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Kontexte Regeln
Sicher kennst du das Distributivgesetz \(((2\cdot 4)+(3\cdot 4))=((2+3)\cdot 4)\), nach dem man einen gemeinsamen Faktor ausklammern kann. Wenn wir diese Regel formulieren wollen, ohne ein konkretes Beispiel anzugeben, dann kommen wir auf eine Beschreibung der folgenden Art:
Eine Summe aus zwei Produkten, die einen gemeinsamen Faktor besitzen, kann als Produkt des gemeinsamen Faktors mit der Summe aus den beiden anderen Faktoren geschrieben werden.
In dieser Form ist die Auswirkung der Regel etwas schwierig nachzuvollziehen, weil wir sprachlich recht umständlich auf die beteiligten (Zahl-) Objekte verweisen müssen. Viel praktischer ist es, wenn wir den Objekten vor der Beschreibung des eigentlichen Sachverhalts zunächst einen Namen geben (die Regel wird damit zu einem Unterkontext mit hinzukommenden Namen und Aussagen über die zugehörigen Objekte). Mit diesen Namen kann die Regel dann viel knackiger dargestellt werden:
Seien \(x,y\) und \(z\) Zahlen. Dann gilt \(((x\cdot z)+(y\cdot z))=((x+y)\cdot z)\).
Die Namen in solchen Regeln werden auch Platzhalter genannt, weil deren Platz bei der Regelanwendung durch passende Objekte ersetzt werden kann. Wenden wir die Regel zum Beispiel auf \(2,3,4\) anstelle von \(x,y,z\) an, so ergibt sich die Gleichheitsaussage \(((2\cdot 4)+(3\cdot 4)) =((2+3)\cdot 4)\), die wir oben als Beispiel bereits erwähnt haben. Auch wenn die Platzhalter unterschiedliche Namen tragen, müssen sie nicht zwingend durch unterschiedliche Objekte ersetzt werden. Wir können die Regel ja auch auf \(2,2,2\) anstelle von \(x,y,z\) anwenden, wobei dann durch strures Ersetzen die Gleichheitsaussage \(((2\cdot 2)+(2\cdot 2))=((2+2)\cdot 2)\) folgt. Entsprechend darf man innerhalb einer Regel nicht davon ausgehen, dass unterschiedliche Platzhalternamen zwingend unterschiedliche Objekte benennen. Solange nichts Gegenteiliges gefordert wird, können verschiedene Namen auch für identische Objekte stehen.
Regeln beziehen sich auf Objekte mit bestimmten Eigenschaften, die im Regeltext durch unterschiedliche Namen angesprochen werden. Beim Anwenden einer Regel, werden die Namen an allen Stellen durch Objekte mit passenden Eigenschaften ersetzt. Die Namen wirken bei der Anwendung dadurch als Platzhalter für die einsetzbaren Objekte.
Beim Anwenden einer Regel muss geklärt werden, ob die Voraussetzungen für die einzusetzenden Objekte erfüllt sind. Wenn entsprechende Aussagen im aktuellen Kontext noch nicht als geltend vorliegen, müssen sie erst nachgewiesen werden, was unter Umständen kniffelig sein kann. Das eigentliche Ersetzen ist dagegen ein rein mechanischer Prozess, bei dem es nicht um Kreativität sondern nur um Sorgfalt beim Anwenden der folgenden Ersetzungsregel geht:
Beim Ersetzen in einem Zielausdruck \(Z\) nehmen vorgegebene Ausdrücke die Position von Platzhalternamen ein, wodurch der ersetzte Ausdruck entsteht. Dabei ist wichtig, dass jedes Auftreten eines Platzhalternamens in \(Z\) immer durch den gleichen Ausdruck ersetzt wird. Da Namen als Grundausdrücke nicht geklammert werden müssen, sind beim Ersetzen durch andere Ausdrücke möglicherweise Klammerungen durchzuführen, damit ein zulässiger Ausdruck entsteht.
In der folgenden Übung wird von den Platzhaltern nur gefordert, dass es sich um Zahlobjekte handelt. Da die einzusetzenden Objekte jeweils durch Zahlausdrücke gegeben sind, kannst du dich hier also allein auf die Ersetzung im Zielausdruck konzentrieren. (Tipp: Es kann hilfreich sein, die Ersetzung mit den links angegebenen Werten zunächst auf einem Blatt Papier selbst durchzuführen und die entstehenden Ausdrücke dann mit den Vorgaben genau zu vergleichen.)
In der nächsten Übung ist die Anforderung an die einzusetzenden Objekte etwas anspruchsvoller und muss vor dem sturen Ersetzen kurz überprüft werden (auch hier hilft wieder der Tipp zur vorherigen Übung).