Schwerpunkt Reelle Geometrie und Algebra > Prof. Dr. C. Scheiderer > Mitarbeiter > Daniel Plaumann > Vorlesung im Wintersemester 2011

Konvexität

Vorlesung mit Übung (2+2 Stunden)

Daniel Plaumann

Inhalt

Eine Teilmenge von R^n heißt konvex, wenn sie alle Verbindungsstrecken zwischen zweier ihrer Punkte enthält. Konvexität spielt in vielen mathematischen Theorien eine Rolle, etwa Analysis, Geometrie, Kombinatorik, Optimierung und Zahlentheorie. Neben einer Einführung in die Grundbegriffe werden solche Verbindungen in der Vorlesung und in den Übungen aufgegriffen. In der zweiten Hälfte des Semesters sollen die Bezüge zur Optimierung und zur reellen algebraischen Geometrie betont werden, je nach Interessen und Vorkenntnissen der Teilnehmer. Die Vorlesung wird sich über weite Strecken an dem unten angegebenen Buch von Barvinok orientieren.

Skript

Skript (Endfassung, 8.2.2012)

Übungsaufgaben

Erste Woche 18.10. - Grundlagen; Aufgaben für den 27.10.: 1.2 und 1.7
Zweite Woche 25.10. - Trennende Hyperebenen; Aufgaben für den 3.11.: 2.4 und 2.5
Dritte Woche 3.11. - Seiten und Extremalpunkte; Aufgaben für den 11.11.: 3.3 und 3.4
Vierte Woche 8.11. - Polyeder; Aufgaben für den 18.11.: 4.1 und 4.2
Fünfte Woche 15.11. - Trennungssätze und Kegel; Aufgaben für den 25.11.: 5.3 und 5.11
Sechste Woche 22.11. - Positiv semidefinite Matrizen; Aufgaben für den 2.12.: 6.1 und 6.6
Siebte Woche 29.11. - Positiv semidefinite Matrizen II; Aufgaben für den 9.12.: 7.4 und 7.8
Achte Woche 6.12. - Dualität; Aufgaben für den 16.12.: 8.5 und 8.6
Neunte Woche 13.12. - Kegelprogrammierung; Aufgaben für den 21.12.: 9.2 und 9.4
Zehnte Woche 20.12. - Lineare Programmierung; Aufgaben für den 13.1.: 10.3 und 10.6
Elfte Woche 10.1. - Semidefinite Programmierung; Aufgaben für den 20.1.: 11.3 und 11.5
Zwölfte Woche 17.1. - Innere-Punkte-Verfahren; Aufgaben für den 27.1.: 12.2 und 12.4
Dreizehnte Woche 24.1. - Spektraeder und starre Konvexität; Aufgaben für den 3.2.: 13.4 und 13.5
Vierzehnte Woche 31.1. - Spektraeder II; Aufgaben für den 10.2.: 14.3 und 14.4
Fünfzehnte Woche 7.2. - Die Lasserre-Relaxierung

Zielgruppe

Die Vorlesung setzt nur mathematische Grundkenntnisse in linearer Algebra und Analysis voraus und kann ab dem zweiten Studienjahr gehört werden. Die Voraussetzungen für das Bestehen des Moduls bzw. den Scheinerwerb werden ggf. individuell angepasst.

Studiengänge

Bachelor (Ergänzungsmodul)
Master (Wahlmodul)
Lehramt (Übungsschein)
Diplom (Übungsschein)

Termin

Vorlesung: Dienstag 10:15-12:00 Uhr in D301. Erster Termin: 18. Okt.
Übung: Freitag 12:00-13:30 Uhr in M801.

Literatur

A. Barvinok: "A Course in Convexity", GSM 54, Americal Mathematical Society (2002)
B. Grünbaum: "Convex Polytopes", GTM 221, Springer (1967)
W. Forst und D. Hoffmann: "Optimization - Theory and Practice", Springer (2010)

Die Bücher von Barvinok und Forst/Hoffmann befinden sich auch im Semesterapparat im Buchbereich J.

zuletzt geändert am 8. Februar 2012