"osung des graphischen mittleren Kr\"ummungsflusses auf
  $B_R(z_0)\times(0,T)$. Dann gibt es Konstanten $C_1=C_1(n)$ und
  $C_2=C_2(n)$, so dass f\"ur alle $0\le t\le T$
  \[v(z_0,t) \le C_1\cdot \sup\limits_{B_R(z_0)}v(\cdot,0) \cdot
    \exp\left(C_2\frac1{R^2} \sup\limits_{t\in[0,T]}
      \left(\left(\sup\limits_{B_R(z_0)\times[0,T]}u\right)
        -u(z_0,t)\right)^2\right)\]
  gilt. 
\end{theorem}
Wir bemerken, dass die rechte Seite der Absch\"atzung unendlich und
damit die Aussage trivial wird, wenn der Anfangswert nicht
lipschitzstetig ist oder $u$ am Rand unbeschr\"ankt wird.
\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{EH C1 thm}]
  Wir folgen der Originalarbeit und bauen die untersuchte Funktion
  allm\"ahlich auf. Nach horizontaler Verschiebung d\"urfen wir ohne
  Einschr\"ankung $z_0=0$ annehmen. Weiterhin betrachten wir lediglich
  den Fall $R=1$. Der allgemeine Fall folgt dann durch Skalieren: Ist
  $u\colon B_R(0)\times[0,T]\to\R$ eine L\"osung des graphischen
  mittleren Kr\"ummungsflusses, so auch
  $\tilde u\colon B_1(0)\times\left[0,T/R^2\right]\to\R$ mit
  $\tilde u(x,t) =\frac1R u\left(Rx,R^2t\right)$. Wegen
  $\nabla\tilde u(x,t) =\nabla u\left(Rx,R^2t\right)$ \"andert sich
  $v$ dabei nicht und die $1/R^2$-Skalierung in der
  Exponentialfunktion ergibt sich gerade, wenn wir die Absch\"atzung
  mit $R=1$ auf $\tilde u$ anwenden und dann mit $u$ umschreiben. Da
  $T$ nicht explizit in der Absch\"atzung auftritt, schreiben wir nun
  wieder $T$ statt $T/R^2$. Nach vertikaler Verschiebung d\"urfen wir
  schlie\ss{}lich ohne Einschr\"ankung $u\le-1$ in $B_R(0)\times[0,T]$
  und sogar
  \[\sup\limits_{B_R(0)\times[0,T]} u=-1\]
  annehmen. \par
  Wir rechnen ab jetzt auf der Mannigfaltigkeit. Dies bedeutet
  insbesondere, dass wir \[u=\langle X,\zeta\rangle =X^{n+1}\] mit
  $\zeta=e_{n+1}$ verwenden und somit
  \[\left(\dt-\Delta\right)u=0\]
  gilt. Sei $\eta=\eta(x,t)\ge0$ eine glatte Funktion mit
  $\eta(\cdot,t)\in C^\infty_c(B_1(0))$ f\"ur alle $t\in[0,T]$. Nehme
  an, dass
  \[\sup\limits_{B_1(0)\times[0,T]} (v\eta) =(v\eta)(x_0,t_0)\] f\"ur
  eine $t_0\in(0,T]$ und ein $x_0\in B_1(0)$ gilt. (Im Fall $t_0=0$
  ist die Behauptung quasi trivial und wir k\"onnen dem Beweis ab
  \eqref{allgemeingueltig t0} weiter folgen.) Dann folgen in
  $(x_0,t_0)$
  \begin{align*}
    \nabla(v\eta)
    &=0
      \intertext{und}
      \left(\dt-\Delta\right)(v\eta)
    &\ge0.
  \end{align*}
  Als Vorbereitung berechnen wir unter Benutzung der Maximalbedingung
  und der Evolutionsgleichung von $v$
  \begin{align*}
    0
    &=\nabla(v\eta) =\eta\nabla v+v\nabla\eta,\umbruch\\
    \nabla\eta
    &=-\frac\eta v\nabla v,\umbruch\\
    -2\langle\nabla v,\nabla\eta\rangle
    &=2\frac{\eta}v|\nabla v|^2,\umbruch\\
    0
    &\le\left(\dt-\Delta\right)(v\eta)\umbruch\\
    &=\eta\left(\dt-\Delta\right)v +v\left(\dt-\Delta\right)\eta
      -2\langle\nabla v,\nabla\eta\rangle\umbruch\\
    &=\eta\left(-v|A|^2-\frac2v|\nabla v|^2\right)
      +v\left(\dt-\Delta\right)\eta +2\frac\eta v|\nabla
      v|^2\umbruch\\ 
    &=v\left(\dt-\Delta\right)\eta-v\eta|A|^2.
  \end{align*}
  Wegen $v\ge1$ und $\eta\ge0$ folgt daraus
  \begin{equation}
    \label{eta evol eq}
    0\le\left(\dt-\Delta\right)\eta.
  \end{equation}
  Sei nun speziell $\eta$ von der Form
  \[\eta=-1+\exp(\lambda\phi)\]
  mit $\lambda>0$ und mit $\beta>0$
  \[\phi=
    \begin{cases}
      \left(\frac1{2\beta}u+1-\left(|X|^2-u^2\right)\right)_+
      &\text{f\"ur } X\in B_1(0)\times\R,\\
      0&\text{sonst.}
    \end{cases}
  \]
  Am Rand $\partial B_1(0)\times\R$ ist $|X|^2-u^2=1$. Da auch $u<0$
  f\"ur $X\in B_1(0)\times\R$ gilt, ist $\phi$ eine Lipschitzfunktion,
  die nur f\"ur $X\in B_1(0)\times\R$ von Null verschieden sein
  kann. In der Menge, in der $\phi$ positiv ist, ist $\phi$ glatt und
  wir k\"onnen dort wie gewohnt rechnen. Es gilt dort
  \begin{align*}
    \nabla\phi
    &=\frac1{2\beta}\nabla u -\nabla\left(|X|^2-u^2\right),\umbruch\\
    |\nabla\phi|^2
    &=\frac1{4\beta^2}|\nabla u|^2
      +\left|\nabla\left(|X|^2-u^2\right)\right|^2
      -\frac1\beta\left\langle\nabla
      u,\nabla\left(|X|^2-u^2\right)\right\rangle,\umbruch\\
    \left(\dt-\Delta\right)\phi
    &=\frac1{2\beta}\left(\dt-\Delta\right)u
      -\left(\dt-\Delta\right)\left(|X|^2-u^2\right)\umbruch\\ 
    &=0-(-2n)+2u\left(\dt-\Delta\right)u -2|\nabla u|^2\umbruch\\
    &=2n+0-2|\nabla u|^2\umbruch\\
    &\le2n,
  \end{align*}
  wobei wir am Ende die Evolutionsgleichungen f\"ur den mittleren
  Kr\"ummungsfluss genutzt haben. Aus der Evolutionsgleichung f\"ur
  $\eta$, siehe \eqref{eta evol eq}, und der direkt darauf folgenden
  Definition von $\eta$ mittels $\phi$ erhalten wir
  \begin{align*}
    \dot\eta
    &=\lambda e^{\lambda\phi}\dot\phi,\umbruch\\
    \nabla\eta
    &=\lambda e^{\lambda\phi}\nabla\phi,\umbruch\\
    \Delta\eta
    &=\lambda e^{\lambda\phi}\Delta\phi
      +\lambda^2e^{\lambda\phi}|\nabla\phi|^2,\umbruch\\
    0
    &\le\left(\dt-\Delta\right)\eta\umbruch\\
    &=\lambda e^{\lambda\phi}\left[\dot\phi-\Delta\phi
      -\lambda|\nabla\phi|^2\right],\umbruch\\
    \left(\dt-\Delta\right)\phi
    &\ge\lambda|\nabla\phi|^2,\umbruch\\
    2n
    &\ge\lambda\left(\frac1{4\beta^2}|\nabla u|^2
      -\frac1\beta\left\langle \nabla
      u,\nabla\left(|X|^2-u^2\right)\right\rangle\right). 
  \end{align*}
  Die beiden Terme auf der rechten Seite rechnen wir nun genauer aus.
  \begin{align*}
    u
    &=\langle X,\zeta\rangle,\umbruch\\
    \nabla u
    &=\langle\nabla X,\zeta\rangle,\umbruch\\
    \nabla\left(|X|^2-u^2\right)
    &=2\langle X,\nabla X\rangle -2u\langle\nabla
      X,\zeta\rangle,\umbruch\\
    \left\langle\nabla u,\nabla\left(|X|^2-u^2\right)\right\rangle
    &=\zeta_\alpha X^\alpha_i g^{ij}
      \left(2X^\beta_j\delta_{\beta\gamma} X^\gamma -2u\zeta_\beta
      X^\beta_j\right)\umbruch\\
    &=2\zeta_\alpha X^\alpha_i g^{ij} X^\beta_j \delta_{\beta\gamma}
      X^\gamma -2u\zeta_\alpha X^\alpha_i g^{ij} X^\beta_j
      \zeta_\beta\umbruch\\
    &=2\zeta_\alpha\left(\delta^{\alpha\beta}
      -\nu^\alpha\nu^\beta\right) \delta_{\beta\gamma} X^\gamma
      -2u\zeta_\alpha \left(\delta^{\alpha\beta}
      -\nu^\alpha\nu^\beta\right) \zeta_\beta\umbruch\\
    &=2\langle\zeta,X\rangle
      -2\langle\zeta,\nu\rangle\langle\nu,X\rangle
      -2u\langle\zeta,\zeta\rangle
      +2u\langle\zeta,\nu\rangle^2\umbruch\\  
    &=2u +2\frac1v\langle\nu,X\rangle
      -2u\cdot1+2u\frac1{v^2}\umbruch\\
    &=2\frac1v\langle\nu,X\rangle +2u\frac1{v^2}.
  \end{align*}
  Die hier verwendete Beziehung \[X^\alpha_i g^{ij} X^\beta_j
    =\delta^{\alpha\beta} -\nu^\alpha\nu^\beta\] besagt, dass die
  linke Seite auf den Tangentialraum projiziert. Man \"uberpr\"uft sie
  direkt, indem man sie mit $\nu$ und den Tangentialvektoren $X_i$,
  $1\le i\le n$, testet. Das Skalarprodukt $\langle\nu,X\rangle$
  behandeln wir in graphischer Notation und erhalten
  \begin{align*}
    \langle\nu,X\rangle
    &=\left\langle \frac{(\nabla u,-1)}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}},
      (x,u)\right\rangle\umbruch\\
    &=\frac{\langle\nabla u,x\rangle}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}} -\frac
      uv\umbruch\\
    &\le\frac{|\nabla u|\cdot|x|}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}} -\frac
      uv\umbruch\\
    &\le 1-\frac uv,
  \end{align*}
  da $x\in B_1(0)$. Somit erhalten wir, nun wieder als Rechnung auf
  den Hyperfl\"achen $M_t$,
  \begin{align*}
    \left\langle\nabla u,\nabla\left(|X|^2-u^2\right)\right\rangle
    &\le2\frac1v -2\frac u{v^2}-2u\frac1{v^2}\umbruch\\
    &=\frac2v,\umbruch\\
    |\nabla u|^2
    &=|\nabla\langle\zeta,X\rangle|^2\umbruch\\
    &=\zeta_\alpha X^\alpha_i g^{ij} X^\beta_j \zeta_\beta\umbruch\\
    &=\zeta_\alpha \left(\delta^{\alpha\beta}
      -\nu^\alpha\nu^\beta\right) \zeta_\beta\umbruch\\
    &=\zeta_\alpha\delta^{\alpha\beta}\zeta_\beta
      -(\zeta_\alpha\nu^\alpha)^2\umbruch\\
    &=|\zeta|^2-\langle\zeta,\nu\rangle^2\umbruch\\
    &=1-\frac1{v^2}. 
  \end{align*}
  Setzen wir dies oben ein, so erhalten wir
  \[2n\ge\lambda\left(\frac1{4\beta^2}\left(1-\frac1{v^2}\right)
      -\frac1\beta\frac2v \right).\]
  Nun fixieren wir $\lambda=64 n\beta^2$. Dann ergibt sich im Maximum
  von $v\eta$
  \begin{align*}
    2n
    &\ge 64n\beta^2\left(\frac1{4\beta^2}\left(1-\frac1{v^2}\right)
      -\frac1\beta\frac2v\right),\umbruch\\
    1
    &\ge32\left(\frac14-\frac14\frac1{v^2}
      -\frac{2\beta}v\right)\umbruch\\
    &=8-8\frac1{v^2} -64\beta\frac1v,\umbruch\\
    0
    &\ge7v^2-64\beta v-8\umbruch\\
    &=7\left(\left(v-\frac{32}7\beta\right)^2
      -\left(\frac{32}7\right)^2\beta^2 -\frac87\right),\umbruch\\
    v-\frac{32}7\beta
    &\le\sqrt{\left(\frac{32}7\right)^2\beta^2+\frac87}
      \le\frac{32}7\beta+2,\umbruch\\
    v
    &\le2+10\beta.
  \end{align*}
  Daraus erhalten wir wegen $\phi\le1$
  \begin{align*}
    v\eta
    &\le\max\limits_{M_{t_0}}(v\eta)
      \le(2+10\beta)\sup\limits_{M_{t_0}}\eta\umbruch\\
    &\le(2+10\beta)e^\lambda =(2+10\beta)e^{64n\beta^2}.
  \end{align*}
  Auf $\{0\}\times\R$ gilt $|X|^2=u^2$. Dort schreiben wir laxerweise
  wieder $u(0,t_0)$ sowie $v(0,\cdot)$ und erhalten nochmals wegen
  $\phi\le1$ f\"ur $t\in[0,T]$, auch im Falle, dass $t_0=0$ war, 
  \begin{align}
    \label{allgemeingueltig t0}
    &\equad\left[e^{64n\beta^2\left(\frac1{2\beta}u(0,t)
      +1\right)_+}-1\right]v(0,t)\umbruch\\
    &\le\sup\limits_{M_0\cap(B_1(0)\times\R)} (\eta v) +(2+10\beta)
      e^{64n\beta^2}\nonumber\umbruch\\
    &\le e^\lambda\sup\limits_{M_0\cap(B_1(0)\times\R)} v +(2+10\beta)
      e^{64n\beta^2}\nonumber\umbruch\\
    &=e^{64n\beta^2} \left(\sup\limits_{B_1(0)} v(\cdot,0)
      +(2+10\beta)\right),\nonumber
  \end{align}
  wobei wir $v$ zuletzt wieder graphisch betrachtet haben. Wir setzen
  nun \[\beta:=\sup\limits_{t\in[0,T]}-u(0,t) =\sup\limits_{t\in[0,T]}
    |u(0,t)| \ge1,\] wobei $\beta\ge1$ nach Annahme $u\le-1$ gilt. Die
  Klammer auf der linken Seite unserer Absch\"atzung mit $v(0,t)$
  wollen wir weiter nach unten absch\"atzen. Daf\"ur reicht $u<0$
  nicht, wir benutzen auch $u\le-1$. Es gilt
  \begin{align*}
    &\equad \left(\frac1{2\beta} u(0,t)+1\right)_+\umbruch\\
    &\ge\left(\frac1{2\beta} \left(-\sup\limits_{t\in[0,T]}
      |u(0,t)|\right) +1\right)_+\umbruch\\
    &=\left(\frac1{2\beta}(-\beta) +1\right)_+
      =-\frac12+1=\frac12,\umbruch\\
    &\equad\left[e^{64n\beta^2\left(\frac1{2\beta}
      u(0,t)+1\right)_+}-1\right]\umbruch\\
    &\ge e^{64 n\beta^2\frac12} -1\umbruch\\
    &\ge e^{32}-1\ge1,
  \end{align*}
  wobei wir hier eine strikt positive untere Schranke f\"ur $\beta$
  benutzt haben. Wir erhalten damit
  \begin{align*}
    v(0,t)
    &\le e^{64n\beta^2} \left(\sup\limits_{B_1(0)} v(\cdot,0)
      +(2+10\beta)\right)\umbruch\\
    &= e^{64n\beta^2} \left(\sup\limits_{B_1(0)} v(\cdot,0)
      +(2+10\beta)\sup\limits_{B_1(0)} v(\cdot,0)\right)\umbruch\\
    &=e^{64n\beta^2} (3+10\beta) \sup\limits_{B_1(0)}
      v(\cdot,0)\umbruch\\
    &\le e^{64n\beta^2} \left(e^{10\beta^2}+e^{10\beta^2}\right)
      \sup\limits_{B_1(0)} v(\cdot,0)\umbruch\\
    &\le e^{64n\beta^2+10\beta^2}\cdot 2\cdot\sup\limits_{B_1(0)}
      v(\cdot,0)\umbruch\\
    &\le e^{64 n\beta^2+10\beta^2 +\beta^2} \cdot\sup\limits_{B_1(0)}
      v(\cdot,0)\umbruch\\
    &\equiv \exp\left(C(n)\left(\sup\limits_{t\in[0,T]}
      -u(0,t)\right)^2\right)\cdot\sup\limits_{B_1(0)} v(\cdot,0). 
  \end{align*}
  Wir erinnern uns, dass
  \[\sup\limits_{B_1(0)\times[0,T]} -u = -1\] gilt. Damit
  k\"onnen wir den Faktor in der Exponentialfunktion in die
  gew\"unschte Gestalt bringen. Wir erhalten
  \begin{align*}
    &\equad\left(\sup\limits_{t\in[0,T]} -u(0,t)\right)^2\umbruch\\
    &=\sup\limits_{t\in[0,T]} (-u(0,t))^2\umbruch\\
    &=\sup\limits_{t\in[0,T]} \left(1-1-u(0,t)\right)^2\umbruch\\
    &=\sup\limits_{t\in[0,T]}
      \left(1+\left(\sup\limits_{B_1(0)\times[0,T]} u\right)
      -u(0,t)\right)^2\umbruch\\
    &\equiv\sup\limits_{t\in[0,T]} (1+M-u(0,t))^2\umbruch\\
    &=\sup\limits_{t\in[0,T]} \left(1+2\cdot1(M-u(0,t))
      +(M-u(0,t))^2\right)\umbruch\\
    &\le\sup\limits_{t\in[0,T]}
      \left(2+2(M-u(0,t))^2\right)\umbruch\\
    &=2+2\sup\limits_{t\in[0,T]} (M-u(0,t))^2.
  \end{align*}
  Nach Anwenden der Exponentialfunktion erhalten wir gerade
  \[v(0,t) \le C_1(n) \sup\limits_{B_1(0)} v(\cdot,0) \cdot
    \exp\left(C_2(n)
      \sup\limits_{t\in[0,T]}
      \left(\left(\sup\limits_{B_1(0)\times[0,T]} 
          u \right)-u(0,t)\right)^2\right)\] 
  wie behauptet. 
\end{proof}

Den exponentiellen Anteil kann man mit Hilfe der Oszillation oder der
Supremumsnorm pr\"agnanter aufschreiben. Indem wir das Theorem auf
alle Mengen der Form $B_{R/2}(y)\times[0,T]$  f\"ur $y\in
B_{R/2}(x_0)$ gleichzeitig anwenden, erhalten wir zudem noch eine
lokale Absch\"atzung.
\begin{corollary}
  Sei
  $u\in C^\infty(B_R(z_0)\times(0,T)) \cap C^1(B_R(x_0)\times[0,T])$ 
  eine L\"osung des graphischen mittleren Kr\"ummungsflusses. Dann
  gibt es Konstanten $C_1=C_1(n)$ und $C_2=C_2(n)$, so
  dass
  \[\sup\limits_{B_{R/2}(z_0)\times[0,T]} v \le C_1\cdot
    \sup\limits_{B_R(z_0)} v(\cdot,0)\cdot \exp\left(
      C_2\cdot\frac1{R^2} \cdot \Vert
      u\Vert_{L^\infty(B_R(z_0)\times[0,T])}\right)\] gilt.
\end{corollary}

\Subsection{Kr\"ummungsschranken}
Zun\"achst leiten wir eine auch sp\"ater n\"utzliche
Evolutionsgleichung her. Hilfreich ist hier insbesondere der Term
$-2kg^2$.
\begin{lemma}
  Unter dem graphischen mittleren Kr\"ummungsfluss erf\"ullt
  \[g=|A|^2\frac{v^2}{1-kv^2} \equiv|A|^2\cdot\phi(v^2)\]
  die Evolutionsgleichung
  \[\left(\dt-\Delta\right) g \le -2kg^2 -\frac{2k}{(1-kv^2)^2}
    |\nabla v|^2 g -2\phi v^{-3} \langle\nabla v,\nabla g\rangle,\]
  falls $k>0$ so klein gew\"ahlt ist, dass $1-kv^2>0$ gilt. 
\end{lemma}
\begin{proof}
  Wir rechnen zun\"achst mit einer allgemeinen Funktion $\phi>0$. Es
  gilt
  \begin{align*}
    \dot g
    &=\left(\dt|A|^2\right)\phi +|A|^2\phi'2v\dot v,\umbruch\\
    g_i
    &=|A|^2_{;i}\phi +|A|^2\phi'2vv_i,\umbruch\\
    g_{ij}
    &=|A|^2_{;ij}\phi +|A|^2\phi'2vv_{ij}\\
    &\equad +|A|^2_{;i}\phi'2vv_j +|A|^2_{;j}\phi'2vv_i\\
    &\equad +|A|^2\phi''4v^2v_iv_j +|A|^2\phi'2v_iv_j,\umbruch\\
    \left(\dt-\Delta\right) g
    &=\left(\left(\dt-\Delta\right)|A|^2\right)\phi +2|A|^2\phi'v
      \left(\dt-\Delta\right)v\\
    &\equad -2\phi'v\left\langle\nabla|A|^2,\nabla v\right\rangle
      -2\phi'v\left\langle\nabla|A|^2,\nabla v\right\rangle\\
    &\equad -|A|^2\left(2\phi''v^2+\phi'\right)|\nabla v|^2\umbruch\\
    &\le \left(2|A|^4-2|\nabla A|^2\right)\phi +2|A|^2\phi'v
      \left(-v|A|^2 -\frac2v|\nabla v|^2\right)\\
    &\equad -2\phi'v\left\langle
      \nabla\left(|A|^2\phi\frac1{\phi}\right), \nabla v\right\rangle
      +4\phi'v|A|\cdot|\nabla A|\cdot|\nabla v|\\
    &\equad -|A|^2\left(2\phi''v^2+\phi'\right)|\nabla v|^2\umbruch\\
    &\le 2|A|^4\left(\phi-\phi'v^2\right) -2|\nabla A|^2\phi\\
    &\equad -2\frac{\phi'}{\phi}v\langle\nabla g,\nabla v\rangle
      +2\frac{\phi'^2}{\phi^2}v|A|^2\phi2v|\nabla v|^2\\
    &\equad +2|\nabla A|^2\phi +2\frac{\phi'^2}{\phi}v^2|A|^2|\nabla
      v|^2\\
    &\equad -2|A|^2\left(2\phi''v^2 +\phi'+2\phi'\right)|\nabla
      v|^2\umbruch\\
    &=2|A|^4\left(\phi-\phi'v\right)
      -2\frac{\phi'}{\phi}v\langle\nabla g,\nabla v\rangle\\
    &\equad -2|A|^2\left(2\phi''v^2
      +3\phi'-3\frac{\phi'^2}{\phi}v^2\right)|\nabla v|^2.
  \end{align*}
  Kombinationen von Ausdr\"ucken mit $\phi$ betrachten wir separat und
  erhalten f\"ur unsere spezielle Funktion $\phi$ mit $x=v^2$
  \begin{align*}
    \phi(x)
    &=\frac{x}{1-kx},\umbruch\\
    \phi'(x)
    &=\frac1{1-kx} +\frac{kx}{(1-kx)^2} =\frac1{(1-kx)^2},\umbruch\\
    \phi''(x)
    &=2\frac{k}{(1-kx)^3},\umbruch\\
    \phi-\phi'x
    &=\frac x{1-kx} -\frac x{(1-kx)^2} =-\frac{kx^2}{(1-kx)^2}
      =-k\phi^2,\umbruch\\
    \frac{\phi'}{\phi}
    &=\frac1x \frac1{1-kx} =\frac1{x^2}\phi
      =\frac1{v^4}\phi,\umbruch\\
    2\phi''x+3\phi'-3\frac{\phi'^2}{\phi}x
    &=4\frac{kx}{(1-kx)^3} +3\frac1{(1-kx)^2}
      -3\frac1{(1-kx)^3}\umbruch\\
    &=\frac{4kx+3-3kx-3}{(1-kx)^3} =\frac{kx}{(1-kx)^3}
      =\frac{k}{(1-kv^2)^2}\phi. 
  \end{align*}
  Somit ergibt sich
  \begin{align*}
    \left(\dt-\Delta\right)g
    &\le-2k|A|^4\phi^2 -2\phi\frac1{v^3}\langle\nabla g,\nabla
      v\rangle -2\frac{k}{(1-kv^2)^2}\phi|A|^2|\nabla v|^2\umbruch\\
    &=-2kg^2 -\frac{2k}{(1-kv^2)^2}|\nabla v|^2g
      -2\phi\frac1{v^3}\langle\nabla g,\nabla v\rangle
  \end{align*}
  wie behauptet. 
\end{proof}

F\"ur unsere Abschneidefunktion erhalten wir
\begin{lemma}
  Unter dem (graphischen) mittleren Kr\"ummungsfluss erf\"ullt
  \[\eta=\left(R^2-r\right)^2\]
  mit
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $r=|X|^2+2nt$ und
  \item $r=|X|^2-u^2$    
  \end{enumerate}
  in der Menge mit $r\le R^2$ und $t\ge0$ die Absch\"atzung
  \[\left(\dt-\Delta\right)\eta
    \le 2c(n)R^2 -2|\nabla r|^2.\] 
\end{lemma}
\begin{proof}
  Im Beweis wollen wir nicht die genaue Gestalt von $r=r(X,t)\ge0$
  benutzen, sondern nur, dass die folgenden beiden Absch\"atzungen
  gelten:
  \[\left|\left(\dt-\Delta\right)r\right| \le C(n)
    \quad\text{und}\quad  |\nabla r|^2\le C(n)r.\]
  Dazu rechnen wir diese Absch\"atzung f\"ur die beiden betrachteten
  Funktionen zun\"achst separat nach.
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei zun\"achst $r=|X|^2+2nt$. Wie bei den
    Gradientenabsch\"atzungen nutzen wir
    $X^\alpha_ig^{ij} X^\beta_j
    =\delta^{\alpha\beta}-\nu^\alpha\nu^\beta$ und erhalten
    \begin{align*}
      \left|\left(\dt-\Delta\right) r\right|
      &=\left|2\left\langle X,\dot X\right\rangle +2n -2\langle X,\Delta
        X\rangle -2|\nabla X|^2\right|\umbruch\\
      &\le 2n+2|\nabla X|^2\umbruch\\
      &=2n +2X^\alpha_ig^{ij}X^\beta_j\delta_{\alpha\beta}\umbruch\\
      &=2n +2\left(\delta^{\alpha\beta}-\nu^\alpha\nu^\beta\right)
        \delta_{\alpha\beta}\umbruch\\
      &=2n +2(n+1)-2|\nu|^2 =4n.
    \end{align*}
    Wir nutzen diese Identit\"at nochmals und erhalten
    \begin{align*}
      |\nabla r|^2
      &=4\langle X,X_i\rangle g^{ij}\langle X_j,X\rangle\umbruch\\
      &=4X^\alpha\delta_{\alpha\beta}X^\beta_ig^{ij}X^\gamma_j
        \delta_{\gamma\epsilon} X^\epsilon\umbruch\\
      &=4X^\alpha\delta_{\alpha\beta}
        \left(\delta^{\beta\gamma}-\nu^\beta\nu^\gamma\right)
        \delta_{\gamma\epsilon} X^\epsilon\umbruch\\
      &=4|X|^2 -4\langle X,\nu\rangle^2\umbruch\\
      &\le 4r 
    \end{align*}
    wie behauptet.
  \item Sei nun $r=|X|^2-u^2\equiv|X|^2-\langle X,\zeta\rangle^2$ mit
    $\zeta=e_{n+1}$. Dann erhalten wir
    \begin{align*}
      \left(\dt-\Delta\right)r
      &=2\left\langle X,\dot X-\Delta X\right\rangle -2|\nabla X|^2
        -2u\left\langle \zeta,\dot X-\Delta X\right\rangle +2|\nabla
        u|^2\umbruch\\
      &=0-2X^\alpha_i g^{ij} X^\beta_j \delta_{\alpha\beta}
        -0 +2\zeta_\alpha X^\alpha_i g^{ij} X^\beta_j 
        \zeta_\beta\umbruch\\
      &=-2(n+1-1) +2\left(1-\langle\zeta,\nu\rangle^2\right)
    \end{align*}
    und somit die erste Ungleichung, auch mit Betr\"agen. Weiterhin
    gilt
    \begin{align*}
      |\nabla r|^2
      &=\left(2X_\alpha X^\alpha_i -2u\zeta_\alpha
        X^\alpha_i\right)g^{ij} \left(2X_\beta X^\beta_j
        -2u\zeta_\beta X^\beta_j\right)\umbruch\\
      &=4(X_\alpha-u\zeta_\alpha)
        \left(\delta^{\alpha\beta}-\nu^\alpha\nu^\beta\right)
        (X_\beta-u\zeta_\beta)\umbruch\\
      &=4|X|^2-8u\langle X,\zeta\rangle +4u^2 -4\langle X,\nu\rangle^2
        +8u\langle X,\nu\rangle\langle\nu,\zeta\rangle
        -4u^2\langle\zeta,\nu\rangle^2\umbruch\\
      &=4\left(|X|^2-u^2\right) -4\left(\langle
        X,\nu\rangle-u\langle\nu,\zeta\rangle\right)^2\umbruch\\
      &\le 4r
    \end{align*}
    wie behauptet. 
  \item Nun erhalten wir in einer direkten Rechnung
    \begin{align*}
      \eta
      &=\left(R^2-r\right)^2,\umbruch\\
      \dot\eta
      &=-2\left(R^2-r\right)\dot r,\umbruch\\
      \eta_i
      &=-2\left(R^2-r\right)r_i,\umbruch\\
      \eta_{ij}
      &=-2\left(R^2-r\right)r_{ij}+2r_ir_j,\umbruch\\
      \left(\dt-\Delta\right)\eta
      &=-2\left(R^2-r\right)(\dot r-\Delta r)-2|\nabla r|^2\umbruch\\
      &\le2C(n)R^2-2|\nabla r|^2
    \end{align*}
    wie behauptet. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{lemma}
  Unter dem graphischen mittleren Kr\"ummungsfluss erf\"ullt $g\eta$
  in Punkten mit $\eta>0$ die Ungleichung
  \[\left(\dt-\Delta\right)(g\eta) \le -2kg^2\eta -2\left\langle\phi
      v^{-3}\nabla v+\eta^{-1}\nabla\eta, \nabla(g\eta)\right\rangle
      +C(n)\left(\left(1+\frac1{kv^2}\right)r +R^2\right)g.\]
\end{lemma}
\begin{proof}
  Unter Ber\"ucksichtigung der bereits hergeleiteten Absch\"atzungen
  f\"ur $g$ und $\eta$ erhalten wir
  \begin{align*}
    \left(\dt-\Delta\right)(g\eta)
    &=\eta\left(\dt-\Delta\right)g +g\left(\dt-\Delta\right)\eta
      -2\langle\nabla g,\nabla\eta\rangle\umbruch\\
    &\le -2kg^2\eta -\frac{2k}{(1-kv^2)^2}|\nabla v|^2g\eta -2\phi
      v^{-3}\langle\nabla v,\nabla g\rangle\eta\\
    &\equad +g\left(2c(n)R^2-2|\nabla r|^2\right) -2\langle\nabla
      g,\nabla\eta\rangle. 
  \end{align*}
  Die Terme mit $\nabla g$ betrachten wir genauer. Es gelten
  \begin{align*}
    -2\phi v^{-3}\langle\nabla v,\nabla g\rangle \eta
    &=-2\phi v^{-3}\left\langle\nabla
      v,\nabla\left(g\eta\frac1{\eta}\right)\right\rangle\eta\umbruch\\
    &=-2\phi v^{-3}\langle\nabla v,\nabla(g\eta)\rangle +2\phi
      v^{-3}\langle\nabla v,\nabla\eta\rangle
      g\eta\frac1{\eta^2}\eta\umbruch\\
    &=-2\phi v^{-3}\langle\nabla v,\nabla(g\eta)\rangle -4\phi
      v^{-3}(R^2-r)\langle\nabla v,\nabla r\rangle g\umbruch\\
    &\le-2\phi v^{-3}\langle\nabla g,\nabla(g\eta)\rangle
      +\frac{2k}{(1-kv^2)^2} |\nabla v|^2g\eta\\
    &\equad
      +2\phi^2v^{-6}\frac{(1-kv^2)^2}{k} g|\nabla r|^2\umbruch\\
    &=-2\phi v^{-3}\langle\nabla v,\nabla(g\eta)\rangle
      +\frac{2k}{(1-kv^2)^2} |\nabla v|^2g\eta +\frac2{kv^2}g|\nabla
      r|^2
      \intertext{und}
      -2\langle\nabla g,\nabla\eta\rangle
    &=-2\left\langle\nabla\left(g\eta\frac1{\eta}\right),
      \nabla\eta\right\rangle\umbruch\\
    &=-2\frac1{\eta}\langle\nabla(g\eta),\nabla\eta\rangle
      +2g\eta\frac1{\eta^2} |\nabla\eta|^2\umbruch\\
    &=-2\frac1\eta\langle\nabla(g\eta),\nabla\eta\rangle +2g\frac1\eta
      4\left(R^2-r\right)^2 |\nabla r|^2\umbruch\\
    &=-2\frac1\eta\langle\nabla(g\eta),\nabla\eta\rangle +8g|\nabla
      r|^2. 
  \end{align*}
  Nun ber\"ucksichtigen wir, dass $|\nabla r|^2\le C(n)\cdot r$
  gilt. Setzen wir nun unsere beiden Absch\"atzungen f\"ur die Terme
  mit $\nabla g$ in die Evolutionsgleichung von $g\eta$ ein, so sehen
  wir, dass sich die Terme mit $|\nabla v|^2$ gerade gegenseitig
  aufheben und die behauptete Ungleichung folgt.
\end{proof}

Wir bekommen hieraus a priori $|A|^2$-Schranken f\"ur den Fall, dass
$|A|^2$ anfangs beschr\"ankt oder nicht notwendigerweise beschr\"ankt
ist.
\begin{theorem}
  \label{A2 est thm 1}
  Sei
  $u\in C^\infty(B_R(z_0)\times(0,T)) \cap C^2(B_R(z_0)\times [0,T])$
  eine L\"osung des graphischen mittleren Kr\"ummungsflusses. Sei
  $0\le\theta<1$. Dann gilt f\"ur beliebige $(p,t)$ mit $t\in[0,T]$
  und $r(X(p,t),t)\le\theta R^2$ die Absch\"atzung
  \[|A|^2(p,t) \le C(n)\frac1{(1-\theta)^2}
    \left[\sup\limits_{r(X,0)\le R^2}
      \left(|A|^2v^2\right)+ \frac1{R^2}
      \sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r(X,s)\le R^2}{s\in[0,t]}}
      v^4\right].\] 
\end{theorem}
\begin{proof}
  Sei ohne Einschr\"ankung $z_0=0$.  Wir
  fixieren
  \[k:=\frac12\inf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r(X,s)\le
        R^2}{s\in[0,t]}} v^{-2}\] und erhalten damit
  \begin{align*}
    k
    &=\frac12\inf\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r(X,s)\le
      R^2}{s\in[0,t]}} v^{-2} \le\frac12 
      v^{-2}\le\frac12,\umbruch\\
    \frac1k
    &=2 \sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r(X,s)\le
      R^2}{s\in[0,t]}}v^2,\umbruch\\ 
    kv^2
    &\le\frac12,\umbruch\\
    \frac12
    &\le1-kv^2\le 1,\umbruch\\
    v^2
    &\le \frac{v^2}{1-kv^2}\le 2v^2,
  \end{align*}
  was wir sp\"ater nutzen werden. \par  
  Nehme die Funktion $g\eta$ mit $\eta(X,t)=\left(R^2-r\right)^2$ mit
  $r$ wie oben ihr Maximum erstmalig in einem Punkt $(x_0,t_0)$ mit
  $t_0>0$ an. (Wir d\"urfen ohne Einschr\"ankung annehmen, dass
  $g\eta=0$ am Rand der Menge $\{\eta>0\}$ stetig angenommen wird;
  sonst approximieren wir mit Radien $R_i<R$.) Dann gilt dort
  aufgrund der Evolutionsgleichung von $g\eta$
  \[0\le-2kg^2\eta +C(n)\left(\left(1+\frac1{kv^2}\right)r
      +R^2\right)g.\] Wir bringen den Term $2kg^2\eta$ nach links und
  dividieren durch $g=|A|^2\frac{v^2}{1-kv^2}$ (denn wir d\"urfen ohne
  Einschr\"ankung $g>0$ annehmen) sowie $2k$ und erhalten
  \begin{align*}
    g\eta
    &\le\frac1{2k}C(n)\left(\left(1+\frac1{kv^2}\right)r
      +R^2\right)\umbruch\\ 
    &\le\frac1{2k}C(n)\left(1+\frac1{kv^2}\right)R^2\umbruch\\
    &\le C(n)\frac1{k^2}R^2\umbruch\\
    &= C(n)R^2\cdot\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r(X,s)\le
      R^2}{s\in[0,t]}}v^4.  
  \end{align*}
  Somit gilt in einem beliebigen Punkt, wobei wir bei
  $\sup\limits_{t=0}$ stillschweigend auch annehmen wollen, dass wir
  uns auf $B_R(z_0)$ bzw.{} die Menge, auf der $\eta(\cdot,0)>0$ gilt,
  beschr\"anken, und den Term $(g\eta)(x_0,t_0)$ wohlwollend lesen,
  weil er nur wohldefiniert ist, wenn das Maximum f\"ur $t_0>0$
  angenommen wird,
  \begin{align*}
    g\eta
    &\le\sup\limits_{t=0} (g\eta) +(g\eta)(x_0,t_0)\umbruch\\
    &\le2R^4\sup\limits_{t=0} \left(|A|^2v^2\right)
      +C(n)R^2\cdot\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r(X,s)\le
      R^2}{s\in[0,t]}} v^4.  
  \end{align*}
  Andererseits sch\"atzen wir nun die linke Seite auf der Menge
  $\{X\colon r(X,t)\le\theta R^2\}$ nach unten ab. Es gilt dort
  \begin{align*}
    g\eta
    &\ge |A|^2\cdot 1\cdot\left(R^2-\theta R^2\right)^2\umbruch\\
    &=|A|^2(1-\theta)^2R^4. 
  \end{align*}
  Durch Umordnen erhalten wir die behauptete Ungleichung.   
\end{proof}

\begin{theorem}
  \label{A2 est thm 2}
  Sei $u\in C^\infty(B_R(z_0)\times(0,T)) \cap C^1(B_R(z_0)\times
  [0,T])$ eine L\"osung des graphischen mittleren
  Kr\"ummungsflusses. Sei $0\le\theta<1$. Dann gilt f\"ur beliebige
  $t\in[0,T]$ und $(p,t)$ mit $r(X(p,t),t)\le\theta R^2$ die Absch\"atzung
  \[|A|^2(p,t) \le C(n)\frac1{(1-\theta)^2} \left(\frac1t
      +\frac1{R^2}\right) \sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r(X,s)\le
        R^2}{s\in[0,t]}} v^4.\] 
\end{theorem}
\begin{proof}
  Sei wieder ohne Einschr\"ankung $z_0=0$. Weiterhin nehmen wir ohne
  Einschr\"ankung an, dass die Zeit $t$, f\"ur die wir eine
  Absch\"atzung zeigen wollen, $t=T$ erf\"ullt.\par Wir betrachten die
  Gr\"o\ss{}e $tg\eta$. Indem wir erst bei $t=\epsilon$ starten und
  etwas kleinere $R$ betrachten und approximieren, d\"urfen wir ohne
  Einschr\"ankung annehmen, dass die L\"osung des graphischen
  mittleren Kr\"ummungsflusses so regul\"ar ist, dass $tg\eta$ mit $t$
  und $\eta$ stetig gegen Null geht.\par
  Es gilt die Ungleichung
  \begin{align*}
    \left(\dt-\Delta\right)(tg\eta)
    &\le -2kg^2\eta t-2\left\langle\phi
      v^{-3}\nabla v+\eta^{-1}\nabla\eta,
      \nabla(tg\eta)\right\rangle\\
    &\equad +C(n)R^2\cdot\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r(X,s)\le
      R^2}{s\in[0,t]}}v^2\cdot tg
      +g\eta.
  \end{align*}
  In einem (positiven) Maximum $(x_0,t_0)$ von $tg\eta$ folgt
  \begin{align*}
    2kg^2\eta t
    &\le C(n)R^2tg\cdot\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r(X,s)\le
      R^2}{s\in[0,t]}}v^2 +g\eta,\umbruch\\
    (g\eta t)(x_0,t_0)
    &\le \left(C(n) R^2 t_0\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r(X,s)\le
      R^2}{s\in[0,t]}} v^2+R^4\right)\frac1k\umbruch\\
    &\le C(n) \left(R^2
      T+R^4\right)\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r(X,s)\le
      R^2}{s\in[0,t]}}v^4,\umbruch\\
    (g\eta t)(x_0,t_0)
    &\ge (g\eta t)(\cdot,T)
      \ge |A|^2 v^2 (1-\theta)^2R^4 T\umbruch\\
    &\ge|A|^2\cdot1\cdot(1-\theta)^2R^4T
  \end{align*}
  mit einer \"ahnlichen Argumentation wie im Beweis von Theorem
  \ref{A2 est thm 1}.  Umordnen liefert nun auch hier die Behauptung.
\end{proof}

Durch die Wahl spezieller Funktionen $r$ erhalten wir 
\begin{corollary}
  \label{r speziell cor}
  F\"ur (hinreichend regul\"are) L\"osungen des graphischen mittleren
  Kr\"ummungsflusses auf $B_R(\hat z_0)\times(0,T)$ gelten
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item f\"ur $(p,t)$ mit $|X(p,t)|^2+2nt\le\theta R^2$ 
    \[|A|^2(p,t) \le C(n)\frac1{(1-\theta)^2}
    \left[\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{|X(p,0)|^2\le R^2}{t=0}}
      \left(|A|^2v^2\right)+ \frac1{R^2}
      \sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{} {|X(p,s)|^2+2ns\le
          R^2}{s\in[0,t]}} v^4(p,s)\right],\] 
  \item f\"ur $(p,t)$ mit $|X(p,t)|^2-u^2\le\theta R^2$
    \[|A|^2(p,t) \le C(n)\frac1{(1-\theta)^2}
    \left[\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{B_R(z_0)}{t=0}}
      \left(|A|^2v^2\right)+ \frac1{R^2}
      \sup\limits_{B_R\times[0,t]} v^4\right],\] 
  \item f\"ur $(p,t)$ mit $|X(p,t)|^2+2nt\le\theta R^2$ 
    \[|A|^2(p,t) \le C(n)(1-\theta)^{-2}\cdot\frac1t
      \sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{|X(p,s)|^2+2ns\le
          R^2}{s\in[0,t]}} v^4(p,s)\]
  \item\label{r speziell cor iv} und f\"ur $(p,t)$ mit
    $|X(p,t)|^2\le\theta R^2$
    \[|A|^2(p,t) \le
      C(n)(1-\theta)^{-2}\left(\frac1t+\frac1{R^2}\right) 
      \sup\limits_{B_R\times[0,t]} v^4.\]
  \end{enumerate}

\end{corollary}
\begin{proof}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Wir nutzen Theorem \ref{A2 est thm 1} sowie $r=|X|^2+2nt$.
  \item Hier nutzen wir neben Theorem \ref{A2 est thm 1} die Funktion
    $r=|X|^2-u^2$. 
  \item Wir nutzen erneut Theorem \ref{A2 est thm 2} sowie
    $r=|X|^2+2nt$ und d\"urfen wegen $t\le \frac{R^2}{2n}$ den Term
    $\frac1{R^2}$ auf der rechten Seite der Absch\"atzung weglassen.
  \item Hier nutzen wir neben Theorem \ref{A2 est thm 2} wieder die
    Funktion $r=|X|^2-u^2$.  \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $v$ global beschr\"ankt, so erhalten wir
    aus Korollar \ref{r speziell cor} \eqref{r speziell cor iv}
    mit $R\to\infty$
    f\"ur ganze Graphen, die die graphischen mittleren
    Kr\"ummungsfluss l\"osen
    \[|A|^2\le \frac{C(n)}t \cdot \sup\limits_{\R^n\times[0,\infty)}
      v^4.\]
  \item Aus H\"ohenschranken und Gradientenschranken zur Zeit $t=0$
    kann man zun\"achst Gradientenschranken f\"ur positive Zeiten und
    danach $|A|^2$-Schranken folgern.
  \item Die Absch\"atzungen gelten auch f\"ur Minimalfl\"achen, also
    $H\equiv 0$. 
  \end{enumerate}
\end{remark}

F\"ur $C^3$-Anfangsdaten erhalten wir $C^3$-Schranken auch f\"ur
positive Zeiten. Wiederum leiten wir zun\"achst eine
Evolutionsgleichung f\"ur eine Gr\"o\ss{}e mit $|\nabla A|$ her,
lokalisieren dies dann mit $\eta$ im Raum und gegebenenfalls in der
Zeit und w\"ahlen dann spezielle Funktionen $\eta$.
\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die nachfolgenden \"Uberlegungen benutzen nun nicht mehr, dass
    der mittlere Kr\"ummungsfluss graphisch ist und gelten daher auch
    allgemeiner.
  \item Wir erinnern an die Evolutionsgleichungen
    \begin{align*}
      \left(\dt-\Delta\right)|A|^2
      &=2|A|^4 -2|\nabla A|^2\umbruch
        \intertext{und}
        \left(\dt-\Delta\right)|\nabla^m A|^2
      &\le-2\left|\nabla^{m+1}A\right|^2
        +C_m\cdot\left(1+\left|\nabla^mA\right|^2\right), 
    \end{align*}
    mit $C_m=C_m\left(|A|^2,\ldots,|\nabla^{m-1}A|^2\right)$, wobei
    die Konstanten genaugenommen nur von oberen Schranken von $|A|^2$,
    \ldots{} abh\"angen.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\begin{lemma}
  Unter dem mittleren Kr\"ummungsfluss erf\"ullt
  \[f = |\nabla A|^2\left(\Lambda_0 +|A|^2\right)\]
  die Ungleichung
  \[\left(\dt -\Delta\right) f\le -\delta f^2 + K,\]
  wobei $\Lambda_0$ und $K$ hinreichend gro\ss{} gew\"ahlte und
  $\delta$ eine hinreichend klein gew\"ahlte positive Konstante
  ist. Dabei h\"angen diese drei Konstanten lediglich von $n$ und
  einer oberen Schranke an $|A|^2$ ab.
\end{lemma}
\begin{proof}
  Direkte Rechnungen liefern
  \begin{align*}
    f
    &=|\nabla A|^2\left(\Lambda_0+|A|^2\right),\umbruch\\
    \dot f
    &=\dt|\nabla A|^2\cdot\left(\Lambda_0+|A|^2\right)
      +|\nabla A|^2\dt|A|^2,\umbruch\\
    f_i
    &=\left(|\nabla A|^2\right)_i\left(\Lambda_0+|A|^2\right)
      +|A|^2\left(|A|^2\right)_i,\umbruch\\
    f_{ij}
    &=\left(|\nabla A|^2\right)_{ij}\left(\Lambda_0+|A|^2\right)
      +|\nabla A|^2\left(|A|^2\right)_{ij}\\
    &\equad +\left(|\nabla A|^2\right)_i\left(|A|^2\right)_j
      +\left(|\nabla A|^2\right)_j\left(|A|^2\right)_i,\umbruch\\
    \left(\dt-\Delta\right)f
    &=\left(\dt-\Delta\right)|\nabla A|^2\cdot
      \left(\Lambda_0+|A|^2\right)
      +|\nabla A|^2\left(\dt-\Delta\right)|A|^2\umbruch\\
    &\equad -2\left\langle\nabla |\nabla A|^2,
      \nabla |A|^2 \right\rangle\umbruch\\
    &\le -2\left|\nabla^2 A\right|^2\left(\Lambda_0+|A|^2\right)
      +C_1\left(1+|\nabla A|^2\right)
      \left(\Lambda_0 +|A|^2\right)\umbruch\\
    &\equad +2|A|^4\cdot|\nabla A|^2 -2|\nabla A|^4
      +8|A|\cdot|\nabla A|^2\cdot\left|\nabla^2A\right|.
  \end{align*}
  F\"ur den letzten Term nutzen wir die Absch\"atzung
  \[8|A|\cdot |\nabla A|^2 \cdot\left|\nabla^2A\right| \le
    2\left|\nabla^2A\right|^2\left(\Lambda_0+|A|^2\right)
    +\frac{8|A|^2}{\Lambda_0+|A|^2} |\nabla A|^4.\] Wegen
  $|A|^2\le c_0$ und der Monotonie der Funktion
  $x\mapsto \frac{x}{\Lambda_0+x}$ erhalten wir damit
  \[\left(\dt-\Delta\right) f\le\frac{8c_0}{\Lambda_0+c_0} |\nabla A|^4
    +C_1\left(1+|\nabla A|^2\right) (\Lambda_0+c_0) +2c_0^2|\nabla
    A|^2 -2|\nabla A|^4.\] Nun fixieren wir
  $\Lambda_0=\Lambda_0(c_0)\ge1$ gro\ss{}, so dass wir den ersten Term
  mittels $|\nabla A|^4$ absorbieren k\"onnen. Auch die
  $|\nabla A|^2$-Terme k\"onnen wir mit einer Konstanten und diesem
  Term absorbieren. Daher folgt
  \begin{align*}
    \left(\dt-\Delta\right) f
    &\le-|\nabla A|^4 +K(c_0,C_1,\Lambda_0)\umbruch\\
    &=-\frac{f^2}{\left(\Lambda_0+|A|^2\right)^2} +K\umbruch\\
    &\le -\frac{f^2}{(\Lambda_0+c_0)^2} +K\umbruch\\
    &\equiv -\delta\cdot f^2+K
  \end{align*}
  wie behauptet. 
\end{proof}

\begin{lemma}
  Unter dem mittleren Kr\"ummungsfluss erf\"ullt $f\eta$ in Punkten
  mit $\eta>0$ die Ungleichung
  \[\left(\dt-\Delta\right)(f\eta)
    \le -\delta\eta f^2 +\eta K -2\frac1\eta
    \langle\nabla(f\eta),\nabla\eta\rangle +C(n) fR^2,\] wobei
  $\delta$ und $K$ Konstanten sind, die nur von $n$ und einer oberen
  Schranke an $|A|^2$ abh\"angen.
\end{lemma}
\begin{proof}
  Die \"ubliche Rechnung liefert
  \begin{align*}
    \left(\dt-\Delta\right)(f\eta)
    &=\eta\left(\dt-\Delta\right) f +f\left(\dt-\Delta\right)\eta
      -2\langle\nabla f,\nabla\eta\rangle\umbruch\\
    &\le-\delta\eta f^2 +\eta K -2\langle\nabla f,\nabla \eta\rangle
      +f\left(2c(n)R^2-2|\nabla r|^2\right).    
  \end{align*}
  F\"ur den Gradiententerm erhalten wir
  \begin{align*}
    -2\langle\nabla f,\nabla\eta\rangle
    &=-2\left\langle\nabla\left(f\eta\frac1{\eta}\right),
      \nabla \eta\right\rangle\umbruch\\
    &=-2\frac1{\eta}\langle\nabla(f\eta),\nabla\eta\rangle
      +2\frac1{\eta} f|\nabla\eta|^2\umbruch\\
    &=-2\frac1{\eta}\langle\nabla(f\eta),\nabla\eta\rangle
      +8f|\nabla r|^2\umbruch\\
    &\le-2\frac1{\eta}\langle\nabla(f\eta),\nabla\eta\rangle
      +C(n)fr\umbruch\\
    &\le-2\frac1{\eta}\langle\nabla(f\eta),\nabla\eta\rangle
      +C(n)fR^2.
  \end{align*}
  Hieraus folgt die Behauptung. 
\end{proof}


\begin{theorem}
  Sei
  $u\in C^\infty(B_R(z_0)\times(0,T)) \cap C^3(B_R(z_0)\times[0,T])$
  eine L\"osung des graphischen mittleren Kr\"ummungsflusses. Sei
  $0\le\theta<1$. Dann gilt f\"ur beliebige $t\in[0,T]$ und $(p,t)$
  mit $r(X(p,t),t)\le \theta R^2$ die Absch\"atzung
  \[|\nabla A|^2 \le\frac{C(n)}{(1-\theta)^2}
    \left(\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{r(X,0)\le R^2}{t=0}}
      |\nabla A|^2 + 1+\frac1{R^2}\right),\]
  wobei $C$ nur von $n$ und einer oberen Schranke an $|A|$ abh\"angt. 
\end{theorem}
\begin{proof}
  Wir betrachten die bereits oben definierte Testfunktion $f\eta$. Ist
  ihr Maximum Null, so sind wir fertig. Sonst unterscheiden wir zwei
  F\"alle: Das Maximum wird in einem Punkt $(x_0,t_0)$ mit $t_0>0$
  angenommen. Dann gilt dort aufgrund der Evolutionsgleichung von
  $f\eta$
  \begin{align*}
    \delta\eta^2f^2
    &\le\eta^2 K +C(n)\eta fR^2\umbruch\\
    &\le\eta^2 K +\frac\delta2\eta^2f^2
      +\frac1{\delta}C(n)R^4,\umbruch\\
    \delta\eta^2f^2
    &\le C(n,K,\delta) \left(R^4+R^8\right).
  \end{align*}
  Wohlwollend gelesen, da $(x_0,t_0)$ im Falle, dass das Maximum f\"ur
  $t=0$ angenommen wird, gar nicht definiert ist, erhalten wir somit
  \begin{align*}
    f\eta
    &\le\sup\limits_{t=0}(f\eta) +(f\eta)(x_0,t_0)\umbruch\\
    &\le C\cdot R^4\cdot\sup\limits_{t=0}|\nabla A|^2
      +C\left(R^2+R^4\right).       
  \end{align*}
  Diese obere Schranke an $f\eta$ gilt \"uberall. Insbesondere
  erhalten wir also in Punkten mit $r\le\theta R^2$ wegen
  $\Lambda_0\ge1$
  \begin{align*}
    f\eta
    &=|\nabla A|^2\left(\Lambda_0+|A|^2\right)
      \left(R^2-r\right)^2\umbruch\\
    &\ge |\nabla A|^2\cdot 1\cdot (1-\theta)^2R^4.
  \end{align*}
  Zusammengenommen ergibt sich die Behauptung. 
\end{proof}

\begin{theorem}
  Sei
  $u\in C^\infty(B_R(z_0)\times(0,T)) \cap C^2(B_R(z_0)\times[0,T])$
  eine L\"osung des graphischen mittleren Kr\"ummungsflusses. Sei
  $0\le\theta<1$. Dann gilt f\"ur beliebige $t\in[0,T]$ und $(p,t)$
  mit $r(X(p,t),t)\le \theta R^2$ die Absch\"atzung
  \[|\nabla A|^2 \le C\cdot\frac1{(1-\theta)^2}
    \left(1+\frac1t+\frac1{R^2}\right),\]
  wobei $C$ nur von $n$ und einer oberen Schranke an $|A|$ abh\"angt. 
\end{theorem}
\begin{proof}
  Aus der Evolutionsgleichung f\"ur $f\eta$ erhalten wir auch die
  Evolutionsgleichung f\"ur $tf\eta$ mit einem Zusatzterm am Ende. Es
  gilt
  \[\left(\dt-\Delta\right) (tf\eta) \le -\delta \eta f^2 t +\eta K t
    -2\frac1{\eta}\langle\nabla(tf\eta),\nabla\eta\rangle +C(n) ftR^2
    +f\eta.\] Mit den \"ublichen Tricks d\"urfen wir wieder ohne
  Einschr\"ankung annehmen, dass $tf\eta$ ein Maximum in einem Punkt
  $(x_0,t_0)$ mit $t_0>0$ und $\eta>0$ annimmt. Dann gilt dort
  \begin{align*}
    \delta\eta f^2 t
    &\le \eta Kt +CftR^2+f\eta
      \intertext{und nach Multiplikation mit $t\eta$}
      \delta(\eta ft)^2
    &\le K\eta^2t^2 +C(\eta ft) tR^2 +(ft\eta)\eta\umbruch\\
    &\le CR^8t^2 +\frac{2\delta}3(\eta ft)^2 +Ct^2R^4
      +CR^8,\umbruch\\
    \delta(\eta ft)^2
    &\le C\left(R^8+t^2R^4+t^2R^8\right),\umbruch\\
    \eta ft
    &\le C\left(R^4+tR^2+tR^4\right).
  \end{align*}
  Diese letzte Absch\"atzung gilt zun\"achst einmal in einem Maximum
  der Funktion $\eta ft$ wie oben beschrieben und damit dann
  \"uberall. Als untere Absch\"atzung ergibt sich analog zu bisher
  \begin{align*}
    \eta ft
    &\ge(1-\theta)^2 R^4|\nabla A|^2
      \left(\Lambda_0+|A|^2\right) t\umbruch\\
    &\ge(1-\theta)^2 R^4 t|\nabla A|^2. 
  \end{align*}
  Umordnen liefert auch hier die Behauptung. 
\end{proof}

\begin{remark}
  Analog zu Korollar \ref{r speziell cor} erhalten wir auch im Falle
  von Absch\"atzungen f\"ur $|\nabla A|^2$ durch die Wahl spezieller
  Funktionen $r$ konkretere $|\nabla A|^2$-Absch\"atzungen. Wir lassen
  dies als \"Ubung.
\end{remark}

\begin{remark}
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Will man h\"ohere Ableitungen beschr\"anken, so untersucht man
    daf\"ur Testfunktionen
    mit
    \[f_m=\left|\nabla^mA\right|^2\cdot\left(\Lambda_m+
        \left|\nabla^{m-1}A\right|^2\right).\] 
    Diese lassen sich f\"ur $m\ge1$ exakt nach demselben Muster
    behandeln wie f\"ur $m=0$. Hieraus ergeben sich analoge
    Folgerungen wie im Fall $m=0$. Details: \"Ubung.
  \item Will man f\"ur lokal Lipschitz stetige Anfangswerte
    $\left|\nabla^2A\right|^2(x_0,t_0)$ beschr\"anken, so beschr\"ankt
    man zun\"achst
    \begin{itemize}
    \item $|A|^2$ f\"ur $(x,t)$ mit $t\ge\frac13t_0$ und $|x|^2\le R^2$,
    \item dann $\left|\nabla A\right|^2$ f\"ur $(x,t)$ mit
      $t\ge\frac23t_0$ und $|x|^2\le\frac12R^2$, wobei man hier nur
      Zeiten $t\ge\frac13t_0$ betrachtet, 
    \item und schlie\ss{}lich $\left|\nabla^2A\right|^2$ f\"ur $(x,t)$
      mit $t\ge\frac33t_0$ und $|x|^2\le\frac14R^2$, wobei man hier
      nur Zeiten $t\ge\frac23t_0$ betrachtet.
    \end{itemize}
    Die Verallgemeinerung auf $\left|\nabla^mA\right|^2$ f\"ur
    beliebige $t>0$ ist offensichtlich.
  \item Die Techniken von \cite{EckerHuiskenInvent} liefern bessere
    Absch\"atzungen f\"ur h\"ohere Ableitungen, nutzen daf\"ur jedoch
    auch deutlich kompliziertere $t$-Abh\"angigkeiten in den
    betrachteten Testfunktionen.
  \item Man \"uberzeuge sich, dass Absch\"atzungen f\"ur
    $u, v, |A|, |\nabla A|, \ldots, \left|\nabla^mA\right|$
    Absch\"atzungen f\"ur die r\"aumlichen partiellen Ableitungen von
    $u$ bis zur Ordnung $m+2$ liefern. Mit Hilfe der
    Differentialgleichung beschr\"ankt man dann gemischte r\"aumliche
    und zeitliche Ableitungen. Wie \"ublich f\"ur parabolische
    Gleichungen zweiter Ordnung z\"ahlen Zeitableitungen dabei
    doppelt. Details: \"Ubung.
  \item Absch\"atzungen bis $|\nabla A|$ liefern also
    $C^3$-Absch\"atzungen und somit insbesondere
    $C^{2,\alpha}$-Absch\"atzungen. Wir k\"onnten alternativ also ab
    diesen Absch\"atzungen auch parabolische Schaudertheorie nutzen.
  \end{enumerate}
\end{remark}

\Subsection{Etwas Literatur\"uberblick}

Theorem \ref{thm:entire-mcf} wurde von J. Clutterbuck
\cite{JulieParabolicContinuous} und T. Colding und W. Minicozzi
\cite{ColdingMinicozzi} auf stetige Anfangsdaten verallgemeinert.

Ist $u$ in einem geeigneten Sinne anfangs nahe an einem Kegel, so
konvergiert der graphische mittlere Kr\"ummungsfluss f\"ur
$t\to\infty$ nach geeignetem Reskalieren gegen eine selbst\"ahnlich
aus einem Kegel kommende L\"osung. Wir verweisen auf die Arbeiten von
K. Ecker und G. Huisken \cite{EckerHuiskenInvent} sowie von N. Stavrou
\cite{StavrouSelfSim}.

Ohne Reskalieren gibt es z.\,B.{} in \cite{JCOSFSMCFStability}
Stabilit\"atsresultate f\"ur den graphischen mittleren
Kr\"ummungsfluss.

\Section{Mittlerer Kr\"ummungsfluss ohne Singularit\"aten}
\def\Amod#1{\left|\nabla^{#1}A\right|^2}
\def\heat{\left(\tfrac d{dt}-\Delta\right)}
\def\G{{\mathcal{G}}}

Wir folgen im Wesentlichen unserer Arbeit
\cite{OSMarielMCFwithoutSing}. F\"ur die $C^1$-Absch\"atzungen
behandeln wir ein alternatives Vorgehen. Da ich die Notation f\"ur die
a priori-Absch\"atzungen f\"ur $|A|^2$ und $|\nabla A|^2$ mit
unterstrichenen Termen nicht mehr optimal finde, wiederhole ich auch
hier diesen Beweis in anderer Notation.

\Subsection{$C^1$-Absch\"atzungen}
\begin{theorem}[$C^1$-Absch\"atzungen]
  \label{C1 est thm}
  Erf\"ulle $u$ die Generalvoraussetzung. Dann gilt
  \[vu^2\le\max\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{t=0}{\{u<0\}}}vu^2\]
  in Punkten mit $u<0$.
\end{theorem}
\begin{proof}
  Unter Benutzung der Evolutionsgleichungen f\"ur $v$ und $u$ erhalten
  wir f\"ur $w:=v(-u)$ in der Menge mit $u<0$
  \begin{align*}
    \dot w=&\,\dot v(-u)-v\dot u,\umbruch\\
    w_i=&\,v_i(-u)-vu_i,\umbruch\\
    w_{ij}=&\,v_{ij}u-vu_{ij} 
    -v_iu_j-v_ju_i,\umbruch\\ 
    \heat w=&\,(-u)\heat v + 0
    +2\langle\nabla v,\nabla u\rangle\\
    =&\,(-u)\left(-v|A|^2-\tfrac2v|\nabla v|^2\right)
       +2\left\langle\nabla v, -\frac1v\nabla w-\frac uv\nabla
       v\right\rangle \umbruch\\ 
    =&\,-(-u)v|A|^2 -\frac2v\langle\nabla v,\nabla w\rangle\umbruch\\
    \le&\,-\frac2v\langle\nabla v,\nabla w\rangle.
  \end{align*}
  Die Behauptung erhalten wir nun, indem wir das Maximumprinzip auf
  $w$ in der Menge mit $u<0$ anwenden. 
\end{proof}

\begin{remark}\label{nabla u v est rem}
 F\"ur $u$ und $v$ ben\"otigen wir sp\"ater die Absch\"atzungen 
  \begin{align*}
    |\nabla u|^2=&\,\eta_\alpha X^\alpha_ig^{ij}X^\beta_j\eta_\beta
    =\eta_\alpha\left(\delta^{\alpha\beta}
      -\nu^\alpha\nu^\beta\right)\eta_\beta =1-v^{-2}\le 1
    \intertext{und} |\nabla
    v|^2=&\,\left(\left(-\eta_\alpha\nu^\alpha\right)^{-1}\right)_i
    g^{ij}\left(\left(-\eta_\beta\nu^\beta\right)^{-1}\right)_j
    =v^4\eta_\alpha
    X^\alpha_kh^k_ig^{ij} h^l_jX^\beta_l\eta_\beta \le v^4|A|^2\\
    \le&\,v^2\phi|A|^2 =v^2\G,
    \intertext{wobei wir \eqref{Weingarten equation} benutzt haben,
         und } |\langle\nabla
    u,\nabla v\rangle| \le&\,|\nabla u|\cdot|\nabla v| \le v^2|A|\le
    v\sqrt \G.
  \end{align*}
\end{remark}

\Subsection{$C^2$-Absch\"atzungen}
\begin{theorem}[$C^2$-Absch\"atzungen]
  \label{C2 est thm}
  Erf\"ulle $u$ die Generalvoraussetzungen. 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item \label{only lip C2 est case} Dann gibt es Konstanten
    $\lambda>0$, $c>0$ und $k>0$ (die Konstante in $\phi$ und implizit
    in $\G$), die nur von den $C^1$-Schranken abh\"angen, so dass
    \[tu^4\G+\lambda
      u^2v^2\le\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{t=0}{\{u<0\}}} \lambda
      u^2v^2 +ct\] in Punkten mit $u<0$ und $0<t\le 1$ gilt. 
  \item \label{C2 est case} Ist dar\"uber hinaus
    $u(\cdot,0)\in C^2$, so gelten auch $C^2$-Schranken bis $t=0$: Es
    gibt eine Konstante $c>0$, die nur von den $C^1$-Absch\"atzungen
    abh\"angt, so dass
    \[u^4\G\le\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{t=0}{\{u<0\}}}u^4\G
      +ct\] in Punkten mit $u<0$ gilt. 
  \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
  Wir wollen beide Teile gleichzeitig behandeln und verwenden dazu
  eine weitere Konstante $\delta$. Im Falle $\delta=1$ erhalten wir
  \eqref{only lip C2 est case} und f\"ur $\delta=0$ und $\lambda=0$
  den Fall \eqref{C2 est case}.  Wir definieren $w$ durch
  \[w:=(\delta t+(1-\delta))u^4\G+\lambda u^2v^2\] und erhalten
  \begin{align*}
    \dot w
    &=\delta u^4 \G +4(\delta t+(1-\delta))u^3\G\dot u+(\delta
      t+(1-\delta))u^4\dot \G\\
    &\equad +2\lambda v^2u\dot u +2\lambda u^2v\dot v,\umbruch\\
    w_i
    &=4(\delta t+(1-\delta))u^3\G u_i +(\delta t+(1-\delta))u^4\G_i\\
    &\equad +2\lambda v^2uu_i +2\lambda u^2vv_i,\umbruch\\
    w_{ij}
    &=4(\delta t+(1-\delta))u^3\G u_{ij} +(\delta
      t+(1-\delta))u^4\G_{ij}\\
    &\equad+2\lambda v^2uu_{ij} +2\lambda u^2vv_{ij}\\
    &\equad +12(\delta t+(1-\delta))u^2\G u_iu_j +4(\delta
      t+(1-\delta)) u^3(\G_iu_j+\G_ju_i) \\ 
    &\equad +2\lambda v^2u_iu_j +2\lambda u^2v_iv_j
      +4\lambda vu(u_iv_j+u_jv_i),\umbruch\\
    (\delta t+(1-\delta))u^3\nabla \G
    &=\frac1u\nabla w -4(\delta t+(1-\delta))u^2\G\nabla u
      -2\lambda v^2\nabla u -2\lambda uv\nabla v,\umbruch\\
    \heat w
    &\le\delta u^4\G +(\delta t+(1-\delta))u^4\left(-2k\G^2-2\phi
      v^{-3}\langle\nabla v,\nabla \G\rangle\right)\\
    &\equad +2\lambda u^2v\left(-v|A|^2 -\tfrac2v|\nabla v|^2\right)\\   
    &\equad-12(\delta t+(1-\delta))u^2\G|\nabla u|^2 -8(\delta
      t+(1-\delta)) u^3\langle\nabla \G,\nabla u\rangle\\
    &\equad -2\lambda
      v^2|\nabla u|^2 -2\lambda u^2|\nabla v|^2 -8\lambda
      uv\langle\nabla u,\nabla v\rangle. 
  \end{align*}
  Nachfolgend werden wir $\langle\nabla w,b\rangle$ f\"ur generische
  Gradiententerme mit $\nabla w$ schreiben. Diese Terme d\"urfen von
  Zeile zu Zeile ihre Werte \"andern. Die ebenfalls generischen
  Konstanten $c$ d\"urfon von $\sup\{|u|\colon u<0\}$ (was seinen
  anf\"anglichen Wert nicht \"ubersteigt) und $C^1$-Absch\"atzungen
  abh\"angen. Auch bei den $C^1$-Absch\"atzungen d\"urfen wir eine
  Gleichm\"a\ss{}igkeit annehmen, indem wir in Theorem \ref{C1 est
    thm} die Abschneidefunktion $v\cdot(u-1)$ benutzen. Im Fall
  \eqref{only lip C2 est case}, darf $c$ auch von einen oberen
  Schranke von $t$ abh\"angen, wir nehmen jedoch $0<t\le 1$ an. Wir
  unterdr\"ucken in der Notation also die Abh\"angigkeit von bereits
  abgesch\"atzten Gr\"o\ss{}en. \par Die Terme mit $\nabla \G$
  betrachten wir separat. Sei $\epsilon>0$ eine Konstante mit noch zu
  fixierendem Wert. Unter Benutzung von Bemerkung \ref{nabla u v est
    rem} erhalten wir
  \begin{align*}
    &\equad-2\phi(\delta t+(1-\delta))u^4v^{-3}\langle\nabla v,\nabla
      \G\rangle\umbruch\\ 
    &=-2\frac{\phi u}{v^3}\left\langle\nabla v,\frac1u\nabla
      w-4(\delta t+(1-\delta))u^2\G\nabla u-2\lambda v^2\nabla
      u-2\lambda uv\nabla v\right\rangle\umbruch\\
    &\le\langle\nabla w,b\rangle +8(\delta t+(1-\delta))\frac{\phi
      |u|^3}v\G|A| +4\lambda\phi v|u||A| +4\frac{\lambda\phi
      u^2}{v^2} |\nabla v|^2\umbruch\\
    &\le\langle\nabla w,b\rangle +\epsilon(\delta t+(1-\delta))u^4\G^2
      +c(\epsilon)\cdot (\delta
      t+(1-\delta))\phi\frac{u^2}{v^2}\mathcal G\umbruch\\  
    &\equad+\epsilon\lambda u^2v^2|A|^2 +\lambda u^2|\nabla v|^2\cdot
      4\frac{\phi}{v^2} +c(\epsilon,\lambda)\umbruch\\
    &\le\langle\nabla w,b\rangle +2\epsilon(\delta
      t+(1-\delta))u^4\G^2 \umbruch\\
    &\equad+\epsilon\lambda u^2v^2|A|^2 +\lambda u^2|\nabla v|^2\cdot
      4\frac{\phi}{v^2} +c(\epsilon,\lambda)\umbruch
      \intertext{sowie}
    &\equad -8(\delta t+(1-\delta))u^3\langle\nabla \G,\nabla
      u\rangle\umbruch\\ 
    &=-8\left\langle\nabla u,\frac1u\nabla w -4(\delta
      t+(1-\delta))u^2\G\nabla u -2\lambda v^2\nabla u
      -2\lambda uv\nabla v\right\rangle\umbruch\\
    &\le\langle\nabla w,b\rangle +32(\delta
      t+(1-\delta))u^2\G+16\lambda v^2+16\lambda
      |u|v^3|A|\umbruch\\ 
    &\le\langle\nabla w,b\rangle +\epsilon(\delta t+(1-\delta))u^4\G^2
      +\epsilon\lambda u^2v^2|A|^2 +c(\epsilon,\lambda).
  \end{align*}
  Somit ergibt sich 
  \begin{align*}
    \heat w
    &\le\delta u^4 \G +(\delta
      t+(1-\delta))u^4\G^2(-2k+3\epsilon) 
      +\langle\nabla w,b\rangle\\
    &\equad+\lambda u^2v^2|A|^2(-2+3\epsilon)
      +\lambda u^2|\nabla v|^2\left(4\frac\phi{v^2}-6\right)
      +c(\epsilon,\lambda). 
  \end{align*}
  Nehmen wir nun an, dass $k>0$ so klein fixiert ist, dass
  $kv^2\le\frac13$ in der Menge $\{u<0\}$ gilt. Daraus folgt
  $\phi\le2v^2$.  Weiterhin d\"urfen wir annehmen, dass
  $\lambda\ge 2u^2$ in der Menge $\{u<0\}$ gilt und erhalten
  $u^4\G\le\frac12\lambda u^2\phi|A|^2 \le\lambda u^2v^2|A|^2$. Es
  folgt weiterhin \[4\frac\phi{v^2}-6 =\frac4{1-kv^2} -6\le 0.\] Wenn
  wir schlie\ss{}lich $\epsilon>0$ klein genug fixieren erhalten wir
  \[\heat w\le\langle\nabla w,b\rangle +c.\] Nun folgen beide
  Behauptungen aus dem Maximumprinzip.
\end{proof}

\Subsection{Absch\"atzungen h\"oherer Ordnung}
\begin{theorem}[$C^{m+2}$-estimates]
  \label{Ck est thm}
  Erf\"ulle $u$ die Generalvoraussetzungen
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Dann gibt es eine Konstante $\lambda>0$, die nur von den 
    $C^{m+1}$-Absch\"atzungen abh\"angt, so dass 
    \[tu^2\left|\nabla^mA\right|^2
    +\lambda\left|\nabla^{m-1}A\right|^2 \le c\cdot\lambda\cdot
    t+\sup\limits_{\genfrac{}{}{0pt}{}{t=0}{\{u<0\}}}
    \lambda\left|\nabla^{m-1}A\right|^2 \] in Punkten mit $u<0$ und
    $0<t\le 1$ gilt.
  \item Analog zu Theorem \ref{C2 est thm} ist auch hier anf\"angliche
    Regularit\"at erhalten.
    \end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
  Wie im Beweis von Theorem \ref{C2 est thm} verwenden wir
  $\delta\in\{0,1\}$ und
  definieren\[w:=(\delta t+(1-\delta)) u^2\left|\nabla^mA\right|^2
    +\lambda\left|\nabla^{m-1}A\right|^2\] f\"ur eine noch zu
  fixierende Konstante $\lambda>0$, die wir jedoch hier in beiden
  F\"allen verwenden. Wir nehmen an, dass $\left|\nabla^kA\right|^2$
  f\"ur beliebige $k$ mit $0\le k\le m-1$ bereits kontrolliert
  ist. Sei weiterhin $0\le t\le 1$. Die Konstante $c$ darf wiederum
  von bereits kontrollierten Gr\"o\ss{}en abh\"angen. Somit erhalten
  wir aus der Evolutionsgleichung von $\Amod{m}$ f\"ur $m\ge1$
  \begin{align*}
    \heat\Amod{m}\le&\,-2\Amod{m+1} +c\Amod{m} +c,\umbruch\\
    \heat\Amod{m-1}\le&\,-2\Amod{m} +c.
  \end{align*}
  Es folgt
  \begin{align*}
    \dot w
    &=\delta u^2\Amod{m} +2(\delta t+(1-\delta))u\dot u\Amod{m}
      +(\delta t+(1-\delta))u^2\dt\Amod{m}\\ 
    &\equad+\lambda\dt\Amod{m-1},\umbruch\\
    w_i
    &=2(\delta t+(1-\delta))uu_i\Amod{m} +(\delta
      t+(1-\delta))u^2\left(\Amod{m}\right)_i\\
    &\equad +\lambda\left(\Amod{m-1}\right)_i,\umbruch\\
    w_{ij}
    &=2(\delta t+(1-\delta))uu_{ij}\Amod{m} +(\delta
      t+(1-\delta))u^2\left(\Amod{m}\right)_{ij}\\ 
    &\equad 
      +\lambda\left(\Amod{m-1}\right)_{ij} +2(\delta
      t+(1-\delta))u_iu_j\Amod{m}\\
    &\equad+2(\delta 
      t+(1-\delta))u\left(u_i\left(\Amod{m}\right)_j 
      +u_j\left(\Amod{m}\right)_i\right),\umbruch\\
    \heat w
    &\le \delta u^2\Amod{m} +(\delta
          t+(1-\delta))u^2\left(-2\Amod{m+1}+c\Amod{m}+c\right)\\ 
    &\equad+\lambda\left(-2\Amod{m}+c\right) -2(\delta
      t+(1-\delta))|\nabla u|^2\Amod{m}\\
    &\equad-4(\delta
      t+(1-\delta))u\left\langle\nabla u, 
      \nabla\Amod{m}\right\rangle.
  \end{align*}
  Nun ist
  \begin{align*}
    -4(\delta t+(1-\delta))u\left\langle\nabla u,
    \nabla\Amod{m}\right\rangle
    &\le (\delta t+(1-\delta))\cdot |u|\cdot c\cdot\left|\nabla^{m+1}A\right|
    \cdot\left|\nabla^mA\right|\umbruch\\
    &\le(\delta t+(1-\delta))u^2\Amod{m+1} +c\Amod{m}.
  \end{align*}
  Somit folgt 
  \[\heat w\le\left(c-2\lambda\right)\Amod{m} +c(\lambda).\]
  Wiederum folgt das Resultat aus dem Maximumprinzip. 
\end{proof}

\Section{Eindeutigkeit und Expandierer}
\Subsection{Eindeutigkeit}
Wir zeigen Eindeutigkeit f\"ur ganze Graphen, die gleichm\"a\ss{}ig
Lipschitz stetig sind. Der allgemeine Fall, z.\,B.{} f\"ur glatte
ganze Graphen, ist eine offene Fragestellung und Gegenstand aktueller
Forschung. 

\begin{theorem}
  \label{Lip eind thm}
  Sei $u_0\colon\R^n\to\R$ gleichm\"a\ss{}ig Lipschitz stetig,
  d.\,h.{} es gibt ein $L\ge0$ mit \[|u_0(x)-u_0(y)|\le L\cdot|x-y|\]
  f\"ur alle $x,y\in\R^n$. Sei $u\in
  C^\infty(\R^n\times(0,\infty))\cap
  C^0_{\text{loc}}(\R^n\times[0,\infty))$ eine L\"osung von
  \[
  \begin{cases}
    \dot u=\sqrt{1+|Du|^2}\cdot\divergenz\left(\dfrac{\nabla
        u}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right) &\text{in }\R^n\times(0,\infty),\\
    u(\cdot,0)=u_0&\text{in }\R^n.
  \end{cases}
  \]  
  Dann ist $u$ eindeutig bestimmt. 
\end{theorem}

\begin{remark}
  Die Existenz einer solchen L\"osung folgt aus
  \cite{EckerHuiskenInvent}. Zus\"atzlich gilt \[\left\Vert
    D^ku(\cdot,t)\right\Vert_{C^0(\R^n)}\le C_k\] f\"ur $t\in[t_0,T]$
  mit $0<t_0<T<\infty$. Aus der Differentialgleichung folgen
  entsprechende Absch\"atzungen f\"ur Zeitableitungen und gemischte
  Ableitungen. 
\end{remark}

Als Vorbereitung zeigen wir zun\"achst, dass Sph\"aren disjunkt zur
L\"osung bleiben.
\begin{lemma}
  \label{ball ganz vgl lem}
  Sei $u$ wie in Theorem \ref{Lip eind thm}. Sei $x_0\in\R^{n+1}$ und
  gelte f\"ur ein $R>0$
  \[\ol{B_R(x_0)}\cap\graph u(\cdot,0)=\emptyset.\] Dann gilt f\"ur
  $r(t)=\sqrt{R^2-2nt}$ mit $0\le 
  t<\frac{R^2}{2n}$ \[\ol{B_{r(t)}(x_0)} \cap\graph
  u(\cdot,t)=\emptyset.\]
\end{lemma}
Man kann schrumpfende Sph\"aren als Graphen darstellen und benutzen,
dass die Graphen $\graph u(\cdot,t)$ f\"ur $t>0$ die Sph\"aren
aufgrund der Gradientenschranke nicht am \"Aquator ber\"uhren
k\"onnen. Das Resultat folgt dann aus dem Maximumprinzip in
Graphendarstellung. \par Wir f\"uhren einen alternativen Beweis.
\begin{proof}[Beweis]
  Sei ohne Einschr\"ankung $x_0=0$. Sei $\delta>0$ beliebig und sei
  $\zeta>0$ sehr klein. Wir
  definieren \[w(p,t)=|X(p,t)|^2+2nt(1+\delta)-(R+\zeta)^2.\] Dabei
  nutzen wir die parametrische Beschreibung $X$ des mittleren
  Kr\"ummungsflusses. Wenn wir solch ein $X$ finden wollen, so taucht
  dabei eine Differentialgleichung der
  Form \[\dot\psi^i(x,t)=-\frac{Hu^i}{\sqrt{1+|Du(\psi(x,t),t)|^2}}\]
  auf.  Wegen $|H|\le \frac c{\sqrt t}$ k\"onnen wir diese bis $t=0$
  l\"osen und so die Diffeomorphismen $\psi$ bekommen, die es
  erlauben, den mittleren Kr\"ummungsfluss auch parametrisch zu
  beschreiben.
  \par
  \textbf{Kleine Zeiten:} Dann gilt zum Zeitpunkt $t=0$ und
  hinreichend kleine $\zeta>0$ die Ungleichung $w(p,t)>0$ f\"ur
  beliebige $p\in\R^n$ und $t=0$. Aufgrund der Stetigkeit gibt es
  somit ein $\epsilon>0$, so dass $w(p,t)>0$ f\"ur alle $p\in\R^n$ und
  alle $0\le t\le\epsilon$ gilt. Beachte dazu, dass wir diese
  Ungleichung nur in der kompakten Menge
  $\{p\in\R^n\colon |p|\le R+\zeta\}$ \"uberpr\"ufen m\"ussen. \par
  \textbf{Ziel:} Wir wollen nun zeigen, dass $w>0$ f\"ur beliebige
  $\delta>0$ gilt. Dann
  folgt \[|X(p,t)|\ge\sqrt{(R+\zeta)^2-2nt}>\sqrt{R^2-2nt}\] f\"ur
  alle $p\in\R^n$ wie gew\"unscht. \par
  \textbf{Gro\ss{}e Zeiten:} F\"ur $t$ mit
  $\epsilon\le t\le\frac{R^2}{2n}$ sind alle Ableitungen von $u$
  gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt und wir erhalten mit Hilfe von
  gew\"ohnlichen Differentialgleichungen f\"ur die Korrektur der
  tangentialen Geschwindigkeitsanteile eine glatte L\"osung
  $X\colon\R^n \times\left[\epsilon,\frac{R^2}{2n}\right] \to\R^{n+1}$
  des mittleren Kr\"ummungsflusses $\dt X=-H\nu$ mit
  $X(\R^n,t)=\graph u(\cdot,t)$ f\"ur alle
  $t\in\left[\epsilon,\frac{R^2}{2n}\right]$ mit
  $\lim\limits_{|p|\to\infty}|X(p,t)|=\infty$, gleichm\"a\ss{}ig in
  $t$ (Mini\"ubung). \par Es folgt (mit kovarianten Ableitungen)
  \begin{align*}
    \dot w&=2\left\langle X,\dot X\right\rangle
    +2n(1+\delta),\umbruch\\ 
    w_i&=2\langle X,X_i\rangle,\umbruch\\
    w_{ij}&=2\langle X,X_{ij}\rangle +2\langle X_i,X_j\rangle.     
  \end{align*}
  Daher ist 
  \begin{align*}
    \dot w-\Delta w
    &=\dot w-g^{ij}w_{ij}\umbruch\\
    &=2\left\langle X,\dot X-g^{ij}X_{ij}\right\rangle +2n(1+\delta)
    -2g^{ij}\langle X_i,X_j\rangle\umbruch\\
    &=2\left\langle X,\dot X+H\nu\right\rangle
    +2n(1+\delta)-2n\umbruch\\ 
    &=2n\delta>0. 
  \end{align*}
  Wegen $|X(p,t)|\to\infty$ f\"ur $|p|\to\infty$ folgt daher $w>0$ aus
  dem Maximumprinzip und somit die Behauptung. 
\end{proof}

Das folgende Lemma \"ubertr\"agt sich auch auf Situationen, wenn die
Funktion r\"aumlich nicht auf $\R^n$ definiert ist. \par Es zeigt,
dass es nicht nur Punkte nahe am r\"aumlichen Infimum und Punkte mit
Zeitableitung nahe $-\frac cT$ gibt, sondern dass es sogar einen Punkt
gibt, in dem beides erf\"ullt ist. W\"are $I(t)=\inf\limits_{\R^n}
u(\cdot,t)$ differenzierbar und w\"urde das Infimum stets angenommen,
so folgte die Behauptung direkt aus dem Hauptsatz der Differential-
und Integralrechnung. 
\begin{lemma}
  \label{zeit abl nahe min lem}
  Sei $T>0$. Seien $A,B\in\R$. Sei $u\colon\R^n\times[0,T]\to\R$ glatt
  mit gleichm\"a\ss{}ig beschr\"anktem $\dot u$ und
  seien \[u(\cdot,0)\ge A\quad\text{sowie}\quad
  \inf\limits_{\R^n}u(\cdot,T)=B.\] Dann gibt es f\"ur alle
  $\epsilon>0$ einen Punkt $(x_0,t_0)\in\R^n\times[0,T]$
  mit \[u(x_0,t_0)\le\inf\limits_{\R^n}u(\cdot,t_0)+\epsilon\quad
  \text{und}\quad\dot u(x_0,t_0)\le-\frac{(A-B)-\epsilon}T.\]
\end{lemma}
In der Vorlesung wurde der folgende Widerspruchsbeweis
gefunden. Nachfolgend geben wir auch noch unseren urspr\"unglichen
Beweis an. 
\begin{proof}
  Gelte $|\dot u|\le C_1$. Hieraus folgt \[\left|\inf\limits_{\R^n}
      u(\cdot,t_1) -\inf\limits_{\R^n} u(\cdot,t_2)\right|\le
    2C_1\cdot|t_1-t_2|\] f\"ur alle $t_1,t_2\in[0,T]$. Angenommen, die
  Aussage w\"are falsch. Sei $\epsilon>0$, so dass die Aussage nicht
  gilt. Dann gibt es $x_0\in\R^n$ mit $u(x_0,t)\le\inf\limits_{\R^n}
  u(\cdot,T) +\frac\epsilon2$. Wir w\"ahlen $t_1\in[0,T]$ minimal, so
  dass \[u(x_0,t)\le\inf\limits_{\R^n} u(\cdot,t)+\epsilon\] f\"ur
  alle $t\in[t_1,T]$ gilt. Wegen
  \begin{align*}
    &\equad u(x_0,t)-\inf\limits_{\R^n} u(\cdot,t)\umbruch\\
    &\le u(x_0,t)-u(x_0,T)+u(x_0,T)-\inf\limits_{\R^n}
      u(\cdot,T)
      +\inf\limits_{\R^n} u(\cdot,T) -\inf\limits_{\R^n}
      u(\cdot,t)\umbruch\\
    &\le C_1\cdot|T-t| +\frac\epsilon2 +2C_1\cdot|T-t|\umbruch\\
    &\le \epsilon
  \end{align*}
  f\"ur alle $t\in[0,T]$ mit $T-t\le\frac\epsilon{6C_1}$ sehen wir,
  dass $T-T_1\ge\frac\epsilon{6C_1}>0$ nach unten durch eine positive
  Konstante beschr\"ankt ist. (Man k\"onnte auch
  $t_1=T-\frac\epsilon{6C_1}$ w\"ahlen.)  Nun w\"ahlen wir
  $x_1\in\R^n$ mit
  $u(x_1,t_1)\le\inf\limits_{\R^n} u(\cdot,t_1) +\frac\epsilon2$. Dies
  setzen wir fort und w\"ahlen iterativ so lange Punkte $(x_i,t_i)$,
  bis nach endlich vielen Schritten $t_k=0$ gilt. Damit erhalten wir
  mit der Annahme, dass die Behauptung \"uber die Zeitableitung f\"ur
  keinen solchen Punkt richtig ist,
  \begin{align*}
    B+\frac\epsilon2
    &\ge u(x_0,T)\umbruch\\
    &= u(x_0,t_1) +\int\limits_{t_1}^T \dot
      u(x_0,\tau)\,d\tau\umbruch\\
    &\ge u(x_0,t_1) +\frac{T-t_1}{T}(B-A+\epsilon)\umbruch\\
    &\ge u(x_1,t_1) +\frac{T-t_1}{T}(B-A+\epsilon)\umbruch\\
    &\ge\ldots\umbruch\\
    &\ge u(x_{k-1},t_k) +\left(\frac{T-t_1}{T}+\frac{t_1-t_2}T +\ldots
      +\frac{t_{k-1}-t_k}T\right)\cdot(B-A+\epsilon)\umbruch\\
    &=u(x_{k-1},0)+\frac{T-0}T\cdot(B-A+\epsilon)\umbruch\\
    &\ge A+B-A+\epsilon =B+\epsilon. 
  \end{align*}
  Wir erhalten eine Widerspruch. Somit gilt die Behauptung. 
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $C_1>0$, so dass \[\sup\limits_{\R^n\times[0,T]}|\dot
    u|\le C_1\] gilt. Zun\"achst wollen wir $R>0$ so fixieren,
    dass \[\inf\limits_{\R^n}u(\cdot,t)\le\inf\limits_{B_R}
    u(\cdot,t)\le \inf\limits_{\R^n}u(\cdot,t)+\frac\epsilon2\] f\"ur
    alle $t\in[0,T]$ gilt. Sei dazu $\delta>0$ mit $\delta\cdot
    C_1<\frac\epsilon8$. Seien endlich viele $t_i\in[0,T]$ so fixiert,
    dass $[0,T]\subset\bigcup\limits_iB_\delta(t_i)$ gilt. Dann gibt
    es $R>0$, so dass f\"ur alle
    $i$ \[\inf\limits_{B_R}u(\cdot,t_i)\le
    \inf\limits_{\R^n}u(\cdot,t_i)+\frac\epsilon8\] gilt. Sei nun
    $t\in[0,T]$ beliebig und gelte $|t-t_{i_0}|<\delta$ f\"ur ein
    fixiertes $i_0$. Fixiere weiterhin $x_0\in\R^n$ mit \[u(x_0,t)\le
    \inf\limits_{\R^n} u(\cdot,t)+\frac\epsilon8.\] Es folgt
    \begin{align*}
      \inf\limits_{\R^n}u(\cdot,t)
      &\ge u(x_0,t) -\frac\epsilon8\umbruch\\ 
      &\ge u(x_0,t_{i_0})-\frac\epsilon8 -C_1\cdot\delta\umbruch\\  
      &\ge\inf\limits_{\R^n}u(\cdot,t_{i_0})
      -2\frac\epsilon8\umbruch\\ 
      &\ge\inf\limits_{B_R} u(\cdot,t_{i_0}) -3\frac\epsilon8\umbruch\\ 
      &\ge\inf\limits_{B_R} u(\cdot,t) -4\frac\epsilon8.
    \end{align*}
    Dies zeigt die Existenz eines solchen $R>0$. 
  \item Definiere $w$ durch
    \begin{align*}
      w\colon\ol{B_R}\times[0,T]
      &\to\R,\umbruch\\
      w(x,t)&:=u(x,t)-A+\frac{(A-B)-\epsilon}Tt.
    \end{align*}
    Dann gelten $w(\cdot,0)\ge 0$
    und \[-\epsilon=\inf\limits_{\R^n}
    w(\cdot,T)\le\inf\limits_{B_R} w(\cdot,T)\le-\frac\epsilon2.\]
    Sei $(x_0,t_0)\in\ol{B_R}\times[0,T]$ mit \[w(x_0,t_0)
    =\inf\limits_{B_R\times[0,T]} w.\] Dann gilt $t_0>0$.
  \item Wir unterscheiden nun zwei F\"alle: 
    \begin{itemize}
    \item Es gilt $0<t_0<T$. Dann gilt \[0=\dot w(x_0,t_0) =\dot
      u(x_0,t_0) +\frac{A-B-\epsilon}T.\]
    \item Ist $t_0=T$, so folgt \[0\ge\dot w(x_0,T) =\dot u(x_0,t_0)
      +\frac{A-B-\epsilon}T.\] 
    \end{itemize}
    In beiden F\"allen folgt aus $w(x_0,t_0)=\inf\limits_{B_R}
    w(\cdot,t_0)$ und nach Wahl von $R$ \[u(x_0,t_0)
    =\inf\limits_{B_R} u(\cdot,t_0) \le\inf\limits_{\R^n} u(\cdot,t_0)
    +\epsilon\] wie behauptet. \qedhere    
  \end{enumerate}
\end{proof}

Ein entsprechendes Lemma ben\"otigen wir auch f\"ur die r\"aumlichen
Ableitungen. Da die Zeitabh\"angigkeit hier keine Rolle spielt, lassen
wir sie im Lemma weg. 
\begin{lemma}
  \label{fast min lem}
  Sei $u\colon\R^n\to\R$ eine $C^3$-Funktion mit \[\left\Vert
    D^iu\right\Vert_{C^0(\R^n)}\le C_i\] f\"ur $0\le i\le 3$. Sei
  $\zeta>0$. Dann gibt es $\epsilon>0$, so dass f\"ur alle
  $x_0\in\R^n$
  mit \[u(x_0)\le\inf\limits_{\R^n}u+\epsilon,\] 
  \[|Du(x_0)|\le\zeta\quad\text{und}\quad u_{ij}\ge-\zeta\delta_{ij}\]
  gelten. 
\end{lemma}
Unter direkter Benutzung der Taylorschen Formeln k\"onnte man den
nachfolgenden Beweis abk\"urzen. 
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile 
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Sei $x_0\in\R^n$ mit $u(x_0)\le\inf\limits_{\R^n} u+\epsilon$
    gegeben. Nach einer Rotation des Koordinatensystems d\"urfen wir
    $\nabla u(x_0)=-|\nabla u|(x_0)e_1\equiv-Me_1$ annehmen. F\"ur
    $t>0$ folgt
    \begin{align*}
      \inf\limits_{\R^n}u
      &\le u(x_0+te_1)
        =u(x_0)+u(x_0+te_1)-u(x_0)\umbruch\\
      &=u(x_0) +\int\limits_0^t\frac d{d\tau}u(x_0+\tau
        e_1)\,d\tau = u(x_0)+\int\limits_0^t u_1(x_0+\tau
        e_1)\,d\tau\umbruch\\   
      &=u(x_0) +tu_1(x_0) +\int\limits_0^tu_1(x_0+\tau
        e_1)-u_1(x_0)\,d\tau\umbruch\\ 
      &=u(x_0)-tM+\int\limits_0^t\int\limits_0^\tau\frac d{d\sigma}
        u_1(x_0+\sigma e_1)\,d\sigma\,d\tau\umbruch\\
      &=u(x_0)-tM+\int\limits_0^t\int\limits_0^\tau
        u_{11}(x_0+\sigma e_1)\,d\sigma\,d\tau\umbruch\\
      &\le\inf\limits_{\R^n}u+\epsilon-tM+t^2C_2. 
    \end{align*}
    Somit folgt \[0\le\epsilon-tM+t^2C_2.\] Wir nehmen ohne
    Einschr\"ankung $C_2>0$ an, \dh $u$ ist nicht affin linear, und
    erhalten im Minimum bei $t=\frac M{2C_2}$ (einfache
    Kurvendiskussion) \[0\le\epsilon-\frac{M^2}{2C_2}+\frac{M^2}{4C_2}
    =\epsilon-\frac{M^2}{4C_2}.\] Aus $M^2\le4C_2\epsilon$ folgt somit
    die erste Behauptung.
  \item Wir gehen analog zur Gradientenabsch\"atzung vor. Sei
    $x_0\in\R^n$ mit $u(x_0)\le\inf\limits_{\R^n}u+\epsilon$
    beliebig. Angenommen, es gibt $\xi\in\S^{n-1}$, so dass
    $u_{ij}(x_0)\xi^i\xi^j$ negativ ist. Dann d\"urfen wir nach einer
    Rotation des Koordinatensystems annehmen, dass \[u_{11}(x_0)=-M\]
    mit $M>0$ gilt. Weiterhin d\"urfen wir, m\"oglicherweise nach
    einer Spiegelung mit $e_1\mapsto-e_1$, annehmen, dass
    $u_1(x_0)\le0$ gilt. Oben haben wir bereits
    \[\inf\limits_{\R^n}u\le u(x_0)+tu_1(x_0)
    +\int\limits_0^t\int\limits_0^\tau 
    u_{11}(x_0+\sigma e_1)\,d\sigma\,d\tau\]
    hergeleitet. Wegen
    $\int\limits_0^t\int\limits_0^\tau1\,d\sigma\,d\tau
    =\int\limits_0^t\tau\,d\tau =\frac12t^2$ erhalten wir daraus f\"ur
    $t>0$ 
    \begin{align*}
      \inf\limits_{\R^n}u
      &\le u(x_0) +tu_1(x_0) +\frac12t^2u_{11}(x_0)
        +\int\limits_0^t\int\limits_0^\tau 
        u_{11}(x_0+\sigma e_1)-u_{11}(x_0)\,d\sigma\,d\tau\umbruch\\
      &=u(x_0)+tu_1(x_0) +\frac12t^2u_{11}(x_0)
         +\int\limits_0^t\int\limits_0^\tau\int\limits_0^\sigma \frac
         d{d\rho} u_{11}(x_0+\rho e_1)\,d\rho\,d\sigma\,d\tau\umbruch\\ 
      &\le\inf\limits_{\R^n}u+\epsilon+t\cdot0-\frac12t^2M
           +\int\limits_0^t\int\limits_0^\tau\int\limits_0^\sigma
           u_{111}(x_0+\rho e_1)\,d\rho\,d\sigma\,d\tau\umbruch\\
      &\le\inf\limits_{\R^n}u +\epsilon-\frac12t^2M
           +\int\limits_0^t\int\limits_0^\tau\sigma
           C_3\,d\sigma\,d\tau\umbruch\\ 
      &\le\inf\limits_{\R^n}u+\epsilon-\frac12t^2M
           +\int\limits_0^t\frac12\tau^2C_3\,d\tau\umbruch\\  
      &\le\inf\limits_{\R^n}u+\epsilon-\frac12t^2M+\frac16t^3C_3. 
    \end{align*}
    Somit folgt \[0\le\epsilon-\frac12t^2M+\frac16t^3C_3.\] Sei wieder
    ohne Einschr\"ankung $C_3>0$. Dann erhalten wir in einem Minimum
    mit $t=2\frac M{C_3}$ \[0\le\epsilon-\frac124\frac{M^3}{C_3^2}
    +\frac168\frac{M^3}{C_3^2} =\epsilon-\frac23\frac{M^3}{C_3^2}\]
    und somit $M^3\le\frac32C_3^2\epsilon$. Die Behauptung
    folgt. \qedhere 
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis von Theorem \ref{Lip eind thm}]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Ist $u$ eine L\"osung, so auch $u+c$, $c\in\R$. Die
    Eindeutigkeit folgt, wenn wir zeigen k\"onnen, dass L\"osungen,
    die bei $u$ bzw.{} $u+c$, $c\neq0$, starten, f\"ur alle Zeiten
    disjunkt bleiben. (Genaugenommen gilt die Disjunktheit f\"ur die
    zugeh\"origen Graphen.) Dies verallgemeinern wir noch leicht auf
    zwei verschiedene Funktionen. 
  \item Seien $u$ und $w$ zwei L\"osungen des mittleren
    Kr\"ummungsflusses mit Regularit\"at wie in der Behauptung und
    gleichm\"a\ss{}iger Lipschitzstetigkeit f\"ur $t=0$. Wir wollen
    nachweisen, dass aus $u-w\ge c>0$ f\"ur ein $c>0$ zur Zeit $t=0$
    bereits $u-w\ge0$ f\"ur alle Zeiten $t\ge0$ folgt. Hieraus folgt
    dann die Behauptung.
  \item Wir betrachten zun\"achst kleine Zeiten und zeigen in diesem
    Fall die Behauptung $u-w\ge0$ mit Hilfe der gleichm\"a\ss{}igen
    Lipschitzstetigkeit und mit Sph\"aren als Barrieren. (Alternativ
    kann man auch Gradienten- und Geschwindigkeitsschranken
    benutzen. Details: \"Ubung.) Sei $x\in\R^n$ beliebig. Dann folgt
    f\"ur $y$ mit $|x-y|\le\frac c{2L}$
    \begin{align*}
      u(y,0)\ge&\,u(x,0)-L\cdot|x-y|\umbruch\\
      \ge&\,w(x,0)+L\cdot|x-y|\umbruch\\
      \ge&\,w(y,0),
    \end{align*}
    wobei wir die Lipschitzkonstanten beider Funktionen mit $L$
    bezeichnet haben und ohne Einschr\"ankung $L>0$ annehmen. Zwischen
    den Funktionen $y\mapsto u(x,0)-L\cdot|x-y|$ und $y\mapsto
    w(x,0)+L\cdot|x-y|$ befindet sich somit ein rotationssymmetrischer
    Doppelkegel. Die Grundfl\"ache ist ein Ball mit Radius $\ge\frac
    c{2L}$ und jeder Einzelkegel hat eine H\"ohe $\ge\frac c2$. Wir
    nehmen nun ohne Einschr\"ankung $L\ge1$ an, erhalten somit f\"ur
    die H\"ohe die Absch\"atzung \glqq$\ge\frac{c}{2L}$\grqq, und
    sehen, dass dieser Doppelkegel einen zentrierten Ball vom Radius
    $R=\frac c{2\sqrt 2L}$ enth\"alt. $\graph u(\cdot,0)$ liegt
    oberhalb dieses Balles und $\graph w(\cdot,0)$ liegt unterhalb
    dieses Balles. Aufgrund unseres Vergleichsresultates zwischen
    B\"allen bzw.{} Sph\"aren und ganzen Graphen, die sich beide unter
    dem mittleren Kr\"ummungsfluss bewegen, Lemma \ref{ball ganz vgl
      lem}, liegt $\graph u(\cdot,t)$ f\"ur $0\le
    t<\frac{R^2}{2n}=\frac{c^2}{16nL^2}$ oberhalb des
    Balles \[B_{\sqrt{R^2-2nt}}\left(\left(x,\frac{u(x,0)
          +w(x,0)}2\right)\right)\] und $\graph w(\cdot,t)$
    darunter. Dies zeigt die Behauptung $u-w\ge0$ f\"ur kleine Zeiten.
  \item Sei nun $t_0>0$ und die Behauptung bis $t=t_0$ gezeigt. Da
    $c>0$ bliebig ist und translatierte L\"osungen ebenfalls
    L\"osungen sind, d\"urfen wir ohne Einschr\"ankung auch zum
    Zeitpunkt $t=t_0$ noch $u-w\ge c>0$ annehmen. Mit Hilfe des
    ``point-picking'' Maximumprinzips und der gleichm\"a\ss{}igen
    Absch\"atzungen f\"ur $t\ge t_0$ zeigen wir nun die Behauptung
    auch f\"ur $t\ge t_0$. Sei dazu $T>t_0>0$ beliebig. Es gen\"ugt,
    $u-w\ge0$ f\"ur $t\in[t_0,T]$ zu zeigen.
  \item Zur Zeit $t=0$ k\"onnen wir beliebig gro\ss{}e Sph\"aren ober-
    bzw.{} unterhalb der Doppelkegel zu den Funktionen
    $y\mapsto u(x,0)\pm L\cdot|x-y|$ f\"ur beliebige $x\in\R^n$
    platzieren. Diese wirken als Barrieren und liefern,
    dass
    \[\sup\limits_{t\in[0,T]} \sup\limits_{x\in\R^n}
      |u(x,t)-u(x,0)|\le C(T,L,n)\] gilt. Eine entsprechende
    Absch\"atzung gilt auch f\"ur $w$. Daher ist
    \[t\mapsto \inf\limits_{\R^n}
      \big(u(\cdot,t)-w(\cdot,t)\big)\equiv m(t)\] auf beschr\"ankten
    Zeitintervallen nach unten beschr\"ankt. Aufgrund der
    gleichm\"a\ss{}igen Absch\"atzungen f\"ur $t_0\le t\le T$ ist
    $m|_{[t_0,T]}$ auch stetig. (Beweis: \"Ubung.) (Mit B\"allen in
    Kegeln als Barrieren wie oben oder mit $|H|\le\frac c{\sqrt t}$
    erh\"alt man die Stetigkeit f\"ur alle $t\ge0$. Details:
    \"Ubung.)\par Wir behaupten sogar, dass $m(t)>0$ f\"ur alle
    $t\in[t_0,\infty)$ gilt. Dazu f\"uhren wir einen
    Widerspruchsbeweis und nehmen an, dass $T>t_0$ mit $m(T)=0$
    minimal ist.
  \item Wir leiten nun eine Differentialungleichung f\"ur
    $\Phi:=u-w$ her: Es gilt
    \begin{align*}
      \dot\Phi&=\left(\delta^{ij}-\frac{u^iu^j}{1+|Du|^2}\right)
      u_{ij} -\left(\delta^{ij}-\frac{w^iw^j}{1+|Dw|^2}\right) w_{ij}\umbruch\\
      &=\left(\delta^{ij}-\frac{u^iu^j}{1+|Du|^2}\right)
      (u_{ij}-w_{ij})
      +\left(\frac{w^iw^j}{1+|Dw|^2}-\frac{u^iu^j}{1+|Du|^2}\right)
      w_{ij}\umbruch\\
      &=\left(\delta^{ij}-\frac{u^iu^j}{1+|Du|^2}\right)\Phi_{ij}\\
      &\,\quad +\int\limits_0^1\frac{\left(\tau w^i+(1-\tau)u^i\right)
        \left(\tau w^j+(1-\tau)u^j\right)}{1+|D(\tau w+(1-\tau)u)|^2}
      \,d\tau\cdot w_{ij}\umbruch\\
      &=\ldots =a^{ij}\Phi_{ij}+b^i\Phi_i.
    \end{align*}
    Auf allgemeinere Gleichungen leichter zu \"ubertragen w\"are
    folgendes Vorgehen f\"ur die Herleitung der partiellen
    Differentialgleichung:  
    \begin{align*}
      \dot\Phi&=\left(\delta^{ij}-\frac{u^iu^j}{1+|Du|^2}\right)u_{ij}
      -\left(\delta^{ij}-\frac{w^iw^j}{1+|Dw|^2}\right)
      w_{ij}\umbruch\\
      &\equiv F\left(D^2u,Du\right)-F\left(D^2w,Dw\right) \umbruch\\
      &=\int\limits_0^1\frac d{d\tau}F\left(\tau
        D^2u+(1-\tau)D^2w,\tau
        Du+(1-\tau)Dw\right)\,d\tau\umbruch\\
      &=\int\limits_0^1F_{r_{ij}}(\ldots)\,d\tau\cdot\Phi_{ij}
      +\int\limits_0^1F_{p_i}(\ldots)\,d\tau\cdot\Phi_i\umbruch\\
      &=a^{ij}\Phi_{ij}+b^i\Phi_i.
    \end{align*}
    Dabei \"uberzeugt man sich, dass $a^{ij}$ und $b^i$
    gleichm\"a\ss{}ig beschr\"ankt und dass $a^{ij}$ gleichm\"a\ss{}ig
    elliptisch ist, wobei die Schranken jeweils nur von Schranken an
    $Du$, $Dw$, $D^2u$ und $D^2w$ abh\"angen. (Es reicht hier auch
    $a^{ij}\succcurlyeq0$.)
  \item Nach Lemma \ref{zeit abl nahe min lem} und Lemma \ref{fast min
      lem} finden wir einen Punkt $(x_1,t_1)\in\R^n\times[t_0,T]$ mit
    $\dot\Phi(x_1,t_1)\le-\frac c{2(T-t_0)}$, $|D\Phi|\le\zeta$ und
    $\Phi_{ij}\ge -\zeta\delta_{ij}$ sowie
    $\Phi(x_1,t_1)\le\inf\limits_{\R^n}\Phi(\cdot,t_1)+\epsilon$ f\"ur
    beliebig kleine $\zeta,\epsilon>0$. Die Bedingung mit $\epsilon>0$
    ben\"otigen wir nicht und erhalten aus den anderen Bedingungen 
    \[-\frac c{2(T-t_0)}\ge\dot\Phi(x_1,t_1)
    =\left(a^{ij}\Phi_{ij}+b^i\Phi_i\right)(x_1,t_1)\ge
    -c\cdot\zeta.\] Ist $\zeta>0$ hinreichend klein, so erhalten wir
    einen Widerspruch. Damit folgt die Behauptung. \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

Der Beweis von Theorem \ref{Lip eind thm} liefert auch
\begin{corollary}
  Seien $u_{1,0},u_{2,0}\colon\R^n\to\R$ gleichm\"a\ss{}ig Lipschitz
  stetig, \dh es gibt ein $L\ge0$ mit \[|u_{i,0}(x)-u_{i,0}(y)|\le
  L\cdot|x-y|\] f\"ur alle $x,y\in\R^n$ und alle $i\in\{1,2\}$. Seien
  $u_i\in C^\infty(\R^n\times(0,\infty))\cap
  C^0_{\text{loc}}(\R^n\times[0,\infty))$ L\"osungen von 
  \[
  \begin{cases}
    \dot u_i=\sqrt{1+|Du_i|^2}\cdot\divergenz\left(\dfrac{\nabla
        u_i}{\sqrt{1+|Du_i|^2}}\right) &\text{in
    }\R^n\times(0,\infty),\\
    u_i(\cdot,0)=u_{i,0}&\text{in }\R^n.
  \end{cases}
  \]
  Dann gelten 
  \[\inf\limits_{\R^n}\,(u_1(\cdot,t)-u_2(\cdot,t)) \ge
  \inf\limits_{\R^n}\, (u_{1,0} -u_{2,0})\] und 
  \[\sup\limits_{\R^n}\,(u_1(\cdot,t)-u_2(\cdot,t)) \le
  \sup\limits_{\R^n}\, (u_{1,0}-u_{2,0}).\]
\end{corollary}

\Subsection{Expandierer}

\begin{theorem}
  Sei $u_0\colon\R^n\to\R$ gleichm\"a\ss{}ig Lipschitz stetig und
  positiv homogen vom Grad eins, \dh es gelte
  $u_0(\lambda x)=\lambda u_0(x)$ f\"ur alle $\lambda>0$, $\graph u_0$
  sei also ein Kegel. Dann gibt es genau eine L\"osung
  $u\in C^\infty(\R^n\times(0,\infty))\cap
  C^0_{\text{loc}}(\R^n\times[0,\infty))$ von
  \[
  \begin{cases}
    \dot u=\sqrt{1+|Du|^2}\cdot\divergenz\left(\dfrac{\nabla
        u}{\sqrt{1+|Du|^2}}\right)&\text{in }\R^n\times(0,\infty),\\
    u(\cdot,0)=u_0&\text{in }\R^n
  \end{cases}
  \]
  und $\graph u$ oder, laxerweise, $u$ ist homothetisch expandierend,
  \dh es gilt 
  \[\graph u(\cdot,t_2)=\mu(t_1,t_2)\cdot\graph u(\cdot,t_1)\] f\"ur
  alle $0<t_1<t_2$ mit $\mu(t_1,t_2)>1$. Genauer ist
  $\mu(t_1,t_2)=\sqrt{\frac{t_2}{t_1}}$ und es gilt
  \[u(x,t)=\sqrt{2t}\cdot u\!\left(\frac x{\sqrt{2t}},\frac12\right)\]
  f\"ur alle $x\in\R^n$ und alle $t>0$. 
\end{theorem}
\begin{proof}[Beweis]
  \neueZeile
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item Die Existenz folgt aus den Resultaten von K. Ecker und
    G. Huisken, siehe Theorem \ref{thm:entire-mcf}. Nach Theorem
    \ref{Lip eind thm} ist $u$ eindeutig bestimmt.
  \item Ist $u$ eine L\"osung des graphischen mittleren
    Kr\"ummungsflusses mit Anfangswert $u_0$, so ist f\"ur beliebige
    $\lambda>0$
    \[\tilde u(x,t):=\lambda u\left(\frac x\lambda,\frac
        t{\lambda^2}\right)\] 
    ebenfalls eine L\"osung des graphischen mittleren
    Kr\"ummungsflusses (Details: \"Ubung.) und zwar mit Anfangswert
    $\tilde u_0(x)=\lambda u_0\left(\frac x\lambda\right)$. Ist
    $u_0$ positiv homogen vom Grade eins, so ist $\tilde
    u_0(x)=u_0(x)$. Somit stimmen die L\"osungen $u$ und $\tilde u$
    \"uberein und es gilt \[\lambda u\left(\frac x\lambda,\frac
      t{\lambda^2}\right) =u(x,t)\] f\"ur alle
    $(x,t)\in\R^n\times(0,\infty)$ und alle $\lambda>0$. Setzen wir
    nun insbesondere $\lambda=\lambda(t)=\sqrt{2t}$, so folgt die
    behauptete Relation f\"ur $u$.
  \item Der Ausdruck f\"ur $\mu(t_1,t_2)$ folgt aus den \"Uberlegungen
    zu homothetisch expandierenden L\"osungen aus der Vorlesung
    Gew\"ohnliche Differentialgleichungen mit geometrischen
    Anwendungen oder aus der obigen Relation f\"ur $u$.
  \item Wir geben hier das Argument zur Bestimmung des
    Skalierungsfaktors nochmals an: Da die Bestimmung des
    Skalierungsfaktors aus der graphischen Darstellung etwas knifflig
    ist, gehen wir parametrisch vor: Sei
    $X(p,t) =\lambda(t)X\left(p,\frac12\right)\equiv\lambda(t)X_0(p)$ eine
    homothetisch expandierende L\"osung des mittleren
    Kr\"ummungsflusses, gelte also
    \[\left\langle\dot X,\nu\right\rangle =-H.\] Dann
    folgt
    \[\dot\lambda(t)\langle X_0,\nu_0\rangle
      =-\frac1{\lambda(t)}H_0.\] Da wir bei
    $\lambda\left(\frac12\right)=1$ starten, gilt zun\"achst
    $\lambda(t)\neq0$ und verursacht im Nenner keine Probleme. Dies
    folgt dann aufgrund der Differentialgleichung auch f\"ur andere
    Zeiten. Ist $H_0\not\equiv0$, so betrachten wir einen Punkt mit
    $H_0\neq0$. Dort gilt dann aufgrund der Gleichung auch
    $\langle X_0,\nu_0\rangle\neq0$ und wir k\"onnen die Gleichung zu
    \[\dot\lambda(t)\lambda(t)=-\frac{H_0}{\langle X_0,\nu_0\rangle}
      =:c_0\neq0\] umstellen. Da die rechte Seite zeitunabh\"angig
    ist, erhalten
    wir \[\lambda(t)=\sqrt{2c_0\left(t-\frac12+\frac1{2c_0}\right)}.\]
    Es muss $c_0=1$ gelten, damit die L\"osung f\"ur alle $t>0$
    definiert ist ($\impliziert c_0\le1$) und f\"ur $t\searrow0$ gegen
    einen nicht linearen Kegel konvergieren kann. Somit gilt
    $\lambda(t)=\sqrt{2t}$ und $\mu$ ist wie angegeben. Ist
    $H_0\equiv0$, so ist $X$ station\"ar, aber wegen
    $u\in C^\infty(\R^n\times(0,\infty))$ auch bei $x=0$ (unabh\"angig
    von $t$) glatt. Dies gilt bis $t=0$. F\"ur einen Kegel ist dies
    aber nur im affin linearen Fall m\"oglich. Hier ist $\mu$ zwar
    nicht eindeutig festgelegt, die angegebene Funktion ist aber eine
    m\"ogliche Wahl.  \qedhere
  \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{remark}
  Ist (der Graph von) $u_0$ in einem Punkt asymptotisch zu einem
  Kegel, so sieht man nach geeignetem parabolischen Reskalieren in
  Raum und Zeit um diesen Punkt die homothetisch aus dem zugeh\"origen
  Kegel expandierende L\"osung.
\end{remark}
\begin{proof}[Beweisidee]
  Mit Sph\"aren als Barrieren zeigt man zun\"achst, dass die L\"osung
  an einer geeigneten Stelle nahe am Kegel bleibt. Im Bereich zwischen
  den sph\"arischen Barrieren verwendet man nun die leicht nach oben
  und unten verschobene homothetisch expandierende L\"osung als
  Barriere.
\end{proof}

\Section{Weitere Themen}

\Subsection{Mittlerer Kr\"ummungsfluss ohne Singularit\"aten} 
Wir folgen unserer Arbeit \cite{OSMarielMCFwithoutSing} und zeigen
zus\"atzlich, dass die Distanz zweier L\"osungen w\"achst, falls eine
davon kompakt ist.

\Subsection{Stabilit\"at} 
Wir behandeln die Stabilit\"at der Ebene nach G. Huisken aus dem
Anhang von \cite{JCOSCones} und die rotationssymmetrischer
translatierender L\"osungen \cite{JCOSFSMCFStability}. 

\Subsection{Stetige Anfangsdaten} 
Wir benutzen \cite{AndrewsClutterbuckLipschitz} und den
\"Ubersichtsartikel \cite{AndrewsMultipointSurvey}. 

\Subsection{Neumannrandbedingungen} 
Wir folgen \cite{HuiskenBdry} und \cite{AltschulerWu}.

\begin{appendix}
  \section{Normabsch\"atzung f\"ur Tensoren}
  \begin{lemma}
    Sei $S$ ein $(r,s)$- und $T$ ein $(s,r)$-Tensor. Dann gilt die
    Absch\"atzung \[S^{i_1\ldots i_r}_{j_1\ldots j_s} T^{j_1\ldots
        j_s}_{i_1\ldots i_r} \le \Vert S\Vert\cdot \Vert T\Vert\]
    mit \[\Vert S\Vert^2 =S^{i_1\ldots i_r}_{j_1\ldots j_s}\cdot
      S^{k_1\ldots k_r}_{l_1\ldots l_s}\cdot
      g_{i_1k_1}\cdot\ldots\cdot g_{i_rk_r}\cdot
      g^{j_1l_l}\cdot\ldots\cdot g^{j_sl_s}.\] 
  \end{lemma}
  \begin{proof}[Beweis]
    Da das Vorgehen bereits im Falle von $(1,2)$- bzw.{}
    $(2,1)$-Tensoren klar werden sollte, beschr\"anken wir uns beim
    Beweis auf diesen Fall. Wir m\"ochten also zeigen, dass
    \[S^a_{ij} T^{ij}_a \le \left(S^a_{ij}S^b_{kl} g^{ik} g^{jl}
        g_{ab}\right)^{1/2} \cdot\left(T^{ij}_a T^{kl}_b g_{ik} g_{jl}
        g^{ab}\right)^{1/2}\] gilt, wobei wir auf der rechten Seite
    jeweils nur \"uber die Indices innerhalb einer der beiden Klammern
    summieren. \par Dazu definieren wir die Abbildung
    $\langle\cdot,\cdot\rangle$ vom Raum der Paare von
    $(1,2)$-Tensoren in die reellen Zahlen durch
    \[\langle S,R\rangle := S^a_{ij} R^b_{kl} g_{ab} g^{ik} g^{jl}.\]
    Wir behaupten, dass dies ein Skalarprodukt auf den
    $(1,2)$-Tensoren definiert. Symmetrie und Bilinearit\"at sind
    klar. Die positive Definitheit erhalten wir, indem wir in einem
    Punkt mit $g_{ij}=\delta_{ij}$ diese aus
    \[\langle S, S\rangle =\sum\limits_{a,i,j}
      \left(S^a_{ij}\right)^2\] direkt ablesen, oder, indem wir
    $g_{ab} ={\sqrt g}_{ak} \delta^{kl} {\sqrt g}_{lb}$ und eine
    entsprechende Zerlegung f\"ur $g^{ik}$ und $g^{jl}$ verwenden und
    dann aus
    \[0<\langle S,S\rangle =S^a_{ij} {\sqrt g}_{ab} {\sqrt g}^{ik}
      {\sqrt g}^{jl}\cdot \delta^{bc} \delta_{kr} \delta_{lt} \cdot
      S^d_{su} {\sqrt g}_{dc} {\sqrt g}^{sr} {\sqrt
        g}^{ut}\]
    \[\left(S^a_{ij} {\sqrt g}_{ab} {\sqrt g}^{ik} {\sqrt
          g}^{jl}\right)_{b,k,l} \neq 0\] und weiter aufgrund der
    Invertierbarkeit der Wurzel der Metrik und ihrer
    Inversen \[\left(S^a_{ij}\right)_{a,i,j}\neq0\] erhalten. \par
    Nun definieren wir $R$ durch
    \[R^b_{kl} := T^{ij}_a g^{ab} g_{ik} g_{jl}.\] Wir nutzen jetzt
    die Inversenbeziehung f\"ur die Metrik, wenden die
    Cauchy-Schwarz\-sche Ungleichung an und erhalten
    \begin{align*}
      S^a_{ij} T^{ij}_a
      &=S^a_{ij} T^{kl}_b g^{bc} g_{kr} g_{ls}\cdot g_{ac} g^{ir}
        g^{js}\umbruch\\
      &=S^a_{ij} R^c_{rs}\cdot g_{ac} g^{ir} g^{js}\umbruch\\
      &=\langle S,R\rangle\umbruch\\
      &\le\sqrt{\langle S,S\rangle}\cdot \sqrt{\langle
        R,R\rangle}\umbruch\\
      &=\sqrt{\Vert S\Vert^2} \cdot\sqrt{\Vert R\Vert^2}\umbruch\\
      &=\Vert S\Vert\cdot\Vert R\Vert.
    \end{align*}
    Man sieht direkt, dass der Ausdruck f\"ur $S$ die gew\"unschte
    Gestalt besitzt. F\"ur $R$ erhalten wir
    \begin{align*}
      \langle R,R\rangle
      &=R^a_{ij} R^b_{kl}\cdot g_{ab} g^{ik} g^{jl}\umbruch\\
      &=T^{cd}_e g^{ea} g_{ci} g_{dj} \cdot T^{rs}_t g^{tb} g_{rk}
        g_{sl} \cdot g_{ab} g^{ik} g^{jl}\umbruch\\
      &=T^{cd}_e T^{rs}_t g^{et} g_{cr} g_{ds},
    \end{align*}
    also ebenfalls den gew\"unschten Ausdruck. Die Behauptung folgt. 
  \end{proof}

  \begin{beispiele}
    Wie oben benutzen wir wieder die Normen f\"ur die auftretenden
    Tensoren bez\"uglich der induzierten Metrik und erhalten
    \begin{align*}
      \xi^ih_{ij}\zeta^j
      &\le \left\Vert\left(\xi^i\zeta^j\right)_{i,j}\right\Vert\cdot
        \Vert A\Vert\umbruch\\
      &=\Vert\xi\Vert\cdot\Vert\zeta\Vert\cdot\Vert A\Vert,\umbruch\\
      \xi^ih_{ij}m^{jk}X^\alpha_k\lambda_\alpha
      &=\xi^im^{jk}\lambda_\alpha\cdot h_{ij}X^\alpha_k\umbruch\\
      &\le\left\Vert\left(\xi^im^{jk}\lambda_\alpha
        \right)_{i,j,k,\alpha}\right\Vert\cdot 
        \left\Vert\left(h_{ij}
        X^\alpha_k\right)_{i,j,k,\alpha}\right\Vert\umbruch\\
      &=\Vert\xi\Vert\cdot \Vert m\Vert\cdot \Vert\lambda\Vert\cdot
        \Vert A\Vert\cdot \Vert DX\Vert.
    \end{align*}
    Als konkrete Anwendung erhalten wir weiterhin
    \begin{align*}
      H &=g^{ij}h_{ij}\le
          \left\Vert\left(g^{ij}\right)_{i,j}\right\Vert
          \cdot\left\Vert\left(h_{ij}\right)_{i,j}\right\Vert\umbruch\\
      &=\sqrt{g^{ij}g^{kl}g_{ik}g_{jl}}\cdot|A| =\sqrt n\cdot|A|,
    \end{align*}
    also $H^2\le n\cdot|A|^2$. Alternativ k\"onnten wir hier
    auch \[H=h^i_i =h^j_i\delta^i_j\le|A|\cdot\left\Vert
        \left(\delta^i_j\right)_{i,j}\right\Vert =\sqrt n\cdot|A|\]
    rechnen. \par Als weiteres Beispiel f\"ur einen Ausdruck mit
    mehreren gleichen Indices am selben Tensor betrachten wir noch
    \begin{align*}
      T^i_{im}\xi^m
      &=T^i_{jm}\cdot\delta^j_i\xi^m\umbruch\\
      &\le\Vert
        T\Vert\cdot\left\Vert\left(\delta^j_i\xi^m\right)_{i,j,m}
        \right\Vert\umbruch\\
      &=\Vert T\Vert\cdot\sqrt n\cdot\Vert\xi\Vert.
    \end{align*}
    Mit dem Lemma kann man auch Ausdr\"ucke absch\"atzen, die
    tensoriell und nicht skalar sind, bei denen auf der linken Seite
    also noch ein \glqq freier\grqq{} Index steht. Als Beispiel
    betrachten wir dazu
    \begin{align*}
      \left\Vert\left(A^k_iv_k\right)_i\right\Vert^2
      &=v_kA^k_ig^{ij}A^l_jv_l\umbruch\\
      &=v_kg^{ij}A^l_j\cdot A^k_iv_l\umbruch\\
      &\le\Vert v\Vert^2\cdot\Vert
        A\Vert^2. 
    \end{align*}
    Wie weisen dabei darauf hin, dass die Normen der Tensoren mit den
    Komponenten $A^l_j$ und $g^{ij}A^l_j$ \"ubereinstimmen.\par
    Schlie\ss{}lich m\"ochten wir noch andeuten, wie man mit
    dieser Technik auch gr\"o\ss{}ere Tensorausdr\"ucke in ihre
    Faktoren zerlegen und mit der Norm absch\"atzen kann. Dazu f\"ugt
    man zun\"achst so viele Kronecker-Deltas ein, dass man die
    Faktoren danach in zwei Gruppen aufteilen kann, in denen kein
    Index (bei dem dies am Ende nicht gew\"unscht ist) mehr doppelt
    vorkommt. Dies ergibt wie oben von der Dimension abh\"angige
    Zusatzfaktoren, insbesondere in F\"allen wie $h^i_i$ oder
    $R_{ij}{}^i{}_k$. Dann kann man unsere Technik auf die Aufteilung
    in diese beiden Gruppen anwenden. Je nach Struktur der Ausdr\"ucke
    muss man das Vorgehen anpassen und gegebenenfalls mehrfach
    durchf\"uhren. Als Beispiel betrachten wir
    \begin{align*}
      \left(K^a_bL^b_cM^c_a\right)^2
      &\le\left\Vert\left(K^a_b L^b_c\right)_{a,c}
        \right\Vert^2\cdot \Vert 
        M\Vert^2\umbruch\\
      &=K^a_bg_{ai}L^j_l\cdot L^b_cg^{cl}K^i_j\cdot\Vert
        M\Vert^2\umbruch\\
      &\le\Vert K\Vert^2\cdot\Vert L\Vert^2\cdot\Vert M\Vert^2.
    \end{align*}
    Ein Beispiel f\"ur ein \glqq maximal verbundenes\grqq{} Produkt
    aus vier Tensoren mit zugeh\"origer Absch\"atzung ist
    \begin{align*}
      \left(K^a_{bc}L^b_{de}M^{cd}_fN^{fe}_a\right)^2
      &\le\left\Vert\left(K^a_{bc}L^b_{de}
        \right)_{a,c,d,e}\right\Vert^2 
        \cdot \left\Vert\left(M^{cd}_fN^{fe}_a
        \right)_{a,c,d,e}\right\Vert^2\umbruch\\
      &=\left(\underline{K^a_{bc}}L^b_{de}\underline{K^r_{st}}
        L^s_{uv} \underline{g_{ar}g^{ct}}
        g^{du}g^{ev}\right)\cdot\left(\ldots\right)\umbruch\\
      &\le\Vert K\Vert^2\cdot\Vert L\Vert^2\cdot\Vert M\Vert^2\cdot
        \Vert N\Vert^2,
    \end{align*}
    wobei wir f\"ur die letzte Absch\"atzung die markierten Terme
    zusammen behandelt haben. Alternativ h\"atte man hier auch
    zun\"achst nur $N$, dann $M$ und schlie\ss{}lich $L$ abspalten
    k\"onnen. Bei beiden Vorgehensweisen entsteht an den Stellen, an
    denen die Summation auseinandergerissen wird jeweils die
    gew\"unschte der Norm entsprechende Summation. \par
    Wie angek\"undigt nun noch ein Beispiel mit dem Riemannschen
    Kr\"ummungstensor. Wieder nutzen wir Unterstreichungen um
    anzudeuten, welche Terme wir zusammenfassen. Analog zu oben
    stimmen die Normen der unterstrichenen und der nicht
    unterstrichenen Tensoren \"uberein. 
    \begin{align*}
      \Vert \Ric\Vert^2
      &=\left\Vert(R_{jl})_{j,l} \right\Vert^2
        =\left\Vert\left(R_{ij}{}^i{}_l\right)_{j,l} \right\Vert^2
        =\left\Vert\left(R_{ijkl}g^{ki}\right)_{j,l} \right\Vert^2        
        \umbruch\\
      &=\underline{R_{ijkl}}g^{ki}\cdot R_{abcd}\underline{g^{ca}\cdot
        g^{jb}g^{ld}}\umbruch\\
      &\le\left\Vert\left(R_{ijkl}g^{ca}\right)_{i,j,k,l,c,a}\right\Vert^2
        =n\cdot\Vert\Rm\Vert^2.
    \end{align*}

    Die Verallgemeinerung auf mehr Faktoren \"uberlassen wir nun dem
    Leser. 
  \end{beispiele}

  \begin{corollary}
    Es gilt die Katosche Ungleichung
    \[|\nabla|A||^2\le|\nabla A|^2\]
    in Punkten mit $A\neq0$.
  \end{corollary}
\end{appendix}

\bibliographystyle{amsplain} 
%\bibliography{/Users/os/uni/math/bib/biblio.bib}
\def\weg#1{} \def\unterstrich{\underline{\rule{1ex}{0ex}}} \def\cprime{$'$}
\providecommand{\bysame}{\leavevmode\hbox to3em{\hrulefill}\thinspace}
\providecommand{\MR}{\relax\ifhmode\unskip\space\fi MR }
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\providecommand{\MRhref}[2]{%
  \href{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=#1}{#2}
}
\providecommand{\href}[2]{#2}
\begin{thebibliography}{10}

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