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Funktionsmengen Weitere Mengen
Weitere häufig anzutreffende Mengenbeschreibungen sind Aufzählungsmengen wie \(\{4,18,31\}\), die genau aus den angegebenen Elementen aufgebaut sind. Anstelle der direkten Elementangabe ist es auch möglich, eine Regel für den Aufbau der Elemente anzugeben wie in der Ausdrucksform \(\{2\cdot n\,|\,n\in\mathbb N\}\), die für die Mengen aller geraden natürlichen Zahlen steht. In beiden Situationen handelt es sich dabei um spezielle Bildmengen von Funktionen: \(\{4,18,31\}=\mathrm{Bild}((4,18,31))\) und \(\{2\cdot n\,|\,n\in\mathbb N\}=\mathrm{Bild}([n\in\mathbb N\mapsto 2\cdot n])\).
In einer Aufzählungsmenge werden ein oder mehrere Elementausdrücke kommagetrennt aufgelistet und von Mengenklammern umschlossen. Der Ausdruck \(\{y_x\,|\,x \in M\}\) ist eine Abkürzung für die Bildmenge von \([x\in M\mapsto y_x]\). Dabei steht \(M\) für einen Mengenausdruck und \(x\) für einen Platzhalter, der im Elementausdruck \(y_x\) vorkommen darf.
Mit der sogenannten Mengenvereinigung lassen sich die Elemente aus mehreren Mengen in einer einzigen neuen Menge zusammenfassen. Die Startmengen werden dabei als Elemente einer Menge zur Verfügung gestellt (Mengen, die nur Mengen enthalten, werden auch als Mengenfamilien bezeichnet). Entsprechend fasst der Mengenschnitt die Elemente einer Mengenfamilie zusammen, die allen Familienmitgliedern gemeinsam sind.
Sei \(A\) eine Mengenfamilie. Dann sind \(\bigcup A\) und \(\bigcap A\) Abkürzungen für die Mengen \(\{x\in \mathcal U:\exists M\in A:x\in M\}\) bzw. \(\{x\in \mathcal U:\forall M\in A:x\in M\}\). Die alternativen Schreibweisen \(\bigcup_{i\in I}M_i\) und \(\bigcap_{i\in I}M_i\) sind Abkürzungen für \(\bigcup \{M_i\,|\,i\in I\}\) bzw. \(\bigcap \{M_i\,|\,i\in I\}\), wobei \(M_i\) ein Mengenausdruck ist, der von \(i\) abhängen kann.
Ist \(A\) eine gegebene Menge, dann kann man gedanklich alle Teilmengen von \(A\) zusammenfassen und so eine neue Menge bilden. Sie wird auch die Potenzmenge von \(A\) bezeichnet, weil sie im Fall einer Menge der endlichen Größe \(n\) insgesamt \(2^n\) Elemente enthält. Am Beispiel \(A=\{1,2,3\}\) sind dies folgende \(2^3=8\) Mengen: \(\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\).
Sei \(A\) ein Mengenausdruck. Dann steht der Auswertungsausdruck \(\mathrm{Pot}(A)\) für die Menge aller Teilmengen von \(A\).