Stetigkeitswürfel

Erwürfeln Sie sich eine Aussage durch Drücken auf den „Würfeln“-Knopf und versuchen Sie, Aufgabenstellungen wie unten aufgeführt dafür zu lösen.
Es kann anspruchsvoll werden.

Aufgabenstellungen dazu

• Wie lautet die Verneinung dieser Aussage. Ist diese leichter zu verstehen?
• Welche Funktionen werden durch diese Aussage charakterisiert? Beschreiben Sie diese Funktionen in Worten oder mit Hilfe bekannter Definitionen. (eher kompliziert)
• Erläutern Sie die Aussage anhand eines Bildchens.
• Finden Sie Funktionen, die diese Eigenschaft (nicht) erfüllen.
• Können Sie einige / alle Funktionen mit diesem Verhalten graphisch darstellen?
• Wie sehen besonders „wilde“ Funktionen aus, die diese Aussage erfüllen?
• Erfüllt jede stetige Funktion diese Aussage? Gibt es unstetige Funktionen, die die Aussage erfüllen?
• Finden Sie neue Aussagen, so dass alle Funktionen, die die neuen Aussagen erfüllen, auch die obige Aussage erfüllen. (Hinreichende Bedingung)
  Finden Sie, falls die Aussagen nicht äquivalent sind, Beispiele für Funktionen, die genau eine der Aussagen erfüllen.
• Finden Sie neue Aussagen, so dass alle Funktionen, die die obigen Aussagen erfüllen, auch die neuen Aussagen erfüllen. (Notwendige Bedingung)
  Finden Sie, falls die Aussagen nicht äquivalent sind, Beispiele für Funktionen, die genau eine der Aussagen erfüllen.
• Erwürfeln Sie sich zwei Aussagen und vergleichen Sie diese.
• Was wird aus der Aussage, wenn man
  • Quantoren durch andere ersetzt?
  • die Reihenfolge der Quantoren ersetzt?
  • „ε > 0“ durch „ε ∈ (0,1)“ oder „ε ≥ 1“ ersetzt?
  • „δ > 0“ durch „δ ∈ (0,1)“ oder „δ ≥ 1“ ersetzt?
  Welche der Aussagen sind äquivalent, stärker oder schwächer?
• Werden Sie selbst kreativ und üben Sie dabei den Umgang mit Aussagen wie in der „ε-δ-Definition“ für Stetigkeit!

Continuity dice

Playfully learning how to deal with the definition of continuity.
How it works: Press the "roll the dice" button and generate a statement.

Challenges

• What is the negation of the statement? Is it easier to understand the negation?
• Which functions are characterised by that statement? Describe those functions in words or with the help of existing definitions. (might be complicated)
• Use a drawing to explain the statement.
• Find functions that do (not) fulfil the statement.
• Can you draw some / all functions that fulfil the statement?
• How do particularly "wild" functions look like that fulfil the statement?
• Does every continuous function fulfil the statement? Are there discontinuous functions that fulfil the statement?
• Find necessary / sufficient conditions for the statement.
  If the new condition is not equivalent to the statement, find a function that fulfils precisely one of them.
• Generate two statements and compare them.
• How does the statement change when you
  • replace quantifiers by other quantifiers?
  • change the order of the quantifiers?
  • replace "ε > 0" by "ε ∈ (0,1)" or "ε ≥ 1"?
  • replace "δ > 0" by "δ ∈ (0,1)" or "δ ≥ 1"?
  Are the new statements equivalent, weaker or stronger than the original statement?
• Become creative! Train your ability to handle statements like in the "ε-δ-definition" of continuity.