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Mengen und Elemente Prädikatenlogik
Viele mathematische Fakten haben die Form von Regeln, wie zum Beispiel:
Das Quadrat jeder reellen Zahl ist größer oder gleich 0.
Wie wir bereits aus dem Abschnitt über Regeln wissen, lässt sich jede Regel systematisch auch mit Platzhaltern formulieren. Ein Vorteil dabei ist, dass die bereits zur Verfügung stehenden formalen Ausdrucksformen benutzbar werden. In unserem Beispiel sieht das zunächst so aus:
Für jedes Element \(x\) mit der Eigenschaft \(x\in\mathbb R\) gilt \(x^2\geq0\).
Die entscheidenden Komponenten in dieser Formulierung sind: (1) Der Platzhaltername \(x\), (2) der Elementbereich \(\mathbb R\), der für den Platzhalter infrage kommt und (3) die Aussage \(x^2\geq0\), die in diesem Elementbereich erfüllt ist (platzhalterabhängige Aussagen nennt man auch Prädikate). Genau diese Informationen werden in der sogenannten Für-alle-Aussage kurz und knapp zusammengefasst, wobei das Quantorsymbol \(\forall\) vorangestellt wird, um darauf hinzuweisen, dass das Prädikat für alle Elemente des angegebenen Bereichs erfüllt ist (der Quantor erinnert an ein umgedrehtes A aus dem Wort Alle).
\(\forall x\in\mathbb{R}:x^2\geq0\)
Ausgesprochen wird dieser sogenannte Symbolkette dabei so: Für alle Elemente \(x\) in \(\mathbb{R}\) gilt \(x^2\geq0\). Dass wie hier gerade \(x\) als Name für den Regelplatzhalter gewählt haben, ist dabei für die Aussage unwichtig. Die Aussagen \(\forall s\in\mathbb{R}:s^2\geq0\) oder \(\forall w\in\mathbb{R}:w^2\geq0\) haben genau die gleiche Bedeutung.
Eng verwandt mit den Für-alle-Aussagen sind die sogenannten Existenzaussagen. Auch hier zunächst ein Beispiel aus dem Schulalltag:
Es gibt eine reelle Zahl, deren Quadrat den Wert 2 hat.
Formulieren wir auch hier die Aussage zunächst mit einem Platzhalter, so erhalten wir:
Es gibt ein Element \(x\) das \(x\in\mathbb R\) und \(x^2=2\) erfüllt.
Greifen wir nun wieder die relevante Information heraus und stellen den sogenannten Existenzquantor \(\exists\) voran (der Quantor erinnert an ein umgedrehtes E aus dem Wort Existenz), dann erhalten wir die Kuzform der Existenzaussage, die so ausgesprochen wird: Es gibt ein Element \(x\) in \(\mathbb R\) mit der Eigenschaft \(x^2=2\).
\(\exists x \in\mathbb R: x^2=2\).
Für-alle-Aussagen haben die Form \(\forall x\in M\,:\, E_x\) und Existenzaussagen notieren wir allgemein durch \(\exists x\in M\,:\, E_x\). Hier steht \(x\) für einen beliebigen Platzhalternamen, der im Aussagenausdruck \(E_x\) verwendet werden darf, während \(M\) für einen Mengenausdruck steht. Da jeweils ein abschließendes Symbol fehlt, werden die Ausdrücke beim Schreiben wie ungeklammerte Ausdrücke behandelt.
Unsere erste Übung dreht sich darum, die Bedeutung von Quantoraussagen richtig zuzuordnen. Wir schlüpfen dazu in einen gedanklichen Kontext, in dem eine Menge mit Namen \(P\) zur Verfügung steht, wobei wir an eine Zusammenfassung von Personen denken. Außerdem können wir Aussagen der Form \(X\,\heartsuit\,Y\) bilden für Elemente \(X,Y\) von \(P\), mit der Interpretation \(X\,\mathit{sehnt\,\,sich\,\,nach}\,Y\).
Für die Bedeutung von Quantoraussagen spielen die Namen der Platzhalter keine Rolle. Das kann man sich zunutze machen, wenn die Namen Verwirrung erzeugen, weil sie zum Beispiel mit Namen aus dem umgebenden Kontext oder solchen aus anderen Quantoraussagen ungünstig übereinstimmen. In solch einem Fall kannst du die Namen der Quantoraussage durch unverbrauchte Bezeichner austauschen, um die Verwirrung zu beseitigen. Zum Training dient folgende Übung (Tipp: Schreibe die Quantoraussagen auf einem Schmierzettel so um, dass die Platzhalter jeweils der Reihe nach a,b,c heißen - dann wird der Vergleich sehr einfach).