Mathematics and Statistics
Konstanz
|
Department of Mathematics and Statistics |
University of Konstanz |
|
| Research Focus Real Geometry and Algebra > Markus Schweighofer | deutsche Version | version française |
In contrast to this, the study of polynomial inequalities (in the sense of "greater than" or "greater or equal than") is mostly neglected even though it is much more important for applications: Indeed, in applications one often searches for a real solution rather than a complex one (as in classical algebraic geometry) and this solution must not necessarily be exact but only approximate.
In a course about linear algebra there is frequently no time for linear optimization. An introductory course about algebra usually treats groups, rings and fields but disregards ordered and real closed fields as well as preorders or prime cones of rings. In a first course on algebraic geometry there is often no special attention paid to the real part of a variety and in commutative algebra quadratic modules are practically never treated.
Most algebraist do not even know the notion of a preorder although it is as important for the study of systems of polynomial inequalities as the notion of an ideal is for the study of systems of polynomial inequalities. People from more applied areas such as numerical analysis, mathematical optimization or functional analysis know often more about real algebraic geometry than some algebraists, but often do not even recognize that polynomials play an decisive role in what they are doing. There are for example countless articles from functional analysis which are full of equations with binomial coefficients which turn out to be just disguised simple polynomial identities.
In the same way than the study of polynomial systems of equations leads to the study of rings and their generalizations (such as modules), the study of systems of polynomial inequalities leads to the study of rings which are endowed with something that resembles an order. This additional structure raises many new questions that have to be clarified.
This course is the first of a linear sequence of lectures building one upon the other that I plan to lecture in three consecutive semesters: Real Algebraic Geometry I, Real Algebraic Geometry II, Geometry of Linear Matrix Inequalities.
Creditability: 9 ECTS credits eligible for:Beschreibung: In dieser Vorlesung geht es um den algorithmischen Umgang mit polynomialen Gleichungssystemen in mehreren Variablen über einem Körper (etwa dem Körper der rationalen Zahlen) und um die Geometrie der zugehörigen Lösungsmengen über einem algebraisch abgeschlossenen Oberkörper (etwa dem Körper der komplexen Zahlen). Es handelt sich also um eine elementare und erste Einführung in die Algebraische Geometrie, die nur Algebra-Kenntnisse im Umfang der ersten drei Studiensemester voraussetzt. Man lässt Lösungen in einem algebraisch abgeschlossenen Körper zu, um die Theorie zu vereinfachen. Wir werden zunächst grundlegende Tatsachen über die Geometrie solcher Lösungsmengen lernen. Im größten Teil der Vorlesung werden wir uns der Algorithmik und der Geometrie der Elimination von Variablen in polynomialen Gleichungssystemen widmen. Für eine weitere Vereinfachung sorgt hier das Zulassen von "Lösungen im Unendlichen", also der Übergang vom affinen zum projektiven Raum. Die Vorlesung endet mit einem Kapitel über die Dimension von solchen Lösungsmengen. In den Übungen kommt das frei erhältliche Computeralgebrasystem SINGULAR zum Einsatz. Wir werden auch praktische Anwendungen in der Kombinatorik behandeln. Vorgesehen sind folgende Themen: Affine Algebren, affine Varietäten, Hilbertscher Nullstellensatz, Irreduzibilität, Morphismen affiner Varietäten, Gröbnerbasen, Reduktionsrelationen, Buchberger-Algorithmus, minimale und reduzierte Gröbnerbasen, Eliminationsideale und deren Anwendungen, endliche Varietäten, projektive Varietäten, Hauptsatz der Eliminationstheorie, Transzendenzgrad von Körpererweiterungen und Algebren, Krulldimension von Ringen, Noetherscher Normalisierungssatz, "Going up", "Lying over".
Interessierte werden gebeten, sich so bald wie möglich auf der ILIAS-Plattform unverbindlich einzuschreiben.