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Regel-Regeln

2017-09-19 by MJ

In der Mathematik arbeitet man mit zwei Sorten von Regeln: Solche über die Mathematik (Metaregeln) und solche über die mathematischen Objekte (Sätze). Im Projekt $\mmath$ werden Metaregeln programmiert, um den Rahmen für kontrolliertes mathematisches Arbeiten am Rechner zu schaffen. Der Nutzer kann dann Sätze über mathematische Objekte mit dem Programm formulieren und beweisen. Dabei ist er den Metaregeln unterworfen, während die mathematischen Objekte seinen Sätzen unterworfen sind.

Betreibt man Mathematik mit Papier und Bleistift, so muss man selbst für die Einhaltung der Metaregeln sorgen, was ein ständiges Kontrollieren der eigenen Argumentationsschritte verlangt. Eine zentrale Aufgabe für Mathematiknovizen ist daher das Kennen- und Befolgenlernen der mathematischen Metaregeln, um dann in diesem Rahmen wiederum viele Regeln in Form von Sätzen kennenzulernen und neu zu entdecken.

Regeln spielen also eine sehr wichtige Rolle in der Mathematik, aber wie sind eigentlich Regeln geregelt? Read more…

Mathematische Begriffe

2017-09-18 by MJ

Wenn wir über konkrete Dinge sprechen, benutzen wir Wörter wie Apfel, Wolke oder Brille. Das Wort Brille im Satz "Ich trage eine Brille." steht aber nicht nur für das Ding auf meiner Nase, sondern es ist Stellvertreter für viele Dinge mit der Funktion, Sehfehler zu korrigieren. Dabei unterscheiden sich Brillen von anderen Sehhilfen wie Zwickern, Monokeln oder Kontaktlinsen dadurch, dass Brillen zwei Bügel haben, die in Kombination mit den Ohren für Halt auf der Nase sorgen. Schon dieses kleine Beispiel zeigt, wie wir Dinge nach gewissen Ähnlichkeiten zusammenfassen oder bei fehlender Ähnlichkeit unterscheiden.

Für weitere Beispiele brauchen wir uns nur umzuschauen: Eine Buche ist anders als eine Eiche, aber beides sind Laubbäume. Ein Kugelschreiber unterscheidet sich von einem Bleistift, aber beides sind Schreibgeräte usw.

Nennen wir das, was Dinge unterscheidbar bzw. zusammenfassbar macht Eigenschaften, dann sind Namen wie Apfel, Wolke oder Brille Abkürzungen für spezielle Eigenschaftskombinationen. Man sagt dann, ein Ding ist eine Brille, wenn es alle dazugehörigen Eigenschaften aufweist.

Eine Eigenart der natürlichen Sprache ist dabei, dass die Eigenschaftskombinationen zum Teil subjektiv und zeitlich veränderlich sind. So wandelt sich das Konzept Apfel unbewusst in unserem Kopf mit jedem neuen Beispiel, das uns vorgestellt wird. Außerdem kann es durch rationale Kriterien angereichert werden, wenn wir uns etwa mit Botanik oder Genetik beschäftigen. Da die subjektiven Eigenschaftskombinationen einen Überlapp haben, ist Kommunikation möglich, aber es ist auch klar, dass identische Namen bei verschiedenen Personen sehr unterschiedliche Assoziationen hervorrufen können, was dann zu Missverständnissen führen kann.

Um solche Missverständnisse auszuschließen, beruhen mathematische Begriffe auf verbindlich festgelegten Eigenschaftskombinationen, Read more…

Mama, Mama, Mathe

2017-09-17 by MJ

Wenn Kinder ihre Muttersprache lernen, dann geschieht das ohne explizite Kenntnis der Sprachregeln. Durch Zuhören, Ausprobieren und Feedback in Form von Korrekturvorschlägen wird die Sprachnutzung vom Gehirn immer besser erlernt. Perfektioniert wird sie dann in der Schule, wo die Sprachregeln im Unterricht erarbeitet und rational durchdrungen werden. Hier dient die Sprache nicht nur zum Übermitteln von Inhalten, sondern sie wird selbst zum Studienobjekt, wobei besseres Verständnis mit besserer Nutzung einhergeht.

Im Unterschied zum Erstspracherwerb wird der Vorteil des rationalen Sprachverständnisses beim Erlernen von Fremdsprachen von Anfang an ausgenutzt, um den Lernprozess zu beschleunigen.

Wie aber funktioniert das Erlernen der mathematischen Sprache - eine Sprache mit präzise formulierten Begriffen und streng geregelten Argumentationsweisen? Read more…

Ich glaube, der Beweis ist falsch

2017-09-17 by MJ

Ob ein mathematischer Beweis korrekt ist oder nicht, lässt sich prinzipiell maschinell überprüfen, weil die zulässigen Argumentationsmöglichkeiten präzise geregelt sind. Im einfachsten Fall müssen dafür aber alle Beweisschritte in einer festen syntaktischen Form angegeben werden, was wiederum für menschliche Leser sehr unangenehm ist: Niemand will sich einen Text in sperriger Sprache durchlesen, in dem der entscheidende argumentative Schritt zwischen einem Wust von anderen Details verschwindet.

Da versierte Leser in der Lage sind, typische argumentative Lücken schnell gedanklich auszufüllen, beschränken sich Beweistexte in der Praxis auf die Details, welche neue Techniken, Tricks und Ideen beinhalten. Die Übermittlung solcher Neuheiten ist dabei ein wichtiges Ziel mathematischer Kommunikation.

In Kombination mit einer immer stärkeren Aufspaltung der Mathematik in Spezialgebiete ergibt sich allerdings die Schwierigkeit, Read more…

Wer mag Textaufgaben?

2017-09-16 by MJ

Fragt man in einer Schulklasse, wer lieber Textaufgaben als Rechenaufgaben mag, so meldet sich meist nur eine kleine Minderheit. Als Grund findet man schnell heraus, dass bei Rechenaufgaben das generelle Vorgehen und die zugehörigen Regeln klar sind, während dies bei Textaufgaben nicht der Fall ist. Diese Unklarheit erzeugt Gefühle von Unsicherheit bis hin zur Angst.

Damit das nicht passiert, muss auch für den Umgang mit Textaufgaben ein systematisches Vorgehen mit zugehörigen Regeln trainiert werden. Wichtig ist, dass Textaufgaben vor dem mathematischen Lösungsschritt einen separaten Modellierungsschritt benötigen.

Unter mathematischer Modellierung versteht man dabei den Prozess, Read more…